CC BY
5УДК 517.938.5
ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ БИЛЬЯРДНЫХ КНИЖЕК
И. С. Харчева1
Рассматривается класс интегрируемых гамильтоиовых систем с двумя степенями свободы — бильярдные книжки, являющиеся обобщением бильярдов в областях, ограниченных дугами софокусных квадрик. При изучении бильядов в первую очередь возникает вопрос о топологии фазового пространства и изоэнергетического многообразия. В работе доказывается, что фазовое пространство и изоэнергетическое многообразие в случае бильярдных книжек действительно являются кусочно-гладкими многообразиями.
Ключевые слова: интегрируемая гамильтонова система, бильярд, изоэнергетическое многообразие.
We consider a class of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom — billiard books, which are generalizations of billiards bounded by arcs of confocal quadrics. The first issue arising in the study of billiards is concerned with the topology of the phase space and the isoenergy manifold. We prove that the phase space and the isoenergy manifold of any-billiard book are actually piecewise manifolds.
Key words: integrable Hamiltonian system, billiard, isoenergy manifold.
1. Элементарный бильярд.
Определение 1. Пусть закон движения x(t) материальной точки в некотором топологическом пространстве Q является непрерывной функцией и однозначно определяется начальным положением xo £ Q и начальным вектором скорости vo в некоторый момент времени to £ R. Тогда для любого вектора скорости vo можно рассмотреть функцию, сопоставляющую начальному значению xo закон движения x(t) в пространстве непрерывных функций C°(R, Q). Если функция, отображающая начальное положение xo в пространство Co(R, Q), непрерывна, то будем говорить о непрерывности x(t)
Определение 2. Рассмотрим компактную область Q С R2 с кусочно-гладкой границей и углами излома ж/2. Пусть материальная точка движется по прямой с постоянной скоростью внутри этой области Q и отражается от гладкой части границы dQ без потери скорости и естественным образом: угол падения равен углу отражения. В остальных случаях движение этой материальной точки определяется исходя из непрерывности ее закона движения относительно начального положения. Тогда бильярдом в области Q называется динамическая система, описываемая движением этой материальной точки.
Замечание 1. Движение материальной точки по прямой внутри области и ее отражение от гладкой границы задают непрерывный закон движения относительно начального положения. Особые случаи, такие, как попадание траектории в угол излома и касание границы, доопределяются так, чтобы закон движения все также оставался непрерывным относительно начального положения. Это свойство бильярда гарантирует непрерывность фазового потока на фазовом пространстве.
Замечание 2 (о первых интегралах в бильярдах). У динамической системы бильярда есть один первый интеграл — гамильтониан, равный половине квадрата модуля вектора скорости. Значит, бильярд является гамильтоновой динамической системой с двумя степенями свободы. Из теории гамильтоиовых систем следует, что для интегрируемости бильярда необходим еще один первый интеграл. В общем случае для произвольной области Q он может не существовать. Но если подобрать "хорошую" область Q, то можно найти функцию, которая будет первым интегралом. Например, если Q является прямоугольником, то интегралом будет являться угол наклона траектории, если кругом, то — радиус окружности, которой касается траектория.
Есть еще один класс интегрируемых бильярдов, о котором пойдет речь ниже. Для его введения нам понадобится следующее определение.
1 Харчева Ирина Сергеевна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: irina.harchevalQyandex.ru.
Kharcheva Irina Sergeema — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.
Определение 3. Семейством софокусных квадрик называется множество кривых на плоскости М2 с евклидовыми координатами (х,у), описываемых уравнением
х
(Ь - X) + у2 • (а - X) = (а - Х)(Ъ - X),
где а > Ь > 0 — параметры этого семейства, а число X € [-те, а] семейства, или параметр квадрики.
а, Ь
женин всей работы, поэтому в дальнейшем мы будем говорить просто о семействе, не уточняя его параметры.
Замечание 3. Кривая из семейства софокусных квадрик является эллипсом при X € [-то,Ь), гиперболой при X € (Ь, а), прямой при X = а и X = Ь. Эллипсы и гиперболы из этого семейства имеют одни и те же фокусы и пересекаются под прямым углом. Прямая в случае X = Ь проходит через фокусы, а в случае X = а — через середину отрезка, соединяющего фокусы, н ортогональна ему.
Определение 4. Рассмотрим элементарную бильярдную область — компактную область О в плос-М2
квадрик (пример на рис. 1), пересекающихся иод углом направленным внутрь области П. Бильярд в области О называется элементарным бильярдом.
Определение 5. В элементарной бильярдной области О дуга квадрики I называется выпуклой, если для каждой точки х € I существует такая окрестность и (х), что и(х) П О является выпуклым множеством. В противном случае дуга называется невыпуклой (на рис. 1 дуги 1, 4 выпуклые; 2, 3 невыпуклые).
