ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПРОСТРАНСТВАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.55

DOI 10.24147/1812-3996.2021.26(2).5-11

ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПРОСТРАНСТВАХ

4 (с)

О. Е. Антоненкова, Н. А. Часова

Брянский государственный инженерно-технологический университет, г. Брянск, Россия

Информация о статье

Дата поступления 27.03.2021

Дата принятия в печать 13.07.2021

Дата онлайн-размещения 24.09.2021

Ключевые слова

Измеримая функция, голоморфная функция, смешанная норма, верхнее полупространство, ядро Бергмана, ограниченный интегральный оператор, пространство Соболева

Аннотация. Строится ограниченный интегральный оператор для функций из класса С. Л. Соболева И/К в верхнем полупространстве комплексного пространства со смешанной нормой при р=(р1,...,рп), $ = 1 <р], qj<+cо, у = 1 ,п, где / =(/1,...,/п) - вектор с целыми неотрицательными компонентами, / =/1+... + /п.

ABOUT INTEGRAL OPERATORS IN wJ'J(c+") SPACES O. E. Antonenkova, N. A. Chasova

Bryansk State Technological University of Engineering, Bryansk, Russia

Article info

Received 27.03.2021

Accepted 13.07.2021

Available online 24.09.2021

Keywords

Measurable function, holomorphic function, mixed norm, upper half-space, the Bergman kernel, bounded integral operator, Sobolev space

Abstract. We construct the bounded integral operator for functions from the class l/l/j L of S. L.Sobolevin the upper half-space of a complex space with mixed norm for p = (p1,...,pn), q = (q1,...,qn} , l<py, <+co, j = 1, n , where /= (/l;...,/„) is a vector with integer non-negative components, / = + ... + /„.

1. Введение

Обозначим через С+ верхнюю полуплоскость на комплексной плоскости, т. е. С+ = {2 еС \\rnz > 0},

тогда С"+ ={(22„)еС" >0,у = 1,п} - верхнее полупространство в л-мерном комплексном

СП

¿"■'(с") - пространство измеримых на С" функций f, для которых конечна норма:

+да +да ( +да ( +да

х dx,

í Í ■■ íl íl / (i.....z, )í

4L ft

Pi IЧ1

dy1 I ...dx„

dV„

где р = (р1,...,рп),$ = ^1,...лп), 1 <р], qj< + со, 2. = х. + /у. еС+, у = 1, п.

При указанных р и с? обозначим через подпространство пространства

состоящее из голоморфных в СП функций. Пространством Соболева со смешанной нормой И/^'Дс") назовем подпространство пространства (с"), состоящее из таких функций/, для которых

%^1е,-(с+"),где/=(/1...../„)-

í Zl.....

dz'l...dz':

целыми неотрицательными

вектор с компонентами,

у = 1

Классы С. Л. Соболева играют важную роль в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений с частными производными, в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах комплексного и вещественного анализа и их приложений [1; 2]. Поэтому подробное изучение различных свойств этих классов является актуальной задачей.

В работе рассмотрены классы С. Л. Соболева

И/

в верхнем полупространстве комплексного

пространства со смешанной нормой. Строится ограниченный интегральный оператор для функций из

пространства И/1'1 прир =(р1,...,рп), $ = 1 <ри qj<+co, ¡ = 1,п, где Т = (/1;. ..,/„)- вектор с

целыми неотрицательными компонентами,

171 = /,+...+/„.

Для изложения основного результата работы введем в рассмотрение ядро С. Бергмана:

Kaj ^j >x¡y¡ ) , , +2'

л í^ j - I4j - zj)

а у > -1, Zj = Xj + ¡y¡, С j = j + ¡5 e C+ , j = ^ n .

Далее, если существует положительное число C>0, такое что f(С)<Cg(C), Се E, где f и g - две вещественнозначные функции с общей областью определения E, тогда будем использовать обозначение f (С) < g(C).

Ранее авторами в работе [3] в явном виде построен ограниченный интегральный проектор, отображающий пространство ¿'' '(с") на пространство А™(с").

