CC BY
24
5. Попов Н.Н. Некоторые задачи теории квантовых вероятностей. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1991. 64 с.
6. Попов Н.Н. Элементы теории квантовых вероятностей. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1996. 206 с. ISBN: 5-201-09726-Х.
7. Хренников А.Ю. Неколмогоровские теории вероятностей и квантовая физика. М.: Физматлит, 2003. 208 с.
8. Аншелевич В.В., Гольдштейн М.Ш. Операторные алгебры в статистической механике и некоммутативная теория вероятностей // Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Новые достижения. Том 27. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 191-228.
9. Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика // Теория вероятностей - 8. Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 83. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 5-132.
10. Тарасова С.С. Теория вероятностей в задачах авиационной техники. Учебное пособие. М.: Изд-во МАИ, 1984. 70 с.
УРАВНЕНИЕ ПИФАГОРА И ЗАГАДКА ФЕРМА Баталов А.П. Email: [email protected]
Баталов Андрей Петрович - кандидат технических наук, доцент,
кафедра машиностроения, Санкт-Петербургский горный университет, г. Санкт-Петербург
Аннотация: предложено общее доказательство уравнения Пифагора и теоремы Ферма. Для этого члены уравнений формируются в соответствии с традицией - два нечетных взаимно простых числа (Z, Y) в степени n, разность этих выражений должно дать четное число X в степени п. Принимаем X=kx, что допустимо, т.к. разность Zn - Y всегда имеет хотя бы один делитель, например, Z - Y при любых п. Поиск решения этих уравнений при целочисленных величинах Z, Y, X и n>3 проводится, если представить Z=a+x, Y=a-x; или Z=z , Y=z-x; X=kx - всегда. Величины z, a, x, k - попарно простые числа. Доказательство весьма краткое и применяется только принцип делимости и соотношение четности. Ключевые слова: уравнение Пифагора, теорема Ферма, общее доказательство.
PYTHAGORAS EQUATION AND THE RIDDLE OF FERMAT
Batalov A-Р.
Batalov Andrej Petrovich - PhD, Associate Professor, THE DEPARTMENT OF MECHANICAL ENGINEERING, STATE MINING UNIVERSITY, ST. -PETERSBURG
Abstract: the general proof of the Pythagorean equation and Fermat's theorem. For this purpose, equations members are formed in accordance with the tradition - two odd coprime numbers (Z, Y) to the power n, the difference between these expressions should give even number X to the power of n. Take X = kx, it is permissible, because difference Zn - Yn always has at least one divider, e.g., Z - Y for any n. Search for solutions to these equations with integer values of Z, Y, X and n>3 held if present Z = a + x, Y = a-x; or Z = z, Y = z-x; X = kx-always. Values of z, a, x, k - pairwise prime numbers. The proof is very short and only the principle of divisibility and the parity ratio.
Keywords: the equation Pythagoras, Fermat's theorem, general proof.
УДК 5.510.2
Известна «формула индусов» или уравнение Пифагора г2 — у2 = х2 [1, с. 457], есть несколько вариантов решения этого уравнения в целых числах. Хочу представить свой вариант решения, который позволяет несколько расширить рамки его применения для высших степеней [1, с. 607].
Пусть z = а + х, у = а - х, где ъ > у; а > х, а и х - взаимно простые числа; z, у,
a, х -целые числа; z, у , а -нечетные, х - четное число. [2,с.19].
ъ2 — у2 = х 2=(а + х)2 - (а - х)2 = 4 ах = х2, 4 а = х (1) Это несколько странный результат, но он дает нам почти классический ответ: Если х=4, а=1, z=5, у=-3.
Нас не устраивает, что х больше а . Сделаем так:
ъ2 — у2 = к2х2=(а + х)2 - (а - х)2 = 4 ах, 4 а = к2 х; (2)
Выбираем к (рациональное число) и х такими, чтобы обеспечить а нечетным целым числом, хотя есть и вариант:
пусть к = 4, а = 4, х = 1, то г = 5, у = 3, кх = 4.
Выбирая различные значения к, как целые, так и дробные, мы можем получить все возможные Пифагоровы тройки целых чисел z, у, кх, при соблюдении равенства 4 а = к 2 х . Одно из этих чисел обязательно будет иметь делитель 3. Пусть Примем Пусть
Используем такой подход для разности кубов, но к> 2 принимаем только целые: ъ3 — у3 = (а + х) 3 - (а - х) 3 = ( кх)3
Или 6а2 +2х2 = к3х2 ; 3а2 + х2 = к3х2/2, (3) что противоречит условию решения в целых числах, левая часть равенства -нечетное число, а правая - четное при любых значениях «к» и «х», т.к. х = 2 п х1. Также появляется требование делимости «а» на «х1».
