CC BY
31
Список литературы
1. Сенета Е. Правильно изменяющиеся функции. - М.: Наука, 1985. - 141 с.
2. Shamoyan F.A., Yaroslavtseva O.V Continuous projections, duality and the diagonal map in weighted spaces of holo-morphic functions with mixed norm// Investigations on linear operators and function theory. 25, Zap. Nauchn. Sem. POMI, 247, POMI, St. Petersburg.- 1997.- pp. 268-275.
3. Harutyunyan A. V. Topelitz operators and division theorems in anisotropic spaces of holomorphic functions in the poly-disk// Complex Variables - 2003- Vol. 48, no. 4, pp. 347-363.
4. Антоненкова О.Е. Теплицевы операторы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Вестник Брянского государственного университета. - N° 4(2007): Естественные и точные науки. - Брянск: РИО БГУ, 2007. - С. 5-8.
5. Часова Н.А. О теплицевых операторах в пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань. - 2002. - Т. 14.
6. Шамоян Ф.А., Арутюнян А.В. Теплицевы операторы в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Доклады АН Армении. - 1990. - Т. 91. - № 4. - С. 147-151.
7. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой. - Брянск: Издательство БГУ, 2002. - 26 с.
8. Рудин У Теория функций в поликруге. - М.: Мир, 1974. - 160 с.
9. Шамоян Ф. А. Теплицевы операторы и деление на внутреннюю функцию в некоторых пространствах аналитических функций // Докл. АН АрмССР. 1983. Т. 76, № 3. С. 215-219.
Об авторах
Антоненкова О.Е. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Брянского государственного инженерно-технологического университета, anto-olga@yandex.ru
Часова Н.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Брянского государственного инженерно-технологического университета, chasnat@bk.ru
УДК 621.378.4
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ И НЕЛИНЕЙНОЕ ЭЛЕКТРООТРАЖЕНИЕ В ГЕРМАНИИ С УЧЕТОМ ОБЪЕМНОГО И ПОВЕРХНОСТНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ НОСИТЕЛЕЙ
И.М. Баранова, К.Н. Евтюхов
Рассмотрена применимость теории генерации оптической второй гармоники в центросимметричных полупроводниковых кристаллах для диагностики германия и германиевых наноструктур. Доказана справедливость приближений слабого поглощения накачки и малых углов преломления, применимость модели экспоненциально убывающего электростатического поля. Выявлены условия отсутствия вырождения носителей в германии.
Ключевые слова: отраженная вторая гармоника, нелинейное элетроотражение, германий, вырождение
В последние годы активно изучается явление генерации отраженной второй гармоники (ОВГ) лазерного излучения на поверхности центросимметричных полупроводников. Причина этого - возможность использовать сигнал ОВГ для многоцелевой диагностики указанных полупроводников и тонкослойных структур (наноструктур) на их основе. При этом главное внимание было обращено на кремний, как основной материал современной микроэлектроники. Результаты множества работ, посвященных генерации второй гармоники (ВГ) в кремнии и в кремниевых наноструктурах, обобщены в монографии [1]. Там же изложена теория генерации ВГ в центросимметричных полупроводниковых кристаллах класса m3m. Эта теория позволяет адекватно интерпретировать результаты диагностики кремния и структур на его основе с помощью генерации ВГ, в частности - ОВГ. Однако представляет интерес и возможность использования генерации ВГ для диагностики другого важного представителя полупроводниковых кристаллов класса m3m, а именно - германия [2-5].
В связи с этим в данной работе рассматривается вопрос о том, в какой мере и при каких условиях теория генерации ВГ [1] пригодна для изучения германия. В частности, речь пойдет о применимости для Ge теории явления нелинейного электроотражения (НЭО), то есть зависимости параметров ОВГ от статического электрического поля, проникающего в приповерхностную область полупроводника - так называемую приповерхностную область пространственного заряда (ОПЗ).
