ТЕОРЕМА ПИФАГОРА ДЛЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Текст научной статьи по специальности «Математика»

федеральном уровне.

Использованные источники:

1. Афанасьев, В. Н. Анализ временных рядов и прогнозирование : учебник / В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев. - Москва: Финансы и статистика, 2010. -320 с.

2. Афанасьев, В. Н. Моделирование и прогнозирование временных рядов : учеб.-метод. пособие для вузов / В. Н. Афанасьев, Т. В. Лебедева. - Москва: Финансы и статистика, 2009. - 292 с.

3. Статистика: учебник для бакалавров: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности «Статистика» и др. экономических специальностей/ Л.И. Ниворожкина [и др.], ред. Л.И. Ниворожкина. -Москва: Дашков и К, 2011. - 415с.

4. Федеральная служба государственной статистики. Центральная база статистических данных. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.gks.ru/dbscripts/cbsd/DBInet.cgi - 20.01.2018.

5. Экономическая статистика. 2-е изд., доп.: Учебник / Под ред. Ю. Н. Иванова. - Москва : ИНФРА-М, 2002. - 480 с.

УДК 511.11

Елизаров Е.Б. Россия, г. Владикавказ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА ДЛЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Аннотация: Статья является продолжением темы [3] «Последняя теорема Ферма и тройки Пифагора» в №5(11)2016г., [4] «Теория делимости и простые числа» в №6-1(12) 2016г. е-журналов «Теория и практика современной науки», [5] «Теории делимости и четно-простые числа» в №5(9) 2017г. е-журнала «Форум молодых ученых» и посвящена последним данным по исследованию троек Пифагора и теории делимости.

В ней рассматриваются дополнения к методике нахождения троек Пифагора и обоснование теории делимости, поднимая значимость теоремы Пифагора для теории чисел.

Ключевые слова: тройки Пифагора, теория делимости, теория чисел.

Yelizarov Y.B. Russia, Vladikavkaz

Abstract: The article is a continuation of the topic [3] "Fermat's last theorem and Pythagorean triples" in No. 5 (11) 2016, [4] "Divisibility theory and prime numbers" in No. 6-1 (12) 2016, E-journals "Theory and practice of modern science", [5] "Divisibility theories and even-prime numbers" in No. 5 (9) 2017, E-journal "Forum of Young Scientists" and is devoted to the latest data on the research of Pythagorean triples and the theory of divisibility. In it we consider additions to the method for finding of Pythagorean triples and substantiating the theory of divisibility, raising the importance of Pythagoras' theorem for number theory.

Keywords: Pythagorean triples, divisibility theory, number theory.

1. Дополнения к определению троек Пифагора.

Учитывая, что при заполнении таблиц троек Пифагора, возможны «неточности» - поэтому, для контроля, предлагается внести операцию суммирование всех членов таблицы до однозначного числа, как это делалось у Пифагора.

При выполнении этой операции обнаруживаются следующие закономерности:

D1

- для т = 1 —— появляется цикличность X/ У/

л Е)1 ™

- для т = 1—, у которых 01 суммарно составляет одно и тоже число

„1 „10 „19

также повторение цикличности, например: т = 1—, т = 1—, т = 1—, т =

1—... н н ы )

Эти правила цикличности и повторения цикличности справедливы всегда, однако, здесь уже используются только положительные числа. «Неточности» в таблицах (X, Y, 7) выделены желтым цветом.

Таблица 1\1. Тройки чисел Пифагора (до повторения циклов ). 1

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 4 12 24 40 60 84 112 144 180

Y 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Z 5 13 25 41 61 85 113 145 181

Е: 4 3 6 4 6 3 4 9 9

X/ 3 5 7 9 2 4 6 8 1

Y/ 5 4 7 5 7 4 5 1 1

Z

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

220 264 312 364 420 480 544 612 684 760 840 924

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43

221 265 313 365 421 481 545 613 685 761 841 925

4 3 6 4 6 3 4 9 9 4 3 6

3 5 7 9 2 4 6 8 1 3 5 7

5 4 7 5 7 4 5 1 1 5 4 7

m = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 6 16 30 48 70 96 126 160 198

Y 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Z 10 20 34 52 74 100 130 164 202

Е: 6 7 3 3 7 6 9 7 9

X/ 8 3 7 2 6 1 5 9 4

Y/ 1 2 7 7 2 1 4 2 4

Z

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

240 286 336 390 448 510 576 646 720 798 880 966

44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88

244 290 340 394 452 514 580 650 724 802 884 970

6 7 3 3 7 6 9 7 9 6 7 3

8 3 7 2 6 1 5 9 4 8 3 7

1 2 7 7 2 1 4 2 4 1 2 7

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 8 20 36 56 80 108 140 176 216

