CC BY
4ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА УДК 517.53
ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ВЕРХНЕМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ
О. Е. Антоненкова, Н. А. Часова
ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет»
В явном виде строится интегральный проектор, отображающий пространство ¡/'^j на соответствующее пространство аналитических в верхнем полупространстве функций при Р = (Pl,-, Pn ) , q 4n ) , 1 < Pj , , j = 1, n •
Ключевые слова: аналитическая функция, верхнее полупространство, интегральный проектор, пространство Ap,q (сП )•
Обозначим через С+ верхнюю полуплоскость на комплексной плоскости, то есть C+={z еС :Im z > ü}, тогда СП = {zx ,•••, zn )eCn :Im z. > 0, j = 1, n] - верхнее
Cn
L,q (сП ) - пространство измеримых на Cn функций f, для которых
Л\ьр ,q
Р2
+» / +» , Р
j I j| f(zl,•••, zn )Pl dX1 1 dyi
о V-»
• ••dx„
dyn
< .
У
где р = (р1,...,рп), 4 = (?!,...,Яп), 1 <PJ,, г}. = х}. + iyJ е С+, у = 1,и .
При указанных р и 4 обозначим через ^(СП) подпространство пространства и (СП ) состоящее из аналитических в СП функций. Введём следующие обозначения:
а,
Л/ —
ка< j,xjyj)
/ V Г>] у / / <3 ! +2 ' ау
& - Чу - Г
) = А;
Уу ЧуЧ'у
Докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма. Справедлива оценка
а, > -1, zi = xj + y, ^ = « + i^j g C+, j =1,n, 1 1
zj = xj + y g c+, —+ —= 1, j = 1, n •
qj qj
j j|Kaj j,Xjyj )A fc < CAqj (zj),
0 -»
где z} = x} + iyj, Gj = « + g C+, aj > -1, 1 < qj < +», j = 1,n. Доказательство.
ia 1
jj| KaJ Ы , Xjyj ^ (Gj ]d«jdVj = jj
0 -»
0 -»I« - ilj- zjl
Г d«jd^j =
Ii
1
q
q
n
n
0
+w a__+w
k « I
dl,
Рассмотрим внутренний интеграл
7 dl
\s ■ \aJ+2
lJ- l1j- zj\ -w
I
l - l1
dl
\a,+2 'j
•
J- zj
0Cj + 2
+w
I
dt.
l- x, )2 +{„1+y1 )2 J 2 + 1, + У, У)
ч a,+2 2
+w
dt.
. a j+2
J +k+yj )2 J
= 2
i,+y,
I
dt
. a+2
+
0 L 2
+ w
I
dt
< 2
lj+У,
I
(1j +y,)a
i2 + (lj + yj)2 )j2 lj+yj i2 + (l^' + yj)2)
с
lij+yj Yj 1,
a+2
<
dtj +f dt}
I
a+2
<
1 + yj j У
где С = c(a, )= 2 +--.
a +i
Тогда
+i qj
11|Ka, j,xy )Aqj fcJ < с Irjaj
0 -w 0 ylj+yj)
d1, =
+1 4
= с
0 v j ■ у j , 1 Л
J
i,
{lj + у, Yj
1
d1j +1
+w i 4,
f 1
a,--
< С
, aJ--
y,„ q, + w„ q,
(llj +У,)
1
d1,
a +1 ' J
<
Idlj + Idl
lj
У
У, >J
lj
<С = CAq'J (zj).
y,qj
Лемма доказана.
Далее если существует положительное число С > 0, такое что f (£) < Cg(£), £ е E, где f и g - две вещественнозначные функции с общей областью определения E, тогда будем обозначать /'(£) S g(£) .
Построим интегральный проектор, отображающий пространство L 'q (с) на пространство Ap 'q (с )• Отметим, что аналогичные результаты в весовых пространствах со смешанной нормой аналитических в поликруге и шаре функций установлены ранее в работах [1 - 5].
