ТЕОРЕМЫ ДЕЛЕНИЯ НА ВНУТРЕННЮЮ ФУНКЦИЮ В АНИЗОТРОПНЫХ КЛАССАХ ГОЛОМОРФНЫХ В ПОЛИКРУГЕ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

ТЕОРЕМЫ ДЕЛЕНИЯ НА ВНУТРЕННЮЮ ФУНКЦИЮ В АНИЗОТРОПНЫХ КЛАССАХ ГОЛОМОРФНЫХ В ПОЛИКРУГЕ ФУНКЦИЙ

О. Е. Антоненкова, Н.А. Часова

Брянский государственный инженерно-технологический университет

Аннотация. На основе ограниченности теплицевых операторов в весовых анизотропных пространствах Ар (ю) при 1 < р , у = 1, п, исследованы вопросы деления

на внутреннюю функцию в указанных пространствах.

Ключевые слова: голоморфная функция, поликруг, внутренняя функция, оператор Теплица, пространство Ар (ю).

Пусть ип = { = (гх,...,2п): < 1,у = 1,п| - единичный поликруг в и-мерном комплексном пространстве Сп, единичный тор Тп = = (<^,...,^п): ^ = 1,у = 1,п| - его остов, О - множество измеримых неотрицательных на (0,1) функций ю, для которых существуют положительные числа тт, М0), , причем тю, Ч0> е(0,1), такие, что (2 )

та < ^ТГ <Мю при всех г е (0,1), Л е [^,1] (см. [1]). ю (г)

Через Ьр(ю), р = (р,...,ри), 1 <ру <+да, у = 1,п, ю = (а\,...,юп), ю у еО, у = 1,п (см. [2]), будем обозначать пространство измеримых на ип функций/ для которых

\\ьр(¿5) = 11 А\ьП> -рп (й^,...рп ) =

n '

U

V

1

Vn

J®n(1 -\{n\)- \\f(Ci,-,C„Ip ®1 (1 -fatdm(C) -dm2(Cn)

vu

m2 - плоская мера Лебега в круге U = U1.

Тогда пространство Ap (й>) со смешанной нормой определим как подпространство U (а>), состоящее из голоморфных в Un функций. Обозначим через H(un) и Hp (Un) (1 < p < ) множество всех голоморфных в Un функций и класс Харди в Un соответственно. Тогда Ap (ю )=H (Un )о LP (a).

Важную роль в теории классов Харди, а также в различных их приложениях играет известная факторизация на внешнюю и внутреннюю функции.

Напомним, что функция g е Hm(un) называется внутренней, если ее радиальные предельные значения удовлетворяют условию |g* (а>) = 1 почти всюду на Tn. Внутренняя

функция g е Hm(un) называется хорошей, если наименьшая и-гармоническая мажоранта функции log g| тождественно равна нулю (см. [3]).

Говорят, что внутренняя функция Д делит внутреннюю функцию I2, если

I

■ е

2 - H ^(un).

Так, например, в одномерном случае (при п = 1) функция / е Нр (и) тогда и только тогда, когда / допускает факторизацию (с точностью до постоянного множителя, равного по модулю единице):

/ (2 ) = //О/, (1)

где /г = В(гк,2)ехр| — [ — + 2 da(—) - внутренняя часть функции /, а

7 1 — — г

V т ъ )

[ _1_ ^ ^ ¡2 I 2 _2

1—-1п|/(с)^ш(с) - внешняя часть

т — — 2 ) к=1 2к 1 — 2к2

произведение Бляшке с нулями 2к е и, х е ^^, {2^ - последовательность,

удовлетворяющая условию Бляшке, с - неотрицательная сингулярная мера, т -нормированная мера Лебега на единичной окружности.

В многомерном случае (при п > 1) с некоторыми ограничениями роль произведений Бляшке играют хорошие внутренние функции (см. [3]).

Одно из основных свойств факторизации (1) заключается в том, что если / е Нр (и) и

/

/ делит внутреннюю часть функции /, то 7 е Нр (и).

Указанным свойством обладают не только функции из Нр (и), но и более узкие классы функций (см. [4], [5] [6], [7]). Причем, как оказалось, проблема деления на хорошую внутреннюю функцию в рассматриваемых пространствах тесно связана со свойствами оператора Теплица.

Пусть g - голоморфная в ип функция, g(21,.., 2п )= ^ а^ ^£2^...2кп - разложение

a

n

Тейлора, z = (zxzn)e Un, положим

(Z ^ifk lVlXft + 1) akZ ' a = (al,.-an ), ^ >"1, j = ^ ,

r(a + 1 + k) п r(q +1 + kj)

здесь г(aal)г(k+l) = Цг(aJ + I)r(k+1), г - функция Эйлера-

Обозначим через A {(ba) = {g е H(un): Da+1g е Aq(¿а)}, где q = (q,..., qn), q] =

P, -1

,a( Yj

, o, e Q, j = 1,n.

