Линейные ограниченные проекторы в некоторых анизотропных пространствах аналитических в поликруге функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.55

DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(2).4-11

ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОЕКТОРЫ В НЕКОТОРЫХ

АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛИКРУГЕ ФУНКЦИЙ О. Е. Антоненкова, Н. А. Часова

Брянский государственный инженерно-технологический университет, г. Брянск, Россия

Информация о статье Аннотация. В данной работе посредством многомерных ядер Джрбашяна в явном

Дата поступления виде строится линейный ограниченный проектор, отображающий весовые анизотроп-

15.01.2019 ные пространства измеримых в поликруге функций со смешанной нормой на соответ-

ствующие пространства аналитических функций.

Дата принятия в печать 11.04.2019

Дата онлайн-размещения 05.07.2019

Ключевые слова

Поликруг, ядро Джрбашяна, весовые пространства, смешанная норма, линейный ограниченный проектор

A BOUNDED LINEAR PROJECTORS IN SOME ANISOTROPIC SPACES OF ANALYTIC FUNCTIONS IN THE POLYDISC

O. E. Antonenkova, N. A. Chasova

Bryansk State Technological University of Engineering, Bryansk, Russia

Article info Abstract. In this paper, we construct a linear bounded projector which maps the anisotropic

Received weighted spaces of measurable functions in the polydisc with a mixed norm onto the corre-

15.01.2019 sponding spaces of analytic functions through multidimensional Djrbashian kernels.

Accepted 11.04.2019

Available online 05.07.2019

Keywords

Polydisc, Djrbashian kernel, weighted spaces, mixed norm, bounded linear projector

1.Введение

Построение линейных ограниченных проекторов из весовых пространств измеримых функций на соответствующие пространства аналитических функций является важной задачей при исследовании вопросов, связанных с пространствами аналитических функций. Достаточно напомнить классический при-

мер ограниченного проектора, которым является интеграл типа Коши, отображающий пространство Лебега ^ (1 < p) на единичной окружности на соответствующее пространство Харди в круге. Дальнейшее развитие этой теории связано с теорией сингулярных интегральных операторов (см.: [1; 2]).

Для формулировки основных результатов работы введем обозначения. Пусть

Un =|z = (z-L,...,zn):|z.|< 1,j = 1,nj - единичный по-

СП

,

ТП - его остов, p = (Р1,..., Рп), q = (,...,qn), 1 <pj,qj <+да, j = 1,п , ю = (ю1,.,йп), где ю, - положительные функции, суммируемые на интервале (0,1), j = ~п .

Обозначим через Lq (ю) пространство измеримых в Un функций, для которых конечна норма

il«(й) ■

|Ю„ (1 - Гп )(f ...[{й! (1 - О

Л / с

^е'*1.....rne-n

d<Pi

dr

...d9„

drn

Тогда пространство Ар(ю) со смешанной нормой определим как подпространство Ир'" (ю), состоящее из аналитических в и" функций. Если юу ) = , у = 1," , то пространство Аря (ю) обозначим через Ар" (а), где а = (а1,...,ап), а >-1, у = 1," , если же ю. ) = 1, у = 1," , то через А™ (и"). Подпространство же Ар (и") получается из пространства Аря (и") при ду = р., у = 1," . В случае, если

Р = (1,...,рп) 4 = (Ч1,...,Ч„) где д. = р. = 1, у = 1," ,

а = (а1,...,а"), ау >-1, У = 1," , подпространство

Ар" (а) будем обозначать А11 (а). Отметим, что

пространства со смешанными нормами в поликруге впервые были введены и исследованы в работе [3].

В данной работе мы в явном виде строим ограниченный проектор, отображающий пространство Lp'q (ю) на Арв (ю) при 1 <ру ду <+да, у = 1," . Аналогичные результаты в различных областях комплексного пространства рассматриваются в работах [4-7]. Важность таких представлений для решения ряда актуальных задач комплексного анализа не вызывает сомнений, для примера укажем на работы [8-10].

