Об интегральных операторах с ядрами Пуассона в пространствах типа Харди в поликруге со смешанной нормой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

DOI: 10.18384/2310-7251-2017-4-14-23

ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ С ЯДРАМИ ПУАССОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА ХАРДИ В ПОЛИКРУГЕ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ

Антоненкова О.Е, Часова НА.

Брянский государственный инженерно-технологический университет 241037, г. Брянск, проспект Станке Димитрова, 3, Российская Федерация Аннотация. Пространства Харди играют огромную роль в комплексном анализе и его многочисленных приложениях. Однако, в отличие от одномерного случая, пространства типа Харди в поликруге исследованы сравнительно мало. В данной работе получены интегральные представления классов л-гармонических в поликруге ип функций. В частности, даётся характеризация л-гармонических в поликруге функций, допускающих представление в виде кратного интеграла Пуассона от измеримых на остове поликруга функций из класса Ьр(Т„), где р = (рь...,р„), 1 < р < + да, I = 1, п. При доказательстве основного

результата используются общие методы комплексного и функционального анализа, теории классов Харди.

Ключевые слова: интегральный оператор, ядро Пуассона, л-гармоническая функция, поликруг.

ABOUT INTEGRAL OPERATORS WITH POISSON KERNELS IN HARDY-TYPE SPACES IN POLYDISC WITH MIXED NORM

O. Antonenkova, N. Chasova

Bryansk State Technological University of Engineering

3 prospect Stanke Dimitrova, Bryansk 241037, Russian Federation

Abstract. Hardy spaces play an important role in the complex analysis and its numerous

applications. However, unlike a one-dimensional case, the Hardy-type spaces in a polydisc are

investigated a little. In this paper, the integral representations of the classes of n-harmonic in a

polydisc Un functions are received, in particular the characterization of n-harmonic functions in

a polydisc which can be represented as a multiple Poisson integral from functions, measurable

on a skeleton of a polydisc, from a Lp (Tn), class where p = (pu..., pn), 1 < pi < + <», i = 1, n.

is given. At the proof of the main result the general methods of the complex and functional analysis, theory of Hardy classes is used.

Key words: integral operator, Poisson kernel, n-harmonic function, polydisc.

© Антоненкова О.Е., Часова Н.А., 2017.

Как известно, интегральные представления играют важнейшую роль в комплексном анализе и его многочисленных приложениях. Для примера напомним классические формулы Коши, Шварца, Пуассона и интегральные представления с воспроизводящими ядрами [1-3]. Они выражают значения функции, голоморфной в некоторой области, через её значения на границе или на остове этой области, что позволяет упростить исследование различных пространств голоморфных функций.

Исследование структуры этих пространств посредством интегральных представлений служит мощным толчком к развитию целого ряда важных направлений как в теории голоморфных функций (граничные свойства, задачи аппроксимации и интерполяции, вопросы факторизации и т.д.), так и в теории рядов и интегралов Фурье, в теории сингулярных интегральных операторов и в других вопросах комплексного и гармонического анализа. Следует отметить, что в одномерном случае указанные вопросы изучены довольно полно [1; 3]. В тоже время интегральные представления в различных многомерных областях комплексного пространства исследованы сравнительно мало, несмотря на то, что эти представления имеют важные приложения в теории кратных тригонометрических рядов, в теории функций нескольких комплексных переменных и в многомерном гармоническом анализе.

В последнее время ряд учёных занимается изучением широкого круга задач, связанных с интегральными представлениями как в единичном круге [4; 5], так и в различных областях пространств Яп и Сп [6-9]. Это и описание сопряжённых пространств, и построение линейных непрерывных функционалов на этих пространствах, и исследование ограниченности теплицевых операторов и др.; для примера укажем на работы [10; 11].

В данной работе получены интегральные представления классов п-гармонических в поликруге V функций с граничными значениями из классов измеримых на остове поликруга функций со смешанной нормой. Аналогичные результаты в различных областях комплексного пространства рассматриваются и в работах других авторов, например, интегральные представления с ядрами Пуассона и Пуассона-Бергмана для гармонических в шаре функций с конечной смешанной нормой рассмотрены в работе [12].

Введём обозначения, необходимые для дальнейшего изложения. Пусть

V" ={г = Сгь...,г„):< 1,1 = 1,п} - единичный поликруг в п-мерном комплексном пространстве С", Т„ ={ = •,С„): |С*| = 1,* = 1,„} -егоостов. Пусть

Qn = [-п, п] х ... х [-п, п] = [-п, п]п - декартово произведение п экземпляров отрезка [-п, п]; Г = [0, 1) х ... х [0, 1) = [0, 1)п.

