Научная статья на тему 'Теплицевы операторы и вопросы деления в некоторых классах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой'

Теплицевы операторы и вопросы деления в некоторых классах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
106
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО / СМЕШАННАЯ НОРМА / ГОЛОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ / ОПЕРАТОР ТЕПЛИЦА / ВНУТРЕННЯЯ ФУНКЦИЯ / WEIGHTED SPACE / MIXED NORM / HOLOMORPHIC FUNCTION / TOEPLITZ OPERATOR / INNER FUNCTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Антоненкова О. Е., Часова Н. А.

Рассматриваются ограниченность теплицевых операторов и вопросы деления на внутреннюю функцию в пространствах, при,.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

TOEPLITZ OPERATORS AND THE QUESTIONS OF DIVISION IN SOME CLASSES OF HOLOMORPHIC IN POLYDISC FUNCTIONS WITH MIXED NORM

Discusses the boundedness of Toeplitz operators and the questions of division by inner function in spaces,.

Текст научной работы на тему «Теплицевы операторы и вопросы деления в некоторых классах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой»

УДК 517.55

ТЕПЛИЦЕВЫ ОПЕРАТОРЫ И ВОПРОСЫ ДЕЛЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ГОЛОМОРФНЫХ В ПОЛИКРУГЕ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ

О.Е. Антоненкова, Н.А. Часова

Рассматриваются ограниченность теплицевых операторов и вопросы деления на внутреннюю функцию в пространствах ap (® ), при 1 < pj <+», j = .

Ключевые слова: весовое пространство, смешанная норма, голоморфная функция, оператор Теплица, внутренняя функция.

Пусть Un = |z = (zn ) : |zj| < 1, j = 1, nj - единичный поликруг в n-мерном комплексном пространстве C n , Tn = jd = (^1,...,dn ) : dj = 1, j = 1, n j - его остов, Q - множество измеримых неотрицательных на (0,1) функций о, для которых существуют положительные числа Щд, , qo, причем Щд, qm е(С0,1), такие, что

m < мт при всех г е(0,1), Ле^оЛ] (см. [1]).

о( r)

Через lP (ё) , p = (p1,-,pn), 1<Pj , j =1,n, о =(d\,...fi)n), (Oj eQ, j =1,n (см. [2]), будем обозначать пространство измеримых на Un функцийf для которых

\f\bp (ю) IIf ILp1.....pn (rnn)

1

( , \

А

Jо (1 -|d„|)J J|f (£,...,£,Тч (1 -Id.l)dm2 (d)l ...dm, (dn)

и V U )

V )

fn

< +ГО.

Тогда пространство Ар (з) со смешанной нормой определим как подпространство , состоящее из голоморф-

ных в ип функций. Обозначим н(ц") и ИР ((") (1 < р < +<» ) множество всех голоморфных функций и класс Харди в ип соответственно, тогда

Ар (3) =и{цп (3).

Оператором Теплица с символом hеL1(тn) называется интегральный оператор вида:

Th (f )(z )=J ^pdm« (d)

L 1 - zd

- zd

где = ГТ -f е С (ип и Тп )п И (ип), £ = (£,,.., £п )е Тп, г = (*„..., Гп )е ип .

1 - \ 11 1 - г] £ ]

Поскольку множество С (и п и Тп )п И (и п) всюду плотно в пространстве ар (з ), то, исследуя теплицевы операторы на пространствах Ар (з ), мы, естественно, сначала рассматриваем их на указанных множествах.

Если Т (f )|аР^ < c0nSt |^||аР), для всех f е С(ип иТп)пИ(ип), то в этом случае будем говорить, что оператор Тк (f) ограниченно действует в пространстве Ар (ё ). Понятно, что тогда оператор Ть (f) имеет единственное расширение на всем пространстве Ар (з ), 1 < Р] < , ] = 1, п .

Пусть ) , г = (г1,---,гп )е(П , положим (£)= ГТ _1_.

]=1!

