*УДК 517.55
ОЦЕНКА СМЕШАННЫХ НОРМ В ВЕСОВОМ АНИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ТИПА СОБОЛЕВА АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛИДИСКЕ ФУНКЦИЙ
Е.В. Мишина
Получено обобщение хорошо известной теоремы Харди-Литтлвуда по трем направлениям: во-первых, теорема распространена на многомерный случай, а во-вторых, рассмотрен случай дробной производной любого порядка, и в третьих, устанавливаются соответствующие оценки в случае смешанных норм.
Ключевые слова: весовые пространства, полидиск, смешанные нормы, теорема Харди-Литтлвуда, пространства Соболева.
§1 Обозначения и вспомогательные сведения
Пустьип = {г = (2Х, ..., 2п ) е Сп, |^.| < 1, 1 < . < п } - единичный полидиск «-мерного
Н (ип) -
Cn, Тп 4 = (Zj,..., ) е Сп, \z\ = 1,1 < j < п} -
его остов,
комплексного пространства
ттп
множество всех голоморфных в и функций, 0 < p, ч < . Обозначим через О множество всех
положительных функций ® , суммируемых на интервале (0,1), для которых существуют положительные числа ^, Ma, , причем ma, (° 1), такие, что
0)(Лг )
т„ <
(г )
<Мш, Уг е(о,1), Ае^1]
Свойства функций из ^ хорошо изучены в монографии [1].
Если z = (Г!,..., Zn) е Сп, Zj = г}въ, с = (C„...,Cn) eCn, Cj =p/J, « = (а1,...,ая) е Rn, то ••• z“п, |а| :=а1 + ••• + ап, (l - |z|2 J" -=JJ (l - |z. |2 , (l - <fz)“+2 = f\ (l -j )“j+2 .
j=1
j=1
Обозначим через ч , 0 < p, ч < класс измеримых по Лебегу в и функций , для
f
которых
Lp.„
11 ( п п / \|
j ... j®1(1 - г1) ...ая(1 - гп )l j - Лf (г1е"*, -, rne‘Vni ] Р d^1 ■■■dV,
0 0 -я
л V \/р
г1 ■■■ гп drl ■■■ drn
< +да.
Положим Ap’q = H(Un Lpm q. В пространстве Ap’q вводится соответствующая Lp, q -квазинорма.
Весовым анизотропным классом Соболева аналитических в полидиске функций Ap’q (Un),
0 < p < +<х>, /3 = (ft,..., (Зп) е Rn+, 1 < j < п назовем следующий класс голоморфных функций
Aim(Un) = {f е H(Un), Dmf e A?+mp}
1 1
A'fq Un )=f e H Un): 1} ^}©l(1 - rl)...ra„ (1 - r„ )(1 - Г1) »q ...(1 - г„) e-q x
40 0
I... J|DPf (гlem, ..., гпв1<Рп |pd^l ...
\ V \/p
\ %
г1 ... гп drl ... drn
<
В этой статье мы покажем эквивалентность смешанных норм для аналитических в полидиске функций в весовом анизотропном классе Соболева Ар’ч Цуп) и классе голоморфных в полидиске
функций А^ч, 0 < р, ч < .
тх log тп. п log M,
Для удобства обозначим аш =---------------------------, рт =
log qa
log q.
Определим функцию
ж
Х* )=
п
(1 - |г|)^рр' J=1 (1 - \х. \^/р1
г е
и« Где 0 <ц< рр\ 1 < р <+го, р' =
Р -1
„ Р = (Д, &,..., Д,), р1 > 0 В
Ьсли V'!'2 I п' I } , т0 0Пределим дробную производную порядка и в смысле
Римана-Лиувилля.
+ да
/ е Н(ип), /(г) = Х акгк
Пусть к=0 .
Тогда дробная производная порядка $ определяется следующим образом:
что
О Р/ (г) = £
Г (к + р +1)
Г ((5 +1) Г (к +1)
.. ПГ (к7 + »
= I
к кп - V
^.А=0 ^ +1) г (к} + 1)
7=1
Две следующие леммы установлены в работе [5] (см. так же [3]).