У 15 21 27 33 39 45 51 57 63

Z 17 29 45 65 89 117 149 185 225

Е X / У / ъ 8 2 9 2 8 9 5 5 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

8 2 9 2 8 9 5 5 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

260 308 360 416 476 540 608 680 756 836 920 1008

69 75 81 87 93 99 105 111 117 123 129 135

269 317 369 425 485 549 617 689 765 845 929 1017

8 2 9 2 8 9 5 5 9 8 2 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9 6 3 9

8 2 9 2 8 9 5 5 9 8 2 9

л 4

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 10 24 42 64 90 120 154 192 234

У 24 32 40 48 56 64 72 80 88

Z 26 40 58 80 106 136 170 208 250

Е: 1 6 6 1 9 3 1 3 9

X/ 6 5 4 3 2 1 9 8 7

У/ 8 4 4 8 7 1 8 1 7

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

280 330 384 442 504 570 640 714 792 874 960 1050

96 104 112 120 128 136 144 152 160 168 176 184

296 346 400 458 520 586 656 730 808 890 976 1066

1 6 6 1 9 3 1 3 9 1 6 6

6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4

8 4 4 8 7 1 8 1 7 8 4 4

т = 1 —

N

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 12 28 48 72 100 132 168 208 252

У 35 45 55 65 75 85 95 105 115

Z 37 53 73 97 125 157 193 233 277

Е: 3 1 3 9 1 6 6 1 9

X/ 8 9 1 2 3 4 5 6 7

У/ 1 8 1 7 8 4 4 8 7

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

300 352 408 468 532 600 672 748 828 912 1000 1092

125 135 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235

325 377 433 493 557 625 697 773 853 937 1025 1117

3 1 3 9 1 6 6 1 9 3 1 3

8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 8 1 7 8 4 4 8 7 1 8 1

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 14 32 54 80 110 144 182 224 270

У 48 60 72 84 96 108 120 132 144

Z 50 68 90 116 146 180 218 260 306

Е: 5 5 9 8 2 9 2 8 9

X/ 3 6 9 3 6 9 3 6 9

У/ 5 5 9 8 2 9 2 8 9

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

320 374 432 494 560 630 704 782 864 950 1040 1134

156 168 180 192 204 216 228 240 252 264 276 288

356 410 468 530 596 666 740 818 900 986 1076 1170

5 5 9 8 2 9 2 8 9 5 5 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9 3 6 9

5 5 9 8 2 9 2 8 9 5 5 9

т = 1 -

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 16 36 60 88 120 156 196 240 288

У 63 77 91 105 119 133 147 161 175

Z 65 85 109 137 169 205 245 289 337

Е: 7 9 6 7 3 3 7 6 9

X/ 9 5 1 6 2 7 3 8 4

У/ 2 4 1 2 7 7 2 1 4

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

340 396 456 520 588 660 736 816 900 988 1080 1176

189 203 217 231 245 259 273 287 301 315 329 343

389 445 505 569 637 709 785 865 949 1037 1129 1225

7 9 6 7 3 3 7 6 9 7 9 6

9 5 1 6 2 7 3 8 4 9 5 1

2 4 1 2 7 7 2 1 4 2 4 1

л 8

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 18 40 66 96 130 168 210 256 306

У 80 96 112 128 144 160 176 192 208

Z 82 104 130 160 194 232 274 320 370

Е: 9 4 3 6 4 6 3 4 9

X/ 8 6 4 2 9 7 5 3 1

У/ ъ 1 5 4 7 5 7 4 5 1

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

360 418 480 546 616 690 768 850 936 1026 1120 1218

224 240 256 272 288 304 320 336 352 368 384 400

424 482 544 610 680 754 832 914 1000 1090 1184 1282

9 4 3 6 4 6 3 4 9 9 4 3

8 6 4 2 9 7 5 3 1 8 6 4

1 5 4 7 5 7 4 5 1 1 5 4

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 20 44 72 104 140 180 224 272 324

У 99 117 135 153 171 189 207 225 243

Z 101 125 153 185 221 261 305 353 405

Е: 2 8 9 5 5 9 8 2 9

X/ 9 9 9 9 9 9 9 9 9

У/ 2 8 9 5 5 9 8 2 9

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

380 440 504 572 644 720 800 884 972 1064 1160 1260

261 279 297 315 333 351 369 387 405 423 441 459

461 521 585 653 725 801 881 965 1053 1145 1241 1341

2 8 9 5 5 9 8 2 9 2 8 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

2 8 9 5 5 9 8 2 9 2 8 9

1 10 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 22 48 78 112 150 192 238 288 342