Невозможность автоматического переноса теории генерации ВГ, разработанной преимущественно для Si, на случай изучения Ge обуславливается в первую очередь тем, что в Ge ширина запрещенной зоны существенно меньше, а поглощение светового излучения сильнее, чем в Si (не принимая во внимание некоторые спектральные особенности).
1. Линейные оптические свойства Ge. Применимость приближений слабого поглощения накачки и малых углов преломления в нелинейной оптике ^Основными источниками лазерного излучения (накачки) в нелинейной оптике полупроводников являются лазер на гранате с неодимом (АИГ:№3+), работающий на фиксированной длине волны = 1060 нм и титан-сапфировый лазер (ТСЛ), перестраиваемый в диапазоне от ~700 нм до ~ 800-900 нм.
Геометрия распространения волн накачки и ВГ в приповерхностной области Ge определяется его линейными оптическими параметрами: комплексными диэлектрической проницаемостью £ = б'+ ¡б" и показателем преломления
~=4£=А +1К. Комплексность значений этих оптических величин обусловлена наличием поглощения. Используются также такие параметры, как коэффициент поглощения излучения в среде (по интенсивности) а и характерная глубина проникновения излучения в среду ^ (¡=1 для накачки, ¡=2 для ВГ).
Указанные параметры связаны соотношениями (формула для а - приближенная):
' + л/ (О2 + £")2
4 як
п =\-'-, к =-, а =-, zi =—. (1)
V 2 2п' Л а
Сведения о линейных оптических параметрах Ge в различных источниках существенно отличаются. По-видимому, наиболее достоверными для накачки и ВГ от ТСЛ являются значения £, найденные в работе [6] для дискретного ряда длин волн. Эти данные
и рассчитанные на их основе значения П, а и Z приведены в таблице 1. Для накачки и ВГ от лазера на АИГ:№3+ значения оптических параметров, приведенные в таблице 1, получены интерполяцией дискретных данных из работ [6, 7].
Таблица 1. Линейные оптические параметры Ge для накачки и ВГ от ТСЛ и лазера на гранате с неодимом
Л, нм hv , эВ £ £ $ к а • 10"5, м-1 Z, нм
Титан-сапфировый лазер [6]
Л, 690.6 1.8 25.426 5.069 5.067 0.500 91.25 109.6
731.2 1.7 23.819 3.925 4.897 0.401 69.06 144.8
776.9 1.6 22.565 3.288 4.763 0.345 55.97 178.7
828.7 1.5 21.560 2.772 4.653 0.298 45.30 220.8
Л2 345.3 3.6 8.268 21.992 3.985 2.759 1006.9 9.932
355.2 3.5 9.052 21.442 4.020 2.667 946.01 10.57
365.6 3.4 9.914 20.994 4.070 2.579 888.81 11.25
376.7 3.3 10.944 20.385 4.128 2.469 825.88 12.11
388.5 3.2 11.802 19.450 4.156 2.340 758.90 13.18
401.0 3.1 12.240 18.349 4.141 2.215 696.14 14.36
414.4 3.0 12.065 17.514 4.082 2.145 652.25 15.33
Лазер на гранате с неодимом [6, 7]
Л 1060 1.173 18.599 0.61144 4.3132 0.07088 8.4028 1190
Л2 530 2.346 18.215 23.416 4.8929 2.3928 569.52 17.56
Главным результатом теории генерации ВГ в полупроводниковых кристаллах [1] являются формулы, связывающие амплитуду напряженности электрического поля волны ОВГ с амплитудой волны накачки, геометрией опыта (углом падения
Оц и поляризацией накачки) и диагностируемыми параметрами кристалла: кристаллической структурой приповерхностной области и ее пространственной ориентацией, наличием и характеристиками поверхностных слоев и поверхностных электронных состояний, соотношением носителей и т.д. На амплитуду волны ОВГ влияют также электрическое поле, механические напряжения и токи в приповерхностной области
Указанные формулы чрезвычайно громоздки и малопригодны для практического использования, но они существенно упрощаются, если выполняются приближения слабого поглощения накачки и малости углов преломления. Отметим, что ввиду комплексного характера показателя преломления среды комплексными являются и углы распространения накачки и
ВГ в среде - О и О2, соответственно, а также синусы и косинусы этих углов, но формально выполняются основные законы геометрической оптики, в том числе - закон преломления:
8Ш0Л = $1 • ЗШ0д = ^ зШ0й = ^ • 8Ш0Д = (2)
Пл Пл П?2 Щ2
В формулах (2) принято, что среда, из которой падает накачка, - воздух, и ее показатель преломления $ =1, а показатели преломления Ge для накачки и ВГ обозначены, соответственно, как $ и $2. Соответствующие косинусы углов находятся по основному тригонометрическому тождеству. В таблице 2 приведены значения синусов и косинусов комплексных углов О1 и О при угле падения накачки на поверхность германия от 30° до 60°. При О1 =0 для всех длин волн
БШО = БШ02 = 0, СОБ0Й = СОБО 2 = 1.