Введем в рассмотрение операторы D а , где а=(ц,...дп), а] >-1, ]=1 , П. Пусть § - голоморфная в ип

функция, § (г1,..., )= ^ - разложение Тейлора, г = (г1,..., гп )е ип, положим

к1,...,кп=0

D(g (z )=1Г(Г(^ +Г +А ^, z=(zlv..z„), (=((,..(),

Г( + 1)Г(к +1)

k=qx (( + 1)r(k +1)

г(( +1 + k) r((j +1 + k}) Г ф

здесь —^—г——= I —t--—х-г—-—t, 1 - функция Эйлера.

г(а + 1)r(k +1) j =1 г(( + 1)r(kj +1)

Обозначим через A( (oa)={g е H (un): D(+g e Aq (3a)j, где q = (ql,...,qn), q3 =, 1< pj

pj -1

- I \ Г t а }

а >0,, 3а ЦЗа,"3, ^()=з1(t) , ]=1,п.

\®j\t))

Опишем те символы Н, при которых операторы Т (f )(г) действуют в пространствах Ар (з), при 1< Ру <+^,

] =1,

п. Имеет место следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть 1<ру <+^, у =1,П, НеН (и"). Тогда, если Т-(/) является ограниченным оператором в пространстве Ар (з) , то Юа+1Н е Ад (3а ), где Ц = ), д =—р—, у =1, П. Обратно: если Н - мультипли-

. Ру —1

катор пространства А"а (за ), то Т- (/) действует в пространстве Ар (з).

Даная теорема является обобщением результатов, полученных в работах [3,4,5,6], при этом существенно используются результаты работы [2] и применяется метод работы [6].

Для доказательства нам потребуется следующее утверждение:

Лемма. [7] Пусть Ф - линейный непрерывный функционал на Ар (з), 1< ру <+« у =1 , п и g (г ) = Ф (ег),

ип и е А (3а) при а >аз , 3а =(3а1,...,3а), (¿) = 3] (¿)

г е ип. Тогда я - голоморфна в Цп и Я g е А \0)а) при а >аю<, 3а = \3а,...,3а), за< Ц )= 3 , у =1,п, где д = (д1,...,дп), д^ = —Ру ^ , у =1,п, и Ф представим в виде

Г ^д

3 (t))

Ру -1

Ф(/)= Нт |/((С), (1)

р^1—0 ■ Тп

причем справедливы оценки

СЛЮа+1 <Ф< СЛЮа+1 я . . (2)

'И &\\лд (3а) 11 11 2 II Й|Ьд (3а)

Верно и обратное: любая функция g, такая, что Ю Я е А(за) по формуле (1) порождает линейный непрерывный функционал на Ар (3 , для которого справедливы оценки (2).

Доказательство теоремы 1. Пусть ТН (/) - ограниченный оператор в пространстве А (з), тогда из неравенства ||Т- ( /) < С1/1 , следует, что Т(/ )(0) - линейный непрерывный функционал на А (з) Следовательно, по

II Н^ /||Ар (з) 1К ИАР (з) НЧ

лемме, существует функция я такая, что Ю Я е А (за ) и

Т-н(/)(0)= Иш |/(С),

Тп

но, с другой стороны,

Тн (/Х0) = (С)МС>К (С), Н е Н1 (ип),

Тп

для любой функции / е АР (3. Положим /X (С) = С г , тогда

шп0 {С^я^Ст (с)= {с^МОч (с) •

Цп) то, Н (г) Нк (г) - однородное разложение функции Н, где

к=0

\ (г) = С (п, к) | Н (С )гк С^тп (С). Запишем также формулу Коши для функции я р(г) = я (рг), 0 <р< 1

п

Т"

( с(с) —к

Я(рг) = --' = ^С(п,к)я(рС)гкС , т.е. я(г) = ^Як(г) - однородное разложение функции я, где

Тп 1 — ¿с к=0 к=0

як (г) = Нт0С(п,к)|я(рС )гк С(С). Таким образом, получаем

як® = К®, к = 0,1,2,...

я ( \ , / ч _ _ Юа+

следовательно, я (г) = Н(г) и так как Юа+1я е Ад(за), то отсюда следует, что Юа+1Н е А(за).

