Характеризации типа ВМО, диагональное отображение и ограниченнность интегральных операторов в некоторых пространствах аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал апрель-июнь, 2007, Том 9, Выпуск 2

УДК 517.98

ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ТИПА ВМО, ДИАГОНАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ И ОГРАНИЧЕНННОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Р. Ф. Шамоян

Распространены (в различных направлениях) некоторые известные ранее характеризации аналитических классов Бесова и неравенства для рациональных функций, дополнены утверждения о диагональном отображении новой теоремой, обобщены классы Р£'4 теоремы о действии операторов типа Чезаро.

Ключевые слова: интегральные операторы Чезаро, голоморфные пространства Лизоркина — Трибеля, классы Харди.

Основная цель настоящей заметки распространить результаты о характеризациях типа ВМО классов Бесова и Блоха, полученные в [1, 2], дополнить утверждения об оценках рациональных функций и известные результаты о диагональном отображении из [3, 8], а также обобщить на голоморфные пространства Лизоркина — Трибеля недавно полученные утверждения об ограниченности операторов типа Чезаро из [4].

Для формулировки теорем, установленных нами, введем стандартные обозначения. Всюду ниже В — круг на комплексной плоскости С, В = {г : |г| < 1}, Т — его граница, Т = {г : |г| = 1}. Нр(В) — класс Харди [5], Н£(В) = {] £ Н(В) : ||!>4f ||н < то}, где Н(В) — класс всех голоморфных в О функций, Ь £ Ж, 0 < р ^ то, (Оtf)(г) = (к + 1^акгк, Ь £ Ж, f (г) = ^ акгк. Легко видеть (Df )(г) = (zf (г))'. Всюду ниже

к> о

к> о

Бр — аналитические пространства Бесова [11]:

= jf £ Н (В): НВа =J\Dtf (г) |Р (1 — |г|)(^)р-1 йт2(г) < то

где а, Ь, р £ Ж, Ь > а, 0 < р < то.

Теорема 1. Пусть Ь + 1 < р < то, (в — а)р = 1 + в + 1, Ь < 1, в ^ а + 1, в, 7 > 0, причем Ь = в или Ь = 7. Тогда следующие условия равносильны:

1) f £ Б

2) J = Ц

(3'~Ч^311 ^ (1 — |г|)в-1 (1 — ИГ1 (1ш2{г) йт2(ш) <

то.

< 2) ^ 1): Основная идея — привлечь диагональное отображение. Действительно, импликация 2) ^ 1) — непосредственное следствие теоремы о диагональном отображении, доказанной в [8]. Функция О, где

(/ (г)-/(т)

О(г, ш) = < г-т : \f '(г),

г = ш, г = ш

© 2007 Шамоян Р. Ф.

— аналитическая функция в бидиске в В2 = В х В [8], а теорема о диагональном отображении утверждает [8, 14], что Diag Лра (Вп) = Лап+2п-2(В), где Diag / =

/ (г,..., г), а > 1, 0 < р < ж, п е N. а Лра (Лр = Вв, а = —вр — 1, в < 0) — классы Бергмана. Для доказательства обратной импликации нам понадобятся несложные операции с формулой проекции Бергмана.

Следующее равенство выводится непосредственно из формулы проекции Бергмана [8]:

^ (г,т)| =

В8-1 / (г) - В8-1 /(т)

г — т

= С (V)

~ V+1 _ _

в В 8-1/(т) (1 — т

1 — тг) (1 — тт

<т2 (т)

-э

В /) (г) = £ +)1) акгк , / = £ акгк | .

^ Г(к + в)

к>0 v '

к>0

(1)

Для достаточно большого Ь и V, близкого к —1, V > —1, имеем:

~ V+1

~ t+1 Вх Вш ^(г, т)

Р г В В8-1 / (Й>)(1 — |г?|)V й

= С (V)

— тг^ — тг^

— \*+2

<т2 (т)

(2)

А

:£+1 х í+l

Вг ^(г, т) (1 — |г|)(1+^)р+в-1

< С

х (1 — |т|)(1+')р+7-1 <т2(г)<т2(г) < ВV+s/ (т) Р (1 — |г|)(1 — |т|)р(т)+7-1 (1 — |г|)в-1+р(^1)-ер

tp+2—ер

1 — т 1 — тт

< с !\в V+s/ (т) |р (1 — |т|)(8-а)р-1+^ <<т2 (т)

в силу известных оценок

(3)

< с

/(т)| (1 — |т|)V<т2(т) |1 — тг|а |1 — тг1|2+в

|/(т)|р (1 — Ы)^ (1 — Ы)-ер<т2(т)

|1 — тг|ра |1 — тюг1 |-ер+2+вр :

<

р> 1, а, в > 0;

(4)

(1 — |т|)и <т2 (т) |1 — тг|7

<

С

(1 — |г|

\y-u-2'

(5)

v

и

X

г

v

где u> -1, y > u + 2, z, z1 G D, e > V,

p

J \f (w)| (1 - |w|)a dm2(w) I < С J \f (w)|p (1 - |w|)ap+2p-2 dm2(w), p < 1, (6)

приведенных, например, в [7, 8, 17, 19].