Лемма (см.: [3]). Пусть

+да +да

F í Zl.....Zn )=jj Kan í^n ' ХпУп

0 -да

+да+да

••• Л Kai í ^l ' XlVl ) X f í Cl '-' Cn ) d^l -d^nd5n ,

0 -да

где Zj = Xj + ¡y¡, Cj =^j + ¡5j, a¡ >-l, j = l, n. Если /(?)eZ.p"(c;), то F(z)e4""(c;), где

z = (zi.....zr)> .....ОС P = (P1.....p„),

q = (q1,...,qn), 1 <p¡, q¡ <+co.

Отметим, что аналогичные результаты в весовых пространствах со смешанной нормой аналитических в поликруге и шаре функций установлены ранее в работах [4-9].

2. Формулировка и доказательство основных результатов

Построим интегральный оператор для функций из пространства И/ДДс") и докажем его ограниченность.

Рассмотрим сначала одномерный случай -пространство Соболева Wв верхней полуплоскости C+. Имеет место следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть

+да +да

Taí f )í z )=jj xy) f íC)d^dn ,

0 -w

где z = x + iy, С = ^ + /'-qeC+, а>—1, причем |/(С)|< С|С|2. Тогда если /(С)еИ^ (C+), то Та а f)(z) е Wp q (C+) , где 1 < p, q <+да, I eN, z, CeC+.

Доказательство. Так как /(^)eW^ (C+), то /(C)e L'q (C+), и, следовательно, по лемме Т (/)(z)eLp'q (C+ ). Покажем, что производные функции Та (/) принадлежат пространству Lp'q, 1 < p, q <+да, до порядка I включительно. Доказательство проведем методом математической индукции.

1. Докажем, что /)(z)e Lp'q (C+), 1 < p, q <+да, если /(^)eWp4 (C+). Найдем производную

функции Та(/)(z), учитывая, что |/(С)|<С2:

Ла / (S + / л)

+„ +„ а j

К f )( z )= С (a)JJ f ^ + ,) з d=

0 -„(£,-1,- z )

+„ +„ f л Л

= С (a) J J ,a f (S + —-—

(S-',-z)

' ,a-1 f (S + i,)

= С (a) J

0

(

,a f (S + i,)

-i

(S-i,-z )a+

_df (s + i,)

(S-i,-z )a

S,

(S-i,-z )a d, | dS =

r( ч| f f',a-1 f(S + /

= С(a)| J W ■ 4a + 2 dSd,+

1,-z )a

- J J

_f (s+i,)

(S-i,-z )a

o,

d^d,

= 1 (z) + F2 (z),

где

Fi (z ) = С (a) J J

,a-1 f (S + /,) (S-/,-z )a

d£,d, ,

_ f (S + i,)

d£,d,

F2 ( z )= С (a) JJV + 2 .

0 -„(S- i,- z) Так как по условию f (^)eW^ (С+), то

df (S+i ,)c t „

o,

F2 (z q (С+ ).

(С+) и, следовательно, по лемме

^^ +„ Of (S + ir Ь

Так как f (S + ',)= I—^--dr, то

,

o,

Fi ( z )= С (a) J J

+„+„ ,a-i +„cf (S + ir) a'ii , ,a+2 Xjfb"^, . (S-',-z) , °Л

о -„ I

Оценим модуль функции F (z):

Fi(z)| < JJ-

0 -"((S-x)2 +(, + У)2)"

= J

Of (S + ir )

o,

drd^d,.

Рассмотрим некоторую функцию feLp , где

1 1

— +— = 1. Умножим |f (z)| на f(x) и проинтегри-

p p' 1 1

руем по x e (—+ ») :

Jf(x)|F1 (x + iy)dx <

x) JJ-

x )2 +(, + У )2 )

a + 2 2

j df +ir) drdSd,dx < J J

J d, J J

(t2 +(,+y )2)

a + 2 2

J|J

df (t + x, r)

o,

x)dx drdtd,

+„ +„ a - 1

JJ-3-a

0 -„(t2 +(,+y )2 Г

J J

of (t + x, r)

dx I | Jy p'( x )dx

o,

drdtd, ,

дера.

Здесь мы воспользовались неравенством Гёль-

.