Таблица 2. Синусы и косинусы углов О1 и 02 для германия
Лазер YAG: Ш3+ Титан-сапфировый
Л1 , нм 1060 828.7 776.9 731.2 690.6
°1 = 30° 0.116-г1.9010"3 0.107- г6.8510"3 0.104- г7.5610"3 0.101- г8.3110"3 0.098- г9.6410"3
СОБ вл 0.993+г2.22-10"4 0.994+г7.3810"4 0.995+г7.9410"4 0.995+г8.4710"4 0.995+г9.4710"4
°1 = 45° 0.164-г2.6910"3 0.151- г9.6910"3 0.148- Г10.710"3 0.143- г11.810"3 0.138- М3.610"3
СОБ вл 0.986+г4.4810"4 0.989+Г14.810"4 0.989+Г16.010"4 0.990+Г17.010"4 0.990+Г19.010"4
°1 = 60° 0.201-i■3.30■10-3 0.185- г11.910"3 0.181- г13.110"3 0.176- Г14.410"3 0.169- М6.710"3
СОБ 01 0.980+г6.7810"4 0.983+г22.410"4 0.984+г24.110"4 0.985+г25.7-10-4 0.986+г28.710"4
Л2, нм 530 414.4 388.5 365.6 345.3
0'1 = 30° sin 0t2 0.082- . 0.040 0.096- '0.050 0.091- '0.051 0.088- '0.056 0.085- '0.059
cos 0t2 0.997+'-3.33-10"3 0.997+'-4.86-10"3 0.997+'-4.71-10"3 0.998+'-4.88-10"3 0.998+'-4.99-10"3
0'1 - 45° sin 0t 2 0.117- .0.057 0.136- '0.071 0.129- '0.073 0.124- '0.079 0.120- '0.083
cos 012 0.995+'-6.69-10"3 0.993+'-9.75-10"3 0.994+'-9.45-10"3 0.995+'-9.78-10"3 0.996+'-9.998-10"3
01 - 60° sin 0,2 0.143- '0.070 0.166- '0.087 0.158- '0.089 0.152- '0.096 0.147- '0.102
cos 012 0.992+'-10.1-10"3 0.990+'-14.7-10"3 0.992+'-14.2-10"3 0.993+'-14.7-10-3 0.994+'-15.0-10-3
Как следует из таблицы 2, действительные части синусов и косинусов углов 01 многократно превышают соответствующие мнимые части во всем рассмотренном диапазоне длин волн и углов падения накачки, поскольку выполняется соотношение кл << nt1. Таким образом, для Ge, как и для Si, при данных источниках накачки величины щ , sin0t1 и cos 0t1 можно считать действительными. Значения sm0 определяются по формулам (2), в которых комплексная величина щ заменяется ее действительной частью n . Итак, данное приближение, названное в [1] приближением слабого поглощения накачки, при оговоренных условиях применимо не только к кремнию, но и к германию.
