CC BY
09. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // Докл. РАН. 2002. 382, № 6. 747-749.
10. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А., Заргаров Дж.Дж. О наилучшей совместной полиномиальной аппроксимации функций и их производных в пространстве Харди // Тр. ИММ УрО РАН. 2021. 27, № 4. 239-254.
11. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // Докл. РАН. 2002. 383, № 2. 171-174.
12. Шабозов М.Ш., Хуромонов Х.М. О наилучшем приближении в среднем функций комплексного переменного рядами Фурье в пространстве Бергмана // Изв. вузов. Математика. 2020. № 2. 74-92.
13. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана B2j7 // Докл. АН РТ. 2007. 412, № 4. 466-469.
14. Шабозов М.Ш., Кадамшоев Н.У. Точные неравенства между наилучшими среднеквадратическими приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана // Матем. заметки. 2021. 110, № 2. 266-281.
15. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.; Л.: Наука, 1964.
16. Абилов В.Л., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве L^D,p(z) // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. 50, № 6. 999-1004.
17. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Верхние грани приближения некоторых классов функций комплексной переменной рядами Фурье в пространстве L2 и значения n-поперечников // Матем. заметки. 2018. 103, №4. 617-631.
18. Шабозов М.Ш. Саидусайнов М.С. Среднеквадратичное приближение функции комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам // Тр. ИММ УрО РАН. 2019. 25, № 2. 258-272.
19. Руновский К.В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 < p < 1 // Матем. сб. 1994. 185, № 8. 81-102.
20. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве L2 и поперечники классов функций // Матем. заметки. 2016. 99, № 2. 215-238.
21. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976.
22. Pinkus Л. n-Widths in Approximation Theory. Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer-Verlag, 1985.
23. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987.
Поступила в редакцию 15.03.2023
УДК 517.938.5
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ НЕКОТОРЫХ БИЛЬЯРДНЫХ УПОРЯДОЧЕННЫХ ИГР
К. Е. Тюрина 1
В статье вычислены инварианты лиувиллевой эквивалентности для бильярдных книжек, реализующих некоторые упорядоченные бильярдные игры, а именно для интегрируемых бильярдных книжек, склеенных из m дисков, ограниченных эллипсом, и не более чем из двух колец, ограниченных двумя софокусными эллипсами.
Ключевые слова: бильярд, упорядоченная бильярдная игра, бильярдная книжка, изо-энергетическая поверхность, инвариант Фоменко-Цишанга, интегрируемая гамильтонова система, интегрируемый бильярд, софокусные квадрики.
In the paper, Liouville equivalence invariants were calculated for billiard books that implement some ordered billiard games. Namely, for integrable billiard books glued from m disks bounded by an ellipse and no more than two annuli bounded by two confocalellipses.
1 Тюрина Кристина Евгеньевна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ; сотр. Моск. центра фунд. и прикл. матем., email: kristina.turina@math.msu.ru.
Turina Kristina Evgenievna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications; Scientist of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.
© Тюрина К. Е., 2024 © Turina K. E., 2024
(cc)
Key words: billiard, ordered billiard game, billiard book, isoenergy surface, Fomenko-Zieschang invariant, integrable Hamiltonian system, integrable billiard, confocal quadrics.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-3
1. Введение. Бильярдная упорядоченная игра — это динамическая система, введенная В. Дра-говичем и М. Раднович в [1] и задаваемая следующим образом. Рассмотрим набор из n софокусных эллипсов (ei, е2,..., en) (быть может, повторяющихся) и набор чисел (i 1 ,...,in), каждое из которых равно +1 или —1 (такой набор называется сигнатурой бильярдной игры). В дальнейшем будем
использовать тот факт, что у этих эллипсов общий центр.