1 < р, , a >ао, , Oa =(oa1,..,0an (0 == °j

Через XO , p = (p1,..., pn ), р, = 1, j = 1,n, ¿о = (о,..., о), обозначим множество всех голоморфных в Un функций g, для которых

n (1 -I z

И х^о = sup П ( I |\|Da+1 g(z )<+«,

о (zb...zn)eUn j=1 (1 -|zj ^

где z = (z1v..,zn)eUn, aj >aO, +1, o, eQ, j = 1,n.

Пусть p = (p,...,pn), где pj > 1, j = 1,к, p^ = 1, / = к +1,л обозначим через XP множество всех голоморфных в U n функций g , для которых

п (1 -\г |)а

И* \^ПЬиЙI^ * 1 А,......)

< ,

, Лр _

где г )еип , ^а, () = ю (*, Ч =У~[ , еО , 1 = 1 к , ^ >аю + 1,

ю еО г = к +1,п.

Если р = (р1,...,рп), где ру = 1, } = 1,к, р > 1, г = к +1,п, то через Лю обозначим множество всех голоморфных в ип функций g, для которых

* (1 -N>1)"

N1 Тр =

,..,*)еи*!=1 (1 -\2} I) 1

А,к+1,-вп (юа*+1,...юап )

Ч У

__I *а1 \ р

г = (Zl,..., 2п )еи" , а] >аю; + 1 еО, } = 1, к , юаг (0 = ю Й -^Л , Чг =-Ч, еО,

^ ^ ^ ' (Ч) Рг -1

г = к +1, п.

Тогда через ЛР будем обозначать множество всех голоморфных в ип функций g, которое совпадает с Ача (юа), если 1 < ру <+да у = 1,п; с ЛР , если все ру = 1, у = 1,п; с

Лю, если р > 1, } = 1, к, р, = 1, г = к +1, и и с Л|, если ру = 1, } = 1,к, р > 1, г = к +1, п. Основным результатом работы является следующее утверждение: Теорема 1. Пусть р = (р,...,рп), 1 <ру <, ю = (<ю,...,юи). еО, у = 1,п,

/ е Ар (ю)о Н1 (ип) и / =«• Г, где « - хорошая внутренняя функция, являющаяся мультипликатором пространства ЛР, тогда Г е Ар (ю).

Доказательство теоремы 1 существенно опирается на ограниченность теплицевых операторов в пространствах Ар (ю), при 1 < ру <, у = 1, п, которая ранее была

установлена авторами в работах [4], [8] и [9]. Оператором Теплица с символом И е

£ (тп )

называется интегральный оператор вида:

Г/(С)И(С),

- гС

Ти (/ Хг)=| /Жт^, С),

^п 1 - гС

где = Пг^, /еС(ип иТп)он(ип), С = (С1,...,С)еТп, г = &,...,г„)еип.

1 - гС у=11 - ^

Поскольку множество с(ип иТп )о Н (ип) всюду плотно в пространстве Ар (ю), то, исследуя теплицевы операторы на пространствах Ар (ю), естественно, сначала рассматривать их на указанных множествах.

Если ||ТИ(/р{^ < сош^/Ц^р^, для всех /еС(ип иТп)он(ип), то в этом случае

будем говорить, что оператор Т (/) ограниченно действует в пространстве Ар (ю). Понятно, что тогда оператор Т (/) имеет единственное расширение на всем пространстве Ар (ю),

1 < р^ < , у = 1, п .

Скажем, что суммируемая на Тп функция Л принадлежит классу ЯР, если коэффициенты Фурье функции И равны нулю вне множества Zn+ и(- Zn+ ).

Опишем те символы h, при которых операторы Т (/\2) действуют в пространствах

Ар (ю), при 1 < рj < , ] = 1, п. Имеет место следующее утверждение:

Теорема 2. Пусть р = (р,..., ри ), 1 < Pj <+да, j = 1,п и суммируемая на Tn функция

h е RP представима в виде h = h + h2, где h е Hх(и"), - мультипликатор

пространства Лр. Тогда оператор Т (/) действует в пространстве Лр (ю). Доказательство теоремы 1.

Так как / е Н1 (ип ), то Г е Н1 (ип ) (см. [7]). Запишем формулу Коши для функции

F:

тогда

F (z Н F^m (f)-

J<n 1 zf

F (z )= Jffdm (f)=J F (fffgfLn (f)= J (f) = /).

rnn 1 zf rpn 1 zf rpn 1 zf

ZifLm (f)= fF (f>g(f)g(f)dm f)= f /if®

- zf nf Jn 1 - zf nf rJ„ 1 - zf Поскольку / e Ap (о), то по теореме 2 F e Ap (¿о). Что и требовалось доказать.

Список литературы

1. СенетаЕ. Правильно изменяющиеся функции. - М.: Наука, 1985. - 141 с.