Символом О обозначим множество измеримых неотрицательных на (0,1) функций ю, для которых существуют положительные числа тш, Ч, , причем тш, дте(0,1) такие, что

тю < ю(^г) < при всех г е(0,1)Де[рш ,1] (см.

>(r )

[11]). Обозначим ай =

1птй 1ПМй

ГТЛ' рЙ= ГТ^Ч • Поло-|п(Ч») ln(V9»)

жим

йа, ) = йj ()

Л"'

vй''

)

, а; >ат ., ' = 1,n .

2. Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений.

Одномерные весовые классы Ар (а), 1 < р <+да, а>-1, впервые были введены М.М. Джрбашяном в 40-х годах прошлого столетия (см. [12; 13]). В указанных работах исследованы вопросы интегральных представлений, установлены некоторые теоремы единственности и др. Доказано, что любая функция / е Ар (а) может быть представлена в виде

а + 11 * (l - r2 )а f (ге'ф)

f (z ) = а+1 JJ \ ' f \J rdrdф .

(1)

(1 - ЕГв-")

Интегральное представление (1) легло в основу теорем единственности, а также канонических представлений мероморфных в единичном круге и функций, характеристика Р. Неванлинны которых не ограничена, но удовлетворяет некоторым интегральным условиям. Дальнейшими исследованиями классов Ар (а) занимались Г. Шапиро, А. Шильдс, П. Дьюрен, Ч. Горовитц и многие другие.

1_

ту/рр) '

Определим функцию %у (zy) =

(1 -I Z'l)

Zj eü, j = 1,n , где 1 < p <+да , py =

P , -1

0<4 <pp', j = 1,п . Если rojeQ, j = 1,п и ^ = п), то запись й(1 означает произве-

п

дение Пгаj (1 j|). Обозначим через

j=1

, , " аj +1 (1 -|СjГГ _

D*(C,z) = П ' , - j , аj >-1, j = 1,п ,

j=1 Л (1 -CjZj)'

q

С,г еип - многомерное ядро Джрбашяна (см. [14]).

а + 1 (1 "И2 Г

Воспроизводящие ядра Da(C,z) = -

—\a+2 '

(1" «Г

г,Сеи, а>-1, обладают рядом замечательных свойств. Так, например, интегральный оператор (1) является ограниченным проектором из пространства Ю (а) на Ар (а), 1 < р <+да, что позволяет некоторые задачи в пространствах Ар (а) свести к соответствующим задачам в Юр (а).

Лемма 1 (см. [15]). Пусть / е А11 (а), а=(а1,...,ап), а >-1, } = 1,п, тогда

f , jiidif

л Un (1 -Cz)

dm2n (C)

где = 1^

(1 -icI 2)+ =й jj

' / — \а+2 X X / \а; +2 ^

л (1 -С) ^ (1 ) ' г = гп)еи", <т2п - 2"-мерная мера Лебега на

и".

Лемма 2. Пусть р = (р1,...,р„), — =(^,...,—), 1 < Р. <+да, Ю = (Ю1,...,Ю"), Ю. еП,

а = (а1,...,ап), а.. >а®, у = 1,п, тогда имеет место вложение Ар— (й)с А1,1 (а).

Доказательство. Запишем норму функции / в пространстве А11 (а) и применим к внутреннему интегралу неравенство Гельдера с показателем

р;=

Р1

p. -1

, получим

114,(И(1 - Гп Г J ...J(1 - r1) X

0 -л 0

л

<J| f ((.....г„в!фп )\1dr1d<?1...rndrnd<?n:

-л

, C1J(1 -rnfn J ...J(1 -Г1Г X

0 -л 0

JI f ((.....^ )P1 d91

J ¿Ф1

r1dr1...rndrnd(Pn .