Замечание 4 (об особых траекториях в элементарном бильярде). Опишем подробнее, как выглядит движение материальной точки элементарного бильярда в обла-О
ражения от гладкой части границы. Это отражение было определено исходя из непрерывности закона движения материальной точки относительно начального положения. Есть два случая такого движения.
1. Пусть траектория, отвечающая закону движения х(Ь), попала в угол излома. Из определения элементарной бильярдной области следует, что он равен п/2. Без ограничения общности будем считать начальным моментом времени ¿о момент до попадания траектории в угол, но после последнего отражения от грани-
параметр кривои из этого
Рис. 1. Иллюстрация леммы 1 на примере элементарного бильярда в области О, ограниченной следующими кривыми, обозначенными штрихпунктиром: эллипсом 1, гиперболой 2 и двумя прямыми горизонтальной 3 и вертикальной 4
Рис. 2. Особые траектории в элементарном бильярде: а траектория попадает в угол излома, б касается невыпуклой дуги границы, в идет вдоль выпуклой дуги границы; х(Ь) — закон движения материальной точки; ¿о — начальный момент времени, ¿1 — момент касания траектории гладкой части границы дО; стрелками обозначены траектории, близкие к траектории, задаваемой законом движения х(Ь) цы области, а также ориентируем область, как показано на рис. 2, а. Рассмотрим малую окрестность и точки х(Ьо)- Тогда для одного подмножества (и па рис. 2, а) начальных значений из окрестности
и
и2
так как угол равен п/2, предел с обеих сторон будет одинаковым: материальная точка движется по прямой, попадает в угол, отражается и движется в обратную сторону вдоль той же прямой.
2. Пусть траектория х(Ь) в момент времени касается гладкой части границы Если дуга, которой касается траектория, невыпуклая, то материальная точка продолжает движение по прямой. Если выпуклая, то траектория идет вдоль границы. Такой результат можно получить, рассмотрев, как и в предыдущем случае, близкие траектории. Эти два случая изображены на рис. 2, б, в соответственно.
В. В. Козлов и Д. В. Трещев в работе [1] обратили внимание на следующее свойство элементарного бильярда.
Лемма 1. Звенья любой траектории в элементарном бильярде либо лежат на касательных к фиксированной квадрике из того же семейства, что и граница элементарной бильярдной области, л,ибо проходят через любой из фокусов.
Иллюстрация леммы 1 представлена на рис. 1. Согласно этой лемме траектории бывают трех типов. Первый тип траекторий показан на рис. 1, а. На нем прямые, содержащие сегменты траекторий, всегда проходят либо через фокус либо через фокус Эти прямые изображены пунктиром. Второй и третий типы показаны на рис. 1, б и в соответственно. На них прямые сегменты траекторий касаются (пунктирного) эллипса во втором случае и (пунктирной) гиперболы в третьем.
Определение 6. Кривая, которой касаются звенья траектории в элементарном бильярде, называется каустикой.
Замечание 5 (об интегрируемости элементарного бильярда). Элементарный бильярд является интегрируемой гамильтоновой динамической системой с двумя первыми интегралами (доказательство см. в работе [1]) — гамильтонианом Н, равным половине квадрата модуля вектора скорости, и параметром каустики (поскольку каустика — это кривая из фиксированного семейства, то ее можно задать одним параметром). Подробнее фазовое пространство и формулы описанных выше интегралов будут представлены далее для более общего случая.
Если бильярд является интегрируемой гамильтоновой системой, то его можно исследовать в терминах топологических инвариантов Фоменко-Цишанга [2], которые позволяют говорить об эквивалентности с точностью до замыканий траекторий двух гамильтоновых систем. Например, бильярд в эллипсе был рассмотрен В. Драговичем, М. Раднович [3, 4] и В. В. Фокичевой (Ведюшкиной) [5]; бильярд в областях, ограниченных софокусными параболами, — В. В. Фокичевой [6], элементарный бильярд — В. В. Фокичевой [7].
2. Бильярдная книжка. Рассмотрим обобщение элементарного бильярда, сконструированное Ведюшкиной: склеим несколько элементарных бильярдных областей (листов), и пусть материальная точка, ударяясь о границу, переходит с одного листа на другой.
Определение 7. Бильярдной книжкой В(Ш, Х,р) называется динамическая система, описывающая движение материальной точки в двумерном клеточном комплексе Ш = X0 и X1 и X2, обладающем следующими свойствами:
1) р : Ш —^ М2 является непрерывным отображением, таким, что его ограничение на любую двумерную клетку е2 € X 2 (лист,) является гомеоморфизмом на элементарную бильярдную область; его ограничение на любую одномерную клетку е1 € X1 является гомеоморфизмом на дугу квадрики из фиксированного семейства;
2) к одномерным клеткам е1 € X1 приписаны перестановки ^(е1), действующие на листах и описывающие переход материальной точки с одного листа на другой;
3) ^(е1) является циклической перестановкой тех листов, границами которых служит одномер-
е1
4) материальная точка внутри листов движется по прямой, а на их границе, попадая на одномерную клетку е1 € X1, отражается по закону "угол падения равен углу отражения" и переходит по перестановке ^(е1) на другой лист;
р
которым приписаны нетождественные перестановки, не определены в точках касания;
6) в остальных случаях движение материальной точки возможно доопределить исходя из непрерывности ее закона движения относительно начального положения. (Оказывается, это требование задает условие на перестановки, приписанные одномерным клеткам книжки, сходящимся в некоторой нульмерной клетке, а именно перестановки должны коммутировать. Подробнее см. далее.)