2. Shamoyan F.A., Yaroslavtseva O.V. Continuous projections, duality and the diagonal map in weighted spaces of holomorphic functions with mixed norm// Investigations on linear operators and function theory. 25, Zap. Nauchn. Sem. POMI, 247, POMI, St. Petersburg.- 1997.- pp. 268275.

3. Рудин У. Теория функций в поликруге. - М.: Мир, 1974. - 160 с.

4. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Теплицевы операторы и вопросы деления в некоторых классах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой// Вестник Брянского государственного университета. - № 3(2015): Естественные и точные науки. -Брянск: РИО БГУ, 2015. - С. 341-345.

5. Harutyunyan A. V. Topelitz operators and division theorems in anisotropic spaces of holomorphic functions in the polydisk// Complex Variables - 2003- Vol. 48, no. 4, pp. 347-363.

6. Шамоян Ф.А. Критерий ограниченности теплицевых операторов в весовых соболевских пространствах голоморфных в поликруге функций // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т.53. - №3. - С. 691-711.

7. Шамоян Ф. А. Теплицевы операторы и деление на внутреннюю функцию в некоторых пространствах аналитических функций // Докл. АН АрмССР. 1983. Т. 76, № 3. С. 215-219.

8. Антоненкова О.Е. Теплицевы операторы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Вестник Брянского государственного университета. - № 4(2007): Естественные и точные науки. - Брянск: РИО БГУ, 2007. - С. 5-8.

9. Часова Н.А. О теплицевых операторах в пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань. - 2002. - Т. 14.

10. Шамоян Ф.А., Арутюнян А.В. Теплицевы операторы в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Доклады АН Армении. - 1990. - Т. 91. - № 4. - С. 147151.

References

1. SenetaE. Regularly varying functions. - М.: Nauka, 1985. - 141 p. (in Russian)

2. Shamoyan F.A., Yaroslavtseva O.V. Continuous projections, duality and the diagonal map in weighted spaces of holomorphic functions with mixed norm// Investigations on linear operators and function theory. 25, Zap. Nauchn. Sem. POMI, 247, POMI, St. Petersburg.- 1997.- pp. 268-275. (in Russian)

3. Rudin W. Function theory in polydisk. - М.: Mir, 1974. - 160 p. (in Russian)

4. Antonenkova O.E., Chasova N.A. References Toeplitz operators and division questions in some classes of holomorphic functions in a polydisc with mixed norm // Vestnik Bryanskogo universiteta. - № 3, 2015. Bryansk, 2015. - P. 341-345. (in Russian)

5. Harutyunyan A. V. Topelitz operators and division theorems in anisotropic spaces of holomorphic functions in the polydisk// Complex Variables - 2003- Vol. 48, no. 4, pp. 347-363.

6. Shamoyan F.A. A boundedness criterion for Toeplitz operators in weighted Sobolev spaces of holomorphic functions on the polydisk // Sib.mat.zhurnal. - 2012. - V.53. - №3. - P. 691-711. (in Russian)

7. Shamoyan F.A. Toeplitz operators and division by an inner function in some spaces of analytic functions // Dokl. AN ArmSSR. 1983. V. 76, № 3. P. 215-219. (in Russian)

8. Antonenkova O.E. Toeplitz operators in weighted spaces of analytic functions in a polydisc with mixed norm // Vestnik Bryanskogo universiteta.- № 4 (2007) - P. 5-8.

9. Chasova N.A. On Toeplitz operators in spaces of analytic functions in a polydisc with mixed norm // Trudy mat. tcentra Lobachevskogo - Kazan. - 2002. - V. 14. (in Russian)

10. Shamoyan F.A., Harutyunyan A. V. Toeplitz operators in anisotropic spaces of holomorphic functions in the polydisc // Doklady N Armenii. - 1990. - V. 91. - № 4. - С. 147-151. (in Russian)

Сведения об авторах

Антоненкова Ольга Евгеньевна, к.ф.-м.н., доцент, Брянский государственный инженерно-технологический университет, anto-olga@yandex.ru;

Часова Наталья Александровна, к.ф.-м.н., доцент, Брянский государственный инженерно-технологический университет, chasnat@bk.ru.

DIVISION THEOREMS BY INNER FUNCTION IN ANISOTROPIC SPACES OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS IN THE POLYDISK

О. Е. Antonenkova, NA. Chasova

Bryansk State engineering-technological University

Abstract. Investigated the questions of division by inner function in weighted anisotropic spaces Ap (a>), 1 < p; <+да, on the basis of the boundedness of Toeplitz operators on mentioned spaces.

Key words: holomorphic function, polydisk, inner function, Toeplitz operator, space Ap(®).

About authors

Antonenkova O.E., PhD, assistant professor, Bryansk State engineering-technological University, anto-olga@yandex.ru;

Chasova N.A., PhD, assistant professor, Bryansk State engineering-technological University, chasnat@bk.ru.