Остается применить известную теорему Харди — Литтлвуда о действии производной в пространствах Бергмана, точнее ее вариант для дробной производной, легко выводимый из классической теоремы Харди — Литтлвуда [5, с. 81] слева и справа в (3):

J < CJl < С1 ||/||Ba -

Меняя в (4) z и zi, мы восстановим симметрию в индексах. >

Замечание 1. Теорема 1 распространяет в двух направлениях утверждение, установленное в [2, теорема 3]. Рассуждение, приведенное в [2] — доказательство

характеристики типа ВМО (инвариантных относительно преобразования Мебиуса)

i

классов Bp , p > 2 в части необходимости и в части достаточности существенно использует свойства этого преобразования. Наши рассуждения, на наш взгляд, существенно проще.

Замечание 2. Приложения различных характеристик типа ВМО классов Бесоа известны [9, 10, 22].

Замечание 3. Если а = 1/р, р > 2, в = 1, в = 7 = Р/2 — 1, то мы получаем в точности теорему, установленную в работе [2].

Подход, основанный на диагональном отображении, позволяет доказывать различные утверждения подобного рода. Следующая теорема распространяет результат из [1], где получен частный случай теоремы 2 при в = 1, а = 1.

Теорема 2. Пусть 0 < а < 1, Ь, V ^ 0, Ь + V = а, в — любое действительное число,

АаТ = / G H(D) : sup M^ (de/, r) (1 - r)a < œ I re(0,i) v '

Тогда / G A^'j^ если и только, если

S = sup sup

r, R |w|=r, |z|=R

D^-1/) (w) - (D^-1/) (z)

z-w

(1 - R)1 (1 - r)V < œ.

(7)

< Достаточность условия (7) тривиальна (при этом надо учесть, что

О) (г) = ^(г))' = г/(г) + f (г)).

Для доказательства необходимости мы снова воспользуемся равенством (1).

Имеем

J = 8ир8ир ((1 — |г|)^+* (1 — |т|) N

^^ В^1 ВЬ Вв-1/(г) — Вв-1/(т)

г—т

^ c(V) 8Ир И, N

у т

Ву+вf (та) (1 — |т|)

_ ^2 + 1 / _ ^1 + 1

1 — тг\ (1 — тт |

<т2 (та) (1 — |г|)^(1 — |т|)^2 <

< ( 8ир М(в^+в/, ^ (1 — +а | \м>К N<1 у ' )

(8)

К!

(1 — Щ)-" (1 — |г|)^1+^ (1 — |т|^+*2

^2 + 1 ^+1

1 — таг 1 — тт

<т2(т) = 5

х

х

(Ь + V = а, V — достаточно большое число). Учитывая оценку (8) и оценку последнего интеграла [7], получим

Г

|1 — ¿т|г |1 — гтр

5 <(1—(1—к < с™.

0 < ¿2 + а < 1, 0 <¿1 + а < 1, ¿1 + ¿2 + а > 0 (мы на последнем шаге использовали теорему Харди — Литтлвуда о действии производной [5, с. 87] справа и слева в (8)).

Замечание 4. Аналогичные утверждения можно вывести и для производных (обычных) /(п)(г). Но доказательства этих предложений технически несколько сложнее.

Подобный подход можно использовать и для классов функций с «нестандартной» квазинормой. Здесь снова (по крайней мере) половина критерия будет получена, если будет установлена надлежащая теорема о диагональном отображении. Ниже мы покажем это на примере пространств

ВVта,в = / е вV : / е тр,в

где а > 0, в > —1

тР

/ е Н(В) : 8ПР (1 — р)а ( / |/ (рй£)|р (1 — К)в <т2 (Щ) I < ре(0,1) \ 3 I

1/р

" ж

.

Определение 1 [8]. Пусть Н(Вп) — пространство всех голоморфных в полидиске Вп функций, Вп = {г = (г1,г2,...,г„), |г,| < 1, ^ = 1,...,п}, X с Н(Вп) — подпространство Н(Вп). Скажем, что след класса X на диагонали поликруга совпадает с У, У с Н (В), У — подпространство Н (В), если для любой функции / е X / (г,... ,г) е У и для любой функции д е У существует функция О е X, такая, что О(г,..., г) = д(г). При этом будем использовать обозначение DiagX = У. Задача о диагональном отображении в Нр(Вп) рассматривалась многими авторами [8, 14].