У 120 140 160 180 200 220 240 260 280

Z 122 148 178 212 250 292 338 388 442

Е: 4 3 6 4 6 3 4 9 9

X/ 3 5 7 9 2 4 6 8 1

У/ 5 4 7 5 7 4 5 1 1

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

400 462 528 598 672 750 832 918 1008 1102 1200 1302

300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520

500 562 628 698 772 850 932 1018 1108 1202 1300 1402

4 3 6 4 6 3 4 9 9 4 3 6

3 5 7 9 2 4 6 8 1 3 5 7

5 4 7 5 7 4 5 1 1 5 4 7

11

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 24 52 84 120 160 204 252 304 360

У 143 165 187 209 231 253 275 297 319

Z 145 173 205 241 281 325 373 425 481

Е: 6 7 3 3 7 6 9 7 9

X/ 8 3 7 2 6 1 5 9 4

У/ 1 2 7 7 2 1 4 2 4

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

420 484 552 624 700 780 864 952 1044 1140 1240 1344

341 363 385 407 429 451 473 495 517 539 561 583

541 605 673 745 821 901 985 1073 1165 1261 1361 1465

6 7 3 3 7 6 9 7 9 6 7 3

8 3 7 2 6 1 5 9 4 8 3 7

1 2 7 7 2 1 4 2 4 1 2 7

1 12 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 26 56 90 128 170 216 266 320 378

У 168 192 216 240 264 288 312 336 360

Z 170 200 234 272 314 360 410 464 522

Е: 8 2 9 2 8 9 5 5 9

X/ 6 3 9 6 3 9 6 3 9

У/ 8 2 9 2 8 9 5 5 9

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

440 506 576 650 728 810 896 986 1080 1178 1280 1386

384 408 432 456 480 504 528 552 576 600 624 648

584 650 720 794 872 954 1040 1130 1224 1322 1424 1530

8 2 9 2 8 9 5 5 9 8 2 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9 6 3 9

8 2 9 2 8 9 5 5 9 8 2 9

113 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 28 60 96 136 180 228 280 336 396

У 195 221 247 273 299 325 351 377 403

Z 197 229 265 305 349 397 449 505 565

Е: 1 6 6 1 9 3 1 3 9

X/ 6 5 4 3 2 1 9 8 7

У/ 8 4 4 8 7 1 8 1 7

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

460 528 600 676 756 840 928 1020 1116 1216 1320 1428

429 455 481 507 533 559 585 611 637 663 689 715

629 697 769 845 925 1009 1097 1189 1285 1385 1489 1597

1 6 6 1 9 3 1 3 9 1 6 6

6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4

8 4 4 8 7 1 8 1 7 8 4 4

1 14 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 30 64 102 144 190 240 294 352 414

У 224 252 280 308 336 364 392 420 448

Z 226 260 298 340 386 436 490 548 610

Е: 3 1 3 9 1 6 6 1 9

X/ 8 9 1 2 3 4 5 6 7

У/ 1 8 1 7 8 4 4 8 7

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

480 550 624 702 784 870 960 1054 1152 1254 1360 1470

476 504 532 560 588 616 644 672 700 728 756 784

676 746 820 898 980 1066 1156 1250 1348 1450 1556 1666

3 1 3 9 1 6 6 1 9 3 1 3

8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 8 1 7 8 4 4 8 7 1 8 1

1 15 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 32 68 108 152 200 252 308 368 432

У 255 285 315 345 375 405 435 465 495

Z 257 293 333 377 425 477 533 593 657

Е: 5 5 9 8 2 9 2 8 9

X/ 3 6 9 3 6 9 3 6 9

У/ 5 5 9 8 2 9 2 8 9

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

500 572 648 728 812 900 992 1088 1188 1292 1400 1512

525 555 585 615 645 675 705 735 765 795 825 855

725 797 873 953 1037 1125 1217 1313 1413 1517 1625 1737

5 5 9 8 2 9 2 8 9 5 5 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9 3 6 9

5 5 9 8 2 9 2 8 9 5 5 9

116 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 34 72 114 160 210 264 322 384 450

У 288 320 352 384 416 448 480 512 544

Z 290 328 370 416 466 520 578 640 706

Е: 7 9 6 7 3 3 7 6 9

X/ 9 5 1 6 2 7 3 8 4

У/ 2 4 1 2 7 7 2 1 4

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

520 594 672 754 840 930 1024 1122 1224 1330 1440 1554

576 608 640 672 704 736 768 800 832 864 896 928

776 850 928 1010 1096 1186 1280 1378 1480 1586 1696 1810

7 9 6 7 3 3 7 6 9 7 9 6

9 5 1 6 2 7 3 8 4 9 5 1

2 4 1 2 7 7 2 1 4 2 4 1

1т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 36 76 120 168 220 276 336 400 468