Через Ьр(Тп), р = (рь...,рп), 1 < р* < +<ю, * =1,п будем обозначать пространство измеримых на Тп функций /, для которых конечна норма

\\A\lP (tn) II fllp

Р2

ЧР2/

J[ Л f (Zb-.,Zn)|P1 dm^y)

dmi(Zi)

Р2

■■■dmi(Zn)

где Т = Т1, йт1 - линейная мера Лебега на Т.

Пусть р = (р1,...,р„), где 0 < рг < +да, г = 1, п, тогда обобщённые пространства Харди Нр (и„) со смешанными нормами определим как пространства голоморфных в Ц функций, для которых

г ъ/ \У

sup

0<r <1

JIJI f (rZ)|P1 dmi(Zi)

dmy(Zi)

Р2

■dmi(Zn)

<

где ^ = (Сь ..., С„) е Т„. Соответствующие пространства „-гармонических в Цп функций обозначим через Нр (V). Изучение основных свойств обобщённых

пространств Харди в поликруге со смешанной нормой впервые начато в работах [13-16].

Функция и(хь ..., хп), определённая на открытом множестве в С„, называется п-гармонической, если и - гармоническая по каждому переменному в отдельности, то есть если хк = хк + 'ук, к = 1,п, то и(х1, ..., хп) удовлетворяет п уравнениям

— д2 д2 Аки = 0, к = 1, п, где Ак = —- + ——.

дхк ду1

Ядром Пуассона Р(х, О в поликруге, где х = (х1, ..., Хп) е Ц1, Хк = Ткв'вк, ^ = (^1, ..., Сп) е Тп, ^к = е'^к, к = 1, п, назовём произведение:

здесь Pr (6) = -

1 - r2

P(z, Z) = P„(61 -ф^-Р* (6n-фп),

обычное ядро Пуассона для единичного круга.

1 - 2r cos 6 + r2

Каждую функцию f е Lp (Tn) можно n-гармонически продолжить в единичный поликруг следующим образом:

u(z) = —L- f P(z, Z) f(Z)dmn (Z), z = (zi,..., Xn) eUn. (1)

(2n)n Tn

Возникает вопрос, как охарактеризовать те n-гармонические в Un функции, которые допускают представление вида (1). В частном случае, когда

p

p1 = ... = pn = p, 1 < p < +<x>, такая задача была решена У Рудиным (см. [2; 17]). Обобщим эти результаты на случай Lp (Tn) -пространств.

При доказательстве основной теоремы нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения:

Теорема A (см. [3]). Если V - окрестность нуля в сепарабельном топологическом векторном пространстве X, а {Лп} - такая последовательность в сопряжённом пространстве X*, что \Лгх\ < 1, (х е V, п = 1, 2, 3, ...), то найдутся такая подпоследовательность {Лп.} с {Лп} и такой функционал Л с X*, что Лх = lim Л„tx для всех x е X.

Теорема Б (см. [18]). Пусть p = (pb..., pn), 1 < pi < +<x>, q = (q1,., qn), —+— = 1,

I = 1, п. /(/) является непрерывным линейным функционалом на нормированном пространстве Ьр тогда и только тогда, когда существует единственная функция g(х) е V, такая что /(/) = ^х/х^Х и ||/|| = |^ .

Основным результатом работы является следующее утверждение: Теорема. Пусть р = (рь...,рп), 1 < р* < +<х>, I = 1, п, тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) п-гармоническая в ип функция и допускает представление:

и(г) = (2^71 Р(г, О/(Z)dm„©, где / е Ьр(Тп), г = (гь ..., *п) е V1;

2) и е Нр V).

Доказательство. Пусть / е Ьр(Тп). Для данного г в силу свойства

Рг(ф + 2п) = Рг(ф) и 2п-периодичности функции / по каждой переменной можно записать:

pi qi

u(rei9) = -i- f f (9-s)P(s)ds, (2n)n

где rei0 = (rie101, ..., rneffl"), ds = dsi ... dsn.

Для любого u справедливо равенство

|0

|0,

n

(2)

Z = (Z1, ..., Zn), dZ\ = |dZ11 ... |dZn|, q = (q1,-qn), —+— = 1, i = 1, n (см. [5]).

pi qi

Подберём функцию g e Lq (Tn) такую, что llglI = 1 и

1 1

1

Vr

Я

J-

P2

11 Я

J J |M(rie'^i.....Г2вЮп )|P1 dQi

= J . J u(nei0i,..., r„ei0-)g(ei0i,.ei0- )d0i. d0-

-П -П

Используя (2) и применяя теорему Фубини, будем иметь:

J

лt

P2

J| J|u(rier2ei0-)|Pi d0i

/

= f f f(0-s)P (s)ds (2П)" J J

g (0)d0 =

= J J P(s)f(0-s)g(0)d0ds

<

Q" Q"

f

l— J Pr (s) J f (0- s)g(0)d0

-n-l" J J

(2п)"

q- VQn

ds.

