CC BY
9
УДК 517.55
DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(1).17-21
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ХАРДИ - ЛИТЛВУДА О. Е. Антоненкова, Н. А. Часова
Брянский государственный инженерно-технологический университет, г. Брянск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 10.12.2018
Дата принятия в печать
25.12.2018
Дата онлайн-размещения
26.04.2019
Ключевые слова
Поликруг, ядро Пуассона, обобщенное пространство Харди, смешанные нормы, теорема Харди - Литлвуда
Аннотация. В данной работе решается задача обобщения известной теоремы Харди -Литлвуда об оценке нормы голоморфной функции через норму ее производной. Теорема распространяется на случай обобщенных пространств Харди голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой, а также, на случай дробных производных функций из указанного класса любого порядка.
GENERALIZATION OF THE HARDY - LITTLEWOOD THEOREM
O. E. Antonenkova, N. A. Chasova
Bryansk State Technological University of Engineering, Bryansk, Russia
Article info
Received 10.12.2018
Accepted
25.12.2018
Available online
26.04.2019
Keywords
Polydisc, Poisson kernel, generalized Hardy space, mixed norm, the Hardy - Littlewood theorem
Abstract. In this paper, we solve the problem of generalization of the well-known Hardy-Littlewood theorem on the estimation of the norm of a holomorphic function through the norm of its derivative. The theorem extends to the case of generalized Hardy spaces of holomorphic in polydisc functions with mixed norm. And also, in the case of any order fractional derivatives of functions from the specified class.
1. Введение
Пусть ип = ^ = (2.!,..., 1П):\г\< 1,у = 1,п} - единичный поликруг в п-мерном комплексном пространстве С", Т" - его остов, р = (р1,...,рп), 0<р]<х>, ю =(со1;...,соп), где со; -положительные
функции, суммируемые на интервале (ОД), ¡ = 1 ,п .
Обозначим через А"(ю) пространство голоморфных в ип функций, для которых конечна норма
К (!-M" il/Kl.....^)l
х®1 (1 ...с/т&п) ^ п ,
где и = иг, Ьт2(й) - 2-мерная мера Лебега на и. Через ¿р(7") будем обозначать пространство измеримых на Тп функций^ для которых конечна квазинорма
Мл" (5)
ПАп.....'"К.....ш„)
x
p
p
p
■ ISSN 1812-3996
i-[il f (Cl.....C„ )|Pl dm, (C) "...dm, (C„)
где 7~ = Т1, Ьтг - линейная мера Лебега на Т. Пусть р = (р1,...,р„), где 0<ру<+со, у = 1 ,п, тогда обобщенные пространства Харди Н"(и") со смешанными нормами определим как пространства голоморфных в и" функций, для которых
sup
0<г<!
J...[ J|f(rC)|Pldm,(Ci) Pl...dmi(C„)
где С> = (С>1,...,С>п)еТп. Н"(и") - обычное пространство Харди в поликруге. Очевидно, что при р1=р2=--=рп=р пространство Н"(и") совпадаете Нр(и"). Изучение основных свойств обобщенных пространств Харди в поликруге со смешанной нормой впервые начато в работах [1 - 5].
Ядром Пуассона где г = (21,...,гл)еи",
у = 1Тп, С = (С1.....С„)еГ, Су=е'\
У = 1," называется произведение
р(2,д=рг1(е1-ф1)--^(е„-ф„),
1 - г2
здесь р (9) =
обычное ядро Пуассона
l - 2r cos 9 + r для единичного круга.
Пусть 0<а<l, через 5а(C) обозначим произведение областей Sa(Q = Sa(C1)---Sa(CJ, где
0 <а< l, S„
(C,) = {zt: |C, -zt\<a(l-| j2)}
об-
ласть, заключенная между касательными окружности = а, проведенными из точки ^ = е'фу и той частью окружности |гу| = а, которая вогнута со стороны этой точки, г = (г1,...,2п)еи", у = 1," .
Лемма 1 (см. [6]). Пусть /еДэ(ю), р = (р1,...,рп), ю=(со1,...,со„),со,.е5, 0<ру<+оо,
у = 1," и пусть 1 <т <". Тогда функция
^.......г" ) =
= [J°m (l-I )-..[J| f ( Zl.....Z„ )|"
Xffll (l-| zl |)dm2 (zl ) Pl...dm2 (Zm )
Pm+1 Pm
является (п-т)-субгармонической в и"-т.