Теорема. Пусть
+w+w +w+w
F (zi,..., Zn )=II Kan (ll, Xnyn)... II Ka ll Xi y )f (£,...,£, ^^..¿Ц,
0 -w
0 -w
где Zj = Xj+ly,, =1, +11,, a, >-1, J = 1,n.
Если f(£)e Lpq(cn+ ), то F(z)e Ap,q (Cn+ ), где z = (z1,..., Zn), £ = )е C+n,
P
=(Pl,..., Pn), q^v..qn), 1 < Pj,q, <
: +да.
Доказательство. Проведём доказательство при п = 2, так как в общем случае доказательство проходит по той же схеме.
0
-w
0
2
0
a
а
q
0
0
Запишем норму функции Г (г.. г 2) в пространстве ЬРъе11 (С+ ):
||Г (г1. 2 21
2 А\ьр1-41 (С+ )
II ||Г(х1 + iУ 1,г2)Р1 ¿Х. ¿У.
0 ч-да
+ да + да + да+да
1 Ка2 (&12. Х2У2 ) I IКа. (&1х. Х1 У. )/(£.^2 №.¿1^2¿12
0 ^-да 0-да
0 -да
Р1 ^
¿Хх
¿Ух
<
<
1
+да/ +да+да
11 1 11К/2 (^12. Х2 У 2 } 1 Л К/1 fe.1l. Х1У11 ^£¿1^2 ¿12
\р1
-дау 0 -да
0 -да
¿Х,
Р1
¿Ух
Воспользуемся дважды неравенством Минковского
'2 )||¿р1.91 (С )
И*..22).<
<
+ да+да
Л| Ка2 (^2. Х2 У 2 ^
0 -да
1
+да/ + да+ да
Лр1
11 111К/1 fe.1i. Х1У11^£¿1. ¿Хх
-да\ 0 -да
Р1
¿Ух
¿^2 ¿12 <
<
1ЦКаг (^212. Х2У2
0 -да
1
+да +да/ +да
Лр1 ^ Р1
1 1| ЦК/1 fe.1i.Х1У1)/(^К ¿Х1
0 у^-да\-да
¿11
¿Ух
¿^2 ¿12 .
Р
Применяя далее неравенство Гёльдера с показателями р1 и р., где р[ = —1—, будем
Р1 -1
иметь:
1|Г(21. 22 |¿р...
2Л\грь« (С+)
<
<
+да
Ка2 ^212. Х2У2 К 1
0 -да
+да/ +да/ +да
1 1| 11 К/. fe.1i. Х.У.)/(С1.С2) Р1 ¿^х
0 V -да\-да
р. ' р.
Ц Ка. fe.1l. Х1 У. I 1 ¿Х1
Р1
¿1.
¿Ух
+да+да
¿^2 ¿12 < 1Ц К/(^212. Х2 У 2 )|
0 -да
X <
1
+да / +да
1 I 1|/(С1.С2 ) Р1 ¿^1 Ц К а. (1 Х. У. ) ¿Х.
^+1 ]Р1
0 \-да V
Р1
¿1.
¿Ух
¿^2 ¿12 =
У
1
0
1
>
0
>
0
У
x
0
X
X
да
1
>
0
да
+w+w
Hl Ka2 fei X2 У 2 ^
0 —w
+w
I
\P1f +w
II Ii)P1 dl 11 IIKa llX1У1)dX1 di1
0 V-w
у V-w
dy1
dl2dl2 •
Умножив и разделив подынтегральное выражение на функцию , воспользуемся
п
неравенством Гёльдера с показателями п1 и П, где П = ——.