Таким образом,

Jf(x)|F(x + iy)dx <

—да

д/ (», r)

<JJ, V

0-('2 +(,+У )2)

Далее, из того, что

a + 2 J 2 ,

o,

drdtd,.

a-1

X

a + 2

,

a-1

a- 1

X

0

0 -да

+

X

p

0

X

2 , \

0 -„

1

X

0

/ +ад

1 (•' V )||, = ЦИ. (- + 'У )| 'dx

+ад

= ,sup JNx)|F (x +'У)К

IN L''<Т -ад

следует

+ад +ад a -

JJ-- Y

0 ^2 + (n + У)2)

Ь (•' V)ll, <

+f Of (•, r)

a + 2 J 2 Л

drdtdn.

1 1

Рассмотрим функцию фе!"', где — н— = 1.

Я "

Применяя аналогичные рассуждения, будем иметь

а — 1

I фООИ (•' уЦ* * Ну) I I-3-аггх

0 0 0 ^ + (з + У)2) 2

/ (», г)

J оЛ

+ад

JJr"-■ J-

0 -ад 0

drdtdr\ dy <

Ф( У )

< J

Л

+ад +ад

0 0

+ад

(t2 +(r+У )2) Of (•, r)

On

= J Jra- 1Ф(У)J

r

dt

drdydtdr = Of(•,r)

X

'J-

■{t2 +(r+У )2)"

On

a + 2drdУdrl

Оценим внутренний интеграл:

Л _7 А

J

Л = 2 J —

'((■ +(r + У)2) 2 0 (t2 +(r+У)2)

Тогда

dt

(л + У )

1.1

dt

a + 2 J j.a + 2

n+y

(n + y )a

/ф( У )ll F (•, У )ll pdy;

,+[+[ra-MУ) r Of(•,r)

~ J J i \ a +1 J 0 0 (r+y) Л

f« (+ад a-1 +ад

/ф(у) Jt^T J

0 ( 0 (r + y) r

Or

Of{•.r)

drdydn =

Or

drdn

dy <

+ад y a -1 +ад

Jф(у) Jt^Tt J

0 (0 (r + y) Л

+ад a -1 +ад

+JtttTT^ J

Of (•, r )

Or

drdr +

(Л + У )

Л

Of (•, r) л drdn

Or

L' J

+ад f У a -1

У )|J ^ J

0 V 0 У Л

+™ „a-1 +»

+Jr- J

У 1 Л

+ад™л,^ у +ад

Of(•, r)

Or

Of (•, r) л drdn

On

L' J

=/фУу) J J

0 У 0 Л

ь|Ф( У) J Гт2 J

0 У Л Л

Of (•, r)

Or Of (•, r)

Or

dy <

drdr + dy = drdrdy + drdrdy.

Оценим сначала первый интеграл

уфу) Л

0 " 0 Л

Of (•, r)

= +адфМ

= У2

V

+ад

rJ

Л

Of(•,r)

Or

Or

dr

drdrdy =

+f ф(у) i+ад Ofi^.^)

J0 У2 (У J On Of(•,r)

V y

Jf (T

0 f v У

тад

Jфч'( У )dy

Jфч'( У )dy

Or

J

0

V

dr + y J

L' 0

dr + J

-t-ад и +ад

i t J

Of(•. r) dn L'

On

Of(•,r) л dn L'

On

dy:

dy =

L' 0

+ад

Of (•, r) л dn

Or

L' J

dy

v У

Of(•,r)

Or

Y

dr

Lp J

dy

Of (•, r)

On

dn

+ад/ f if Of(•,r)

J 0 У J J 0 Or L

1 Y +ад f Of (•, r) q

+ J J V0 Or L'

Y

dn

dn

dy

= 2

Рассмотрим второй интеграл Of (•, r)

Jф( y )J^1rJ

0 У Л Л

= /ф( У)

Or

drdndy =

"(-t 17 Of (•, r) dr

( nJJ On L'

i

У

P

У

У

1

1

+

<

+ад

1

D

0

+ад

+

0

У

+да -

■Л

dr

dr

Vy y

7,4 17 df (•, r) 7 1

Jqw^ J^T^ dr+J1

Lp y

dr

< 2 J^ J

0 " y

sir

dy < df (•- r)

df(», r)

5n

dr drdy <

A

dц

L J

dy <

+да Л q' +да (л +да

Jq>*( yJ ^ J

df(•-r)

dr

Л" ^ q

dr\

L" J

dy

/ дл

При оценке этих двух интегралов мы воспользовались неравенством Харди. Итак, мы получили

