CC BY
4МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 517.55
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИЗМЕРИМЫХ В ВЕРХНЕМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ
О.Е. Антоненкова, Н.А. Часова
ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет»
В статье построен ограниченный интегральный оператор для функций, принадлежащих пространству £р,А (С« ), вместе со своими производными.
Ключевые слова: верхнее полупространство, измеримая функция, смешанная норма.
Для изложения основных результатов, полученных в работе введем следующие обозначения: пусть С - комплексная плоскость, С" - п - мерное комплексное пространство, С+ ={г е С: 1т2 > 0} - верхняя полуплоскость, тогда С" ,■■■, 2п)е С": 1т^ > 0,у = 1, "} -верхнее полупространство в С".
Пусть р = (Р1,_Рп), д А), 1 < Ру■ д , = х}. + у е С+, у =1,". Через
¿Р,А (с" ) будем обозначать пространство измеримых в С" функций /, для которых
f\Lp
i
Р2
-ш 0 V
ГШ + Ш / + Ш , p
i... i I Jlffe,..., z„)P dXi 1 dy1
...dx„
dyn
< Ш .
дРА(с" ) - подпространство пространства ЬР'А(С"), состоящее из голоморфных в С функций. Обозначим через (С")
подпространство пространства
Lpq (с;),
состоящее из
таких функций f, для которых
51 У (zi,..., ) &11...
е Lp,q (с; ), где / =(/i,..., /п) -
вектор с целыми
неотрицательными компонентами,
j=i
Пространства со смешанной нормой впервые были введены в рассмотрение в середине прошлого столетия в работе А. Бенедека и Р. Панцоне [1]. В работе Ф.А. Шамояна [2] были введены весовые пространства голоморфных в поликруге функций и рассмотрены вопросы двойственности и интегральных представлений в указанных пространствах. Эти исследования были продолжены в работах Ф.А. Шамояна, О.В. Ярославцевой, Н.А. Часовой [3-5].
Для функций из класса Ap,q (с; ) имеет место следующее интегральное представление:
/л /\ / (2/ )П («,■+ l)r
Kaf(z) = f(z) = (-l)nП( ) \j ;i
Vi
Vi
j=1
z = (Zi,...,Zn)е C;n, af >-1, j = 1,n.
(zi-C )ni2 (zn -C)
n„ + 2
f (C)dM2n (C),
На основе данного представления в работе [6] ранее авторами в явном виде построен
интегральный проектор, отображающий пространство Lp'q (c; ) на пространство Ap'q (c; )
и
1
q
n
q
0
Ш
n
с;
доказана его ограниченность. Отметим, что аналогичные результаты в весовых пространствах со смешанной нормой аналитических в поликруге и шаре функций установлены ранее в работах [7-10]. Лемма. Пусть
V
•v?f fe + + iVn
F(z z ) = с(а)П_V-_ i fVl'f+ + V
n) сИ!Lfe-m-znГ+2-1-i (fei-im-zik+
W1 k +1)
где zi = Xj + y, Cj = fe + iVj G C+, ä = (Oi,...,«„), k >- 1 , с(а) = (-l)n^
i=i ж
] = 1, п. Если /(С)е ЬРЧ(СП+ ), то Р(г)е ЛР,Ч(С"+ ), где г Ц^,..., 2п ), £ = &,...,£„ )еСп+ ,
р = (Pl, ■,Рп)> Ч = (Чl,...,Чп)> 1 ^PJ,Чу .
В данной работе на основе этого утверждения построен ограниченный интегральный
оператор для функций, принадлежащих пространству (С"), в частности, установлена
следующая теорема.
Теорема. Пусть р = (р1,...,рп),Ч = (чх,...,Чп), 1 <Р],Чу <+да, а = (ах,..,ап), о, >-1, У = 1, п,
ъе х-..■77,-/ 1 '^п у 2 ^ ..^,
0-Д4 -'Чп -2п)п 0-1 -'Щ -)1
где 2 = (21,..., 2п ), С = (^1,...,Сп ), = Ху + 'Уз , Сз = 4у + 'Чу еС+, у =1п, причём
. Тогда если /(С) е ^ (С'+ ), то Та (Д-) е (с+ ).
f (Ci,.,Cn С
" I2 ' j
Список литературы
1. Benedek A., Panzone R., The spaces Lp with mixed norm // Duke Math. J. - 1961. - V. 28. - № 3. - P. 301-324.
2. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. мат. журн. - 1990. - Т.31. - № 2. - С. 197-215.