Из таблицы 2 также следует, что во всем исследуемом диапазоне длин волн и углов падения накачки |sil00 <<1, а
у косинусов углов 01 и 02 действительные части почти достигают единицы и во много раз превышают их мнимые части. Это позволяет считать, что для Ge, как и для Si, применимо приближение малых углов преломления, когда считается, что
cos 0 1 = COS02 = 1, а квадраты и кубы синусов углов 0А и 0t2 пренебрежимо малы.
2. Поле в приповерхностной области пространственного заряда в Ge. Условия отсутствия вырождения носителей в GeШироко применяемой разновидностью диагностики полупроводников на основе генерации ОВГ является НЭО-диагностика, использующая явление нелинейного электроотражения. Электростатическое поле, обуславливающее НЭО, может создавать заряд, присутствующий на поверхности полупроводника или в покрывающих его диэлектрических слоях. Возможно также искусственное создание и варьирование такого поля в диагностических целях с помощью электролитической ячейки или приложения напряжения между объемом полупроводника и нанесенным на поверхность проводящим слоем.
В теории НЭО-диагностики важную роль играет вопрос о виде зависимостей потенциала cp(z) и напряженности E (z ) электростатического поля в приповерхностной ОПЗ от координаты z, отсчитываемой по нормали вглубь от поверхности полупроводника (z=0). Для расчета поля в ОПЗ используется уравнение Пуассона [8, 9]
d 2ф q
\p(z)- Po - n{z) + n0 ] (3)
^ s0ssc
с граничными условиями
р(0 )=PSc , р(2 0. (4)
В соотношениях (3), (4) q - элементарный заряд, Ssc - диэлектрическая проницаемость среды, Ро, П - концентрации дырок и свободных электронов в электронейтральном объеме полупроводника с плоскими энергетическими зонами,
р (г ), п (г ) - локальные концентрации носителей в ОПЗ, где зоны искривлены, Psc - поверхностный потенциал.
Как правило, при расчете ОПЗ ограничиваются случаем невырожденных полупроводников с больцмановской статистикой носителей. Однако возможно и вырождение носителей, когда их энергетический спектр описывается статистикой Ферми-Дирака и концентрации носителей определяются соотношениями
2Ир °г -\fwdw 2ИС °г
Р(2) = ~гр I-, п(г) = ¿с I-, (5)
4Л 01 + ехр(^-£ + У) ' 4Л 01 + ехр(^'Y)
„,2л- тркТЛ3/2 (2л- тСкТЛ3/2 ,, „
где щр = 21 ---I , N с = 21 ---I - эффективные плотности состояний в валентной зоне и в
1 h2 ) \ h2 )
Ер ^Е ^ ^Е Ес
зоне проводимости; тр,т - эффективные массы плотностей состояний, ^ = ~ , ^ = ~ - нормированные от-
кТ кТ
стройки энергии Е электрона от нижнего и верхнего краев плоской запрещенной зоны Ер, ЕС, соответственно; = " ,
кТ
^ Г - Ес „ ^ г - qP\2)
с =-— - нормированные отстройки уровня Ферми г от краев плоской запрещенной зоны; У = У (2) = 4 ' - норми-
кТ кТ
рованный локальный потенциал. Значения Ро и По рассчитываются по формулам (5) при У = 0.
Выясним, при каких условиях германий является невырожденным.
Объемное вырождение, вызванное сильным легированием полупроводника, отсутствует, если уровень Ферми находится в запрещенной зоне {Еу <Р<Ее) и отстоит достаточно далеко от ее краев. Приняты следующие условия отсутствия объемного вырождения:
4<- 3, £<- 3. (6)
При этом ехр ; << 1, ехр £ << 1, формулы для нахождения Р0 и $0 принимают вид
р0 = N •ехр; $ = N • ех£ (7)
и выполняется известное соотношение Р0 • $ = $2, где $ - концентрация носителей в собственном полупроводнике.