Материальная точка в бильярдной игре должна удариться об эллипс с номером i изнутри, если сигнатура соответствующего эллипса равна 1, и снаружи в том случае, если она равна — 1. После чего бильярдная частица должна отразиться от эллипса с номером i + 1, игнорируя все остальные эллипсы (т.е. проходя их "насквозь"). После прохода всех эллипсов в последовательности игра продолжается циклически. Пример бильярдной игры (e1,e3,e2,e3,e1 ,e2,e1) с сигнатурой (1, —1,1,1,1, —1,1) изоб-Рис. L Пример Сшлмрдрой ражен на рис. 1.
Упорядоченнои игры Такое движение, заданное по произвольному набору эллип-
сов с произвольной сигнатурой, вообще говоря, может не существовать (например, траектория уходит на бесконечность). В настоящей работе мы приводим критерий существования траектории бильярдной игры.
В статье [1] было показано, что упорядоченная бильярдная игра может быть задана как один из режимов движения бильярдного шара по некоторой бильярдной книжке, склеенной из дисков и колец, ограниченных софокусными эллипсами. Бильярдные книжки, построенные В. В. Ведюшки-ной в работе [2], представляют собой клеточные комплексы, двумерные клетки которых являются частями плоскости, ограниченными дугами софокусных квадрик, а одномерным клеткам приписаны некоторые перестановки, задающие закон отражения на границах. В статье [1] приведен алгоритм построения бильярдной книжки по произвольной бильярдной игре.
Отметим, что бильярдная книжка, листы которой суть плоские области, ограниченные дугами софокусных квадрик, являются интегрируемыми, так как интегрируемы бильярды внутри каждого листа (двумерной клетки) книжки. Зафиксируем семейство софокусных квадрик следующим образом (полагаем, что a > b > 0):
x2(b — Л) + y2(a — Л) = (a — Л)(Ь — Л).
При Л < b уравнение задает эллипс, при b < Л < a — гиперболу. Значениям Л = b и Л = a соответствуют пары совпадающих прямых.
Траектория бильярда в плоской области, ограниченной дугами софокусных квадрик, лежит на прямых, которые являются касательными либо к некоторому эллипсу, либо к некоторой гиперболе указанного софокусного семейства (одного и того же для выбранной траектории). Такая квадрика называется каустикой (более подробно см., например, книгу В. В. Козлова и Д. В. Трещёва [3]). Такие бильярды, будучи склеенными вдоль граничных дуг, задают также интегрируемую динамическую систему. Пусть вдоль некоторой дуги софокусной квадрики склеено k плоских бильярдных листов. Занумеруем их и дуге припишем циклическую перестановку а € Sk. Пусть материальная точка движется внутри плоского бильярдного листа с номером i. Тогда после отражения от данной дуги она продолжит движение в бильярдном листе с номером a(i). Так как звенья траектории или их продолжения по-прежнему будут касаться той же каустики, что и до отражения, то бильярдная система останется интегрируемой.
Для системы интегрируемой бильярдной книжки применим топологический подход к изучению ее слоения Лиувилля на невырожденной (|v| = const > 0) изоэнергетической поверхности, а именно вычисление грубой молекулы Фоменко, а также меченой молекулы-инварианта Фоменко-Цишанга. Изоэнергетическая поверхность невырожденной интегрируемой гамильтоновой системы расслоена на торы и несколько особых слоев. Окрестность особого слоя (такая окрестность называется 3-атомом) согласно теореме Фоменко имеет структуру расслоения Зейферта с особыми слоями типа (2,1) (см. [4-6]), причем база этого расслоения есть прообраз окрестности критического значения функции Морса на некотором двумерном ориентируемом многообразии. База слоения Лиувилля
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2024. №3
21
на всей трехмерной изоэнергетической поверхности представляется в виде графа Риба, в вершинах которого указаны буквы, кодирующие 3-атомы, — бифуркации торов Лиувилля. Граф с указанными атомами в вершинах называется инвариантом Фоменко или грубой молекулой. Для полного описания слоения необходимо выбрать базисы на граничных торах атомов и указать матрицы перехода между базисами (см. [7]).