У 323 357 391 425 459 493 527 561 595

Z 325 365 409 457 509 565 625 689 757

Е: 9 4 3 6 4 6 3 4 9

X/ 8 6 4 2 9 7 5 3 1

У/ 1 5 4 7 5 7 4 5 1

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

540 616 696 780 868 960 1056 1156 1260 1368 1480 1596

629 663 697 731 765 799 833 867 901 935 969 1003

829 905 985 1069 1157 1249 1345 1445 1549 1657 1769 1885

9 4 3 6 4 6 3 4 9 9 4 3

8 6 4 2 9 7 5 3 1 8 6 4

1 5 4 7 5 7 4 5 1 1 5 4

1 18 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 38 80 126 176 230 288 350 416 486

У 360 396 432 468 504 540 576 612 648

Z 362 404 450 500 554 612 674 740 810

Е: 2 8 9 5 5 9 8 2 9

X/ 9 9 9 9 9 9 9 9 9

У/ ъ 2 8 9 5 5 9 8 2 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

560 638 720 806 896 990 1088 1190 1296 1406 1520 1638

684 720 756 792 828 864 900 936 972 1008 1044 1080

884 962 1044 1130 1220 1314 1412 1514 1620 1730 1844 1962

2 8 9 5 5 9 8 2 9 2 8 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

2 8 9 5 5 9 8 2 9 2 8 9

1 19 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 40 84 132 184 240 300 364 432 504

У 399 437 475 513 551 589 627 665 703

Z 401 445 493 545 601 661 725 793 865

Е: 4 3 6 4 6 3 4 9 9

X/ 3 5 7 9 2 4 6 8 1

У/ 5 4 7 5 7 4 5 1 1

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

580 660 744 832 924 1020 1120 1224 1332 1444 1560 1680

741 779 817 855 893 931 969 1007 1045 1083 1121 1159

941 1021 1105 1193 1285 1381 1481 1585 1693 1805 1921 2041

4 3 6 4 6 3 4 9 9 4 3 6

3 5 7 9 2 4 6 8 1 3 5 7

5 4 7 5 7 4 5 1 1 5 4 7

1 20 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 42 88 138 192 250 312 378 448 522

У 440 480 520 560 600 640 680 720 760

Z 442 488 538 592 650 712 778 848 922

Е: 6 7 3 3 7 6 9 7 9

X/ 8 3 7 2 6 1 5 9 4

У/ 1 2 7 7 2 1 4 2 4

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

600 682 768 858 952 1050 1152 1258 1368 1482 1600 1722

800 840 880 920 960 1000 1040 1080 1120 1160 1200 1240

1000 1082 1168 1258 1352 1450 1552 1658 1768 1882 2000 2122

6 7 3 3 7 6 9 7 9 6 7 3

8 3 7 2 6 1 5 9 4 8 3 7

1 2 7 7 2 1 4 2 4 1 2 7

1 21 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 44 92 144 200 260 324 392 464 540

У 483 525 567 609 651 693 735 777 819

Z 485 533 585 641 701 765 833 905 981

Е: 8 2 9 2 8 9 5 5 9

X/ 6 3 9 6 3 9 6 3 9

У/ 8 2 9 2 8 9 5 5 9

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

620 704 792 884 980 1080 1184 1292 1404 1520 1640 1764

861 903 945 987 1029 1071 1113 1155 1197 1239 1281 1323

1061 1145 1233 1325 1421 1521 1625 1733 1845 1961 2081 2205

8 2 9 2 8 9 5 5 9 8 2 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9 6 3 9

8 2 9 2 8 9 5 5 9 8 2 9

22

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 46 96 150 208 270 336 406 480 558

У 528 572 616 660 704 748 792 836 880

Z 530 580 634 692 754 820 890 964 1042

Е: 1 6 6 1 9 3 1 3 9

X/ 6 5 4 3 2 1 9 8 7

У/ 8 4 4 8 7 1 8 1 7

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

640 726 816 910 1008 1110 1216 1326 1440 1558 1680 1806

924 968 1012 1056 1100 1144 1188 1232 1276 1320 1364 1408

1124 1210 1300 1394 1492 1594 1700 1810 1924 2042 2164 2290

1 6 6 1 9 3 1 3 9 1 6 6

6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4

8 4 4 8 7 1 8 1 7 8 4 4

1 23 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 48 100 156 216 280 348 420 496 576