Применяя к внутреннему интегралу обобщённое неравенство Гельдера и

используя то, что

П- J pr(s)ds=i, ||4 =i,

(2п)

получим:

J.

J J|u(riei0i,.,r2e i0-)|Pi d0

лт

Pi

P2

<

<J Pr (s)||f\U|g||. ds =1 fll

Докажем обратное утверждение. Пусть u - n-гармоническая в Un и такая, что

sup

reIn

p2

лт

Р2

1

ЛРП

J[ J Ц^,...,r„ee )|p1 dQi

de.

<

Докажем, что существует функция / е Ьр (Тп) такая, что

и(твю)Г р (е-г)/а)йг.

(2п)п Тп

Поскольку р = (р1,...,рп), 1 < р1 < +<х>, г = 1, п, то из результатов работы [18]

1 1

следует, что (Lp) = Lq, q = (qb..., qn),--I— = 1, i = 1, «.Положим

pi qi

( r

Um (e) = u

1

1 —

\ Л

m

W У

, e = (eb...,e„).

(3)

По условию теоремы имеем: ||um||^ < c. Рассмотрим на пространствах Lq (Tn) последовательность линейных непрерывных функционалов Фт (g) =J g(Z) Um (Z)|dZ|, где Zj = eie', j = 1, n и ge Lq (Tn) в шаре радиуса 1, т.е.

Tn

||g||Lq < 1. Тогда |Фm(G)| <||g||Lq \\um\L < c||g||L < С, т.е. последовательность функционалов {Ф^ ограничена по совокупности на шаре радиуса 1. По теореме А найдётся такая подпоследовательность {Ф^} с {Ф^ и такой функционал Фе (Lp) ,

что для всех g е Lq(Tn) limФmt (g) = Ф(g), где Ф - линейный непрерывный функ-

k ^^

ционал на Lq(Tn). Следовательно, так как (Lp) = Lq, то по теореме Б существует f е Lp (Tn) такая, что Ф(g) = J f (Z)g(Z) |dZ|, где Zj = eie>, j = 1, n. Для любого m

функция um (e) = u

1

m

w / J

n-гармоническая в <

z <

1 -

m J

Так что, если

ri < 1, i = 1,n, то, используя (3), имеем:

(reie) = _L_ J Pr (e -1)umt (eit )dt = J Pr (e -1)umt (t)dt. (2n)n Tn (2n)n Tn

Так как g(t) = Pr (e) e Lq, тогда

lim-ЛPr(6-t)um (t)dt = Ф(e) = Л e(t) f(t)dt = ЛPr(6)P(6)f (t)dt.

Поскольку lim2n umt (rei6) = 2n u(rei6), то получаем:

u(rei6) = Л Pr (6-1)f (t)dt. (2n)n Tn

Теорема доказана.

Отметим, что аналогичные результаты можно установить и в других областях п-мерного комплексного пространства Сп.

1. Бесов О.И., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

2. Рудин У Теория функций в поликруге. М.: Мир, 1974. 160 с.

3. Рудин У Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 475 с.

4. Андрейчик М.Н., Коптенок Е.В., Орлова А.А. Интегральные операторы в весовых пространствах измеримых функций // Молодой учёный. 2013. № 11. С. 1-5.

5. Смирнова И.Ю., Карапетянц А.Н. О связи весовых пространств Бергмана со смешанной нормой на верхней полуплоскости и единичном диске с пространствами Харди // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2012. № 4. С. 19-21.

6. Аветисян К., Гапоян Н. Операторы типа Бергмана на пространствах со смешанной нормой в шаре из Cn // Известия Национальной Академии наук Республики Армения. Математика. 2016. Т 51. № 5. С. 3-12.

7. Махина Н.М. О сопряжённых пространствах к некоторым весовым пространствам аналитических функций // Вестник Брянского государственного университета. 2015. № 2. С. 420-423.

8. Petrosyan A.I., Avetisyan K.L. Weighted spaces of functions harmonic in the unit ball // Proceedings of the Yerevan State University. Physical and Mathematical Sciences 2017. no. 51(1). pp. 3-7.

9. Petrosyan A.I., Mkrtchyan E.S. Duality in Spaces of Functions Harmonic in the Unit Ball // Proceedings of the Yerevan State University. Physical and Mathematical Sciences. 2013. no. 3. pp. 29-36.

10. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Теплицевы операторы и вопросы деления в некоторых классах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой // Вестник Брянского государственного университета. 2015. № 3. С. 341-345.

11. Шамоян Ф.А. Весовые пространства аналитических функций со смешанной нормой. Брянск: РИО БГУ, 2014. 250 с.

12. Аветисян К, Тоноян Е. Об операторе дробного интегродифференцирования в Rn // Известия Национальной академии наук Армении. Математика. 2015. Т 50. № 5.

ЛИТЕРАТУРА

С. 3-16.

13. Часова Н.А., Шамоян Ф.А. Диагональное отображение в обобщённых пространствах Харди в поликруге // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2003. Т. 303. № 31. С. 218-222.

14. Часова Н.А., Шамоян Ф.А. Диагональные отображения в пространствах Харди со смешанной нормой // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань. 2003. Т. 19. С. 226-227.

15. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. Описание линейных непрерывных функционалов в пространствах Харди со смешанными нормами в поликруге // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. Воронеж. 2001. С. 285-286.

16. Chasova N.A., Shamoyan F.A. The diagonal mapping in generalized hardy spaces in the polydisk // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2005. Vol. 129. Iss. 4. P. 4049-4052.

17. Rudin W., Stout E.L. Boundary properties of functions of several complex variable // Journal of Mathematics and Mechanics. 1965. Vol. 14. P. 991-1006.

18. Benedek A., Panzone R., The spaces Lp with mixed norm // Duke Mathematical Journal. 1961. Vol. 28. № 3. P. 301-324.

1. Besov O.I., Il'in V.P., Nikol'skii S.M. Integral'nye predstavleniya funktsii i teoremy vlozheniya [Integral representations of functions and embedding theorems]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 480 p.

2. Rudin U. Teoriya funktsii vpolikruge [The theory of functions in policrome]. Moscow, Mir Publ., 1974. 160 p.

3. Rudin U. Funktsional'nyi analiz [Functional analysis]. Moscow, Mir Publ., 1975. 475 p.

4. Andreichik M.N., Koptenok E.V., Orlova A.A. [Integral operators in weighted spaces of measurable functions]. In: Molodoi uchenyi [Young Scientist], 2013, no. 11, pp. 1-5.

5. Smirnov I.Yu, Karapetyants A.N. [About the relationship weight Bergman spaces with mixed norm in the upper half plane and unit disk hardy spaces]. In: Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki [Scientific-educational and applied journal. University News North-Caucasian Region. Natural Sciences Series], 2012, no. 4, pp. 19-21.

6. Avetisyan K., Gapoyan N. [Operators of Bergman type on spaces with mixed norm in a ball from C]. In: Izvestiya Natsional'noi Akademii nauk Respubliki Armeniya. Matematika [Proceedings of NAS RA. Mathematics], 2016, vol. 51, no. 5, pp. 3-12.

7. Makhina N.M. [Connected spaces to some weighted spaces of analytic functions]. In: Vestnik Bryanskogo gosudarstvennogo universiteta [The Bryansk State University Herald], 2015, no. 2. pp. 420-423.

8. Petrosyan A.I., Avetisyan K.L. [Weighted spaces of functions harmonic in the unit ball]. In: Proceedings of the Yerevan State University. Physical and Mathematical Sciences, 2017, no. 51(1), pp. 3-7.

9. Petrosyan A.I., Mkrtchyan E.S. [Duality in Spaces of Functions Harmonic in the Unit Ball]. In: Proceedings of the Yerevan State University. Physical and Mathematical Sciences, 2013, no. 3, pp. 29-36.

REFERENCES

10. Antonenkova O.E., Chasova N.A. [Teplitzky operators and division questions in some classes in policrome holomorphic functions with mixed norm ]. In: Vestnik Bryanskogo gosudarstvennogo universiteta [The Bryansk State University Herald], 2015, no. 3, pp. 341-345.

11. Shamoyan F.A. Vesovye prostranstva analiticheskikh funktsii so smeshannoi normoi [The weight space of analytic functions with mixed norm], Bryansk, RIO BGU Publ., 2014. 250 p.

12. Avetisyan K., Tonoyan E. [Operator of fractional integro-differentiation in Rn]/ In: Izvestiya Natsional'noi Akademii nauk Respubliki Armeniya. Matematika [Proceedings of NAS RA. Mathematics], 2015, vol. 50, no. 5, pp. 3-16.