Пример бильярдной книжки показан на рис. 3. На этой бильярдной книжке изображена траектория, которая идет наверх по первому листу, переходит на второй по циклической перестановке (1 2), далее идет вниз по второму листу, переходит на третий по перестановке (12 3) и продолжает движение вниз, а затем переходит на четвертый лист по перестановке (3 4).
Замечание 6 (об интегрируемости бильярдной книжки). Смена листа в бильярдной книжке не изменяет направление траектории и скорость материальной точки. Значит, в бильярдной книжке есть те же интегралы, что и в элементарном бильярде, полная энергия и параметр каустики. Из этого следует, что бильярдная книжка, как и элементарный бильярд, является интегрируемой га-мильтоновой динамической системой. Но главное преимущество обобщения элементарного бильярда состоит в том, что динамическая система бильярдной книжки устроена сложнее и позволяет моделировать больший класс других интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (подробнее см. в работе [8]). Например, в работах [9, 10] показано, что бильярдные книжки дают возможность моделировать любые бифуркации двумерных торов Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем. Поэтому важно выполнить подробное описание этой динамической системы. Кроме того, в работах [11, 12] дана полная классификация топологических бильярдов, которые являются частным случаем бильярдных книжек и в которых вдоль корешка склеиваются только два листа.
Замечание 7 (о нумерации листов бильярдной книжки). Для удобства описания перестановок введем нумерацию на листах N : X2 —> N и будем рассматривать перестановки уже не на листах, а на их номерах. При этом обозначение бильярдной книжки расширяется до В(Ш, Е, р,
Определение 8. Пусть дана бильярдная книжка В(Ш = X0 и X1 и X2, Е,р, N). Для каждой нульмерной клетки е° € X0 определим две перестановки 01 (е0) и 02(е0) следующим образом. Пусть А1 и А2 — параметры двух квадрик, проходящих через точку р(е0), и А1 < \2- Тогда каждая одномерная клетка е1 € X\ такая, что е0 € де1, является дугой квадрики либо с параметром А1, либо с параметром А^. Тогда определим перестановку 01(е0) (и перестановку 02(е0)) как композицию всех перестановок Е(е^ для одномерных клеток е1 € X\ удовлетворяющих условию е0 € де1
А1 А2
Лемма 2. В бильярдной книжке В(Ш, Е,р, N) любую траекторию, попавшую на нульмерную клетку е0 € X0; можно определить исходя из непрерывности закона движения относительно начального положения тогда и только тогда, когда перестановки о1(е°) и <г2(е0) коммутируют.
Доказательство. Покажем сначала, что если для нульмерной клетки е0 перестановки 01(е0)
и 02(е0) не коммутируют, то существует траектория, продолжение которой невозможно определить
е0
начального положения.
Поскольку о1(е°) о о2(е0) = о2(е0) о о1(е0), то существует такой лист г, что о1(е0) о о2(е0)(г) =
о2(е0) о о1(е°)(г). Следовательно, имеют место три случая. Листы с номерами г, о1(е°)(г), о2(е0)(г),
а1(е°) о о2(е0)(г), о2(е0) о о1(е0)(г) при отображении р на плоскость:
е0
е0 е0
г е0
она задается законом движения х(Ь) с начальным моментом времени ¿0. Рассмотрим малую окрестность и точки х^). Для одного подмножества (и па рис. 4) начальных значений из окрестности и найдутся траектории, в которых материальная точка отразилась от квадрики с параметром А1 и перешла на лист с номером 01(е0)(г), а затем от квадрики с параметром А2 и перешла на лист с номером о2(е0) о о1(е°)(г); для другого подмножества (и2 на рис. 4) — наоборот. Таким образом,
и
жают свое движение на разных листах 02(е0) о 01(е0)(г) и 01(е0) о 02(е0)(г), а значит, однозначно и
г
пределы с разных сторон не совпадают. Это обусловлено тем, что перестановки 01 (е0) и 02(е0) не коммутируют.