У 575 621 667 713 759 805 851 897 943

Z 577 629 685 745 809 877 949 1025 1105

Е: 3 1 3 9 1 6 6 1 9

X/ 8 9 1 2 3 4 5 6 7

У/ 1 8 1 7 8 4 4 8 7

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

660 748 840 936 1036 1140 1248 1360 1476 1596 1720 1848

989 1035 1081 1127 1173 1219 1265 1311 1357 1403 1449 1495

1189 1277 1369 1465 1565 1669 1777 1889 2005 2125 2249 2377

3 1 3 9 1 6 6 1 9 3 1 3

8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 8 1 7 8 4 4 8 7 1 8 1

24

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 50 104 162 224 290 360 434 512 594

У 624 672 720 768 816 864 912 960 1008

Z 626 680 738 800 866 936 1010 1088 1170

Е: 5 5 9 8 2 9 2 8 9

X/ 3 6 9 3 6 9 3 6 9

У/ 5 5 9 8 2 9 2 8 9

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

680 770 864 962 1064 1170 1280 1394 1512 1634 1760 1890

1056 1104 1152 1200 1248 1296 1344 1392 1440 1488 1536 1584

1256 1346 1440 1538 1640 1746 1856 1970 2088 2210 2336 2466

5 5 9 8 2 9 2 8 9 5 5 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9 3 6 9

5 5 9 8 2 9 2 8 9 5 5 9

1 25 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 52 108 168 232 300 372 448 528 612

У 675 725 775 825 875 925 975 1025 1075

Z 677 733 793 857 925 997 1073 1153 1237

Е: 7 9 6 7 3 3 7 6 9

X/ 9 5 1 6 2 7 3 8 4

У/ 2 4 1 2 7 7 2 1 4

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

700 792 888 988 1092 1200 1312 1428 1548 1672 1800 1932

1125 1175 1225 1275 1325 1375 1425 1475 1525 1575 1625 1675

1325 1417 1513 1613 1717 1825 1937 2053 2173 2297 2425 2557

7 9 6 7 3 3 7 6 9 7 9 6

9 5 1 6 2 7 3 8 4 9 5 1

2 4 1 2 7 7 2 1 4 2 4 1

1 26 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 54 112 174 240 310 384 462 544 630

У 728 780 832 884 936 988 1040 1092 1144

Z 730 788 850 916 986 1060 1138 1220 1306

Е: 9 4 3 6 4 6 3 4 9

X/ 8 6 4 2 9 7 5 3 1

У/ 1 5 4 7 5 7 4 5 1

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

720 814 912 1014 1120 1230 1344 1462 1584 1710 1840 1974

1196 1248 1300 1352 1404 1456 1508 1560 1612 1664 1716 1768

1396 1490 1588 1690 1796 1906 2020 2138 2260 2386 2516 2650

9 4 3 6 4 6 3 4 9 9 4 3

8 6 4 2 9 7 5 3 1 8 6 4

1 5 4 7 5 7 4 5 1 1 5 4

2т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 56 116 180 248 320 396 476 560 648

У 783 837 891 945 999 1053 1107 1161 1215

Z 785 845 909 977 1049 1125 1205 1289 1377

Е: 2 8 9 5 5 9 8 2 9

X/ 9 9 9 9 9 9 9 9 9

У/ 2 8 9 5 5 9 8 2 9

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

740 836 936 1040 1148 1260 1376 1496 1620 1748 1880 2016

1269 1323 1377 1431 1485 1539 1593 1647 1701 1755 1809 1863

1469 1565 1665 1769 1877 1989 2105 2225 2349 2477 2609 2745

2 8 9 5 5 9 8 2 9 2 8 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

2 8 9 5 5 9 8 2 9 2 8 9

1 28 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 58 120 186 256 330 408 490 576 666

У 840 896 952 1008 1064 1120 1176 1232 1288

Z 842 904 970 1040 1114 1192 1274 1360 1450

Е: 4 3 6 4 6 3 4 9 9

X/ 3 5 7 9 2 4 6 8 1

У/ 5 4 7 5 7 4 5 1 1

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

760 858 960 1066 1176 1290 1408 1530 1656 1786 1920 2058

1344 1400 1456 1512 1568 1624 1680 1736 1792 1848 1904 1960

1544 1642 1744 1850 1960 2074 2192 2314 2440 2570 2704 2842

4 3 6 4 6 3 4 9 9 4 3 6

3 5 7 9 2 4 6 8 1 3 5 7

5 4 7 5 7 4 5 1 1 5 4 7

1 29 т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 60 124 192 264 340 420 504 592 684