Соотношение носителей (тип полупроводника) характеризует параметр Л = д/Р0 / $0 : Л > 1 - р-тип, Л < 1 - п -тип, Л = 1 - собственный полупроводник. Положение уровня Ферми в невырожденном полупроводнике описывает соотношение
р = Ес + Еу
2
кТ
--1п
2
V Nv
-Л2
Из (6) с учетом (8) следует, что объемного вырождения нет, если
Е 3 2 - + 3 - 3 • 1п
/ Л
тс
2 кТ
V ту
Е 3 < 1п Л < —— - 3 --• 1п 2 кТ 4
/ л тс
V ту у
(8)
(9)
где
= ЕС Е
ширина запрещенной зоны.
Для Ge при Т « 300 К Е§ =0.66 эВ [7], ту =0.37^), тс =0.57^ где т0 - масса покоя электрона [8]. Условия (9)
сводятся к ограничению на соотношение носителей:
-4.377< ^Л< 4.095. (10)
Кроме объемного вырождения, в ОПЗ возможно вырождение поверхностное (полевое), так как при приложении потенциала запрещенная зона искривляется на величину — q • Р^с и ее границы могут приблизиться к уровню Ферми или даже пересечь его. Условия отсутствия поверхностного вырождения таковы
(;-Ъ)<-3, {£+ъ)<-3, си)
где ^с =
дрс кТ
- нормированный поверхностный потенциал.
Из (11) следует, что поверхностное вырождение отсутствует, если
Е 3
2 + 3 + 1п Л + -- 1п
тс
2кТ
4
V ту
< дрзс < А
3
3 + 1п Л +---1п
кТ 2кТ 4
тс
V ту у
(12)
Для Ge при Т ~ 300 К условия (12) сводятся к ограничению на поверхностный потенциал, выраженный в вольтах:
0.2440+ 0.0596-^Л< рс < 0.2608+ 0.0596- ^Л. (13)
На рисунке 1 показана область отсутствия вырождения для германия. Она почти в два раза меньше, чем для кремния, как по оси ^ Л (для Si область отсутствия объемного вырождения -7.98
< ^ Л < 7.56), так и по оси ($с (для Si при ^ Л = 0 поверхностное вырождение отсутствует при -0.45 В < (с < 0.47 В). Таким
образом, учет возможности вырождения носителей в Ge весьма важен, хотя и существенно усложняет задачу.
Представляет интерес расчет зависимости соотношения носителей, описываемого параметром Л, от положения уровня Ферми, описываемого взаимосвязанными величинами ; и £ + £ = -Е^ / кТ). В таблице 3 приведены результаты численного моделирования на основе формул (5) при Y = 0, которые демонстрирует связь концентраций носителей с положением уровня Ферми в Ge.
Из таблицы 3 видно, что в области отсутствия объемного
2
вырождения (Л от 0.0001 до 10000) соотношение Р0 • $0 = $ справедливо, а вне этой области оно не выполняется.
Рисунок 1. Область отсутствия объемного и пространственного вырождения для германия
4
Е _ _
Таблица 3. Зависимость концентрации носителей в Ge от положения уровня Ферми. Es -0.66 эВ, 7=300 К, ~ 25.507, N —0.56-1025 м-3, N_1.077^025 м-3 [8].
л 4 4 Р0, м-3 И0, м-3 Тип Ge
100000 -0.8472 -24.66 2.103 1024 2.1011014 Вырожденный p-Ge
10000 -3.209 -22.298 2.231 1023 2.231015 Невырожденный p-Ge
1000 -5.518 -19.989 2.245-1022 2.244-1016
100 -7.82138 -17.686 2.246-1021 2.246-1017
10 -10.124 -15.383 2.246-1020 2.246-1018
1 -12.42662 -13.08063 2.246-1019 2.246-1019 Собственный
0.1 -14.7292 -10.778 2.246-1018 2.246-1020 Невырожденный и-Ge
0.01 -17.0315 -8.4757 2.246-1017 2.245-1021
0.001 -19.3343 -6.173 2.246-1016 2.244-1022
0.0001 -21.6402 -3.867 2.239 1015 2.237-1023
0.00001 -23.975 -1.532 2.1681014 2.167 1024 Вырожденный и-Ge
3. Применимость модели экспоненциально убывающего поля в нелинейной оптике GeDiaBHbiM результатом теории НЭО-диагностики [1] являются формулы, описывающие вид кривых НЭО, то есть зависимостей интенсивности ОВГ от приложенного к полупроводниковому образцу потенциала. На вид этих кривых влияют имеющие практическое значение электрофизические параметры: наличие и энергетический спектр поверхностных заряженных состояний, поверхностная плотность заряда в покрывающем слое диэлектрика, соотношение носителей в полупроводнике. Поэтому форма экспериментальных кривых НЭО несет информацию об этих параметрах.