Лемма 1. Пусть а е ^. Тогда найдутся измеримые ограниченные функции х) м £(х) такие,
ю(х) = ехр<| ^(х) + — й—|, х е (0,1).
1о8 м а
При этом 1о8 тт — ^
1о8 (V — ” 1о8 (V О ’
< £ (— ) <
(0,1),
(3)
ТЭ “ т (= О а 0 < Вг, < 1
о дальнейшем при ш ^ “ всегда будем предполагать, что ® , и, не ограничивая
общность ч(-) = 0, х г(0Л).
Лемма 2. Пусть ® ^ ^этом 0 ~ ^ < 1 , тогда справедливы оценки:
I
I — |а+2 1
* Сарм (г)
ю(1 - |г|)
, , ^ “ И
11 °а (С, 2 \%1 (С №т2 (С С 2 ХРр (г), 0 <М< —
при всех 1
рр'
а>а„, г е и
С С
причем 15 2 - положительные константы и
О. {С, г) =
а +11 -
(1 -И2)
(4)
(5)
л
(1 -с* У
-, С, г е и
Следующая лемма установлена в работе [4] в случае шара в п -мерном комплексном пространстве. Приведем ее аналог в случае полидиска.
Лемма 3. Пусть
0 < ч < 1 0 < р <+^ / е Ар, ч (ип). Тогда
|.. .^ (1 -г1),..соп(1 -гп)~д(1 -г1 ),-1...('-г1 ),-1 ||...||/(/^,.„,^ ..Луп
0 0 г
< С
\—п -л
Г1 ...гА ...Фп <
I. „(1 - г )..Юп (1 - гп )| |... ||/ (г'eг^',. „, Гпе1СРп |р „ а^п г . „ гndг'... Л-,
0 0
1
1
Следующая лемма установлена в работе [5].
Лемма 4. Пусть у(*) неотрицательная субгармоническая функция в и ,
0 < р < 1, 77 = , ..., 77 п ) 77 . > -1, 1 < 7 < п
4 ,п/ 'з ■' , тогда справедлива следующая оценка
( Лр
| | Л *)(1 - И У йт2п (*) ^ С | (Ч*))р (1 - И УР+2 ^ йт2п (*) .
Чип У ип
Используя результаты и методы, описанные в работах [5, 7] легко доказать следующие два утверждения.
Лемма 5. Пусть / е Арр,ч (ип), (5 = (Д,/32,...,(5п) е Л”, > 0, 1 < . < п, тогда
существует функция щ е Ь°° (ип) такая, что
О
'/(и) = [
(1 -\(\т
\у+2+р
(6)
и» (1 “£0Г
Лемма 6. Пусть / е Н(ип), (5 = (Д,/32,...,(5п) е Л”, > 0, 1 < . < п, тогда для
7 = (Г1,Г2,---,Г„) е
достаточно большого
справедливо представление
/(и) = [
(1 -|с| т
\Г+2-Р
О>/(Оч,(&)йт2п(а ^ е ип
причем
и» (1 -С*)
ре Г° (ип)
§ 2 Формулировка и доказательство основного результата
Теорема. Пусть / е А" <-и">- ^ = ^ ■■■, А) ^ К, 1 * >п 0 < р,ч <+®
справедливы оценки
(7)
, тогда
а
11 ЯП Г
| -|®1 (1 - г1 )-®п (1 - гп )(1 - г1 ^ ^(1 - гп Уп | ■ ■ ■ Ц ОР/{г1еЩ ’■■■’ гпе‘% ) ■ЛЦ’п
г1 ...гпйг1 ...йгп
<
<
I...(1 -г1 )...ф„(1 -гп) |...ЦУ(г'e^', ..., | ^ ...йУп
0 0
<
С7(1-Р; )(1-Р; )
0 0
С7(1-Рз )(1-Рз )
.-(.Г!-Р. +1"/71 71
у(у. -Р. )ч
0 0
{... Л о?/(Ае'\ —, р„е’^Л) }...|| О, / (Де ' «, рп»-)
г1 ... гпйг1 ... йгп
<
(5;
6ВХ ...йвп д ...PnФ' ...йрп =
У
Р1 ^РпйР1 ..фп =
11 ! п п \ р
-С7('-Pj )(1-р/ )'’■« I J|o"/(P'e'Ч’ р,еЯп) 'йв, я ...рМ-йр,-
0 0
* = (^ * 2 , »•, *п ) е ип
где С1, С2 - положительные константы, независящие от /.