У 899 957 1015 1073 1131 1189 1247 1305 1363

Z 901 965 1033 1105 1181 1261 1345 1433 1525

Е: 6 7 3 3 7 6 9 7 9

X/ 8 3 7 2 6 1 5 9 4

У/ 1 2 7 7 2 1 4 2 4

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

780 880 984 1092 1204 1320 1440 1564 1692 1824 1960 2100

1421 1479 1537 1595 1653 1711 1769 1827 1885 1943 2001 2059

1621 1721 1825 1933 2045 2161 2281 2405 2533 2665 2801 2941

6 7 3 3 7 6 9 7 9 6 7 3

8 3 7 2 6 1 5 9 4 8 3 7

1 2 7 7 2 1 4 2 4 1 2 7

30

т = 1 —

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 62 128 198 272 350 432 518 608 702

У 960 1020 1080 1140 1200 1260 1320 1380 1440

Z 962 1028 1098 1172 1250 1332 1418 1508 1602

Е: 8 2 9 2 8 9 5 5 9

X/ 6 3 9 6 3 9 6 3 9

У/ 8 2 9 2 8 9 5 5 9

ъ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

800 902 1008 1118 1232 1350 1472 1598 1728 1862 2000 2142

1500 1560 1620 1680 1740 1800 1860 1920 1980 2040 2100 2160

1700 1802 1908 2018 2132 2250 2372 2498 2628 2762 2900 3042

8 2 9 2 8 9 5 5 9 8 2 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9 6 3 9

8 2 9 2 8 9 5 5 9 8 2 9

2. История вопроса.

Используем ранее напечатанный материал, а именно:

м

Обозначим т = — , подставим в формулы Пифагора, выполнив

преобразования, получим:

Z = М2 + N2 , У = М2 -N2 , X = 2MN - это есть формулы решения уравнения X2 + У2 = 22 - предложенные Евклидом - такой метод дает общее решение, всегда в целых числах. Для проверок пифагоровых троек: X - всегда четное, т.к. х = 2М^

Z = М2 + N2 и х = 2М^ тогда Z + х = М2 + 2MN + N2 = (М + ^2 т.е. Z + х - есть всегда точный квадрат, (17/1) аналогично Z - х = М2 - 2MN + N2 = (М - ^2 т.е. Z - х - есть всегда точный квадрат. И вот что в этих формулах интересного:

Z + х = (М + ^2 = (Б2)2 (18/1)

Z - х = (М - ^2 = (Б1)2 ,

т.к. У2 = Z2 - х2 = (Z - х) (Z + х) = (Б1)2 х (Б2)2 , в итоге Y = Б1 х

Б2.

Значит любая тройка Пифагора, полученная тем или иным способом знает это правило:

Z + х = (Б2)2 (19/1)

Z - х = (Б1)2

Причем: Z - наибольшая величина, Х - четная величина, У = Б1 х Б2 . А отсюда далеко-идущие следствия:

1. Если Б1=1 и Б2 = Y - единственное решение, значит Y - простое число, а если такое же значение Y = х Б2 имеется в других тройках Пифагора, т.е. у - есть другой делитель, то Y составное число (в таблицах делимости эти повторы вычеркнуты).

2. Далее: таким же способом определены четно-простые числа (это тот же ряд простых чисел, но каждое число умноженное на 4).

Если Б1=2 и Б2 = Y - единственное решение, значит Y - четно-простое число, а если такое же значение Y = х Б2 имеется в других тройках Пифагора т.е. у - есть другой делитель, то Y составное четное число (в таблицах делимости эти повторы вычеркнуты).

Видимо, появилась другая система нахождения простых чисел, взамен решета Эратосфена, а четно-простые числа - по другому не найти! 2.1.Примеры:

1.Рассмотрим вавилонскую тройку Пифагора:

34562 + 33672 = 48252 (20/1)

из (17\1): 7 + Х = 4825+3456=912 = (М + К)2 2 - Х = 4825-3456=372 = (М - К)2

тогда Y=3367 можно разделить на 37 будет равно 91, т.к. Y = х Б2 Тогда:

' М + N = 91 (21/1)

М - N = 37

Решим эту систему уравнений, получим М = 64, N = 27,

64 37

тогда т = — = 1 —, построим таблицу для (20/1) тройки Пифагора.

37

т = 1 —

27

N 19 20 21 22 23 24 25 26 27

X 2128 2280 2436 2596 2760 2928 3100 3276 3456

У 2775 2849 2923 2997 3071 3145 3219 3293 3367

Z 3497 3649 3805 3965 4129 4297 4469 4645 4825

Е: 4 3 6 4 6 3 4 9 9

X/ 3 5 7 9 2 4 6 8 1

У/ 2 5 4 7 5 7 4 5 1 1

Б2

2.Далее рассмотрим вавилонскую тройку Пифагора: 135002 +127092 =185412 (22/1)

из (17/1): 7 + Х = 18541+13500=1792 = (М + ^2 2 - Х = 18541-13500=712 = (М - ^2

тогда Y=12709 можно разделить на 71 будет равно 179, т.к. Y = D1 х

Тогда:

М + N = 179 М - N = 71

(23/1)

125

54

Решим эту систему уравнений, получим М = 125, N = 54, тогда т =

71

1 —, построим таблицу для (22/1) тройки Пифагора.