Рис. 3. Пример бильярдной книжки, содержащей 4 листа 1, 2, 3, 4 и траектории на ней (пунктир скрытые за листами части книжки и траектории)
а б в
Рис. 4. Иллюстрация к доказательству леммы 2
Обратно: пусть для нульмерной клетки е° перестановки 01(е°) и 02(е°) коммутируют. Рассмотрим любую траекторию, проходящую через некоторую нульмерную клетку (точку) е°. Пусть траектория идет по листу с номером г. Тогда поме прохождения через клетку (точку) е° она в зависимости от расположений листов с номерами г и 01 (е°) о 02(е°)(г) продолжит свое движение согласно рис. 4 па листе с номером о1(е°) о о2(е°)(г)(= о2(е°) о о1(е°)(г)). При этом изображенные на рисунках траектории близки, так как перестановки 01(е°) и 02(е°) коммутируют и угол в клетке е° равен п/2 для каждого листа. Лемма доказана.
е1
лой хотя бы для одного листа, для которого она служит границей, и перестановка ^(е1) не является
е1
ноети закона движения относительно начального положения. Это обусловлено тем, что есть близкие к ней траектории, которые продолжают движение по тому же листу, по которому и шли, и траектории, переходящие по перестановке ^(е1) на другой лист (рисунок аналогичен рис. 2, б).
е1
мечания 4 об особых траекториях в элементарном бильярде. Траектория будет идти вдоль выпуклой
е1
метим, что эти листы переводятся нетождественно циклической перестановкой ^(е1). Кроме того, заметим, что если бы перестановка ^(е1) не была циклом, переводящим эти листы, то определить по непрерывности движение вдоль выпуклой дуги было бы невозможно.
3. Описание фазового пространства бильярдной книжки. Рассмотрим би льярдную книжку В(Ш = Х°иХ1 иX2, £, р, Ы). Движение материальной точки по клеточному комплексу Ш задает динамическую систему бильярдной книжки В(Ш, Т,,р, Ы) на фазовом пространстве М4. Точка на фазовом пространстве должна описывать состояние этой системы. Его можно задать положением материальной точки на комплексе и вектором скорости. Считаем, что вектор скорости не равен нулю. На границе листов из-за отражения и перехода материальной точки с листа на лист векторы скорости устроены сложнее: некоторые векторы необходимо склеить, чтобы движение отвечало движению материальной точки в бильярдной книжке.
Итак, рассмотрим несвязное объединение всех листов, считая границу для каждого листа отдельно:
И2 := У ^
в2ех2
Тогда фазовое пространство М4 — это пространство кок^ательного рас слоения над [X ]2. Поскольку метрика плоская, то можем отождествить касательное и кокаеательное расслоения. Учитывая отражение от границ листов и то, что вектор скорости не равен нулю, получаем
М4 = [X]2 х (М2 \ {0})/ (1)
где отношение эквивалентности описывает отражение материальной точки от границы и переход точки с листа на лист.
Опишем подробнее это отношение эквивалентности. Для этого нам понадобится определение проекции расслоения, введенное по аналогии с терминологией расслоений.
Определение 9. Проекцией расслоения назовем отображение п : [X]2 х (М2 \ {0}) Ш, которое является композицией проекции [X]2 х (М2 \ {0}) на [X]2 и отображения [X]2 на Ш, тождественно переводящего двумерные клетки в себя, а их границу — в соответствующие клетки меньшей размерности.
Функцию N (из замечания 7 о нумерации листов бильярдной книжки), задающую номер листа, можно расширить на многообразие [X] х (М2 \ {0}) следующим естественным образом. Если х € X2,г € М2 \ {0}, то 1у(х,г) = N(х). На границе доопределим функцию
N : [X]2 х (М2 \ {0}) —> N (2)
по непрерывности; поскольку граница каждого листа в [X]2 не является границей никакого другого листа, мы можем доопределить па границе функцию N по непрерывности.
Отношение эквивалентности в формуле (1) задается в разных частях границы по-разному, так как отражение в них разное. Для наглядности на рис. 3 изображены примеры точек па замыкании
[X]2 х (М2 \ {0}) (векторов на рисунке), которые считаются эквивалентными в фазовом простран-М4
первый — отражение от границы; второй и третий, определяющиеся из непрерывности закона движения материальной точки в зависимости от начального положения, были описаны в лемме 2 и замечании 8 об особых траекториях в бильярдной книжке. Разберем эти три случая.
1. Случай отражения от, дуги. Когда материальная точка попадает на дугу (одномерную клетку), то она отражается в зависимости от того, как располагаются листы. Есть два подслучая.
р
падения равен углу отражения. Иными словами, пусть две точки (х1,г>1), (х2, г2) € [X] х (М2 \ {0}) удовлетворяют следующим условиям:
п(х1,г1) = п(х2,г2) € е1 для некоторой клетки е1 € X1 (здесь рассматривается замыкание одномерной клетки, поэтому точка п(х2, г2) может принадлежать некоторой нульмерной клетке); и) листы с номерами 1у(х1,г1) и N^2^2) находятся по одну сторону от дуги е1 при отображении
р
ш) ^(е1 )(Й(х1,г1)) = ^(х2,г2) (заметим, что номера листов могут совпадать);
IV) вектор г1 направлен наружу листа с номером 7У(х1,г1), а вектор г2 — внутрь листа с номером Жх2,г2^, причем г1, г2 § Тр0ж{х1,,и1)р(е1);
V) (г! = Ни г1 - г2 ± ТропЫ ,^1)Р(е1)-Тогда (х1,г1) ~ (х2,г2).