Замечание. Отметим, что в классах гармонических в полупространстве функций при Сд({) = 7“ аналог нашей теоремы другим методом установлен в работе [2].
Доказательство теоремы.
Докажем сначала правую оценку в формуле (8). Соответствующее доказательство мы разделим на 4 случая:
Ч
р
0 0
р
р
, 1 < р < 1 < а <
1. когда г и ч ;
п 0 < р < 1 0 < а < 1
2. когда г и ^ ;
0 < р < 1 1 < а <
3. когда г и ч •
л 1 < р < 0 < ч < 1
4. когда г и ч .
Рассмотрим сначала первый случай. Согласно лемме 6 имеем 2
(1 — \с\г —
/(*)=|,. I’I1. о*/аы&ут,ю, ^€ип
переменной
„п (1 -^И)"2-'
Оценим (9) по модулю и возведем в степень 1 < р <
л
проинтегрируем " раз по каждой
и применим неравенство Минковского
-п -п
< с
к тт
І ... I
-я -п
> 1 * I (1 -р?У' ...(1 -р2)Ч^/(ле'\ ..., рпг п)Лвх ...ів„
і -]------;-------.. ...г-д+2 ............,..-«..+2........А -Рп^1 -<*Рп
0 0 -ж -ж 1 - рГтГе
Ки -»1)
1 І ( ••■I1 -РпГпе
dф1 ..іфп
1 1 :с,1 ...1
Я Я Я Я I
І ... 1|... I
(1 -Р;г...(1 -р')'-р’/(р^ Р„еи ...м.
V
її 'Хй-Єі) Г1 +2 І1 '■(«,-еп) 1^+2
- -* 1 - Аг1е (й 11 ••• 1 -Рп^е ^ ")
ёф1 ... ёфп
Рі ■■■РпФі • •• іРп.
р =
Воспользовавшись неравенством Гёльдера с показателем
Р -1
, будем иметь
1 ( \р 1 1
{• • • Ц/(ГіЄіщ, Гпе'%)|рйфі ...йфп
І-1
I I(і-Рі2)" ■■■(1-РІУп\0І>/(ре'\ ..., р„еівп)| іЄх ...івп
її '(«-61) Vі ^1+2 її
-* І1-Рігіе і1 •• Д-рле
„Кчп-вп)
Уп~Рп +2
/■■■ І;
• * її '(т-йН'1 '~Г її '(фп-вп)
ж -ж\ 1~Рігіе ...ІГ-РпГпе № п>
е'(«-^)| ^-А+2 Рассмотрим интеграл:
(1-Рі2Г ...(1-р2„у^в1 ...івп
'Гп~Рп +2
і<^ ...йфп
Рі —РпАРі --Фп.
І ■ І
(1 -Рі2)'1 ^ (1 -рІУ'ііві... сів,
2 \ їп
1 ~РіГ1Є
'(^1 -^і)
/і -0і+2
1 ~РпГпЄ
'(Фп-в„ )
В силу анизотропности пространства
■ ■ (1-а2)"-(1 -р;)'піЄі...іЮп
І -1
-п -п
1 -Рігіе
:(^1-^і)
/і-Ді+2
1 -рптпеК(Рп ~вп)
Уп ~Рп + 2
і (г-р;
=1 -ЖІ1 - р ге
'(V)-в))
-Рі+2 •
л
І!
ів
Оценка интеграла | йв
і
1 -^/іе
<
'(.Рі-в і)
Г)-Рі+2
1 -^г)е
' (V)-в))
Г/+2
(] -г) Рі):
хорошо известна (см., например, [3]).
, Г, ~Р, +1 > 0
Тогда, учитывая оценку (10) будем иметь:
(10)
0 0
0 0
1
\ р 1 1 п
I... Л / (г/*1,..., V»" )| "і*,... і9п < с 21 ... | П
(1 -р) )ь
0 0 )=1 (1 -
(Г -г) р$
У.гР)+1>
л л
/... }| 04(р,е
'& 'в.