Учитывая, что (1 - г12) 1 =ю01 (1 -Г )ю1—1 (1 -1) и применяя неравенство Гельдера с показателем

— = ———, будем иметь — -1

}(1 -1")а" I...}(1 -11 Г -

0 -л 0

л

|/(11е'91.....^ )\1Щ(Р1...ГпЩ(Рп <

-л

< С21 (1 - Гп )ап I...[} Ю1 (1 -11 )х

0 -л V 0

Jl f (e^.....^ )Р ^Ф1

r1dr1

г —

.К, (1 - Г1 )ГА .-гА^Фп.

0 У

Продолжая этот процесс по каждой переменной, получим

I(1 - Гп )ап I...}(1 -1 )а1 х

0 -л 0

л

х.\/(е'9.....Гпе'Фп)\1<г1<ф1...гп<гп<фп <

-л

< ^2п [1 Юп (1 - Гп) ... [1Ю1 (1 - Г1) х

Jl f (.....r„e-")|P1 dфl

r1dr1

^n I rndrn

I® ап (1 - Гп) Г<Гп

0

То есть ИЛА^а ) < С\\А\аР—(Ю). Таким образом, мы

получили вложение пространства Ар — (ю) в пространство А1,1 (а) при а. >аЮ., } = 1,п . Лемма доказана.

Лемма 3 (см. [15]). Пусть ю. еП, } = 1,п . Тогда справедливы следующие оценки:

,ю(1 -|С|) , ч , ч , чЮ(1 -Ы) , ч (С) <^т2п (С) < С (а) (Ы) ,

1 -Cz

(1 -I z|)

% \

1

U

I еи", а = (а1,..., ая), а у >ау у = 1,",

0 < (1 -РШу), где ЦоД^ I ))ср (С)т (С)<

и"

<Схр(I), Iеи", 0<т<т!п(1 -РИу), 1 <р<+<х .

3. Формулировка и доказательство основного результата.

Теорема. Пусть р = (р^...,р"), Ч = (1,...,чп),

1 <ру,чу <+да, у = 1,", ю = (ю1,...,Го"), юу еО, а = (а1,...,а"), ау >аю ,у = 1,". Тогда оператор

А (,)() а+1 .(т^) (г)

Аа(/)(1 ^ —Г (1 -_1)„+2 *т2" (С)

где

z = (Zi-----zn) е Un,

(i-и2)а *К

— \а+2 11/, —

а + 1 _ J а у +1

отображает про-

(— \а+2 X А / \а;+

1 -С1) у=1 (1 -Су1у ) странство Lp,ч (ю) на пространство Ар,ч (ю), причем 1К(/)|| ар,Ч (й)< С (рЧ, а)||4 ч (ю).

Доказательство. Так как доказательство теоремы в общем случае по идее ничем не отличается от случая " = 2, то здесь мы приведем доказательство теоремы для " = 2. Если f е Арч (ю), то по

лемме 2 f е А11 (а) и, следовательно, применяя

лемму 1, получим равенство Аа( f)(I ) = f (I),

I еи2.

Положим Р(I) = Аа(f)(I), Iеи2. Ясно, что функция Р(I) голоморфна в и2. Запишем норму функции Р (I) в пространстве ^ч (ю), где

р = (р1,рг), Ч = (41,42), ю = К,®2). Будем иметь

F\\ipq (S) ||F (Z1''

\f (1, z,

2'\liP1 -p2-q1 -q2(т1,ш2) '

2'\\Ll'q1 (ш1)

iP2q2 (»2 )

Оценим сначала внутреннюю норму. Положим

def

Рр1 (е\Z2) = Р(Р1в'01,!2) Р1 е(0,1), 81 е(-л,л). То-

гда

||F (1, z„

2 Лlif1q1 (»)

_|Ь(1 -Р1 )|К (Z2)) dPl

iPi (-Л,Л)

Далее, учитывая определение оператора Аа (f), будем иметь

1|р (е'8', I2

рЛ ' 2

i

J-

(1-icil2 )а|(1 -ы2 )а

(1 -Сле"1)) (1 -i2z2) f (С1,С2 )dm (С1 )dm, (Q

(1 -гГ (I2)'

d0,

JJJJ

0 -J„(l-r^ps'01) (l^)

<f (e^,^ )dф/ldrldm' (С 2)

d0,

Применяя неравенство Минковского, получим

Ир. ( е''^ z

' Z2 'IIP (-л,л) <

-1 #?) 1 (1 -11)

U 1 С2 Z2 0

Л i

f (rie^,C2 ))

у.