13. Chasova N.A., Shamoyan F.A. [Diagonal mapping in generalized hardy spaces in policrome]. In: Zapiski nauchnykh seminarov Sankt-Peterburgskogo otdeleniya matematicheskogo instituta im. V^A. Steklova RAN [Zapiski Nauchnyh Seminarov POMI], 2003, vol. 303, no. 31, pp. 218-222.

14. Chasova N.A., Shamoyan F.A. [Diagonal display in Hardy's spaces with a mixed norm]. In: Trudy matematicheskogo tsentra imeni N.I. Lobachevskogo. [Works of mathematical center named after N.I. Lobachevsky], Kazan, 2003, vol. 19, pp. 226-227.

15. Shamoyan F.A., Chasova N.A. [Description of continuous linear functionals in Hardy's spaces with mixed norms in policrome]. In: Sovremennye metody teorii funktsii i smezhnye problemy: tezisy dokladov Voronezhskoi zimnei matematicheskoi shkoly [Modern methods of the theory of functions and related problems: abstracts of the Voronezh Winter Mathematical School]. Voronezh, 2001. pp. 285-286.

16. Chasova N.A., Shamoyan F.A. [The diagonal mapping in generalized hardy spaces in the polydisk].In: Journal of Mathematical Sciences, New York, 2005, vol. 129, iss. 4, pp. 40494052.

17. Rudin W., Stout E.L. [Boundary properties of functions of several complex variable]. In: Journal of Mathematics and Mechanics, 1965, vol. 14, pp. 991-1006.

18. Benedek A., Panzone R. [The spaces with mixed norm]. In: Duke Mathematical Journal, 1961, vol. 28, no. 3, pp. 301-324.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Антоненкова Ольга Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Брянского государственного инженерно-технологического университета; e-mail: [email protected];

Часова Наталья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Брянского государственного инженерно-технологического университета; e-mail: [email protected]

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Olga E. Antonenkova - PhD in Physical and Mathematical Sciences, associate professor at the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering; e-mail: [email protected];

Nataliya A. Chasova - PhD in Physical and Mathematical Sciences, associate professor at the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering; e-mail: [email protected]

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Об интегральных операторах с ядрами Пуассона в пространствах типа Харди в поликруге со смешанной нормой // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2017. № 4. С. 14-23. DOI: 10.18384/2310-7251-2017-4-14-23

FOR CITATION

Antonenkova O.E., Chasova N.A. About integral operators with Poisson kernels in Hardy-type spaces in polydisc with mixed norm. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2017, no. 4, pp. 14-23. DOI: 10.18384/2310-7251-2017-4-14-23

РАЗДЕЛ II. ФИЗИКА

УДК 535-3

Б01: 10.18384/2310-7251-2017-4-24-38

СОВРЕМЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ИСТОЧНИКОВ УФ-ИЗЛУЧЕНИЯ БАКТЕРИЦИДНОГО ДИАПАЗОНА

Бугаев АС1, Шешин Е.П.1, Озол Д.И.1, Мье М.М.1, Данилкин МИ.2, Верещагина Н.Ю.2

1 Московский физико-технический институт

141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., 9, Российская Федерация

2 Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН

119991, Москва, Ленинский проспект, д. 53, Российская Федерация Аннотация. В последние десятилетия стремительно расширяется область применения ультрафиолетовых источников излучения. Они находят многочисленные бытовые, медицинские и промышленные применения, в особенности для обеззараживания воздуха, воды и поверхностей. Для этих целей наиболее эффективно УФ-излучение так называемого бактерицидного диапазона. Наибольшее распространение получили ртутные лампы низкого и среднего давления. Однако в настоящее время усилились тенденции к исключению ртути не только из бытового, но и промышленного оборота. Этим вызвана необходимость развития не содержащих ртути УФ-источников. Такими являются эксимерные лампы, УФ-излучающие светодиоды, а также представители нового направления - катодолюминес-центные УФ-источники, в особенности с автоэмиссионным катодом.

Ключевые слова: ультрафиолет, обеззараживание, бактерицидный диапазон, катодолю-минесценция, автоэмиссия

MODERN TRENDS IN THE DEVELOPMENT OF UV-SOURCES OF GERMICIDAL RANGE

A. Bugaev1, E. Sheshin1, D. Ozof, M. Myo1, M. Danilkin2, N. Vereschagina2

1 Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Institutskii pereulok 9,141700 Dolgoprudnyi, Moscow region, Russian Federation

2 P.N. Lebedev Physical Institute of the Russian Academy of Sciences Leninsky prosp. 53,119991 Moscow, Russian Federation

© Бугаев А.С., Шешин Е.П., Озол Д.И., Мье М.М., Данилкин М.И., Верещагина Н.Ю., 2017.