То же получим для уравнений пятой и седьмой степени и других нечетных степеней:
г5 — у5 = (а + х) 5- (а - х) 5 = ( /сх) 5
или (4)
ъ7— у7= (а + х) 7 - (а - х)7 =( кх)7 или
7 а6+3 5 а4х2+2 1 а2х4+х6= к7х6/2 . (5) Также ъ4—у4= 8 ах (а2+х2) = /4х4 или 8 а (а2+х2) = к4х3,
2 2 4 13; (6) т.е. опять появляется требование делимости "а" на "х1". Итак, уравнение ъ" — у"= ( кх) п при п>3 также не может быть решено в целых числах.
Оказывается, что похожий путь доказательств можно провести, если принять
b, у = г — х, при прежних условиях: z, у - нечетные, х- четное.
ъ2 — у2 = г 2 - (г - х) 2 = 2 гх — х2 = к2 х2, 2 г = к2 х + х . ( 7 )
Если х = 2 хь х1 -нечетное, к - четное, z = ( к2 + 1 ) х1 . (8 )
Пусть х1=3, х=6, к =2, тогда ,
Примем х1=5, х=10, к =4, тогда z = 85, у = 75, кх = 40.
Для более высоких степеней z, у - нечетные, х- четное, к-натуральное число.
Если ъ3 — у3 = г3 - (г - х) 3 = ( кх)3 или 3 г2—3 гх + х2 = к3х2. (9) При ъ 4—у4 = г4—(г — х) 4 = к4х4 или 4 г3—6 г*х + 4 гх2—х3 = к4х3 (10) В уравнениях (9, 10) также требуется делимость z и х1 , что противоречит условию взаимной простоты, к тому же еще левая часть уравнения - нечетное число, а правая - четное. Такие же результаты получаются для всех высших степеней
Следовательно, уравнение ъп — ^ = (кх) п при п>3 также не может быть решено в целых числах, каждое из которых отлично от нуля.
Можно попробовать этот подход для исследования гипотезы А. Била [3 с. 1436-1437], где фигурируют A,B,C, x,y,z - положительные целые числа; x, y, z >2. A, B, C - взаимно простые числа, что требует, чтобы два числа были нечетными, одно - четное.
«Если Ax+By=Cz, то A, B, C имеют общий делитель». Мне кажется это парадоксальным предположением, противоречащим взаимной простоте A, B, C; но посмотрим, что получится, если опять использовать примитивный подход.
Пусть x< y< z [3, с. 1436] и Cz- By =Ax. Обозначим C=c, A=a, B=c-a; полагаем, что c> a; c, a- взаимно простые числа. Сделаем соответствующие подстановки: cz - (c-a)y = ax или cz-cy+ycy-1a- ^V-2a2+.. ,ycay-1-ay=ax. (11)
cy(cz-y-1) +ycy-1a- ^y-2a2+^ycay-1 =ay+ ax = ax(ay-x+1) (12) Возможно, что cz-y = 1 (mod a) , (cz-y-1) - четное число, обозначим cz-y-1=Ka, тогда равенство (12) можно сократить на «а»:
cyK+ycy-1- ^Mcy-2a+.. ,ycay-2 =ax-1(ay-x+1), (13) В (13) появляется возможность обосновать делимость а/с или с/а, но также есть еще (ay-x+1) - нечетно, то возможно оно имеет делитель 'c', обозначим
ay-x+1=Mc и сократим обе части равенства (13) на общий делитель 'c':
cy-1K+ycy-2- ^Y~cy-3a+ • • -yay-2 =ax-1M, (14)
cy-2 (cK+y) - Ç)cy-3a+^yay"2 =ax-1M, (15)
Через какое-то количество шагов таких сокращений мы получим странное равенство, которое нам никак не покажет возможный общий делитель для A,B,C:
T+yay-n =M, (16)
Этот путь исследования гипотезы Била - тупиковый, возможно, что неопределенность значений x, y, z усложняет подобный анализ.
«Диафантовы тройки» чисел, приведенные в статье [3, с. 1437] практически все включают одно число с показателем 2, что запрещено гипотезой Била, например: 25+72=34; 73+132=29; 27+173=712; 35+114=1222; ...338+15490342=156133. Приведенные примеры также не имеют общих делителей.
Список литературы /References
1. Математический энциклопедический словарь. Гл. редактор Ю.В. Прохоров. Изд. «Советская энциклопедия». М., 1988.
2. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. М. «Мир», 2003.
3. Mauldin R. Daniel. A Generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem.. Notices of the AMS. V. 44. Number 11.