1 - ripie'(01 -ф1>

I a.+2

d0

X11dridm2 (С2 )< C2 Jj-— ,aJ +2

U 1 С2Zj

x((1 - 1 )a

Л ( Л J

J -Л J -Л

L v.

f (Г С 0

р. d ^ dфl

J

- 1 - riPie

(01-Ф1 )ai +2

1 - 1Pie"

d0.

■la \|a. +2 <01-ф1) 1

ridridm2 (С2 ) .

В последнем неравенстве мы воспользовались не-

Pi

равенством Гельдера с показателем p. _-

Pi -1

1

U

a

X

0

Учитывая, что функция f (Г1е'ф1,С2) не зависит от 01, и меняя порядок интегрирования, получим:

1К (е'01, Ы21„ (-л,л)<

г (1.

<С3J J(1 -Г1 )a; |J|f((* с2dфl

U 1-C2 zj 0 1

J

de„

л 1 - 1P1e'1

>1-Ф1 m+2

p1 P1

1dr1dm2 (C2 ) =

= С3 J^ J (1 - n )

U 1-C2ZJ 0

re

de,

',C2 )) dфl

v л |1 - r1P1e'( Таким образом,

>1-Ф1 )Г+2

rdr^m-, (C2) ■

F (zu |tP1« (t01) ■

= |J®1 (1-P1 )K (Z2)) dP1

(C J (1 - г

<c3]J»1 (1-P1) J; - /2+2 J(1 -Г1 )a 1-C2ZJ 0

r1e'% C ) dФl

J

de1

л 1 - rlPle'(

el-Ф1))'

rldrldm2 (C2 )

dPl

Применяя неравенство Минковского, будем иметь

V (г1, Ы2 )11Л м<

(1 -1с i2 )2 Г1 Г1

< С4 Л I2' ^ (1 -Р1) К1 -Г1 ) х

и 1 - С2 Ы2 Г 0 [ 0

х| Jf(e^) dф:

delr1dr1

1 - rlPle'(

>1-Ф1)

iai+2

dPl

dm2 (C2).

Умножим и разделим правую часть последнего неравенства на функцию хУ1 (С 1), 0<у1 <(1 -Р®)х

xmin< q.

ql -1

и затем применим неравенство

Гельдера с q1 = ql , получим

ql -1

И (zl, z2 Ы

Jro1(1 -P1) JJ

< С 5 J

(l-IC2IT

I - la, +

U |l-C2z2\

(1 - r )a' del

о |l - ^;-Ф; f+2 xq; (г. )

re

;, C2 )) -Ф;

r;dr;

J j(; - Г;) xq; ( И/а

0 -л 1 - r.P.e'1

9;-Ф; )a; +2

dPl

dm2 (C2).

Используя лемму 3, оценим внутренний интеграл.

v (Ы1, Ы2 К)<

(1 -1С I2) Г1

<Сбг - ,'2+2ГЬ (-Р1 )(Р1 )х и 1 -С2*2 I 0

JJ

(1 - Г; )a; de.

0 -л 1 - r1p1e'(e;-Ф; )a;+2 xq;

xq; (r)

r.e^,C2) dф

r.dr.dP,

dm2 (C2).

Меняя порядок интегрирования, получим

WF (Z1, Z2 („)<

< 6J |1 -C2z21a2+2 lJ xq; (r)

71

1

X

1

X

X

1

1

X

X

1

<JJ

л». (i-р. )i;:(pi )

о -л 1 - r.p.e

0:-ф)l'

d0:dp::

r.e

С2 )f dф:

r:dr:

dm2 (С2).