4 , -, Рпе '
л л )|р І -1
-я -я|1 — р^/е
'(% -61) Г1 ^+2
••I1 -р«г«е
Рі ...рпйрі ...йрп =
1 1 п (1 _ Г)2)^
^ЯЪ (1 Рі)
0 0 1=\ (і _ гЛь М р,
Л Л п Л
{...\\ЕР/(Ае'\ ..., р/вп)| р П1
1=1 -*І1 - р.-ге'
'(^ -0,)
Г,-0,+2 1
• • ів„
Рі ...рпйрі ..Лрп <
2 \ У/
- С3 / - {П /, (1 Р\у -^+1)[ I - ЛО P/(Pleгв', "■, Рпе'вп ^ Р йв1 йвп Р\ ■■■РпйР1 йРп .
0 0 У=1 (1 - г, Р. У1 Ъ 1 Л' 1 )
Теперь возведем последнее неравентство в степень 1 < ч < , умножим на
«1(1 - г1) ...Шп (1 - гп) п дп =[0,1]п
, проинтегрируем п раз по ^п 1 -1 , получим
11 { я я \ р 11
{•••Ьа-г1) -®п (1 - гп )| | • • • Ц/(г1е"Р1, -, гпе‘% ^ Р^1 ■■Лфп г1 ■■■гпйг1 --йгп ^ С4 {• • • | ®1 (1 - г1) • ”®п (1 - гп ) *
Ж Ж
0 0 (
X
0 0
Xа
1 1 п (1 _ п2Л^ (71 п
1 -1 П(1 (г р%4 !- №Р/(Ріе^, -, ^)|рІ01 -ідп
0 0 )=1 Vі _ Г)Р)! \-п -я
Рі ■■■РпФі ■■■ІРп
а
Гі ...Гп&1 ...Фп.
а =
Снова воспользовавшись неравенством Гёльдера с показателем
а -1
{•••^а-г^-ча-о
0 0
1 1
|... |юі(1 - гі)...Юп (1 - гп )
(1-р2/3 '* *
\р
приходим к оценкам
у
і\і~Г)Р) }Г)
її}-)
0 0 і'-1 \А 33 \~л -я
/-Л 03З’^, , Рпе‘в" )| р^51 п П—рМ Фп
І-Ш(Г _°г-Г)) і, I/-11Е '/ ^ Л )| >... М,
0 0 І-'1 \ )' ) / -к
л~’ 11 п
г1 . „ гпігі . „ ігп < С5 |„ Щ ф). (1 - г) )((1 - г) )-Ьі-ь+їі¥ї ).
ГГ Г р > ір >
] (і - г Р у -
Рі ■■■РпІРі ■■■ІРп
3^3/ у
^ У} а (
0 0 3=1
.. (1 - р2)Г)4 ( Я я \ р
1 ^1ПтЛ-----------к-М 1 1 - И °Р/(Pleгвl, -, Рпе'в" ^ Р ів1 -івп Рі ■■■РпІРі -ІРп
0 0 )=1 V г)Рі) 3 3 V-® -л )
д_
а х
г1 _гпігі ...ігп =
=С
-^'^1 ^3^ '3^ ■3'
0 0 3-і
-г )((1-Г) )33)К
,івАр
Рі--РпФі--Фп
Г--ГпФ--А.
Изменяя порядок интегрирования, получим
1 1
І... ]©1(1 - /і)...®,, (і - г„ )| І... Цу (г1е1<р\ г„е<Рп ^ Гйуі
0 0
г1 гпігі ігп <
11 п -Іг -е Iа 11 п (1 - п2 V3’ М я
іС„^^^П^)(Г-г)(Г-3 • "'7П(Г;( 11-’-]\Ее/(ре'\р.е'-)р^»1
0 0 3 1 0 0 )-1 у1 ^3 Р3} ~я
(і -р2 )г
1 1
11
а
0 0
а
і і
а
а
Pi ...p.dpi ...dpnri ...rndri ...dr" =
f фі (1 - ri)(1 - ri )
-ІЛ-Pj.