д/

Jq( y )|| F (•- y )|| edy <

5r

Учитывая, что

(

V о

будем иметь

JlF (•' У)l№ = sup Jq(y)||Fi (., y)||i?dy-

'i| il"-"

т. е. ^ (24 С)• Следовательно, ТД/)(2)е е1р'* (С+ )•

2. Предположим, что /)(2)е/.р'* (С+), и докажем, что Т(к+1)(/)(2)е^р'* (С+) . Учитывая, что

/ (С)|< с| С|2, имеем:

(к+i)

( f)( z ) = с (a)JJ

+да + да a

raf(g+i r)

= с (a) J Jra f (g + 'r)x d

a

0 _«,(g-/r-Z)

(

xd

V

a

(g- / r- z )

dr =

= С (a) Jra

f (g +/ r)

(g- / r- z )a

-J

df (g + /r)V

J j

= С (a)JJ

(g- /r- z )a+k+2 dg

ra df (g +/r)

(g- / r- z )

dg

dr = dgdr.

Так как по предположению индукции

+да +да a j

Tf(f)(z) = С (a) J J ff (g+ar)+2 dgdr e LL'" (С+ )-

0 -»(g- /r- z)

df (g + /• r) „-„

а также

dg

■e L"'" (С+) , получим

r(k + 1)

( f )( 2 )| ,

JJ

'q (С+)

df (g + /r)

dgdr

<+да.

L"'" (с+)

Д^-ГЛ-2 )а + "+ % Следовательно, Тс(к+1)(/)(2)е^р,?(С+) . Таким образом, П''(/)(2)е ^(С+) при всех IеМ Значит, Т (/)(2)еШ' ч (С+)• Что и требовалось доказать.

Обобщим теперь теорему 1 на п-мерный случай пространства Соболева И/]71(с"). Справедливо утверждение:

Теорема 2. Пусть р = (р1,...,рп), д ..,£?„),

1<ру, ду<+со, бс = (а1,...,ап), а; >-1, у = 1,п,

+да +да 0 -да

+да +да

••• | |М^Л1'х1^1 )х /(^.....^К^-^Л»,

где

z = (zi- ...' z„) > C=(Ci-...' C„), z7 = *у+/уу, Су =gy+'ryeC+ / j = i-пРичем \f(Ci- ...'C„

< С

n

с у г

у = i

Тогда если /(С)еИ/]'|.(с+")/ то

Га(/)(2)еИ/]1(<:")-

Доказательство. Так как е И/К (с"),

то /(С)б/.р',(с;), и, следовательно, Та(/)(г)е

е/.р'ч(с+").

Докажем, что 5 Td(f)(zi'--'zn) £

dz!i...dz'n

.....

dzl ...dz'n

ran

0 -да (gn - irn - zn )n n

a +L +2

y

0

a

a

r

0

i

0 -да

n

a

и -да

+да

0

и -да

77Л4 f + Ч.....+ Ч ^

••• J J-7—:--•••»dr„.

0 _ (^ -1Л: - Zi)

Рассмотрим отдельно внутренний интеграл. Проинтегрируем его по частям !± раз.

Х1 f (^i + /Л:.....+ Ч)d^id^i _

+ОТ +ОТ а.

II

/V • \ai +/1 + 2

(Ъ1 " 1 - ^j )

НОТ

= jrai I f (ъ + ч,-, Ъ + ч )>

л

1

+ОТ +ОТ

0 -ОТ

(

х d

а, + /, +1

- Ч- zГ +1

dr =

= R

0

-I

f (Ъ+/Л1.....Ъ-+Ч)

(Ъ- Ч - z1)' 1

/V • \а1 +/1 +

(Ъ -' Г - z1)

а! + /ц + 1

df (Ъ .....Ъ-+Ч)

dЪ

7 а f (Ъ + 4.....Ъ,+Ч )

J Г /> . ча1 + /t+1

0 (Ъ1 - 'Г1 - )

а df (Ъ + Ч^у Ъ-+Ч)

dГ1

dГ1 = ■■■ =

-Ьа1

dr

(Ъ - 4 - ¿1 )а1

(Ъ -' Г1 - ¿1 )а1+1

ir

+ОТ +

II

+ОТ а d1 -1 f (Ъ +'Г1.....Ъп+'Гп )