Незначительно модифицируя доказательство из [8] (рассуждения следует применять к функциям /р, др, р е (0,1)), нетрудно установить следующий результат.

Предложение С. Пусть а ^ 0, п £ N 0 <р < ж. Тогда

Diag A?T = Tpa в (D) = f е H(D) : sup (1 - p)a х

ре(0,1)

J If (рЯ£)Г (1 - R)e RdRdm(t)j < ж|, в = n - 2, n > 1

Ap>~ = f е H (Dn) : sup Mp (f,r) (1 - r)a < ж

[ re(0,i)

Mp (f, r) = Mp (f,r,...,r), 0 <p< ж, a ^ 0.

Из предложения С следует оценка (|w| = |z| = r)

sup (1 - p)a II Dвf (pRt) P RdRdm (t) p6(0,1) \ J

i/p

^ c sup

De-1f) (z) - (De-1f) (w)

z - w

\T 2

<

1/p

dm(t) dm (ф) I (1 - r)c

Обратная оценка выводится как и выше из (1)—(3) путем несложных преобразований. Пусть р ^ 1, ¿1, ¿2 > 0, ¿1, ¿2 — достаточно большие положительные числа. Тогда из (1) и (6) имеем

р

В В

(1 - рГ+(а+ь)р г D1 Dt2 De-1f (pt) - Dв-1 f (рф)

J рф - pt

T2

dm (t) dm (ф) ^

(

< c (V) f j

T2 \D

DV+вf (pw) (1 - |w|)V |wd| dm2 (w)

1 - Wp<£ 11+1 1 - wpt t2+1

(1 - p)pa+(tl+t2)p dm (t) dm (ф) < M.

/

Применив дважды теорему Харди — Литтлвуда [5, с. 87], получим

< c

M < c(V)

~tl+t2 тл D De+V f (pRt)

p

DV+ef (pW) (1 - |W|)Vp+2p-2 dm2 (W)

(1 - |W|p)(tl+1)p-1 (1 - |W|p)(t2+1)p-1

(1 - p)

pa+(ti+t2)p

<

(1 - R)Vp RdRdm (t) (1 - p)(tl+t2)p (1 - p)pa < c

DP Ap 0

При этом, чтобы «избавиться» от ¿1, ¿2 слева необходимо потребовать в > р + а — 1 [22]. Случай р > 1 расматривается аналогично с привлечением оценки (4) вместо (6). Итак, нами установлена

Теорема 3. Пусть а > 0, в £ К, в > р+Ьт, 0 < р < ж. Тогда / £ ВвТр0 если и только, если

1/р

sup ге(0,1)

T2

D e-1f (rt) - De-1f (гФ)

rt - гф

dm (t) dm (ф) I (1 - r)a < ж.

х

p

r

p

p

p

Заметим, что справедливо и обратное. Опираясь на утверждение о характеризациях

ф ф й (D У )(z)-(D У )(w) классов голомрфных функции через разности ---——w--, можно полностью

описывать следы тех или иных функциональных классов в бидиске на диагонали (z,z).

Действительно, функция F (z, w) ——f )(ZZ-W°—f )(w) дает искомое продолжение. Имеем F (z, z) = ^D-1/) (z) = /(z), где ^D-1/) (z) = / /(w) dw и следующие неравенства следуют непосредственно из теорем 1 и 2:

sup |F (z, w)| (1 - |z|)V (1 - |w|)* < c II/||A~,~ , a ^ 0, t + V = a.

|z|<1, |w|<1 0,a

J J IF (z, w)|p (1 - |z|)e-1 (1 - |w|)Y-1 dm2(z) dm2(w) < c ||/Ц ,

D D

где p> 1 + y, в < 1, a ^ -1, в, Y > 0, (-ap) = 1 + в + Y.

Обратное к последнему неравенству при любом n € N получено в [8]. А неравенство

sup sup (|/(z,z)| (1 -|z|)y+i) < C1 sup (|/(z,w)| (1 - |z|)V (1 -|w|)i) ,

0<r<1 |z|=r J |z|<1, | w | < 1 J

где V, t ^ 0, очевидно.

Предположим далее, что всюду ниже R(z) — рациональная функция степени n, n = 1, 2,..., полюса которой лежат вне диска D, Bl — класс Блоха,

Bl = j / € H(D) : ||/||bi = sup|/'(z)|(1 - |z|) < ж! . [ |z|<1 J

Мы установим, что имеет место оценка

a

sup | I Da+1R (pf) 1/a dm (f) I (1 - p)a < na DR (9)

p ,

\T

вг

для всех а, 0 < а < ж.

