Научная статья на тему 'Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений'

Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
1485
66
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ / АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ / ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ / ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ / ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ / DIOPHANTINE EQUATION / ALGEBRAIC EQUATION / PARABOLIC GEOMETRY / HYPERBOLIC GEOMETRY / GELLIPTIC GEOMETRY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кочкарев Баграм Сибгатуллович

строится счетный класс (параметром служит степень уравнения n) алгебраических уравнений и доказывается, что все уравнения этого класса при n≥3 не имеют рациональных решений. Предлагается алгоритм, который для любого конкретного n≥3 определяет не рациональность решений соответствующего уравнения из класса. Доказывается, что решенная в работе проблема является эквивалентом доказательства известного утверждения П. Ферма (Великой теоремы П. Ферма) без использования эллиптических кривых в геометрии Евклида.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений»

Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений Кочкарев Б.С.

Кочкарев Баграм Сибгатуллович /Kochkarev Bagram Sibgatullovich - кафедра высшей математики и математического моделирования, кандидат физико-математических наук, доцент Институт математики и механики имени Н.И. Лобачевского, Казанского (Приволжского) федерального университета, г. Казань

Аннотация: строится счетный класс (параметром служит степень уравнения n) алгебраических уравнений и доказывается, что все уравнения этого класса при n>3 не имеют рациональных решений. Предлагается алгоритм, который для любого конкретного n>3 определяет не рациональность решений соответствующего уравнения из класса. Доказывается, что решенная в работе проблема является эквивалентом доказательства известного утверждения П. Ферма (Великой теоремы П. Ферма) без использования эллиптических кривых в геометрии Евклида. Abstract: we build the countable class (parameter is the degree n of the equation) of the algebraic equations and we prove that all equations of this class not have the rational decision at n>3. We propose an algorithm which define for any concrete n>3 that the corresponding equation from class not have the rational decisions. We show that the problem which is decided in this work is equivalent of proof of the well-known affirmation Fermat's Last Theorem without utilization of elliptic curves in Euclidean geometry.

Ключевые слова: диофантово уравнение, алгебраическое уравнение, параболическая геометрия, гиперболическая геометрия, эллиптическая геометрия.

Keywords: diophantine equation, algebraic equation, parabolic geometry, hyperbolic geometry, elliptic geometry.

Памяти Бориса Лукича Лаптева и Нила Замиловича Габбасова

В 1637 году П. Ферма сформулировал проблему: найти решение Диофантова уравнения и _ ^ при п> 3. На

полях книги «Арифметика» Диофанта [1] против уравнения иг+уг^м,г он написал: «невозможно разложить ни куб на

два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Известно [1], что дата опубликования в бумагах доказательства частного случая для п = 4 была позже 1637 года, именно, в августе 1659 года. Поэтому, можно предполагать, что для п = 3 П. Ферма утверждение не доказал, и запись на полях книги Диофанта, и в письме к Каркави [1] о методе бесконечного спуска, (в то время аксиоматики Пеано для натуральных чисел не было), который он применил к доказательству случая п = 4 говорит о том, что П. Ферма доказал утверждение для всех п >4, а для и = 3, как отмечено в [2,14], даже доказательство Л. Эйлера небезупречно. Элементарного доказательства утверждения Ферма нет ни для одного показателя п ^ 4 [2,14].

Рассмотрим алгебраическое уравнение степени п:

(х—2)*+(х-1)" = х" (1)

Теорема. Уравнение (1) имеет рациональные решения только при п~ 1 и п~2.

Доказательство. Действительно, для п=\ уравнение (1) принимает вид х —3 = 0, которое имеет решение х = 3. Для п = 2 уравнение (1) принимает вид х2 - 6х + 5 = 0, которое имеет решения Х1=1,х2 =5.

Докажем методом полной математической индукции, что у уравнения (1) при п> 3 нет рациональных решений.

1. Для п = Ъ уравнение (1) эквивалентно уравнению х3-9х2+15х-9 = 0. По теореме Виета, если полученное уравнение имеет рациональные решения, то они должны быть делителями свободного члена -9 уравнения, т.е. рациональные решения могут быть только среди чисел ±1,±3, ±9- Подстановкой этих чисел в уравнение вместо х убеждаемся, что ни одно из них не является решением уравнения.

2. Предположим теперь, что и при любом я = 4,5,... Д уравнение (1) не имеет рациональных решений.

3. Допустим, что при п = к +1 уравнение (А: 2)'"' I (л: I/'1 -лу' имеет рациональное решение с/1Г которое является делителем свободного члена (-1)*+1(1 + 2*+1) этого уравнения, но тогда делитель (/( свободного члена (-1)*(1+2*) уравнения (х-2)к+(х-1)к = хк является его решением, что противоречит нашему индуктивному предположению. Последнее утверждение является сутью метода спуска в терминологии П.Ферма.

Полученное противоречие доказывает сформулированную теорему.

Доказательство теоремы доставляет нам алгоритм проверки утверждения П. Ферма для любого конкретного п алгоритм состоит в проверке, есть ли среди делителей свободного члена (-1)"(1 + 2") уравнения (х-2)" +(х-1)" =х" решение этого уравнения.

Покажем теперь, что утверждение доказанной теоремы эквивалентно утверждению Ферма для Диофантова уравнения

п . п п

и + V =м>

Если уравнение (1) имеет рациональное решение X при некотором п > 3 , то Диофантово уравнение (2) также имеет рациональное решение при этом п . Для этого достаточно положить и = х — 2,v = х — 1 и w — x. Отсюда, если уравнение (1) не имеет рациональных решений для любого п > 3, то и уравнение (2) не имеет рациональных решений при п > 3 . Таким образом, доказательство утверждения Ферма эквивалентно доказательству сформулированной выше теоремы.

В заключение отметим следующее: признанное экспертами, прорецензировавшими доказательство утверждения П. Ферма Эндрю Уайлсом [3] указывает, что эксперты упустили из виду то, что Э. Уайлс использовал в своем доказательстве только геометрию Евклида (параболическую по классификации Ф. Клейна [4]). Однако для полноты доказательства ему необходимо было бы рассмотреть и неевклидовы геометрии, а, именно, геометрию Н.И. Лобачевского (гиперболическую по классификации Ф. Клейна [4]) и геометрию Б. Римана (эллиптическую по классификации Ф. Клейна [4]).

Литература

1. Самин Д.К. Сто великих ученых. Москва, «Вече», 2001. 592 с.

2. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, Наука, 1982. 240 с.

3. A. Wiles. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Annals of Mathematics, v.141 Second series №3 May 1995 p. 443-551.

4. Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. Изд. Казанского университета, 1976.136 с.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.