р
движение продолжается по прямой. Пусть две точки (х1 ,г1), (х2,г2) € [X] х(М2\{0}) удовлетворяют следующим условиям:
п(х1,г1) = п(х2,г2) € е1 для некоторой клетки е1 € X1;
и) листы с номерами 7У(х1,г1) и 7У(х2,г2) пжодятся по разные стороны от дуги е1 при отобра-р
Ш) ^(е1 )(^(х1,г1)) = Ж(х2,г2);
IV) вектор г1 направлен наружу листа с номером 7У(х1,г1), а вект ор г2 — внутрь листа с номером N^2,г2), причем г1,г2 §ТроЖ(х1,ь1)р(е1); г1 = г2 Тогда (х1,г1) ~ (х2,г2).
2. Случай касания кривой границы. Касание материальной точки выпуклой границы дает движение вдоль дуги квадрики, при касании невыпуклой движение не определено (определение 7 бильярдной книжки и замечание 8 об особых траекториях в ней). Однако на фазовом пространстве эти два случая не отличаются. Дело в том, что состояние динамической системы задается таким положением материальной точки однозначно: материальная точка находится на некоторой одномерной клетке и движется по направлению касательной. Это состояние должно отвечать точке на фазовом пространстве. Но если в невыпуклом случае интегральная кривая достигает этой точки на фазовом пространстве за конечное время, то далее она однозначно не определяется. Поэтому на траекториях мы эту точку выкалываем, а на фазовом пространстве — нет.
Из замечания 8 об особых траекториях в бильярдной книжке следует, что когда траектория касается дуги квадрики, то она принадлежит сразу всем листам, граничащим с этой дугой. Иными словами, пусть две точки (х!,^), (х2,У2) € [X]2 х (М2 \ {0}) удовлетворяют следующим условиям:
^(х1,^1) = п(х2,У2) € е1 для некоторой клетки е1 € X1;
И) £(е1)(Ж(хЬУ1)) = Ж(х2,^); Ш) ы = У2 || Троп(Х1^1)р(е1);
Тогда (хЬУ1) ~ (х2,У2).
3. Случай угловой точки. Случай угловой точки, или случай попадания в угол на нульмерную клетку е0, был описан в лемме 2. А именно траектория переходит па лист по перестановке 01(е0) о 02(е0) и либо идет в обратном направлении, либо отражается от стенки, либо продолжает свое движение по прямой в зависимости от расположения листов, а 01 (е0) и 02(е0) — перестановки из определения 8. Итак, имеют место три подслучая.
(a) Рассмотрим случай, изображенный на рис. 4, а. Пусть две точки (х1,У1), (х2,У2) € [X]2 х (М2 \ {0}) удовлетворяют следующим условиям:
п(х1,У1) = п(х2,У2) = е0 для некоторой нульмерной клетки е0 € X0;
и) листы с номерами 1^(х1,У1) и Й(х2, У2) в окрестности угла е0 образуют случай рис. 4, а,
р
Ш) 01(е0) о 02(е0)(Ж(х1 ,У1)) = N^2,У2);
IV) вектор У2 направлен внутрь листа с номером Ж(х2,У2), и У1 = —У2-
Тогда (х1,У1) ~ (х2,У2)-
(b) Рассмотрим случай, изображенный на рис. 4, б, который похож на обычное отражение от дуги, но номер листа, на котором будет продолжаться движение, определен по-другому. Итак, пусть две точки (х1,У1), (х2, У2) € [X]2 х (М2 \ {0}) удовлетворяют следующим условиям:
п(х1,У1) = п(х2, у2) = е0 для некоторой нульмерной клетки е0 € X0;
и) листы с номерами N^1^1) и N^2^2) в окрестности угла е0 образуют случай рис. 4, 5, т.е. при отображении р на плоскость они разделены некоторой дугой I из семейства софокусных квадрик;
Ш) 01(е0) о 02(е0)(Ж(х1 ,У1)) = N^2,У2);
IV) вектор У1 направлен наружу листа с номером Й(х1,У1), а вектор У2 — внутрь листа с номером Жх2 ,У2);
V) |у1| = Н И У1 - у2 т Троп(х1 т)1-
Тогда (х1,У1) ~ (х2,У2)-
(c) Рассмотрим случай, изображенный на рис. 4, в. Пусть две точки (х1,У1), (х2,У2) € [X]2 х (М2 \ {0}) удовлетворяют следующим условиям:
п(х1,У1) = п(х2, У2) = е0 для некоторой нульмерной клетки е0 € X0;
и) листы с номерами 7У(х1,У1) и Й(х2, У2) в окрестности угла е0 образуют случай рис. 4, в,
р
Ш) 01(е0) о 02(е0)(7У(х1 ,У1)) = ЛТ(х2,У2);
IV) вектор У2 направлен внутрь листа с номером ^У(х2,У2);
У1 = У2
Тогда (х1,У1) ~ (х2,У2)-
Профакторпзовав по описанному выше отношению эквивалентности, получаем фазовое пространство М4. Траектории в бильярдной книжке будут соответствовать некоторой кривой в М4. Также заметим, что на фазовом пространстве М4 естественно определяется топология, полученная
из топологии на клеточном комплексе и плоскости, отвечающей пространству векторов скорости.