п -1
IFfe,z2)<
'2АlLP1-® (С+)
<
+w+w
III Ka2 fei X2 У 2 |
0 -w
+w Iw
w w
II Ilffe,£2) p dll
0 V-w
P1 1
A(f1)
X
1-w \
IIKa1 (ll1l, X1У1 )л(£1 )dX1 |d1l
dy1
dl2dl2 <
<
+w+ w
III Ka2 fei X2 У 2 )
0 -w
w Iw
^P1 1 +w
О f(£1,£2 ) P1 dl Ii Ka1 (ll1l, X1У1 )dX1dl1
X
rn w q
IIIKal feil, X1У1 )Л"{ fel )dX1dil dyl
0 -w
dl d1 •
Применяя к внутреннему интегралу лемму, получим
f(zi, z2)
Ka2 fei X2У2 )
0 -w
+w
I
+ w+w Л л + w
II Iif(£i,£2)pl I I^^jKl (llll,xIУ1)dXldil
X
q | + w w
x(aqi(zl^ dyl f 41 dldl2 = I IIKa2 (l2^2, x2У2 )x
0 -w
X <
+ w+ w/ + w
1111f(Cl,C2)Pdll JPl J^^K (llll,XlУ1)dXldilAql (zi
+w+w
= III Ka2 fei X2 У 2 )x
dl d1 =
0 —w
Yp 1 +ww
II I f (£l,£2) P1 dll —„ I II Kal llll, Xl У1 (zi ddldll
0 V-w у ^ 1) 0 -w
Снова применяя лемму, будем иметь
dl 2 di 2.
>
0
0
X
w
0
X
0
>
+да+да
||Г (г.. г
2 Ь"1. 91 (Сн 11| Ка2 ^212. Х2 У 2
0 -да
X <
+ да/ + да
11 С2 ) " ¿^1
0 \-да
Рх 1
л41 (е.)
л41 (е. ¿1.
¿^2 ¿12 =
Ка2 (^212. Х2У2 |
0 -да
1| /е..е2)р¿^ P1¿1х
0 \
¿^2 ¿12 =
Ка2 felг. Х2У2 ЦУ|¿л .41 ¿^2¿12 .
0 -да
Запишем теперь норму функции Г (г.. г 2) в пространстве Ь (С ), где р = (рх. р2), 4 = (9х. Ч2 ).
Г (г.. ^ )
2 А\ 1}« (с+ )
+да/ +да
1| 11 \Р(в. Х2 + У I ¿и ¿Х2
1
1 Р2
0 \-да
¿У-
<
У
<
+да +да/ +да+да
1 11 111 Каг &12. Х2 У2 |/(*. ^ ! ¿л.41 ¿€2 ¿12
1
л «2 1 42
У2 1Р2
0 ^-да\ 0 -да
¿Х
¿У,
Воспользуемся неравенством Минковского
Г+да I +да +да/ +да
И*1. *2 I(С+ )<И 1 1| 11К/2 ^12. Х2 У 2
0 v 0 -да\-да
1 л
XI / (^2 ) ЬРЬ* ¿^2 )Р2 ¿Х2 Р ¿1
42
¿У2
Применим неравенство Гёльдера с показателями р2 и р 2, где р2 =
Р2
Р2 - 1
+да I +да +да/ +да
И*1. ^2)С) < ] 1 1 1| 11К/2 (412. Х2У2 )||/(• .е2)Ьх.4.
0 v 0 -да\-да
x
+да
11 Ка2 (§212. Х2 У 2 ) ¿^2
"2 ' Р2
Р2
¿1
¿¿У 2
<
>
У
>
2
X
>
да
< ■>
+ад
Л
+ад / + ад
\\\/(-С)|^ д#21 ЛКаг *2У2)дX
Р2
± V2
Р2
дц
йуг
+ад
Л
УР2 ( + "
Л| Л^С )| 2 I Л ^ (^2^2, Х2 У 2 ) йХ2
1 1 ^«2
о ч-ад
У ч-ад
Р2 Р2
йУ2
I
^Р2 1
Л «2
Л1 ^^ С )1 Г- ^^ Л Ка> Х2 У 2 )Л(С2 )дх2 дЩ Воспользуемся неравенством Гёльдера с показателями «2 и «2, где д'2 =
йУ2
У «2
И21, 22)| 1?л(с+2) <
«2 - 1
<
+ад
I
Л Щ/(-с 1 ^.,1 12 Л
|и Ка, (#2^2.Х2У2 )
Л®
,2
о ч-ад
Л«2 С )
дх2дц2
«2
Ка2 . Х2У 2 )ЛЙ (С2 )йХ2ЛЦ2 дУ2
У
ч о -ад
X
Применяя к внутреннему интегралу лемму, получим
(21. 2 2 )
2 )1 ^ (с+2)
+ад
I
«2 1 Р2
II Ц/(-,С)I
о ч-ад
|Ка2 (#2Ц2. Х2У2 )
л«2 С)
дх2дц2
ч
Л«2 2 )йУ2
«2
^Р2 1 +ад+ад
|| ||/(.,С2 )?ЯЛ 2 |ЛКа2 (Ц Х2У2)Л,1 (?2 )дх,дУ^Щ
0 Ч-ад У Л (С 2/ 0 -ад
«2
II Ц|/(^2)^ д#2 Л^Сдц
Р Л«2 (С 2 )
V (
о ч-ад
Р2 Л«21
Л«Г(С2 )1
+ад/ +ад
|| {!/(.,с2 )
1
Р2
о ч -ад
дц
фч ■
В последнем неравенстве мы также воспользовались леммой.