В работе [1] для бильярдной игры (£1,£2) с сигнатурой (1,1) были построены две бильярдные книжки, которые в качестве одного из режимов движения задают данную игру. Первая из книжек склеена из одного кольца и двух дисков, а вторая — из двух колец и двух дисков, ограниченных софокусными эллипсами. Вторая книжка получается в результате применения алгоритма В. Дра-говича и М. Раднович к данной бильярдной игре. Для этих книжек в [1] были вычислены графы Фоменко. В настоящей работе мы завершаем вычисление инварианта Фоменко-Цишанга, т.е. меченых молекул для этих бильярдных книжек, а также инварианта Фоменко-Цишанга для книжки из двух колец и т дисков, реализующей игру (£ь £2, £2,..., £2) с сигнатурой (1,1,1,... , 1) и получающейся как обобщение книжек, исследованных в [1].
2. Определение игры и критерий существования. В. Драгович и М. Раднович [1] дают следующее определение.
Определение. Бильярдной упорядоченной игрой называется набор софокусных эллипсов (в1,..., £п) с сигнатурой (¿1,..., гп) € {-1,1}п, который определяет движение материальной точки следующим образом. Траектория представляет собой ломаную с последовательными вершинами ..., Ао, А1, А2,..., такими, что
1) Ак € если § = к(шоё п);
2) в точке траектории Ад. материальная точка отражается от е3 изнутри, если г3 = 1, и снаружи, если г3 = -1.
Далее всегда будем запись игры начинать с эллипса £1, такого, что все остальные эллипсы лежат внутри его или совпадают с ним.
Все нижеследующие предложения доказаны автором настоящей работы.
Предложение 1 (критерий существования игры.) Пусть дана бильярдная игра (£к1 ,...,£кп) с сигнатурой (¿к1,..., ¿дп). Траектория, реализующая данную бильярдную игру, существует тогда и только тогда, когда
1) не существует номера такого, что г^. = г^+1 = —1/
2) если ¿д. = —1, то лежит внутри £к3_1, £к^+1 ■
Доказательство. В одну сторону предложение очевидно. Докажем, что игра существует, если выполнены указанные ограничения на эллипсы и сигнатуру. Обозначим через О центр эллипсов. Будем строить траекторию, целиком лежащую на малой (или большой) оси, по правилу, которое задает игра. Пусть на ^-м шаге ¿д = 1. Тогда если ¿к,-+1 = 1, то материальная точка проходит через О и отражается изнутри от эллипса £к^+1. Если же ¿к^+1 = —1, то материальная точка не доходит до О и отражается от эллипса, строго вложенного в £, т.е. £к^+1 С . Далее возможен единственный вариант: ¿к^+2 = 1. Бильярдный шар движется от точки О в сторону £1, и отражение возможно только от эллипсов, строго содержащих £^+1, т.е. £к^+1 С £к,+2.
Предложение 1 доказано.
3. Инварианты Фоменко-Цишанга для некоторых книжек. В [1] для игры (£1, £2) с
сигнатурой (1, 1) построены две книжки. Первая состоит из кольца и двух дисков, склеенных по меньшему эллипсу по перестановке 02 = (123), вторая, полученная по алгоритму из [1], — из двух колец и двух дисков, склеенных по большему эллипсу по перестановке 01 = (14) и по меньшему по перестановке 02 = (1234).
Напомним, что авторы [1] ограничились вычислением молекул Фоменко. Для нахождения инвариантов Фоменко-Цишанга необходимо вычислить так называемые метки на ребрах графов Фоменко. Напомним необходимые определения.
Во-первых, опишем бифуркации торов Лиувилля. Все такие бифуркации являются прямым произведением двумерных атомов — бифуркаций линий уровня функции Морса — и окружности. Двумерный атом А — двумерный диск, расслоенный на окружности, которые стягиваются в точку — центр диска. Соответствующий трехмерный атом описывает стягивание торов Лиувилля на критическую окружность. На граничном торе 3-атома А однозначно выбирается цикл Л, который стягивается в точку внутри полнотория. Дополняющий его до базиса в группе гомологий тора цикл ^ выбирается произвольно, однако его ориентация обязана совпадать с ориентацией критической траектории — оси атома А (т.е. при стягивании граничного тора на критическую траекторию направление цикла ^ должно совпасть с направлением этой траектории).