Через Ар(и) обозначим пространство голоморфных в круге функций, для которых конечна
= [J| f ( z )Г dm2.
, где dm - плоская
мера Лебега на и, 1 < р < +».
Известна следующая классическая теорема Харди - Литлвуда:
Теорема А (см. [7]). Пусть / е Ар (и), 1 <р<+», т еИ, тогда справедлива следующая оценка
Л/(т)(г)|р(1 -12\Ттг<с(р)||/Ц .
и
Пусть / - голоморфная в и" функция, тогда
/(г)= I а,.....,
к1.....к"=0
положим
f p( z )=!
Г(р +1 + k) Г(р +1 )Г( k +1)
akz ,
Г(р +1 + k) = " Г(р +1 + kt)
r(p+1 )г(k+1) у г(k, +1) ,
z = (z,..., zn), p>0, Г - функция Эйлера.
Теорема Б (см. [8]). Пусть Q = (Q1,...,Qn)eT", Р> 0, тогда
If (p)(rC)|< с(a,p)(l-r)-p sup \f (z)| .
1 1 zeia(C)
Мы обобщим вышеуказанные результаты на случай обобщенных пространств Харди H"(U") со смешанными нормами.
2. Формулировка и доказательство основного результата
Теорема. Пусть р = (р1,...,рп), 0<ру<+со, У = М, feHp(U"), тогда
J SUP;..|J SUPJ f ( zl.....^ )\Г1 dml (C1 )
T z„eSJ.Cn ) ^ rzleS»(Cl )
...dml (C„)J < c\\f\\Hp,
2deC = (Ci.....C„)er,z = (z1.....zJelT .
Доказательство.
Обозначим z = (z1,...,z„) el/" ,тогда
U(z) = -±- J Pz (C) f (C)|Г dmn (C),
p
н°рма ЛЬ
A
1
k=0
ISSN 1812-3996 "
{|u(C1,.)|2drn1(C1)<cf|f P1 dm&J . (3)
T T
.Pi
Известно, что |f(z)|2 < u(z), z = (z,..., zn )e Un, следовательно,
pi
sup \f^,»)|2 < sup u(z1,») и
z^S* (C1) z^ (C1)
sup |f^,»)|P2 I <| sup u(z1,»]
z1ES„ (C1) У Vz1Ei» (C1)
Поэтому, используя результаты работы [9] и неравенство (3), получаем
if sup \f(z^l dm! (C) =
T Vz^ (C1 г У
= j sup \f (z1,.)|P1 dm1 (C1 )<
T^S. (C1)
< c
<fl sup u(z1,«) dm1(C1)<
T { z^« (C1) У
j|u(C1,.)|2dm1 (C1 )<cj|f(C1,)P1dm1 (C1).
Таким образом, имеем
j sup |f(z1,.)|P1 dm 1(C 1) <cf|f(C1,«)|P1 dm^). (4)
T^eS. (C1) T
Обозначим
u1 (z2^-v zn )= i suP |f (z2.....zn )|P1 dm1 (C1)
^ T z1eSa(C1)
Функция u1(z2,...,zn) является субгармонической по Лемме 1.
Пусть u ( z2.....zn) = c j P22 (C2) |u1 (C2 )| P2 dmx (C2),
тогда
j u (C1, »{dim (C1) < c ju (C1, P2 dm1(C1). (5)
г г
Так как
I A
sup kfc,») 2 < sup u^,»)
z2ES„(C2)
z2ES„(C2)
sup |u1(z2,»)2 <| sup u^,») ,
z2eS. (C2) Ws. (C2) У
то, используя снова результаты работы [9] и неравенство (5), получим
j sup k^,»)!P2dm^ (C2)<
Tz2 ES. (C2)
<fi sup u^,«)! dmi(C2)<
< cj |u1(C2,»)2 dm^) <
T
< c j ju^,»)!P2 dm,(C2) =
= j j sup \f (z!,C2,»)P1 dm!(C) 1 dm! (C2) . Теперь, применяя неравенство (4), будем
иметь
j sup j sup |f (z1,z2,»)|P1 dm 1С 1 dmC <
rz2ES. (C2) ^ rz1ES. (C1) ,
At
< cjlj|f (C1,C2,»)P1 dm.!(C1) 1 dm1 (C2) .
т V т у
Продолжаем доказательство по индукции. Считаем теорему верной для п -1, то есть
j sup
-Ij, -pJ f (z )|P1 dm (C1)
•••dm1 (C n-1 )<
<|...|Л/(С)Р стг (С1) Р1...ст1 (Сп-1), (6)
Т V т
где г = {г1,...,гп)<Еи". На последнем, п-м, шаге будем рассуждать следующим образом. Обозначим
un-1(zn ) =|j !