Докажем обратное утверждение. Пусть Н - мультипликатор пространства А а (3 а ). Покажем, что Т- (/) отображает пространство Ар (з ) на Ар (3 ). Пусть

^ (г) = М г) = / /1(С)НСС) 0тя (С) ,0 <р< 1

Тп 1 — ргС

и Ф - линейный непрерывный функционал на Ар (3 такой, что

ф^ )= II Р , ||Ф|| = 1.

V р> II р||АР (3)' II И

По лемме функционал Ф порождается функцией / такой, что Юа+1/е Ад (за) , при этом

с, < D а+у , < с

1 II ^ IA (О 2

Вычислим

J F (pz FH>„ (z) = JJ dmn (cWWdmn (z) =

T n T n T n A t-S £ L-

= | / (С НО/^р—(С)= / / (С )йЮГ(р— С {2)тп (С)

тп Тп 1 р'гС Тп Тп 1 рС г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Следовательно,

]> (р /р)1тп (г )= //(С)Н (СУЮК (С).

Тп Тп

Поскольку Н - мультипликатор пространства Аа (за ), то Ю (Н • /) е Ад (за ), следовательно,

Ф (/ )= Шп 0 // (С)Н (сУ(Р2СК (С) (3)

Тп

определяет линейный непрерывный функционал на Ар ( 3 ) и, согласно .

| лемме,

Ф

< с

D"+1 (h •

A

, < const

A (О

Теперь используем представление (3) и оценку ф( f ) < ф • II fil .. Тогда

| || || IK IIAP (о)

ф(

f < cd"+1 (h a ia, au> o).

Значит

F < C f p

II HI Ap (0) " lly Ha" (o ) *

Устремляя p ^ 1 - 0 , получим F E A (О - Таким образом, T (f) действует в пространстве A (О- Теорема доказана.

Рассмотрим одно из приложений данной теоремы к вопросам деления на хорошую внутреннюю функцию в рассматриваемых пространствах.

Напомним, что функция g E Hœ(u ) называется внутренней, если ее радиальные предельные значения удовлетворяют условию g (о )| = 1 почти всюду на T" . Внутренняя функция g E H (U" ) называется хорошей, если наименьшая n-гармоническая мажоранта функции logg тождественно равна нулю (см. [8]).

Теорема 2. Пусть p = (p1,..., pn ), 1 < p. <+<» , 0=(o1,...,On ), o j eq , j = 1, n , f e Ap H1 (j" ) и f = g • F, где g - хорошая внутренняя функция, тогда F e Ap (o ).

Доказательство. Так как f eH1(U), то F E H (U" ) (см. [9]). Запишем формулу Коши для функции F :

F (z )= J (С),

1 - zS

тогда

F (z )= ¡(Цм, (S) = Ji<£№„, (S) = J«^. (S).

Tn 1 - zS t" 1 - zS T" 1 - zS

Поскольку f e A p (О ), то по теореме 1, F e Ap (o ).

Discusses the boundedness of Toeplitz operators and the questions of division by inner function in spaces ap (0 ), 1 < Pj < , j = 1, " ■ Keywords: weighted space, mixed norm, holomorphic function, Toeplitz operator, innerfunction.

Список литературы

1. Сенета Е. Правильно изменяющиеся функции. - М.: Наука, 1985. - 141 с.

2. Shamoyan F.A., Yaroslavtseva O.V Continuous projections, duality and the diagonal map in weighted spaces of holo-morphic functions with mixed norm// Investigations on linear operators and function theory. 25, Zap. Nauchn. Sem. POMI, 247, POMI, St. Petersburg.- 1997.- pp. 268-275.

3. Harutyunyan A. V. Topelitz operators and division theorems in anisotropic spaces of holomorphic functions in the poly-disk// Complex Variables - 2003- Vol. 48, no. 4, pp. 347-363.

4. Антоненкова О.Е. Теплицевы операторы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Вестник Брянского государственного университета. - N° 4(2007): Естественные и точные науки. - Брянск: РИО БГУ, 2007. - С. 5-8.

5. Часова Н.А. О теплицевых операторах в пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань. - 2002. - Т. 14.