Сб\..] (1 -p2; )J I J... \\DPf(P|eвl, P.e6" )| ^ ..^0. I Пі J L1 Xjj) ridrjPl -PndPl dPn -
0 0 у-я -ж J J=1 0 rjPjJ
< Сб{...{(1 -P;)1|j... j|Dpf (Aelfl1, ..., p.eів" )|rdBx .. ,d0.
®j(1-^-)(1 -P.)
Pi ■■■PndPl --dPn ^
11 f Я Я N p
<C7 j... j\.(1 -Pj)(1 -Pj)jI J... ЦD*f(р^1, ..., PneWn )|pddl ...d0n Pl ...PndPl ...dPn.
0 0 У
Итак, правая оценка в формуле (8) установлена при p, q е (-1, + .
Перейдем к случаю (2), т. е. , когда
О < p < 1 и 0 < q < 1
Опять воспользуемся равенством (9), оценим модуль функции $ и возведем его в степень 0 < р < 1
f (z) p < С;
г (1 -\С\ У I I
Г ЛІ2-, \d f (0|dm;.(?)
u„ 1 - Qz\
(1 _ 1^ j2)jp+2 p - 2 U" 1 -Qz\
S C J (I 't' j;,.№ |d7(f)|"dm,.(C).
В последнем неравенстве мы воспользовались леммой 4.
Последнюю оценку проинтегрируем по каждой переменной ^, "", ^п
интегр ирования
п п 1 1
С J JJ JJ J ^1^°і2)Гіp+2p’2 ^(1 ~p2;)r"p+^'IDPf (peei, - P»e*" І‘’d6^-dd„
-n -n 0 0 -n -n
V
і і (<Pi -df )
1 -pre
(r,-ft+;)p I i(<f _e )|(r.-Pn +;)p
1 ~Pnrne " 1
и поменяем порядок
Pi ■■■P.dPi ■■■dpJVi ..Лфп =
I I
=СзJ.. J(I-A2)'1 p*;p-2 ...(І-РІУ'2p-2 j...J|Dff(Pie"1,..p,e'"■)
0 0
Jl /I
і ■ і
dyx ... dyn
-n -n
1 ~Pi rie
Kn-^i)
(h-Pi+2) p
1 ~Р„г„є
i(Vn-в.)
(r.-Pn + 2 ) p
ddf ... dd.Pf ... p.dpi ...dp. <
J
1 1 (1 _ ^2)71 р+ 2р-2 (1 _ ^2)7пр+ 2р-2 л ?т
^ С41| (1 _ г" ^ 2, р-1 ^ ))(,п-Рп , 2) р-1 1|О^./ (Р^ '“Ч Р.?' ’■ )| рй01^ йв„Р,...РМ... йРп
Далее возведем полученную оценку в степень —. Доказательство этого случая мы разбили на
р
два пункта: первый из них, когда — < 1, второй пункт, когда — > 1.
q
1) Пусть сначала — < 1, тогда, применяя лемму 3, получим Р
j• • • !|f (rieт, • -, r„eІіР„ ^"dVi ■■■dV,
<
I 1
q
О О
ч
= с,
■] ...1-
Г1'+2'-'-Г Гп'+2'-'-1 _ _
,2Л р П — п2Л р /ЯП
(і-Рі2) р ... (1 ~Р))
(Г1-А+2 )а~
п п '-г ^+2)а \ - -
0 0(1 -ГіРі) р ...(1 -гпРп) р ^ -*
I... 11Бр/(р/*1, ..., Рпе'вп )|ріві ... івп Рі -РпіРі - ір
Умножаем полученное на й)1 (1 — г1)...юп(1 — гп), интегрируя п раз, будем иметь
11 /і /і
|...|©і(1 -гі)...а„(1 -гп)І {... Ц/(гіеЩ, ..гпе^п^^ .. .ф,
0 0
гі ...^ ...ігп <С6 X
1 1
|^.|йГ(1-Г)^ГЭп(1-Гп)|^.|
, , . ?М+2'-'-1 . Ы+’а—
1 1 (1-я2) р ..(1-А?) р ^ *
(?'і-^1+2)'— (їп-А +2)а— І
(1-ГіРі) р ..(і-гл,) р
И1 ВР/(Регві, • • , Рпёвп \ "Іві --івп Рі-- рпіру • •ІРп Х
, , . М+2'—1 . И+’а—1
1 1 (і-я2) р ..(і-я2) р
(п-Д+2)'-' -1 (Гп-Рп+2)'-'-1
щ^-рУ-^-Рп)х
(і-Яі) р --(і-Рп)
х| /...\\р"/(рЄ'....рУп)
і#!... івп
Рі ••• рАРі •••ІРп ^
<С8{...{(і-а)«' „.(і-Рп)й-'^(1 -А)^®п(і-Рп)| І|Ер/(рхеіві, ...,рпе'вп)|"ів, ...івп р А -РпіРі "ІРп
0 0 У
Правая оценка неравенств (8) доказана.