Отметим, что при а ^ 1 эта оценка установлена Пекарским [3]. Нам понадобится в дальнейшем следующая векторнозначная максимальная теорема.

Теорема А [6]. Пусть X — квазинормированное пространство. Тогда [ 8ир ||/(г)||х <т (О < с (X) / ||/(£)||х <т (О, Г(£) = {г : |1 — £г| < (1 — |г|)} .

А. Пекарский в [3] для а ^ 1 вывел следующие два неравенства:

||Я||Н1/« < С1 (а) па ||Я||вг, 0 < а < ж, (10)

||R||D<M1/« < С2 (a) na |R|bi , 0 < a < ж, (11)

1 /а — 1

Г ~ 1/a

|R|Hi/a = sup / Da/ (rf) dm (f);

а r<1 „

T

\\R\\aDaAl/a = / Dа+1/ (rf) 1/0 (1 - r)1/a—1 drdf

1/a — 1 J

< Докажем сначала, что (9) при а < 1 выводится из теоремы А и (10) при а = 1. Заметим, что при а < 1

1 1

~2~а—1 f Г ~2~1

dD dD R (Df) = (а) D D Rr (ppf) ра (1 - р)—а dpdr, 0 0

(12)

где D / (z) = £

Г(к+а+1) „ к

k>0

Г(к+1)

akzk, а > -1, D—1 (D1П = /.

1 ~ 1 ~ Пусть A = / L> 3R (rppf) dr. Тогда A ^ min (X, Y), где X = max / D3R (rppf) о p 0

dr,

Y=

D D R

А, имеем

(1 — р) 1. Следовательно, оценивая, интегрируя по Т и используя теорему

Bl

~ а+1

D R (Df)

1 /а

T

dm (f) < c WRWBV

1/а

I (1—а)1/а

T0

D R (rpf) dr I dm (f). (13)

Значит, sup f Da+1R (Df) dm (f) (1 - p)a < cna ¡56(0,1) \T

D D R

Bl

. Мы учли, что

/ / Б3К (гр£) (^(г < с / £>Л (р£) dm (£) (1 — р)-1 и (10) при а = 1. Т 0 т

Отметим, что для любой аналитической функции / неравенство

Bl

< csupМ1/а yDа+1 /, р) (1 - р)а , а < 1

(т. е. «обратное» к (9)) также справедливо и следует из известных теорем Харди — Литтлвуда о росте средних Мр(/,г) [5, с. 84]. Подобная «обратная» оценка для рациональных функций была установлена Е. Дынькиным в [18]:

\\R\H < n p \\R\as , 1 < 2 + а<р, а

Р

2 + а

Оценка ||/Цар ^ ||/||яст — известная теорема Харди — Литтлвуда [5, с. 87], где как и выше

А^р-1 = I/ £ Н (В) : |1/^)|р (1 — ИГ-1 dm2(z) < ж, а> 0,р> 0.

Следующее утверждение связано с интегральным оператором Тд, где (Тд/) (ад) =

V

У/ ф)д'(^) (частный случай этого оператора — так называемое преобразование 0

Чезаро), которому посвящено большое количество работ в последние годы [4, 12, 13]. Наиболее общие результаты — критерии для ограниченности операторов Тд — действующих в классах Харди и Бергмана получены недавно [4, 12].

а

1

3

а

р

Теорема В [4, 12]. Пусть 0 <p < ж, а> 0. Тогда

1) оператор Tg действует из Hp в Hp в том и только том случае, когда g £ BMOA;

2) оператор Tg действует из A0¡ в A0¡ в том и только том случае, когда g £ Bl, где BMOA, Bl — известные классы: BMOA = BMO П H2, Bl — класс Блоха [2].

Пусть, далее, 0 < p, q < ж, t > s, s £ R. Обозначим

FP'q =

2n

p/q

f £ H(D) : J U\d* f (R0\9 (1 - R)(*-s)q-1 dRl dm(0 < ж

o \o

— голоморфные классы Лизоркина — Трибеля [19]. Очевидно 1 = Л^ при р = д, в < 0, а = —в [19, 28]. ^0Р'2 = Нр [5], 0 < р< ж.

Ниже мы сформулируем и докажем обобщение второй части теоремы В.

Теорема 4. Пусть в < 0, 1 > | + 1, 0 < р < ж. Оператор Тд действует из ^8'1 в 1 тогда и только тогда, когда д е В1.

Замечание 5. Случай в = — 1, р = д содержится в теореме В.