54 71

т = 1 —

N 46 47 48 49 50 51 52 53 54

X 10764 11092 11424 11760 12100 12444 12792 13144 13500

У 11573 11715 11857 11999 12141 12283 12425 12567 12709

Z 15805 16133 16465 16801 17141 17485 17833 18185 18541

Е: 9 4 3 6 4 6 3 4 9

X/ 8 6 4 2 9 7 5 3 1

У/ 2 1 5 4 7 5 7 4 5 1

3.Рассмотрим еще одну вавилонскую тройку Пифагора: 64802 + 49612 = 81612 (24/1)

из (17/1): 7 + Х = 8161+6480=1212 = (М + ^2 2 - Х = 8161-6480=412 = (М - ^2

тогда Y=4961 можно разделить на 41 будет равно 121, т.к. Y = D1 х D2 Тогда:

М + N = 121 М - N = 41

(25/1)

Решим эту систему уравнений, получим М = 81, N = 40, тогда т = — =

141,

40

40

построим таблицу для (24/1) тройки Пифагора.

41

т = 1 —

N

N 37 38 39 40 41 42 43 44 45

X 5772 6004 6240 6480 6724 6972 7224 7480 7740

У 4715 4797 4879 4961 5043 5125 5207 5289 5371

Z 7453 7685 7921 8161 8405 8653 8905 9161 9421

Е: 3 1 3 9 1 6 6 1 9

X/ 8 9 1 2 3 4 5 6 7

У/ ъ 1 8 1 7 8 4 4 8 7

Вывод: данные примеры показали нормальную привязку к методике определения троек Пифагора, предложенной в данных статьях, значит она является универсальной и правильной.

2.2.Формулы вавилонских математиков по тройкам Пифагора.

Ими алгебраическая символика еще не применялась, но более сложные «изъяснения» позволяли формулировать определенные правила и фактически описывать простые формулы.

Можно логически восстановить появления у них формул троек Пифагора.

Допустим, в результате строительных работ, появилась задача:

«в прямоугольном треугольнике по известному катету найти другой катет и гипотенузу».

Известный катет У=3367 = 37 х 91, т.к. У = D1 х D2, далее применим формулу (19/1)

^ 7 + Х = ф2)2 = 372 = 1369 ъ - Х = ф1)2 = 912 = 6561

Решим эту систему уравнений, получим: Х = 3456, Ъ = 4825.

Можно другие тройки таким же способом решить, тогда в общем:

- известный катет принимается за У = D1 х D2 , т.е. подбираются два числа, причем меньшее D1, большее число D2 ,

- решается система уравнений

Г Ъ + Х = ф2)2

| ъ - Х = ф1)2

и находятся значения Х и Ъ. Вот такой простой способ.

Генетическое исследование:

Г.Эдвардс.

Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Издательство «Мир» Москва 1980г.УДК 511.

От редактора перевода: Пожалуй, нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна среди математиков и особенно среди математиков-любителей, как проблема Ферма...

Книга Эдвардса, предлагаемая вниманию читателей, настолько содержательна, что у любителей решать проблему Ферма примитивными методами она отобьет всякое желание дискутировать...

ПРЕДИСЛОВИЕ. По-видимому, многие откроют эту книгу с желанием узнать, каково современное состояние знаний о Последней теореме Ферма, и, т.к. сама книга не дает ответа на этот вопрос, стоит, вероятно, сказать об этом несколько слов в предисловии.

Поскольку каждое п >2 делится либо на 4 (для п = 4 сохранилась рукопись доказательства самого Ферма, а это удивительно! Видимо этот неправильный путь и был подсказан поколениям математиков, т.к. приписка после 8-й задачи: «мне удалось найти удивительное доказательство данного утверждения»), либо на нечетное простое число, то доказательства Последней теоремы Ферма достаточно доказать ее для простых показателей п:

для п = 3 доказать эту теорему не слишком трудно,

для п = 5 и 7 возникают.. трудности, однако методы остаются по существу элементарными.

А далее все сложнее. мощная теория «идеального разложения», разработанная Куммером в 40-е годы 19 века и позволившая одним махом доказать Последнюю теорему для всех простых показателей, меньших 100, кроме 37, 59, 67.