Во-вторых, особые слои седловых 2-атомов В и С2 представляют собой восьмерку и пару склеенных по двум точкам окружностей. Они описывают перестройку одной или соответственно двух окружностей в две. Соответствующие им 3-атомы имеют структуру тривиального расслоения Зей-ферта, т.е. прямого произведения указанных 2-атомов на окружность. В качестве циклов Л выбирается слой указанного слоения Зейферта. Дополняющие их до базисов циклы у обязаны быть связанными соотношением существования глобального сечения 3-атома, т.е. они должны быть выбраны как граничные окружности 2-атомов — баз слоения соответствующих 3-атомов.
Оказывается, что в случае изучения интегрируемых бильярдов эти циклы легко определяются по их проекции на бильярдный стол. Отметим, что каждый цикл на торе в проекции на бильярдный стол является некоторой кривой. Мы будем предъявлять цикл на торе, указывая данную кривую на бильярдном столе, а также тип векторов скорости, которые, будучи приписанными точкам кривой, однозначно восстанавливают цикл на торе Лиувилля.
Предложение 2. Для книжки из кольца и двух дисков, склеенных по меньшему эллипсу по перестановке о2 = (123) (см. рис. 2,а), инвариант Фоменко-Цишанга, классифицирующий ее слоение Лиувилля на изоэнергетической 3-поверхности, имеет вид, представленный на рис. 2, б.
Рис. 2. Книжка, склеенная по £2 по перестановке 02 = (123) (а), и меченая молекула для нее (б)
Доказательство. Заметим, что такая бильярдная книжка является результатом приклейки кольца к топологическому бильярду, склеенному из двух дисков, ограниченных эллипсом. Указанный топологический бильярд был ранее изучен в работе [8], где был вычислен его инваринат. Также в этой работе было показано, что в некоторых случаях приклейка к бильярду одного кольца не меняет слоение Лиувилля. Можно доказать, что это остается верным и для рассматриваемой бильярдной книжки, т.е. ее инвариант Фоменко-Цишанга совпадает с инвариантом для топологического бильярда, склеенного из двух дисков, ограниченных эллипсом.
Предложение 3. Для книжки, состоящей из двух колец и двух дисков, склеенных по большему эллипсу по перестановке о\ = (14) и по меньшему по перестановке о2 = (1234) (см. рис. 3, а), инвариант Фоменко-Цишанга, классифицирующий ее слоение Лиувилля на изоэнергетической 3-по-верхности, имеет вид, представленный на рис. 3, б, причем все метки г равны 0, а все метки £ равны 1.
А А А А
А А
Рис. 3. Книжка, склеенная по £1 по перестановке о\ = (14) и по £2 по перестановке 02 = (1234) (а),
и меченая молекула для нее (б)
Рассмотрим игру (£1,£2, £2, • • • ,£2) с сигнатурой (1,1,1,... , 1). Построим по ней книжку из двух колец и т дисков, склеенных по большему эллипсу £1 по перестановке 04 = (12) и по меньшему эллипсу по перестановке 02 = (1234 ... т + 2). Очевидно, что такая игра является одним из режимов движения по данной книжке, а именно на уровне в2 < Л < Ь. Также на этом уровне есть игра (£1, £2) с сигнатурой (1, -1).
Утверждение из предложения 3 является частным случаем следующего предложения при т = 2.