Учитывая тот факт, что функция Р (г1, ) аналитическая в верхнем полупространстве, получаем заключение теоремы. Теорема доказана.
о
о
ад
ад
= <
о
о
ад
X
>
о
Список литературы
1. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Преобразование Коши линейных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций // Сиб. мат. журн. - 2005. -Т. 46. - № 6. - С. 1208-1234.
2. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Успехи математических наук. - 2005. - Т. 60. - № 4. - С. 217-218.
3. Часова Н.А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах со смешанной нормой аналитических в поликруге функций // Тр. математического центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань. - 2001. - Т. 8. - С. 237-238.
4. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой. - Брянск: Изд-во БГУ, 2002. - 26 с.
5. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Ограниченные проекторы в пространствах гармонических в верхнем полупространстве функций со смешанной нормой // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Мат. Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВГУ, 2009. - С. 11-12.
Сведения об авторах
Антоненкова Ольга Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: anto-olga@yandex.ru
Часова Наталья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: chasnat@bk.ru
ABOUT INTEGRAL OPERATORS IN SPACES OF ANALYTIC FUNCTIONS IN THE UPPER HALF-SPACE WITH MIXED NORM
О.Е. Antonenkova, NA. Chasova
Bryansk State Engineering-Technological University
We construct an integral projection that sends the space If'q(C") for p = (p, p„), q =(qq„), 1 <Pj,q} < , j = 1 ,n onto the corresponding space of analytic in the upper half-space functions. Keywords: analytic function, upper half-space, integral projection, space Aq (C" ).
References
1. Antonenkova O.E., Shamoyan F.A. The Cauchy transform of continuous linear functionals and projections on the weighted spaces of analytic functions // Sib. Math. Journ. - 2005. - V. 46. - № 6. - P. 1208-1234.
2. Antonenkova O.E., Shamoyan F.A. Description of continuous linear functionals on mixed-norm weighted spaces of analytic functions on the unit ball // Russian Math. Surveys. -2005. - V. 60. - № 4. - P. 217-218.
3. Chasova N.A. A bounded projections and continuous linear functionals in weighted spaces of analytic functions in a polydisc with mixed norm // Proceedings of the Lobachevsky Math. Centre. - Kazan'. - 2001. - V. 8. - P. 237-238.
4. Shamoyan F.A., Chasova N.A. A bounded projections and continuous linear functionals in weighted spaces of analytic functions in a polydisc with mixed norm. - Bryansk: BSU, 2002. -26 p.
5. Antonenkova O.E., Chasova N.A. A bounded projections in spaces of harmonic functions in the upper half-space with mixed norm // Modern methods of theory of functions and related problems. Mat. of Voronezh Winter Mathematical School. - Voronezh: VSU, 2009. - P. 11-12.
About authors
Antonenkova O. E. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematics, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: anto-olga@yandex.ru
Chasova N. A. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematics, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: chasnat@bk.ru