< Доказательство теоремы 4. Отметим сначала, что справедливы следующие неравенства:

||Тд/||рГ« < ||д|в1 х ||/И^« < ИдИрГ" х ||/Иру.«, в < 0,р,д е (0,ж), (14) ||Тд/< ||д|н(1/Р-1/Р1)-1||/||рр1-«, в<0, р1 >p, рир е (0,ж), (15)

где

Foo,q = ¡f £ H(D) : sup

Daf (z) ' (1 — |z|)(a-s)q-1 dm2(z)

|1 — zw|

- in+1

(1 — M)n < ж

а > в, 0 < д < ж, п е N.

Заметим, что (Тд/)' (т) = /(т)д'(т). Поэтому первое неравенство в (14) — следствие теоремы Харди — Литтлвуда [5, с. 84], второе — следует из представления Бергмана [19]. Неравенство (15) — простое следствие теоремы о сильной факторизации Вербицкого — Кона [20].

Легко вывести также оценку

ITf ||FP,q < c sup Dg(z) (1 — |z|) s |z|<1

-1/p+i/pi+i

11

Fp,q , S > 0,---> 0. (16)

F P1 P

Оценки (14)-(16) при д = 2, в = 0 получены в [4].

Покажем теперь справедливость неравенства обратного к (14). Нам понадобится следующая лемма.

Лемма А. Пусть Ь > —1. Тогда существуют положительные числа а и в такие, что верна оценка

T \0

(1 — И)* d|w|

|1 — wz2|aq |1 — w¿1|eq

p/q

dm (£) ^

c(p,q,t,a,e)

|1 — z1 z2|(a+e)p-(*+1)p/q-1

где zi £ D, i = 1, 2.

1

w

< Нам понадобится следующее неравенство [7]:

dm (£) с(д,в) , „.

—' 0 <в< 1 1 <^< 1 + в (17)

Т

|1 — |1 — фи)^-3 |1 — zw|q

Имеем следующую оценку внутреннего интеграла (Ь > —1)

1 . Яо ,

Г (1 — И)' d|w| / (1 — |и|)*

аq

1 — z1 |1 — ^в^г^ 1

№

__ aq

^ №

d|w| +

1 — |w|ei^zl 1 — Ие^

_(1- |w|)t

1 — и/А^р

Яо

+ / -_ч "-— (^у Ко =max(|zl|, |Z21).

1 — |w|eгРz1 |1 — ^^Р^ |вq

Яо

(1 — |w|)t „ . _ ад-;--d|w| <

--Ч /О

1 — ^фР z1 |1 —

< (1 — Ко)'/2+1/2 (1 — Ко)'/2+1/2 <

|1 — г^Г |1 — ^е-^ " |1 — г^Г-^ |1 — г^Р^-^'

1

с

Яо

(1 — И)'

Яо

__ аq

1 — ^фР z1 |1 — |w|e-Рz2|

№

< , (1 — К|г|)'/2+1/2 (1 — К)-1/2+'/2 (К <

|1 — Кё^Рг^

^ а

1 — Кё^Рz2

№

<

_ аq-t/2-1/2 _ вq—'/2-1/2

1 — 1 — Z2eгр

Учитывая (17), получим 11/р =

1 р при ё > , где ё = а или в,

в + а > ^ + Р, а, в> 1, а < 1 + ^, в< Р + 1+. >

Используя неравенство [28] |/(г)| (1 — |г|)-3+ р < с ||/, $ < 0, выводим оценки

\(Тд/)' (w)| = \д'(w)| (w)| <

||Тд/||

ГР'

(1 — И)-3+Р+1 (1 — М)"3+р

<

с ||/

-3+Р +1 '

(18)

где (г) = ,л _ ,г+11 _ \V+1, w = Wl, w, Wl £ В, г, V > 0.

' ^ (1-уог)' +1(1-г«1 z) +

Следовательно, учитывая лемму А при а = г + 1, в = V + 1, I = —вд — 1 и неравенство

(т2 (г) <

|1 — wz|p

(1 — И)

в-а-2

, в > а + 2, а > —1.

Выводим из (18)

1 в 1

тш ((I, т,п> 0), (1 + тах(г, V))) <---, г + V + 2 >--в,

р 2 р

с

с

ч

с

min (r, V) > max 2 - 1, 0^ (19)

|g'(w)|2 (1 -|w|)'

|1 - ww1|r

-dm2(w) (1 - |w1|)n <

r (1 - |w|)p+2(r+s-p) < С -(-—^--v dm2(w) (1 - |w1|)n < const

D |1 - wuhr |1 - ww1|Hr+1+s-p)

при m+2 (r + 1 + s - 1 j > l+2 ^ r + s - p) +2 ^ m> l и при n = m-l, l+2 (r + s - 1 j > -1.