Начиная с 1850 г. основные усилия были направлены на нахождение все более мощных достаточных условий. Наилучшие известные теперь достаточные условия, с одной стороны, являются очень мощными в том смысле, что им удовлетворяют все простые числа, меньше 100 000. Однако, с другой стороны, все эти условия вызывают сильное разочарование, поскольку среди них нет ни одного, которому удовлетворяло бы бесконечное множество простых показателей. Таким образом, Последнюю теорему Ферма можно доказать для любого простого числа, лежащего в доступных для вычислений пределах, и тем не менее нельзя исключить возможность, что для всех простых чисел, превосходящих некоторую большую границу, теорема неверна.

Основным методом изложения в этой книге, как указывает ее подзаголовок, является генетический метод. Словарь определяет «генетический» как «относящийся к генезису, происхождению». В этой книге я попытался объяснить основные методы и понятия алгебраической теории чисел и продемонстрировать их естественность и эффективность,

прослеживая их происхождение и развитие в работах некоторых из великих мастеров: Ферма, Эйлера, Лагранжа, Лежандра, Гаусса, Дирихле, Куммера и других.

Важно отличать генетический метод от описания истории вопроса. Различие заключается в том, что генетический метод прежде всего занимается самим предметом изучения - его происхождением и развитием, тогда как основной целью исторического описания является аккуратная регистрация сведений о людях, идеях и событиях, которые играли роль в эволюции предмета изучения. В истории нет места для детального описания теории - если только это не способствует более глубокому проникновению в предмет.

Это означает, что генетический метод имеет тенденцию представлять историческую последовательность в искаженной перспективе. Игнорируются вопросы, которые так и не были успешно разрешены. Не рассматриваются идеи, ведущие в тупик. Генетический метод обходит молчанием месяцы бесплодных усилий и горы вспомогательных вычислений. Для того, чтобы выявить плодотворные идеи, приходится делать вид, что человеческий разум по прямой линии движется от задач к решениям...

Возможно, вас заинтересует не столько разница между историческим описанием и генетическим методом, сколько отличие генетического метода от более обычного метода математического изложения. Как утверждал математик Отто Теплиц, сущность генетического метода состоит в том, чтобы, рассмотрев исторические источники идеи, найти для нее наилучшую мотивировку, и, изучив контекст, в котором работал человек, первым выдвинувший эту идею, найти тот «жгучий вопрос», на который он жаждал ответить...

Я обнаружил, что наилучший путь преодолеть трудности изучения абстрактной математической теории состоит в том, чтобы последовать совету Теплица и игнорировать современные изложения до тех пор, пока не изучишь генезис и не узнаешь вопросов, которые привели к этой теории.

Я был бы восхищен, если бы эта задача была решена, и особенно если бы человеку, решившему ее, оказалась полезной моя книга. И хотя можно спорить о том, способна ли книга, излагающая идеи, которые не привели к решению задачи, оказаться полезной тому, кто надеется найти решение, я думаю, что безуспешных усилий многих первоклассных математиков (не говоря уже о многих не таких первоклассных) достаточно для того, чтобы считать наивный подход к этой проблеме безнадежным...

К задаче 8: «Данный квадрат разделить на два квадрата» (книги II «Арифметики» Диофанта), Ферма сделал свое знаменитое замечание, известное как большая или Великая теорема Ферма: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него

слишком малы»

Из решения задачи 8 (книги II) следуют следующие соответствия прогрессиям (8) статьи «Последняя теорема Ферма и тройки Пифагора»:

2ak 2dq

p-j-j- соответствует - средний член геометрической прогрессии

a(k2-1) d( q2 + 1)

k2+i соответствует ^ - средний член арифметической

прогресии.

Что можно сказать по этим выводам:

- возможно, это стало подсказкой для получения самим Ферма прогрессий (8), т.е. выполнения метода решения сформулированной проблемы , как в статье «Последняя теорема Ферма и тройки Пифагора».

Использованные источники:

1. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики. - Квантор.1991

2. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел.- М.Наука.1978

3. Елизаров Е.Б. «Последняя теорема Ферма и тройки Пифагора» Журнал «Теория и практика современной науки» №5(11) 2016г. Страницы:305 -322. Издательство: ООО «Институт управления и социально -экономического развития» (Саратов) elSSN: 2412-9682

4. Елизаров Е.Б. «Теория делимости и Простые числа» Журнал «Теория и практика современной науки» №6-1(12) 2016г. Страницы:376-404. Издательство: ООО «Институт управления и социально-экономического развития» (Саратов) elSSN: 2412-9682

5. Елизаров Е.Б. «Теория делимости и Четно-Простые числа» Журнал «Форум молодых ученых» №5(9) 2017г. Страницы:703-730. Издательство: ООО «Институт управления и социально-экономического развития» ISSN: 2500-4060

6. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. Просвещение.1964