Предложение 4. Рассмотрим бильярдную книжку из двух колец с номерами 1, 2 и т дисков,
склеенных по большему эллипсу по перестановке о1 = (12) и по меньшему по перестановке о2 =
(1234. ..т + 2). Тогда для т = 2й инвариант Фоменко-Цишанга, классифицирующий ее слоение
Лиувилля на изоэнергетической 3-поверхности, имеет вид, представленный на рис. 4, а, для т =
2й + 1 —на рис. 4, б, причем все метки £ равны 1, на всех сплошных ребрах метки г равны 0, а на 1
пунктирных
2
Рис. 4. Меченые молекулы для книжек из двух колец и т дисков
Доказательство. Пусть в1, в2 — параметры эллипсов £1, £2 соответственно. Пусть £1 и £2 — листы книжки, являющиеся кольцами, £3,..., £т+2 — листы книжки, являющиеся дисками, ограниченными эллипсом £2.
1. Рассмотрим слои, соответствующие значениям в1 < Л < в2. Траектории в этом случае касаются эллипса с параметром Л, т.е. материальная точка находится только внутри колец £1 и £2, а именно между £1 и каустикой. Траектории естественным образом разбиваются на два класса — закручивающиеся по часовой стрелке и против. Фиксируем направление обхода. В прообразе внутренних точек этого кольца лежат по две точки: одна соответствует вектору скорости, направленному к границе £1, другая — вектору скорости, направленному от границы £1 . Так как векторы скорости на каустике совпадают, а на эллипсе £1 склеиваются в силу закона отражения, то прообраз всего кольца гомеоморфен тору. Поэтому слои, соответствующие значениям в1 < Л < ,02, гомеоморфны несвязному объединению двух торов.
2. В проекции вырожденного слоя, отвечающего значению Л = въ лежит граничный эллипс £1. Его прообраз гомеоморфен двум окружностям, соответствующим движениям по часовой стрелке и против.
3. Рассмотрим слой в2 < Л < Ь. В этом случае траектории разбиваются уже на четыре класса. Во-первых, движение может происходить либо по часовой стрелке, либо против. Во-вторых, если изначально материальная точка находилась на листе £1 и вектор скорости был направлен от границы £1, то при попадании на границу £2 точка перейдет на лист £2 и будет двигаться в сторону границы £1, на которой задана перестановка (1, 2). Значит, траектория целиком лежит в кольцах £1 и £2. Если же точка, находясь на листе £1, имела вектор скорости, направленный к границе £1, то движение происходило по всей книжке. С помощью того же метода склеек легко показать, что данные слои являются несвязными объединениями четырех торов.
4. Заметим, что на уровне Л = в2 траектории нельзя корректно определить после того, как они достигли меньшего эллипса (по касательной). Однако можно показать, что особый слой гомеоморфен несвязному объединению двух особых слоев атомов В. Доказательство проводится по аналогии с доказательствами в работах [9, 10].
5. При Ь < Л < а траектории касаются гиперболы с параметром Л и естественным образом
24
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2024. №3
разбиваются на несколько классов. Два из этих классов соответствуют тем траекториям, которые целиком лежат в кольцах. Оставшиеся траектории образуют либо два класса при т = 2к, либо только один при т = 2к + 1. Каждому классу соответствует свой тор Лиувилля.
6. При Л = а материальная точка может двигаться только вдоль оси ординат. Поэтому при т = 2к существуют четыре траектории, покрывающие проекцию слоя. Две из них целиком лежат на листах С1 и С2, а две другие заходят на диски. При т = 2к+1 существуют только три траектории, покрывающие проекцию слоя. Две из них целиком лежат в кольцах, а оставшаяся проходит по всем листам книжки. Следовательно, уровень Л = а состоит либо из четырех окружностей, если т = 2к, либо из трех окружностей, если т = 2к + 1.
7. При т = 2к для значения Л = Ь рассмотрим предел торов Лиувилля, соответствующих значениям Л < Ь. Два из этих четырех торов целиком проецируются на С1 и С2 ив пределе проходят через две непересекающиеся окружности. Проекциями этих окружностей являются две траектории, лежащие на фокальной оси. Два других тора отвечают траекториям, проходящим через фокусы по всей книжке. Их пределы также пересекаются по двум окружностям, не имеющим общих точек. Следовательно, в четном случае слоение Лиувилля в окрестности особого слоя Л = Ь описывается двумя атомами С2. При нечетном т торы Лиувииля, отвечающие значениям Л < Ь и проецирующиеся на кольца, в пределе пересекаются по двум окружностям, не имеющим общих точек. Два других тора в пределе пересекутся по одной окружности. Следовательно, в нечетном случае слоение описывается атомом В и атомом С2.