Итак, g € Qi

|g;(w)|2 (1 - |w|)1 w1 J |1 - ww1|n

snp^' ; ' (1 -|w1|)ndm2(w) < ж.

Напомним, что [21] Qi,n = Bl при l = n > 1, при Qi,n = BMOA l = n = 1, Qi,n = Qp при 0 < p = l = n< 1 . Пространства Qin интенсивно изучаются в последние годы [21]. Проведем анализ параметров в вышеприведенных неравенствах.

Пусть r + s - p ^ 0. Тогда, учитывая последнее неравенство и условия теоремы 4,

имеем 1 - 2 > r + 1 ^ 1 - s +1 ^ s > 2, что противоречит предположениям теоремы 4 p 2 p

(s < 0). Следовательно, имеет место неравенство r + s - p ^ 0. Из (18), (19) выводим ограничения на p, s, n, r:

1 s x ( -1 -1 \ 1 s

->- + 1, s< 0, (l + 2 - m) < 2 < —-— , r --- 1.

p 2 \r + s - 1/p/ p 2

Сопоставляя полученные выше ограничения на параметры, получаем такие условия:

( s , \ 1 1 ( s л 1 s max---1, 0 <r<--s ^ s,--1 , ->- + 1.

V 2 W p p \ '2 / ' p 2

Окончательно выводим

(1 A 1 s

l> -1 + 2--r - s), s< 0, - > - + 1 + r.

\p J p 2

Заметим, что если l ^ 1, то r + s - 1 > -1. Откуда -1 - s + 1 ^ r< P - 2 - 1.

p p p 2

Противоречие. Поэтому l > 1. Учтем, что [21] ||g|bi ^ ||gг, l > 1 [27]. >

Заметим, что совершенно аналогично при s < 0 и некоторых ограничениях на p и q можно установить, что оператор Tg действует из пространства Bp'q в Bp'q в том и только том случае, когда g € Bl, где [15, 16]

Bp'q = j / € H (D) : У Mpq (d k/,r) (1 - r)(k-s)q-1dr < ж, k - V, k > s.

Отметим также, что анализ проведенного доказательства показывает, что стандартное наращивание переменных [7] и, незначительные модификации по ходу дела,

1

можно получить обобщение приведенных утверждений об операторе Тд в полидиске Вп, к примеру оценка в лемме В «перейдет»в неравенство

1 \ р/«

' П-(1 — <Н в I <тп (О -с(р,д^в)-,

Уо 0 кА=1 |1 — ткгкГ |1 — гктк^ |1 — гк(г-2)к|(а+в)Р-(т)1Аг-1

к=1

где г1 е Вп, г2 е Вп, а параметры а, в, р, д, Ь удовлетворяют тем же условиям. Учитывая оценку [15]

)Р1/?

<т (О < с ||/|и« , тах(—1,Ь) < - — р, 4 р1 р

р < р1 и рассуждения, проведенные выше, нетрудно установить также следующее обобщение основного результата из [4].

Теорема 5. Оператор Тд действует из ^Р'1 в ^Р1'1, р<р1, 0 < 1 — Р! ^ 1, Ь < Р! — 1

-1-! + —

если и только если 8ир |д'(г)| (1 — |г|) р р1 < ж.

г

Условие д = 0 необходимо и достаточно для действия оператора Тд из в ,

Р — -1 > 1.

Р Р1

Отметим, что при д = 2, Ь = 0 эти утверждения получены в [4].

Основное утверждение последней части заметки — теорема о действии известных операторов Теплица [7, 22] Т^, р е Ни о наличии К-свойства в пространствах типа ВМОЛ и МОЛшар.

Определение 2. Пусть X — подпространство Н1 (В2). Скажем, что X обладает К-свойством, если T^X С X для всех р е Н(В2).

При п = 1 термин введен в [26]. Наличие К-свойства в одномерном случае обеспечивает возможность деления на внутреннюю функцию, т. е. наличие у аналитического пространства так называемого /-свойства [26].

Определение 3. Подпространство X С Н 1(В) обладает /-свойством, если для любой внутренней функции I и для любой функции К е X верно Н/1 е X при условии, что Н/1 е Н1.

2

Пусть а е Ж, р е (0,1), ш(г,г') > 0, ш(г,г') = П ^(г^г^). Введем пространства

г=1

ВМОЛш>а>р (типа ВМОЛ),

В МОЛШ а р = 1/ е Н (В2) : 8ир / Ва/(г) ш(г, г')<тА(г) < ж, г' = (г1 ,г2). 1 г'ео2 У 1

Наличие или отсутствие /-свойства в различных подклассах Н 1(В) устанавливалось многими авторами (см., например, [23]).