М4
можем выписать явные формулы первых интегралов бильярдной книжки. Итак, пусть т € М4. Берем любой элемент т' из класса эквивалентности точки т, описанного выше. Это точка из [X]2 х (М2 \ {0}). Рассмотрим отображение р о п : [X] —> М2. Воспользовавшись этим отображением, можем связать с [X]2 декартовы координаты в плоскости М2. А значит, точке ^ можно сопоставить декартовы координаты (х1,х2,У1,У2) в пространстве М4. Тогда интегралы имеют вид:
у\ +У1
Н =--полная энергия; (6)
. -(хг - х2г1)2 + + г|а
А =-~-~--параметр каустики.
г2 + Щ
Значение обоих интегралов не зависит от выбора представителя ш'. Этот факт проверяется явной
подстановкой в интегралы точек, которые мы отождествили. Это означает, что интегралы корректно
М4
4. Изоэнергетическое многообразие бильярдной книжки. Основной результат.
Определение 10. Изоэнергетическим многообразием называется топологическое пространство Q3 := {ш € М4 : Н(ш) = Н} с топологией, индуцированной топологией на М4, где Н > 0 — фиксированное число, а Н(ш) — гамильтониан (в случае бильярдных книжек он задается уравнением (3)).
Замечание 10. Расширим определение 9 проекции расслоения. Нетрудно заметить, что в описанном выше отношении эквивалентности мы отождествляли только точки, у которых п(х1, г1) = п(х2, г2). Это означает, что проекцию расслоения можно определить не на произведении [X] х (М2 \ {0}), а на фазовом пространстве М4, т.е. далее считаем, что п : М4 —> Ш.
Перейдем к основному результату работы.
Теорема. Для любой бильярдной книжки топологическое пространство Q3 = {х € М4 : Н(х) = Н}, называемое изоэнергетическим многообразием, для, фиксированного Н > 0 действительно является трехмерным топологическим (и даже кусочно-гладким) многообразием.
Доказательство. Пусть дана бильярдная книжка В(Ш = X0 и X1 и X2, £,р, Так как склейка по отношению эквивалентности была только на границе листов, то фазовое пространство М4 внутри листов гомеоморфно декартову произведению X2 х М2 \ {0}. Исходя из вида интеграла Н (замечание 9), получаем, что изоэнергетическое многообразие Q3 внутри листов гомеоморфно декартову произведению X2 х Б1. Вдоль границы (на одномерных и нульмерных клетках) происходит склейка, и части Q3, гомеоморфные декартову произведению О2 х Б1, склеиваются по закону отражения. Каждый случай отражения был подробно разобран в отношении эквивалентности при описании фазового пространства. Покажем, что эта склейка не выводит Q3 из класса многообразия, т.е. склеивает внутренние части листов так, что в точках склейки существует окрестность, гомеоморфная трехмерному диску.
Итак, рассмотрим каждый из случаев склейки отдельно. Будем придерживаться такого же порядка, как и в описании фазового пространства.
1. Случай отражения от, дуги. Пусть без ограничения общности листы находятся по разные
р
сты можно "развернуть". Итак, пусть две точки (х1,г1), (х2,г2) € [X]2 х (М2 \ {0}) удовлетворяют условиям п. 1 (Ь) в отношении эквивалентности и условию |г12 = |г212 = 2Н. Второе условие гарантирует принадлежность точки рассматриваемому изоэнергетическому многообразию. Рассмотрим полудиск на каждом из листов и малую дугу на окружности |г112 = 2Н, содержащую точку г1 (рис. 5, а). Если склеить эти два полудиска в диск О2 и рассмотреть его декартово произведение с дугой I, получится окрестность точки (х1, г1) ~ (х2,г2) в топологическом пространстве Q3, которая является декартовым произведением О2 х I, гомеоморфным трехмерному диску.