а > і
2) Перейдем ко второму пункту, т.е. когда р
Воспользуемся неравенством Гельдера с показателем
а
а - р
х,
]• • •1|У(г1ег^1, • гпе 1<Рп ^РіРі —4ф,
-п -л
Г' ' , ?ч (г1р+2р-2)р
1 1 п/1 у~%2\ р (я Я
<
< С
I - ,1П Л(1~Р-' \(,-„3,2)р-і I I - ЛЕ"/(Рі‘-, ^М- )|
0 0 3 =
1 (і - г3 р3 )
Рі ■■■РпіРі ••• іРп
P"dP"
( п 1
Ш 7Г )
3-1 0 С - г,р3)
(
\у,-р, +21 р-1
/а- р
= С,
1 1 п (1 — р2) р (л ж
Рі "■ РпіРі іРп
Р^Р3
з-
1 0(1 - г3 Рі )
7.3-^3+2 і р-1
<
С6 П (1 - г,)
-(Ъ-^ )р-’-
і' - р
3=1
а
а
р
а
а
р
а
а
а
/-Ш /(1~Р-'* (,,,2)р-11 \••• ЛО"/(Ре*1' Р.е)>1-йв„
(у,р+ 2 р-2 )р
2 \ р (Ж Ж
=1 (1 - г, Р,)
Р1 ••• рпйр1 ... йРп
<-ж -ж
«1(1 - г1) ...Ю„ (1 - гп )
Умножим полученное неравенство на 14 17 „ 4 „ 7 , проинтегрируем п раз и
придем к оценке
1 1
|_|©1(1 - г). . .®п (1 - гп )1 |. . . Ц/ (г1? % , ^, гп? % )| ^ ..фп
0 0
11
< с6 {...{ П®, (1~г, )(1~г,)
<(г,-Р, +2)р-2)‘
0 0 1=1
(у ,р+2 р-2У 1 1 п (1_п2У ^ я
I-/Пл Л 1л|И1^<«е'\ ,Р„?"")
0 0 ,=1
<
1(1-г,р])
1 1 п
с 61... | п (1 -р;)
А ...Рпф1...фп
г1 ••■Гпйг1 •••йгп.
0 0 ]=1
|... ЦО« /(^1 е'^1, ..., р„е'“")| ,йе1...<16п
-ж -ж
А ••• РпйА ••• йРп ^
[г,-Р, + 2 )р - 2 )
(,,-^,2 )р -------Л'" гп1г1^ ^п
... Юп
А ■■■Рп1А йР„.
1 1 п ( л л
С7 } •••/П®, (1 )(1 -Р, УЛ I / - Л О е/(Р1е'в1, Р,еШ" |
0 0 1 =1 -л
Итак, в случае 2 правая оценка неравенств (8) доказана.
Поскольку доказательство третьего случая близко к доказательству второго пункта случая два, мы его не приводим.
Перейдем к случаю 4. Оценим (9) по модулю и возведем в степень 1 < р < .