К-свойство (а следовательно, возможность деления на внутреннюю функцию) в классах (типа ВМОЛ) Qp, р < 1, Qp С Н1, которым уделялось много внимания в последние годы (см., например, [24, 27]), было установлено недавно в [23].

В [23] задача решалась посредством псевдоаналитической характеристики классов Qp. Ниже мы предложим более простой подход, позволяющий получать информацию о

наличии К-свойства в общих пространствах ВМОАш,а,р, в бидиске при а = 0. Мы также предъявим две шкалы пространств типа ВМОА (см. следствие 1 и 3) в единичном круге, обладающих /-свойством. Результаты, полученные нами в круге, дополняют известные ранее утверждения о наличии или отстутствии /-свойства в тех или иных шкалах пространств аналитических функций. Утверждение теоремы 6 — новое и для п = 1.

Пусть ниже Вгх = {/ : В1/ £ X} , Ь £ Ж. Заметим, что ВВМОАШр>0>2 = Яр, 0 <р < ж, где

^4 = п(1 -, 0<р<ж.

к=1 I1 гкгк \

Отметим важную работу [27], где также были рассмотрены классы существенно более общие, чем Яр пространства.

Всюду ниже весовая функция ш = ш х удовлетворяет условию Ба при а = 0,

( V/P

f Uj(2)(1 -lzl)adm2(z) Vvq /

( \i/q

supsup G D(1 - |Vo|2)-(2+a) z Vo

(20)

I (wj(Z))-q/p(1 - |z|)adm2(z)

\SVo )

< Ж (Sa),

1 + 1 = 1, * =(г, г'), т(г) = т(г, г'), з = 1, 2, (1 - |*1) = (1 - |г|) (1 - |г'|).

Теорема 6. Пусть имеет место включение ВМОАш,о,р С Н1 (В2). Тогда пространство ВМОАш$рР обладает К-свойством.

< Доказательство теоремы опирается на следующий критерий, установленный в [25]. Пусть а > -1, 1 < р < ж, ш(г) ^ 0. Тогда оператор

(Pf) (z) = / f 'w>(1_-)a+f dm2(w)

J (1 - wz)a+2

(проекция Бергмана) действует из Ьра у в себя: Ьрау = ЬР(В, V (г)(1 - |г|)а йш2(г)) в том и только в том случае, когда

1 i

p I „ \ q

sup(1 - |w|2)-(2+a) \ / V(z)(1 - |z|)adm2(z) | \ / (V(z))-P(1 - |z|)adm2(z) | < ж,

rnSD

\SW / \SW /

(21)

где p +1 = 1, Sz = {w G D : |w| > |z|, | argz - arg w| < 2n(1 - |z|)} — коробка Карлесона.

Условие (21), приведенное выше, напоминает условие Ap Макенхаупта и разница в количестве «берущихся коробок», Sz — коробка, «встречающаяся» с границей D. Условие (20) можно получить обычной итерацией, т. е. применением по каждой переменной в отдельности критерия (21).

Действительно, пусть а\ = а2 = а > -1, z[, z2 фиксированы. Тогда при V G Sa, V = Vi ■ V2

х

X

p

f(wi,W2) (1 - ЫГ (1 - ЫГ dm4(w) x (1 - WlZl)ai+2 (1 - W2Z2)a2+2 X

x (1 -|zi|)a Vi(zi,z1 )(1 -|Z2|)a V2(z2,z2)dm4(z) <

^ f(wi, W2) Vl(wi,w'1 )V2(W2,W2 ) (1 -|wi|)a (1 - |W2|)a dm4(wi,w2 ).

Далее, легко видеть, что l(Thf) (z)| = c

h(W)f (W)dm4(w) , где f (z) = V aklk2zfl z2k2. (1 - Wz) ki^fe^G

Остается воспользоваться критерием при а = 0 по каждой переменной и перейти к супремуму сначала справа по и>2, затем слева в полученном неравенстве. >

Следствие 1. Пространство IкИ1 П ВМОАш,0,р (В) при к £ N р £ (0, ж), обладает /-свойством.

Следствие 2. Класс I-1 (р (В2) П И1, р < 1 обладает К-свойством, I-1(р (В) П И1 обладает /-свойством при р < 1.

Следствие 3. Если ВМОАш,0,р (В) С И1 (В), то ВМОАш,0,р обладает /-свойством.

Нетрудно показать, что вес шр удовлетворяет условию (20). Утверждения следствия 2 установлены. Оставшиеся утверждения следуют из замечаний, приведенных выше и из факта, что Б к И1, к £ N обладает /-свойством (см., например, [22]).