Таким образом, построена грубая молекула данной интегрируемой системы. Посчитаем числовые метки г, £, п (см. подробнее о метках в [7]).
Верхние ребра ориентируем по направлению к седловым атомам, а все остальные — вверх.
Рассмотрим проекции торов Лиувилля на бильярдный стол. С граничных торов нижних атомов А циклы Л а проецируются на дугу гиперболы, а циклы ма — на дугу эллипса. С граничных торов верхних атомов А — наоборот. Проекции циклов Л в и мв граничных торов нижних атомов В связаны с Ла и ма соотношением
Лв А = ( 01 А ( Ла '
^в) \10/ \Ма,
Следовательно, на нижних ребрах имеем г = 0, £ = 1
Циклы мв и Лс2, относящиеся к траекториям, целиком лежащим внутри С1 и С2, с параметром каустики в2 < Л < Ь проецируются на дугу гиперболы, а Лв и Мс2 — на эллипс, заключенный между £1 и £2. Тогда
Лс2 0 1 Лв
/ 1^/1 1 ^ г = 0,£ = 1. МС2/ \10/ \Мв/
На верхних ветвях циклы Лс2 и Мс2 на граничном торе этого атома С2 проецируются на дугу гиперболы и высекаемую каустикой дугу эллипса соответственно. Поэтому
ЛС2 А ( 01 \( Ла
I , ^ Г = 0,£ = 1.
МС2/ \10/ Ума,
Разберем подробно случай нечетного т. Рассмотрим проходящие по всей книжке траектории, относящиеся к значениям ,02 < Л < Ь. На рис. 5 представлены проекции на бильярдный стол циклов Лв и на верхнем атоме В. Цикл Л++ сначала проходит на всех дисках по сплошным линиям, после чего с листа с номером 2к + 1 переходит на кольца и при повторном попадании на лист с номером 3 движется по пунктирным линиям.
Цикл М- с нижнего атома В проецируется на дугу гиперболы, заключенную между £1 и каустикой, а цикл Л- — на эллипс. Тогда
Вклад в метку п для семей, содержащих нижние атомы В, равен ] = к. Для семьи,
содержащей верхний атом В, этот вклад нулевой, так как = 0.
Рис. 5. Выбор циклов А+ и ^BДля нечетного случая
Рис. 6. Выбор циклов А в и ув для нечетного случая
На рис. 6 представлены проекции циклов ув и Л в, отвечающие значениям Ь < Л < а. Проекция циклов на каждый лист состоит из двух кривых. Эти кривые совпадают в случае цикла у в на листе с номером 3 ив случае цикла Лв на всех листах-дисках. Проекции цикла у в на диски с номерами I > 3 состоят из двух различных кривых. Тогда
'Лв^ _ (±(2к + 1)1 ^ (Ла\ ^ (-2к - 114 ув
Вклад в метку п для семьи, содержащей верхний атом В, равен у] = —1-Случай т _2к разбирается аналогично. Предложение 4 доказано.
I ±2k \) WA) ^ I -2k 11 ^ Г = 0'£ = 1-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dragovic V., Radnovic M., Gasiorek S. Billiard ordered games and books // Reg. Chaot. Dyn. 2022. 27, N 2. 132-150.
2. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, № 12. 17-56.
3. Козлов В.В., Трещёв Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.
4. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-1075.
5. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.
6. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
7. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Т. 1, 2. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.
8. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.
9. Vedyushkina V. V. Liouville foliation of billiard book modeling Goryachev-Chaplygin case // Moscow Univ. Math. Bull. 2020. 75, N 1. 42-46.
10. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2021. 212, №8. 89-150.
Поступила в редакцию 28.04.2023