В ранних вариантах теории допускалось, что напряженность поля постоянна в пределах некоторого приповерхностного слоя. В предложенном в работе [1] более адекватном варианте теории используется модель экспоненциально убывающего поля (ЭУП). В этой модели считается, что распределение поля в ОПЗ описывается зависимостями вида
pz) = Psc • exp(- z / z0m ), E (z )= - d( = Esc • exp (- z / z 0 m ), (14)
dz
где Esc = E(z ^ 0+0) - напряженность поля в полупроводнике у его поверхности, zom - характерная глубина проникновения поля в среду при условии справедливости этой модели. Если модель ЭУП верна, то
z0m = (Sc/ ESC (15)
В [1] доказано, что для кремния в широком диапазоне варьирования поверхностного потенциала Psc и соотношения
концентраций носителей Р, И модель ЭУП пригодна и позволяет рассчитывать кривые НЭО с достаточной для диагностических применений точностью. Эта модель наиболее точна в случае малых поверхностных потенциалов, когда
q -|Жс| <<kT, то есть величина psc при T ~ 300 К не превышает нескольких милливольт. Теперь же рассмотрим применимость модели ЭУП для германия.
Определение реального вида зависимостей p(z ) и E (z ) путем аналитического решения уравнения Пуассона (3) в общем
случае вырождения и сильного поля невозможно. Однако можно найти связь Esc и Psc • Для этого уравнение (3) умножим на
d ^Р ( \
2 • dp, учтем, что 2 • ~~~2 ' dP = d \E J, и проинтегрируем слева от Esc до 0, а справа - от Psc до 0. В результате получим:
)inexpÎ-Ysc)+exp(wz^0^VWdw+ysc f ^dw
0 1 + exp(w - ^0) о 1 + exP(w - 4)
esc = sign (<Psc )• 2
kT ■ ЛГ
■X^ NV
i— " "v
+Nc
f inexp ysc + exp(w-^VWW-ysc f ^dz
0 1 + exp(w ' -Q) 01 + exp(w ' - 4 )
0) 0 * ' 1/2
(16)
Формулы (15) и (16) позволяют рассчитать зависимость модельной глубины проникновения поля z0m от величины потенциала Psc .
На рисунке 2 приведены результаты расчета зависимостей Esc (Psc ) для германия с различными соотношениями
концентраций носителей. Из приведенных графиков видно, что при вполне реальных значениях потенциала Psc (доли вольта) напряженность поля в ОПЗ составляет десятки МВ/м, чего совершенно достаточно для влияния на сигнал ОВГ, то есть для реализации НЭО-диагностики.
100
Рисунок 2. Зависимости напряженности электрического поля у поверхности Ge от поверхностного
потенциала ^Д.: при различных значениях параметра Л. Кривая 1 - ?, — \ (собственный Ge); кривые 2 и 3 -невырожденный с / 1 00 и /. = И) , соответ-
ственно; кривая 4 - вырожденный /"^е с а = \\У ;
кривая 5 - невырожденный ^е с л 0 0 1 . Стрелки на кривых 1, 2, 3, 5 указывают границы диапазонов отсутствия поверхностного вырождения.