6. Шамоян Ф.А., Арутюнян А.В. Теплицевы операторы в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Доклады АН Армении. - 1990. - Т. 91. - № 4. - С. 147-151.

7. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой. - Брянск: Издательство БГУ, 2002. - 26 с.

8. Рудин У Теория функций в поликруге. - М.: Мир, 1974. - 160 с.

9. Шамоян Ф. А. Теплицевы операторы и деление на внутреннюю функцию в некоторых пространствах аналитических функций // Докл. АН АрмССР. 1983. Т. 76, № 3. С. 215-219.

Об авторах

Антоненкова О.Е. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Брянского государственного инженерно-технологического университета, [email protected]

Часова Н.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Брянского государственного инженерно-технологического университета, [email protected]

УДК 621.378.4

ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ И НЕЛИНЕЙНОЕ ЭЛЕКТРООТРАЖЕНИЕ В ГЕРМАНИИ С УЧЕТОМ ОБЪЕМНОГО И ПОВЕРХНОСТНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ НОСИТЕЛЕЙ

И.М. Баранова, К.Н. Евтюхов

Рассмотрена применимость теории генерации оптической второй гармоники в центросимметричных полупроводниковых кристаллах для диагностики германия и германиевых наноструктур. Доказана справедливость приближений слабого поглощения накачки и малых углов преломления, применимость модели экспоненциально убывающего электростатического поля. Выявлены условия отсутствия вырождения носителей в германии.

Ключевые слова: отраженная вторая гармоника, нелинейное элетроотражение, германий, вырождение

В последние годы активно изучается явление генерации отраженной второй гармоники (ОВГ) лазерного излучения на поверхности центросимметричных полупроводников. Причина этого - возможность использовать сигнал ОВГ для многоцелевой диагностики указанных полупроводников и тонкослойных структур (наноструктур) на их основе. При этом главное внимание было обращено на кремний, как основной материал современной микроэлектроники. Результаты множества работ, посвященных генерации второй гармоники (ВГ) в кремнии и в кремниевых наноструктурах, обобщены в монографии [1]. Там же изложена теория генерации ВГ в центросимметричных полупроводниковых кристаллах класса т3т. Эта теория позволяет адекватно интерпретировать результаты диагностики кремния и структур на его основе с помощью генерации ВГ, в частности - ОВГ. Однако представляет интерес и возможность использования генерации ВГ для диагностики другого важного представителя полупроводниковых кристаллов класса т3т, а именно - германия [2-5].

В связи с этим в данной работе рассматривается вопрос о том, в какой мере и при каких условиях теория генерации ВГ [1] пригодна для изучения германия. В частности, речь пойдет о применимости для Ge теории явления нелинейного электроотражения (НЭО), то есть зависимости параметров ОВГ от статического электрического поля, проникающего в приповерхностную область полупроводника - так называемую приповерхностную область пространственного заряда (ОПЗ).

Невозможность автоматического переноса теории генерации ВГ, разработанной преимущественно для Si, на случай изучения Ge обуславливается в первую очередь тем, что в Ge ширина запрещенной зоны существенно меньше, а поглощение светового излучения сильнее, чем в Si (не принимая во внимание некоторые спектральные особенности).

1. Линейные оптические свойства Ge. Применимость приближений слабого поглощения накачки и малых углов преломления в нелинейной оптике ^Основными источниками лазерного излучения (накачки) в нелинейной оптике полупроводников являются лазер на гранате с неодимом (АИГ:№3+), работающий на фиксированной длине волны А1 = 1060 нм и титан-сапфировый лазер (ТСЛ), перестраиваемый в диапазоне от ~700 нм до ~ 800-900 нм.

Геометрия распространения волн накачки и ВГ в приповерхностной области Ge определяется его линейными оптическими параметрами: комплексными диэлектрической проницаемостью £=£' + ¡б" и показателем преломления

Комплексность значений этих оптических величин обусловлена наличием поглощения. Используются также такие параметры, как коэффициент поглощения излучения в среде (по интенсивности) а и характерная глубина проникновения излучения в среду г (¡=1 для накачки, ¡=2 для ВГ).

Указанные параметры связаны соотношениями (формула для а - приближенная):

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.