Еще раз применив лемму 3, будем иметь

(1 ^ Г х

Г (Z1, Z2 )iPi q:(Si)

< C ^ J

U:-C2Z2I

J»1 (1 - r.)| J If (r:e'\С2 ) dфl

xdm2 (С2)_ C7 Jl44СiÍ) x

U I1 С2Z^

XIf (С:,С2)|L(S)dm2 (С2).

dr:

Тогда Р

\ip,q(») ■

F (z:, z2

2'\li«,'1 (».)

i""'2 (»2 )

(

< С 7 |J »2 (:-P2 )^J|J(: - Г2)

|f ( ^ l '1K)'^

л 1 - r2P2e'1

12-ф2 )

|a2 +2 2 2

r2dr2

d02

dP2

Применим неравенство Минковского:

Г1 Г1

||Р[р,Ч (ю)< С8 ]1Ю2 (1 -Р2 ) |(1 - г2 )"

( (

|f (^ )Ц'1

\P2

Л 1 - r2P2e'1

'2-ф2 )l'

d02

x r2dr2

J(1 - Г2 )a

dP2 j < С9 |J®2 (: P2 )X \\f ( ^ )) dф2

(J |: ,

-л-л 1 - r2P2ev

iP1Д: (»:)

'2-ф2 Л'

J

1 - r2P2e'(

>2-ф2 )l'

d02

xr2dr2

dP2

Здесь мы воспользовались неравенством Гельдера с

' р2

показателем р2 =——. Меняя затем порядок инте-

р2 -1

грирования, будем иметь

НрЧВ)< С,. Цю2 С1 -Р2 ) 1(1 -Г2)- X

(ИС,.^) Чф.

-л f

л

J

d0

iPi«: (•:) у

1 + 1 Xp2 p2

1 - r2P2 e

-ф2 )

x r2dr2

dP2 \ _ С10 | J»2 (: P2 )

J(: - Г2 )a

J

( л .

С:,^ Щ Чф2

P1'1 (Si) ]

1 '2

d02

1 - ^e*'

-ф2 )|'

Г2ЧГ2

dP2

Снова используя функцию хт2 (С2), 0<Т2 <(1 -Р^)'1™"|ч2, Ч211 и применяя неравен' ч

ство Гельдера с показателем ч2 =—2—, получим

Ч2 -1

FHiP '(»)< С11 jJ»2 (1 -P2) J (1 - Г2 ) ХУ2 ( ) x

0 ^У2 (Г2 )

J||f (rS2) Чф2 ]

-л ipi« (»:)

X

1

1

X

1

X

о

1

X

Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 2. С. 4-11

-ISSN 1812-3996

i

dQ„

*1 - /2Р2е

'2-Ф2 Л'

r2dr2

dP2

< С„

jro2 ( -P2 Л

>ii

(1 - r )'■ de,

о -* 1 - r2P2e

\ I'

-Ф2 Л

б)

I«,« (.j)

(1 - r Г )de2

ii h .

о -* 1 - r2p2ev

'2-Ф2 )

|a2 +2 2 2

r.dr.

r2dr2 ;

dP2

Применяя к внутреннему интегралу лемму 3, имеем

Ii '(.)< С12 Н»2 (1 Р2 )*;(Р2 )>

о -* 1 - r2P2e

(1 - r )a2 de2

'2-Ф2 Л'

J| f (еф )) dф2

V2 (r)

r2dr2dP2

1И,'1 (.j)

Меняя порядок интегрирования, получаем

>>

(5)<С13 Ü" х* (Г2)

>Нх12 (P2 )

ю2 (1-P2 )de2dP2

1 - ^e"

(2-Ф2

i |/((Г2вФ ) dф:

r2dr2

Еще раз применяя лемму 3, будем иметь

Л- - < С II' \\ея (5) - 14

(1 - Г2 )a2 х: ()

а*.