-I r1-

/1 -1 1

r а1

(Ъ- 'Г1- ¿1 )а1

d1 f (Ъ +4.....Ъп+'Гп)

4 Sbi

d^1 dr1 •

Так как по условию |f(С,■■■,Сп)|<С

п

Я С ,|'

i = 1

то

Ii

га1

а1 +/1 - k +1

. |а1 +/1

1Ъ -' Г1 - ¿1\

dkf (Ъ +4.....Ъ,+Ч)

зы

dr1

=0,

где к = 0,11 -1. Таким образом, имеем

.....*.)

dz1} ...dz'"

<C(d)jj

га-

|Ъп - 'Гп - z

- iI

0 -От Ъ

|Ъ2 - 'Г 2 - Z

II

га1

0 -От Ъ

Ii- ■ № +

Ъ -' Г1 - ¿1!

34 f (Ъ +'r1.....Ъ,+Ч, )

X d^id^id^2d^2 ••• d^„d^„ .

Аналогично, продолжая этот процесс, получим

.....

dz/1 ...dz-

SC(d)JJ

га-

■П

iii

га1

JJl^ . |Й2 + 2 J J I к • |а1 +

0 -ОТ|Ъ2 - 'Г2 - Z2I 0 -ОТ|Ъ1 - 'Г1 - ¿1\

dbi 3Ъ2 ■■■ дЪп

X d^ldTlld^2drl2 ••• d^ndTln I

где |/| =/,+... + /„.

Так как

.....*n)

ell

то

<C(d)

dz i...dz--

<+ОТ •

Таким образом, 7ä(/)(z)e И/j'L (с") ■ Что и тРе" бовалось доказать.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М. : Наука, 1988. 336 с.

2. Треногин В. А. Функциональный анализ: учеб. 3-е изд., испр. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. 488 с.

х

+ОТ

х

0

а+/,+2

U -От

а

r

2

X

X

+ОТ

+ОТ

0 -ОТ

У

а

Г

2

х

X

0

<

X

0 -От

п

Вестник Омского университета 2021. Т. 26, № 2. С. 5-11

ISSN 1812-3996-

3. Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Об интегральных операторах в пространствах аналитических в верхнем полупространстве функций со смешанной нормой // Ученые записки Брянского государственного университета: физико-математические науки / биологические науки / ветеринарные науки. 2017. № 3 (7). С. 7-14.

4. Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Об интегральных операторах с ядрами Пуассона в пространствах типа Харди в поликруге со смешанной нормой // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2017. № 4. С. 14-23. DOI: 10.18384/2310-7251-2017-4-14-23.

5. Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Ограниченные проекторы в пространствах гармонических в верхнем полупространстве функций со смешанной нормой // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы конф. Воронеж. зим. мат. шк. Воронеж : ВГУ, 2009. С. 11-12.

6. Антоненкова О. Е., Шамоян Ф. А. Преобразование Коши линейных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 12081234.

7. Антоненкова О. Е., Шамоян Ф. А. Описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Успехи математических наук. 2005. Т. 60, № 4. С. 217-218.

8. Часова Н. А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах со смешанной нормой аналитических в поликруге функций // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань, 2001. Т. 8. С. 237-238.

9. Шамоян Ф. А., Часова Н. А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой. Брянск : Изд-во БГУ, 2002. 26 с.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Антоненкова Ольга Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Брянский государственный инженерно-технологический университет, 241037, Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3; e-mail: [email protected].

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Antonenkova Olga Evgenevna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering, 3, pr. Stanke Dimitrova, Bryansk, 241037, Russia; e-mail: [email protected].

Часова Наталья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Брянский государственный инженерно-технологический университет, 241037, Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3; e-mail: [email protected].

Chasova Nataliya Aleksandrovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering, 3, pr. Stanke Dimitrova, Bryansk, 241037, Russia; e-mail: [email protected].

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Об интегральных

операторах в пространствах и/Д(с")// Вестн. Ом.

ун-та. 2021. Т. 26, № 2. С. 5-11. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.26(2).5-11.

FOR QTATIONS

Antonenkova O.E., Chasova N.A. About integral operators in l/l/]'jj (c") spaces. Vestnik Omskogo universiteta

= Herald of Omsk University, 2021, vol. 26, no. 2, pp. 511. DOI: 10.24147/1812-3996.2021.26(2).5-11. (In Russ.).