2. Случай касания, кривой границы. Рассмотрим точку д = (х,г) € Q3. Пусть точка х комплекса Ш лежит на некоторой одномерной клетке е1, а вектор г из пространства векторов скорости является касательным к этой дуге е1 в точке х. Кроме того, поскольку д € Q3, то |г|2 = 2Н. Рассмотрим трансверсальный отрезок I к квадрике р(е1) в плоскости М2 (рис. 5, б). Будем описывать множество п"1 о р"1(1) П Q3 в окрестности точки д. Мы рассматриваем трансверсальное сечение, чтобы сократить размерность изучаемого пространства до двух. Если мы покажем, что топологическое пространство п"1 о р"1(1) П Q3 в окрестности точки д гомеоморфно двумерному диску, то окрестность точки д будет гомеоморфна декартову произведению О2 х О1, которое в свою очередь гомеоморфно трехмерному диску. Это верно, поскольку малый сдвиг вдоль дуги е1 отрезка I не меняет прообраза п"1 о р"1(1) П Q3.
Итак, приступим к доказательству того, что топологическое пространство п"1 о р"1(1) П Q3 в д е1
г1,г2 = £(е1)(г1), ...,%и = '^(е1)(гк"1) для наименьшего числа к € N такого, что г1 = £(е1)(г^). Для
точек х' € р"1(1), лежащих внутри листов, окрестность в пространстве векторов скорости является
малой дугой окружности |г|2 = 2Н, содержащей точку г. При приближении точек к одномерной е1
лежит сразу всем листам ¿1 ,%2,...,гн■ А в остальных случаях происходит отражение (случай 1) и
г1 г2 г2 г3 к
двумерных дисков получаем общий двумерный диск, что завершает доказательство этого пункта.
3. Случай угловой точки. При попадании в угол на нульмерную клетку е° траектория переходит на лист по перестановке 01 (е0) о 02(е0) и либо идет в обратном направлении, либо отражается от стенки, либо продолжает свое движение по прямой в зависимости от расположения листов, где 01(е0) и 02(е0) — перестановки из определения 8. Сведем три подслучая из п. 3 отношения эквивалентности к одному, "развернув" листы так, как и в случае 1 (отражения от дуги), т.е. будем считать, что мы находимся в ситуации рис. 4, в.
Мы имеем два подслучая. Один аналогичен случаю 1 отражения от дуги, второй случаю 2 касания кривой границы.
Рис. 5. Иллюстрация к доказательству теоремы
(а) Пусть две точки (х1,У1), (х2,У2) € [X]2 х (М2 \ {0}) удовлетворяют условиям 3 (с) отношения эквивалентности, условию |У112 = |У212 = и вектор У1 = У2 не является касательным ни к одной из двух дуг квадрик, проходящих через точку р(х1) = р(х2) (рис. 5, в). Рассмотрим четверть диска на каждом из четырех листов г = N^1 ,У\), о\(е°)(г), о2(е0)(г) о\(е°) о о2(е0)(г) (функция N определена в формуле (2)) и малую дугу I на окружности |У112 = 2^, содержащую точку У1. Если склеить эти четыре части диска в диск Д2 и рассмотреть его декартово произведение с дугой I, получится окрестность точки (х1,У1) ~ (х2 ,У2) в топологическом пространстве Q3, которая является декартовым произведением Д2 х I, гомеоморфным трехмерному диску.
(Ь) Рассмотрим точку q = (x,v) G Q3, такую, что x принадлежит некоторой нульмерной клетке e°, а вектор v касается одной из дуг проходящих через p(e°). Пусть без ограничения общ-
ности имеем случай, изображенный на рис. 5, г, т.е. вектор v касается квадрики li с перестановкой ai(e°) (определение 8). Аналогично случаю 2 (касания дуги) рассмотрим трансверсальные отрезки, чтобы уменьшить размерность.
Пусть один из листов, граничащих с е°, имеет номер ii. Рассмотрим листы с но мерами ii ,г2 = a1(e°)(ii),...,ik = a1(e°)(ik-1), где k G N — такое наименьшее число, что i1 = a1(e°)(ik). Также рассмотрим лист с номером ji = a2(e°)(ii) и связанный с этим листом цикл, т.е. листы с номерами j1,j2 = a1(e°)(j1), ...,jk' = a1(e°)(jk/где k' G N — такое наименьшее число, что j1 = a1(e°)(jk/)• Покажем, что k = k'. В самом деле, в силу коммутируемости перестановок ai (e°) и a2(e°) имеем
ji = a2(e°)(ii) = a2(e°) о ak(e°)(ii) = ak(e°) о a2(e°)(ii) = ak(e°)(ji).
Следовательно, получим k ^ k'. Проделав симметричные преобразования, придем к обратному неравенству k' ^ k, что влечет равенство k = k'.
Аналогично случаю 2, рассмотренному выше, получаем, что в прообразе трансверсального отрезка Ii в окрестности точки q, содержащего точки листов с номерами ii,i2,...,ik, находится диск Dj2, изображенный на рис. 5, г, в прообразе трансверсального отрезка I2, содержащего точки листов
с номерами ji,j2,.. .,jk: — диск D2, изображенный на рис. 5, г. Малый сдвиг этого отрезка вдоль
e°
в обоих случаях мы получаем прообразы D2 х D1 и х D1. А когда трансверсальный отрезок
e°
листов ii,i2,..., ik: так и листов ji,j2,..., jki т-е- эти диски склеиваются. В итоге в прообразе точки q будет склейка D2 х D1 U D| х D1 = D2 х D1, гомеоморфная трехмерному диску.