х"2 (2 )

12

л -

^ )) d^

I-! « (.1)

dr.

= С,

"14 И-* |1Ю>—(5) •

Учитывая также, что Г - аналитическая в и2 функция окончательно имеем \\F\lt—(5)< с||/|р—(5). Теорема доказана полностью.

Полученное утверждение при — = р , } = 1,п

совпадает с результатами, полученными в работах [3; 7].

Указанные результаты позволяют описать линейные непрерывные функционалы в исследуемых пространствах.

о -*

х

1

1

х

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М. : Мир, 1973. 342 с.

2. ForelliF., Rudin W. Projection spaces of holomorphic functions in ball // Indiana Univ. Math. J. 1974. Vol. 24. P. 596-602.

3. Шамоян Ф. А., Ярославцева О. В. Непрерывные проекторы, двойственность и диагональное отображение в некоторых пространствах голоморфных функций со смешанной нормой // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1997. Т. 247. С. 268-275.

4. Антоненкова О. Е. Ограниченные проекторы в некоторых пространствах гармонических в шаре функций со смешанной нормой // Вестн. Брян. гос. ун-та: Естественные и точные науки. 2008. № 4. С. 6-13.

5. Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Об интегральных операторах в пространствах аналитических в верхнем полупространстве функций со смешанной нормой // Ученые записки Брян. гос. ун-та. 2017. № 3. С. 7-14.

6. Часова Н. А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах со смешанной нормой аналитических в поликруге функций // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2001. Т. 8. С. 237-238.

7. Шамоян Ф. А. Весовые пространства аналитических функций в поликруге и шаре. Брянск : РИО БГУ, 2016. 276 с.

Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 2. С. 4-11

ISSN 1812-3996-

8. Duren P. L., Romberg B. W, Shields A. L. Linear functionals of Hp spaces with 0 < p < 1// J. Reine and angew. math. 1968. Vol. 238. P. 32-60.

9. Пеллер В. В., Хрущев С. В. Операторы Ганкеля. Наилучшие приближения и стационарные Гауссовские процессы // Успехи мат. наук. 1982. Т. 38, № 1. С. 53-124.

10. Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Теоремы деления на внутреннюю функцию в анизотропных классах голоморфных в поликруге функций // Ученые записки Брян. гос. ун-та. 2016. № 3. С. 13-18.

11. Сенета Е. Правильно изменяющиеся функции. М. : Наука, 1985. 141 с.

12. Джрбашян М.М. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге функций // ДАН Арм. ССР. 1945. Т. 3, № 1. С. 3-4.

13. Джрбашян М. М. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. ин-та математики и механики АН Арм. ССР. 1948. Вып 2. С. 3-35.

14. Djrbashian M. M., Shamoyan F. A. Topics in the theory of Ap spaces. Leipzig : Teubner-Texte, 1988. 105 p.

15. Шамоян Ф. А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, № 2. С. 197-215.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Антоненкова Ольга Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Брянский государственный инженерно-технологический университет, 241037, Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3; e-mail: [email protected]

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Antonenkova Olga Evgenevna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering, 3, pr. Stanke Dimitrova, Bryansk, 241037, Russia; e-mail: [email protected]

Часова Наталья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Брянский государственный инженерно-технологический университет, 241037, Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3; e-mail: [email protected]

Chasova Nataliya Aleksandrovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering, 3, pr. Stanke Dimitrova, Bryansk, 241037, Russia; e-mail: [email protected]

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Линейные ограниченные проекторы в некоторых анизотропных пространствах аналитических в поликруге функций // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 2. С. 4-11. Р01: 10.25513/1812-3996.2019.24(2).4-11.

FOR CITATIONS

Antonenkova O.E., Chasova N.A. A bounded linear projectors in some anisotropic spaces of analytic functions in the polydisc. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 2, pp. 4-11. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(2).4-11. (in Russ.).