3. Шамоян Ф.А., Ярославцева О.В. Непрерывные проекторы, двойственность и диагональное отображение в некоторых пространствах голоморфных функций со смешанной нормой // Зап. научн. семин. ПОМИ. - 1997. - Т. 247. - С. 268-275.
4. Часова Н.А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах со смешанной нормой аналитических в поликруге функций // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань. - 2001. - Т. 8. - С. 237-238.
5. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой. - Брянск: Издательство БГУ, 2002. - 26 с.
6. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Об интегральных операторах в пространствах аналитических в верхнем полупространстве функций со смешанной нормой // Учёные записки Брянского государственного университета: физико-математические науки / биологические науки / ветеринарные науки. - 2017. - №3(7). - С. 7-14.
7. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Преобразование Коши линейных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46. -№6. - С. 1208-1234.
8. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Успехи математических наук. - 2005. - Т. 60.- №4. - С. 217-218.
9. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Ограниченные проекторы в пространствах гармонических в верхнем полупространстве функций со смешанной нормой // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конф. Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВГУ, 2009. - С. 11-12.
10. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Об интегральных операторах с ядрами Пуассона в пространствах типа Харди в поликруге со смешанной нормой // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. -2017. - № 4. - С. 1423.
Сведения об авторах
Антоненкова Ольга Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: [email protected].
Часова Наталья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: [email protected].
ON THE CLASS OF MEASURABLE FUNCTIONS IN THE UPPER HALF-SPACE WITH A MIXED NORM
O.E. Antonenkova, N.A. Chasova
Bryansk State engineering-technological University
The bounded integral operator for functions whose derivatives belong to space Lp'q (c+ ) is constructed in this article.
Keywords: upper half-space, measurable function, mixed norm.
References
1. Benedek A., Panzone R., The spaces Lp with mixed norm // Duke Math. J. - 1961. - V. 28.
- № 3. - P. 301-324.
2. Shamoyan F.A. Diagonal mapping and problems of representation in anisotropic spaces of holomorphic functions in the polydisk // Sib. Math. J. - 1990. - Vol.31. - № 2. - P. 197-215.
3. Shamoyan F.A., Yaroslavtseva O.B. Continuous projections, duality, and the diagonal mapping in weighted spaces of holomorphic functions with mixed norm // Zap. Nauchn. Sem. POMI.
- 1997. - Vo. 247. - P. 268-275.
4. Chasova N.A. A bounded projections and continuous linear functionals in weighted spaces of analytic functions in a polydisc with mixed norm // Trudy mat. tcentra Lobachevskogo - Kazan. -2001. - V. 8. - P. 237-238.
5. Shamoyan F.A., Chasova N.A. A bounded projections and continuous linear functionals in weighted spaces of analytic functions in a polydisc with mixed norm. - Bryansk: BGU, 2002. - 26 pp.
6. Antonenkova O.E., Chasova N.A. About integral operators in spaces of analytic functions in the upper half-space with mixed norm // Scientific notes of the Bryansk State University: physics and mathematics / biology / veterinary. - 2017. - No. 3(7). - P. 7 - 14.
7. Antonenkova O.E., Shamoyan F.A. The Cauchy Transform of Continuous Linear Functionals and Projections on the Weighted Spaces of Analytic Functions // Sib. Math. J. - 2005. -Vol.46. - № 6. - P. 1208-1234.
8. Antonenkova O.E., Shamoyan F.A. Description of continuous linear functionals on mixed-norm weighted spaces of analytic functions on the unit ball // UMN. - 2005. - Vo. 60. - №4. - P. 217218.
9. Antonenkova O.E., Chasova N.A. A bounded projections in spaces of harmonic functions in the upper half-space with mixed norm // Sovremen. metody teori funktsi i smegny problemy. Materialy conf. Voronegskoi zimnei mat. shkoly. - Voroneg: VGU, 2009. - P. 11-12.
10. Antonenkova O.E., Chasova N.A. About integral operators with poisson kernels in hardy-type spaces in polydisc with mixed norm // Bulletin of the Moscow region state university. Series: physics-mathematics. - 2017. -№ 4. - P. 14-23.
About authors
Antonenkova O.E. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematic, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: [email protected].
Chasova N.A. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematic, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: [email protected].