Получили, что любая точка q G Q3 имеет окрестность, гомеоморфную трехмерному диску, а значит, Q3 является трехмерным многообразием. Теорема доказана.
Следствие. Для любой бильярдной книжки фазовое пространство M4 является четырехмер-()
Q3
Доказательство сразу следует из теоремы в силу произвольного выбора h, поскольку фазовое M4
интеграла энергии h > 0.
Замечание 11. Заметим, что в доказательстве нигде не использовалось, что листы в бильярдной книжке являются элементарными бильярдными областями, т.е. областями, ограниченными дугами софокусных квадрик. Важно только то, что углы в этих областях всегда равны п/2. Это позволяет корректно определить отражение материальной точки в угле. Поэтому теорема также верна для бильярда, склеенного из любых двумерных областей с кусочно-гладкой границей и углами излома п/2.
Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям А. Т. Фоменко и В. В. Ве-дюшкиной за постановку задачи, существенную помощь и постоянное внимание к работе, Е. А. Кудрявцевой и А. А. Ошемкову — за многочисленные полезные замечания.
Автор является стипендиатом фонда развития теоретической физики и математики "Базис" (договор № 18-2-6-50-1).
Исследование выполнено в рамках программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-6399.2018.1, соглашение № 075-02-2018-867).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.
2. Волсинов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 1999.
3. Dragovic V., Radnovic М. Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards // Regul. and Chaotic Dyn. 2009. 14, N 4-5. 479-494.
4. Драгович В., Раднович M. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 2010.
5. Фок/ичева В.В. Описание особенностей системы "бильярд в эллипсе" // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 31-34
6. Фокичева В.В. Классификация биллиардных движений в областях, ограниченных софокусными параболами // Матем. сб. 2014. 205, № 8. 139-160.
7. Фокичева В.В. Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами и гиперболами // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 4. 18-27.
8. Фокичева В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // Докл. РАН. Математика. 2015. 465, № 2. 1-4.
9. Ведюшкипа В.В., Харчева И. С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, № 12. 17-56.
10. Ведюшкипа В.В., Фоменко А. Т., Харчева И.С. Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами // Докл. РАН. 2018. 479, № 6. 607-610.
11. Фокичева В. В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.
12. Ведюшкипа В.В. (Фокичева), Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. 81, № 4. 3-50.
Поступила в редакцию 19.06.2019
УДК 517.938.5
РЕАЛИЗАЦИЯ БИЛЬЯРДАМИ ЧИСЛОВОГО ИНВАРИАНТА РАССЛОЕНИЯ ЗЕЙФЕРТА ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
В. В. Ведюшкина В. А. Кибкало 2
Обсуждается локальный вариант гипотезы А. Т. Фоменко о возможности реализации интегрируемыми бильярдами слоения Лиувилля с произвольным топологическим инвариантом (Фоменко-Цишанга) — графом с числовыми метками. Доказано, что в классе бильярдных книжек алгоритмически реализуется слоение с произвольным значением целочисленной метки, задающей класс Эйлера подмногообразия Зейферта.
Ключевые слова: гамильтонова система, интегрируемость, бильярд, слоение Лиувилля, расслоение Зейферта, инвариант Фоменко-Цишанга.
A local case of A. Fomenko conjecture on possibility of realization of a Liouville foliation with arbitrary topological Fomenko-Zieschang invariant (which is a graph with numerical marks) is discussed. In the class of billiard books, a foliation with arbitrary value of one integer mark (that corresponds to Euler class of one Seifert submanifold) was realized.
Key words: Hamiltonian system, integrability, billiard, Liouville foliation, Seifert fibration, Fomenko-Zieschang invariant.
В работе fl] А. Т. Фоменко выдвинул фундаментальную гипотезу о возможности моделирования (реализации) бильярдами интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Напомним, что инвариантом Фоменко-Цишанга (меченой молекулой, см. [2]) слоения Лиувилля таких систем на инвариантном неособом подмногообразии Q3 является оснащенный конечный граф. Его вершины соответствуют особым слоям, ребра — семействам регулярных торов Лиувилля. Каждой вершине приписан символ атома, т.е. класса послойной гомеоморфности слоения вблизи особого слоя. Числовые метки возникают из матриц склейки Ci атомов по граничным торам (Ci £ GL(2,Z), det Ci = -1).
1 Ведюшкина Виктория Викторовна — канд. физ.-мат. наук, асснст. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: arinirQyandex.ru.
2Кибкало Владислав Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: slava.kibkaloQgmail.com.
Vedyushkina Viktoria Viktorovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.
Kibkalo Vladislav Alexandrovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.