V T zn-1E
sup ...
ES.(Cn-1)
j sup \f (z)|P1 dm1 (C1 ) 1...dm1 (C n-1 )
z = (z!.....zn)eU".
Данная функция субгармоническая по Лемме 1.
Пусть 4,-1^) = cjPZn (Cn)|un(Cn)dm1(Cn),
sup K-l(zn)n <| sup un-l(zn.
z0ES„ (Cn ) V z„ES„ (Cn )
j sup |un-1 (zn )|P"dm! (Cn )<
}z„ES. (C„ )'
<ji sup 0^(z„)l c/mi(C„)< < cj| u,-1 (Cn )|2 dm1 (Cn )<
T
тогда
T
2
1
Pn-1
T
T
2
и
2
и
-ISSN 1812-3996
Следствие. Пусть р = (р1,...,рп), где 0<р. <+оо, j = 1, n
f (е!&1.....¿i = sup Li sup I f (^е'01.....rj* ))
0<rn<1 ^ ^ O^CL У J
Тогда, если /еНэ(1/"), то /* е Lp(Г). В частном случае, когда рг = р2=--- = рп= р, 0 < p < +» из приведенной теоремы следует более общий результат, чем результат М.И. Гварадзе (см. [8]).
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Шамоян Ф. А., Часова Н. А. Описание линейных непрерывных функционалов в пространствах Харди со смешанными нормами в поликруге // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тезисы докладов ВЗМШ. Воронеж. 2001. С. 285-286.
2. Часова Н. А., Шамоян Ф. А. Диагональное отображение в обобщенных пространствах Харди в поликруге // Записки научных семинаров Санкт-Петерб. отделения матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2003. Т. 303, № 31. С. 218-222.
3. Часова Н. А., Шамоян Ф. А. Диагональные отображения в пространствах Харди со смешанной нормой // Тр. матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Казань. 2003. Т. 19. С. 226-227.
4. Chasova N. A., Shamoyan F. A. The diagonal mapping in generalized hardy spaces in the polydisk // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2005. Vol. 129, no. 4. P. 4049-4052.
5. Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Об интегральных операторах с ядрами Пуассона в пространствах типа Харди в поликруге со смешанной нормой // Вестн. Мос. гос. обл. ун-та. 2017. № 4. С. 14-23. DOI: 10.18384/ 2310-7251-2017-4-14-23.
6. Шамоян Ф. А. Весовые пространства аналитических функций в поликруге и шаре. Брянск: РИО БГУ, 2016. 276 с.
7. Duren P. L. Theory of Hp spaces. New York and London, Acad. Press, 1970. 258 с.
8. Гварадзе М. И. Множители одного класса аналитических функций, определенных на полидиске // Тр. Тбилис. мат. ин-та. 1980. Т. LXVI. С. 15-21.
9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965. 538 с.
* С Л 4,-1 (in )| pndm (in ) = с J|J
sup ...
T ^ Tz„-16S„ (in-1)
P2
Л
...| Л SUP If (Z1.....Zn-1'in )|P1 dm1 (C1)
P1
...dm1(i „-J I dm1 (C „ )
Pn Pn-1
Используя неравенство (6), получим утверждение теоремы.
T
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Часова Наталья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Математика», Брянский государственный инженерно-технологический университет, 241037, Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3; e-mail: chasnat@bk.ru.
Антоненкова Ольга Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Математика», Брянский государственный инженерно-технологический университет, 241037, Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3; e-mail: anto-olga@yandex.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Chasova Nataliya Aleksandrovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent, Docent of the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering, 3, pr. Stanke Dimitrova, 241037, Bryansk, Russia; e-mail: chasnat@bk.ru.
Antonenkova Olga Evgenevna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent, Docent of the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering, 3, pr. Stanke Dimitrova, 241037, Bryansk, Russia; e-mail: anto-olga@yandex.ru.
ISSN 1812-3996-
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Обобщение теоремы Харди - Литлвуда // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 1. С. 17-21. DOI: 10.25513/1812-3996.2019. 24(1).17-21.
FOR QTATIONS
Antonenkova O. E., Chasova N. A. Generalization of the Hardy - Littlewood theorem. Vestnik Omskogo univer-siteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 1, pp. 17-21. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(1).17-21. (in Russ.).