50
-50
-, МВ/м
5--^
7 1 / 2 ^^
- j // M
_ 4 1
/ л* 1 3
I/ 1 1 1
-0.2
0.2
7V, В
0.6
Мы провели численное моделирование распределения поля в приповерхностной ОПЗ германия при различных значениях величин Л и (¡с путем решения уравнения Пуассона (3) с фермиевской статистикой носителей (5) и граничными
условиями, эквивалентными условиям (4), p0) = Psc , —~
dz
= — ESC , находя величину E^c по формуле (16). Наряду
z=0
с модельной глубиной проникновения поля Z0m рассчитывалась реальная глубина Z0Е ослабления напряженности в e
раз, для чего численно решалось уравнение E(z0e ) = E^c / e .
Результаты этого численного моделирования позволяют сделать следующие выводы. Во-первых, модель ЭУП, строго говоря, верна для Ge лишь при малых поверхностных потенциалах, не превышающих по модулю 30-40 мВ. Это иллюстрируется графиками, приведенными на рисунках 3, 4.
На рисунках 3 а и 4а по вертикальным осям использован логарифмический масштаб, чтобы графики зависимостей p(z ) и E (z ) в случае их экспоненциального характера были бы прямыми линиями. Видно, что достаточно точно это выполняется только для psC = 0.025 В , а при больших потенциалах зависимости являются экспоненциальными лишь на удалении от поверхности. Однако графики зависимостей нормированной напряженности E (z ) / E Sc от координаты z, построенные на рисунках 3б и 4б в обычном масштабе, показывают, что из ряда возможных простых аналитических аппроксимаций этих зависимостей (константа, линейная, параболическая, экспоненциальная) оптимальной является все же экспоненциальная.
Во-вторых, моделирование показало, что определяемые различными способами значения характерной глубины проникновения поля в среду z0m и z0e совпадают при потенциале (sc = 0, близки при его малых значениях, но могут существенно (вплоть до различия в несколько раз) отличаться друг от друга, если потенциал превышает несколько десятков
милливольт. Это иллюстрируется графиками зависимостей z0m ((sc ) и z0e ((sc ), представленными на рисунке 5.
, В
0.1
0.01
0.001
1107
1106
1105
1104
Е/Е
0.8
0.4
- \ ^о - >s2 ч б)
0.2 0.4
1.0
.-, мкм
0.2
0.4
z, мкм
Рисунок 3. а) - Распределение в ОПЗ по глубине z напряженности Е (сплошные линии) и потенциала р (пунктир) электрического поля для собственного Ge с Л = 1 . По вертикальным осям - логарифмический масштаб. б) - Зависимость нормированной напряженности поля от координаты z. Горизонтальный пунктир - значение 1/ е «0.368. Кривые 1 -рсс = 0.25 В, кривые 2 - рс = 0.1В, кривые 3 - рс = 0.025 В .
0
0
1
0
1 ^ , В
0.1
0.01
0.001
1107
1106
1105
0.8
0.4
1104
0 0.1 0.3
-, мкм
0.1
0.2 0.3
z, мкм
Рисунок 4. То же, что и на рисунке 3, но дляp-Ge с Л — 1000. Кривая 4 - (SC = 0.4 В, кривая 5 - (SC = -0.1 В
1000
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
, В
Рисунок 5. Сплошные линии - зависимости ), штрих-пунктир - ((р$с). Кривые 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют
Я = 1 , 100, 104, 105 и 0.01. Верхняя и нижняя серые полосы - диапазоны значений характерных глубин проникновения в Ge излучения ТСЛ (21) и его ВГ (2 2 ), соответственно. Стрелки в верхней правой части - диапазон значений нормированной длины волны излучения ТСЛ А — Х2 12п . Стрелки у левой оси - характерная глубина 22 проникновения ВГ излучения лазера на гранате с неодимом и его нормированная длина волны А .
1
0.75
0.5
0.25
1
0.75
0.5
0.25
0.1 „ мкм 0.2
, мкм
, мкм
Рисунок 6. Сравнение расчетной зависимости E^Z ) / Esc (пунктир) с экспоненциальными аппроксимациями с использованием z0E (сплошные линии) и Z0m (штрих-пунктир). Значения параметров Л и (sc указаны на рисунках. Горизонтальный пунктир - значение 1/ e ~ 0.368.