по каждой переменной и воспользуемся неравенством Гельдера
проинтегрируем
-ж -ж
с
* С2 I ... |
-ж -ж
1 1 ж ж
ММП
I -ж -ж 1=1 1 — р,г,е
' (<Р,~в,)
Г, -Р, +2
\ОР/(Р1е'в1 , -, Рп?9' ^ Р‘1в1 -Мп Л -■Рп1Р1 ■■■1Рп
1 1 Ж Ж „
I -1 ЫПг
0 0 -л -л ,=1 1 — р г е
101 ...10"
'(ф,-в,)
У,-Р,+2
■Р1 РпйР1 Ф
йщ ... ф„ <
71 л
* С 21 ^ 1
1 1 Ж ж
иг-т (1"р,2)'"р
0 0 -ж -ж,-1
(.9, ~в,)
,=1 1 - р,г,е
П(1-г,)РгЬ йф1 ■■■!фп ^С31ГГ(1-Р,^):
У,-Р,+2
\oP/(Ple'вl, —, Рпе'вп^?йв1 -йепР1 ■■■р„йр1 ...йрп
0 0 J=1
(1- г, р.)
г,-Р]+1
I ^ Л ор / (Р1?в', _, рпе,вп )|р!01 ...авиР, ...р„1Р1 ...1р„.
-ж
1 1
р
0 0 ,
р
р
р
Далее возведем полученное в степень — . Так как 1 < р < и 0 < ч <1, то — < 1, поэтому,
р р
применяя лемму 3, получим
71 71
J- Лf (rle
y]pfq-+q-1 (Pj-Yj )-
(1-р,) p p (1 -r}) РГ| |
j-1)! IH
\d". f (Ae'\ ... a/»-)!’de^.de,,
J
1 1 n Q j ...J n
0 0 ]J (1- Г] P] )' '
Умножим полученное на ю1(1 — г1)...фп (1 — rn) и, проинтегрировав по кубу Qn = [0,l]n ,получим
11 f * * \ Р 11
{•••{®1(1 - rl)...ffl„ (1 - rn )| J ... J| f(rleІ^Pl, ..., r„e‘Vn )| "d^l ...dPn rl ...r„drl ...drn < Сб j-j®1(1 - rl)-®„ (1 - rn ) *
n -n j 0 0
yjq+^-l , „ q
(1 -p,) p
x (1 - r, )
J -Г])
q l l
1 -rn-
0 0 j=! Vi-P]
(1 -rJ p,) p
J... j| Df (Ple'\ ..., p,e-)| ”del...de.
1 1 n
X Pl ...PndPl ... dPnrl ... rndrl ... ^ < С 6 J ... Щ(1 -Pj )
x|{...{|Dpf (Ae'\ ..., Pneien)|pd0l ...d0,
0 0 j=1
j-j Г1^](1]т7]г_^,1
0 0 ]=l л
(1- Г] P]) p
■A ■■■PndPl ■■■Фп ^
n n
X.
Pl ■■■PndPl ••• dPn .
< Сб j ... Щ®,- (1 “Р,- )(1 “Р,- )] I j - f|D V(Ae‘\•••, Pne'0'')| pd0l ...<
0 0 J=1 \-^ -я
Из последней оценки следует, что правая часть неравенства (8) установлена полностью.
Левая часть в теореме доказывается аналогичными рассуждениями, с использованием леммы 5. Теорема доказана.
Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ф.А. Шамояна.
The paper presents a generalization of the well-known Hardi-Littlewood theorem in three directions: first, the theorem is extended to a multidimensional case, and secondly, the theorem is proved for a fractional derivative of any order, and in the third the proof is constructed with the mixed norm.
The key words: weighted spaces, polidisk, mixed norm, Hardi-Littlewood theorem, Sobolev spaces.
Список литературы
1. Сенета E. Правильно изменяющиеся функции. М.: Наука, 1985.
2. K. Avetisyan Fractional integro-differentiation in harmonic mixed norm spaces on a half-space // Comment. Math. Univ. Carolinae 2001, Vol. 42, № 4. Pp. 691-709.
3. Шамоян Ф.А., Шубабко E.H. Введение в теорию весовых LP -классов мероморфных функций. Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009.
4. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций // Сиб. мат. журн. 2005, Т. 46, № 6. С. 1208-1234.
5. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. мат. журн. 1990, Т. 31, № 2. С. 197-215.
6. Tkachenko N.M., Shamoyan F.A. The Hardi-Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry 2009, Vol. 5, № 2. Pp. 192-210.
q
q
11
Об авторе
Мишина Е.В. - аспирант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, MishinaE.V@vandex.ru