Литература

1. Holland F., Walsh D. Criteria for membership of Bloch spaces and it is subspace BMOA // Math. Ann.—1986.—V. 273.—P. 317-335.

2. Stroethoff K. The Bloch spaces and Besov spaces of analitic functions // Bull Austr. Math. Soc.— 1996.—V. 54.—P. 211-219.

3. Пекарский А. А. Новое доказательство неравенства Семмеса для производных рациональных функций // Мат. заметки.—2002.—Т. 2.—С. 230-236.

4. Aleman A., Cima J. An integral operator on Hp and Hardy's enequality // J. D'Analise Math.—2001.— V. 85.—P. 157-175.

5. Duren P. L. Theory of Hp spaces.—N-J; London: Acad. press, 1970.

6. Alexandrov A. B. Essays on non Locally convex Hardy classes // Lecture Notes in Math.—1981.— V. 864.—P. 1-90.

7. Шамоян Р. Ф. Обобщенное преобразование Харди и операторы Теплица в пространствах типа ВМОА // Укр. мат. журн.—2001.—Т. 9, № 53.—С. 1206-1271.

8. Djrbashian, Shamoyan F. Topics in the theory of A^ spaces // Teubner Texte zur Math.—1988.— V. 105.—P. 199.

9. Boe B. Interpolating sequences for Besov spaces // J. of Func. Anal.—2001.—V. 192.—P. 319-341.

10. Wu Z. The Predual and second Predual of ша // J. of Func. Anal.—1993.—V. 116.—P. 314-334.

11. Шамоян Р. Ф. О характеристиках типа ВМО одного класса голоморфных в круге функций // Сиб. мат. журн.—2003.—Т. 44, № 3.—С. 539-560.

12. Aleman A., Siskakis A. G. Integration operators on Bergman spaces // Indiana Un. M. J.—1997.—V. 46, № 2.—P. 337-356.

13. Aleman A., Siskakis A. G. An integral operator on Hp // Complex Variables.—1995.—V. 28, № 11.— P. 149-158.

14. Шамоян Ф. А., Ярославцева О. В. Непрерывные проекторы, двойственность диагональное отображение в весовых пространствах голоморфных функций со смешанной нормой // Зап. сем. ПОМИ.—1998.—Т. 225.—P. 184-197.

15. Трибель Х. Теория функциональных пространств.—М.: Мир, 1983.—344 с.

16. Ortega J., Fabrega J. Corona type decomposition in some Besov spaces // Math. Scand.—1996.—V. 78, № 1.—P. 93-111.

17. Nakazi T. Canad Nath Bull.—1996.—V. 39, № 2.—P. 219-226.

18. Dynkin E. Rational Function in Bergman spaces, Complex analisys, operators and related topics // Oper. Adv. Appl.—2000.—V. 113.—P. 77-94.

19. Ortega J. M., Fabrega J. Holomorphic Triebel-Lizorkin spaces // J. of Func. Anal.—1998.—V. 151.— P. 177-212.

20. Cohn W., Verbitski I. Factorization on tent spaces and Hankel operators // J. of Func. Anal.—2000.— V. 175.—P. 308-329.

21. Wu Z., Xie C. Qp spaces and Morrey spaces // J. of Func. Anal.—2003.—V. 164.—P. 1-15.

22. Шамоян Р. Ф. О действии операторов свертки и Теплица в пространствах типа ВМОА // Мат. заметки.—2003.—Т. 73, № 5.—С. 759-772.

23. Dyakonov K., Girela D. On Qp spaces and pseudoanalityc extention // Ann. Acad. Sci. Fenn.—2000.— V. 25.—P. 477-487.

24. Essen M., Xiao Some results on Qp spaces 0 < p < 1 //J. Reinge. Angew. Math.—1997.—V. 485.— P. 173-195.

25. Bonami A., Bekolle D. Inegalites a poids pour le noyay de Bergman C. R. // Acad. Sci. Paris Ser. A.—1978.—V. 286, № 18.

26. Khavin V. On the factorization of analytic functions smooth up to the boundary // Zap. Nauchn. Sem. LOMI 22.—1971.—P. 202-205.

27. Essen M., Wulan H. On analytic and meromorphic function and spaces of Qp type // J. Math.—2002.— V. 46, № 4.—P. 1233-1258.

28. Шамоян Р. Ф. О пространствах голоморфных в поликруге функций типа Лизоркина — Трибеля // Известия НАН Арм.—2002.—Т. 37, № 3.—С. 57-78.

Статья поступила 27 октября 2006 г.

ШАМОЯН Роми ФАйЗОЕВИЧ, к. ф.-м. н. Брянский государственный университет Брянск, 241050, РОССИЯ E-mail: rshamoyan@mail.ru