0
0
0
Какое же из двух упомянутых значений характерной глубины проникновения целесообразно использовать в теории НЭО при аппроксимации пространственной зависимости напряженности поля? Было проведено сравнение точной зависимости E(z) / ESC , рассчитанной в численном эксперименте, с аппроксимирующими экспоненциальными зависимостями
вида E(z) / Esc = exp(- z / z0 ) , где в качестве характерной глубины ослабления поля использовались Zom и ZoE . Такое сравнение, по нашему мнению, позволяет отдать предпочтение применению z0E . Этот вывод подтверждает ряд примеров, представленных на рисунке 6. Из этих примеров видно, что аппроксимирующая зависимость при использовании z0E гораздо лучше соответствует реальной зависимости, чем при использовании z0m , особенно, - в тонком приповерхностном слое, где и генерируется ОВГ (как следует из рисунка 5, характерная толщина z2 этого слоя составляет 10-20 нм).
4. Выводы
1. Показано, что в теории генерации ОВГ для германия применимы приближения слабого поглощения накачки и малых углов преломления.
2. Определена область отсутствия объемного (легировочного) и поверхностного (полевого) вырождения носителей в германии.
3. Доказано, что в теории НЭО для германия применима модель экспоненциально убывающего поля (ЭУП), причем в качестве характерной глубины ослабления поля предпочтительнее использовать величину Z0E , а не ранее использовавшуюся величину Z0m.
Часть результатов была получена при выполнении хоздоговорной НИР с Физическим факультетом МГУ им. М.В. Ломоносова.
The adaptability of the theory of the optical second harmonic generation in centrosymmetric semiconductor crystals for the diagnostics of germanium and germanium nanostructures is considered. It is proved that the approximations of weak pump absorption and of small refraction angles are valid and the model of exponentially decreasing electrostatic field is correct. The conditions of the absence of the carriers degeneracy in germanium are determined.
Keywords: reflected second harmonic, non-linear electroreflection, germanium, degeneracy
Список литературы
1. Акципетров О.А., Баранова И.М., Евтюхов К.Н. Нелинейная оптика кремния и кремниевых наноструктур. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2012. 544 с.
2. Акципетров О.А., Мишина Е.Д. Нелинейно-оптическое электроотражение в германии и кремнии // ДАН СССР. 1984. Т. 274. № 1. С. 62-65.
3. Акципетров О.А., Баранова И.М., Ильинский Ю.А. Вклад поверхности в генерацию отраженной второй гармоники для центросимметричных полупроводников // ЖЭТФ. 1986. Т. 91. Вып. 1(17). С. 287-297.
4. Dolgova T.V., Schuhmacher D., Marowsky G., Fedyanin A.A., Aktsipetrov O.A. Second-harmonic interferometric spectroscopy of buried interfaces of column IV semiconductors // Appl. Phys. B. 2002. V 74. Pp. 653-658.
5. Fomenko V, Bodlaki D., Faler C. and Borguet E. Second-harmonic generation from chemically modified Ge(111) interfaces // J. Chem. Phys. 2002. V 116. Pp 6745-6750.
6. Aspnes D.E., Studna A.A. Dielectric functions and optical parameters of Si, Ge, GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs and InSb from 1,5 to 6,0 eV // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. № 2. Pp. 985-1009.
7. Гавриленко В.И., Греков А.М., Корбутяк Д.В., Литовченко В.Г. Оптические свойства полупроводников: Справочник. Киев: Наукова думка. 1987. 608 с.
8. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. Изд.2, перераб. и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. 1990. 688 с.
9. Овсюк В.Н. Электронные процессы в полупроводниках с областями пространственного заряда. Новосибирск. Наука. 1984. 446 с.
Об авторах
Баранова И.М. - кандидат физико-математических наук, доцент Брянской государственной инженерно-технологической академии, ppbarano@yandex.ru
Евтюхов К.Н. - кандидат физико-математических наук, профессор Брянской государственной инженерно-технологической академии, kne1952@yandex.ru
