CC BY
65
Отличительное свойство натуральных чисел в различных геометриях Кочкарев Б. С.
Кочкарев Баграм Сибгатуллович /Kochkarev Bagram Sibgatullovich - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования,
Институт математики и механики имени Н. И. Лобачевского,
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань
Аннотация: устанавливается отличительное свойство натуральных чисел в зависимости от того, в какой геометрии (евклидовой, Н. И. Лобачевского или Б. Римана) они рассматриваются.
Abstract: distinctive feature set of natural numbers, depending on where in the geometry (Euclidien, Lobachevsky or Riman) they are.
Ключевые слова: параболическая геометрия, гиперболическая геометрия, эллиптическая геометрия. Keywords: parabolic geometry, hyperbolic geometry, elliptic geometry.
Настоящая работа вызвана в связи с так называемым доказательством Последней теоремы Ферма, опубликованным в [1], которое вызвало много шума особенно в западной прессе и некоторых публикациях, например, в виде монографии [2] и в интернете [3].
В работе [4] было указано, что Э. Уайлс использовал в своем доказательстве только геометрию Евклида (параболическую по классификации Ф. Клейна [5]), что не может считаться полным доказательством, так как евклидова геометрия является весьма частным случаем неевклидовой геометрии, когда угол
К
параллельности равен —
тогда как в других случаях он является острым [5,31].
В отличие от [1] в статье [4] мы дали полное прямое, а не от противного алгебраическое доказательство Великой гипотезы Ферма и построили алгоритм доказательства этого утверждения для любого n > 3 , тогда как на протяжении почти 400 лет другие строили свои доказательства для некоторых конкретных n . Более того, Куммер показал [2,117], что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за пределами возможностей существовавших математических подходов (в то время аксиоматики натуральных чисел Пеано еще не было, и метод спуска Ферма также до конца не был понят). Чтобы подтвердить наши сомнения относительно полноты доказательства утверждения Ферма в [1], мы решили рассмотреть особенности натуральных чисел в различных геометриях.
На протяжении более 2000 лет математиков привлекала проблема параллелей, так как пятый постулат Евклида отличался от прочих более сложной формулировкой и отсутствием непосредственной очевидности. Ученым казалось, что это теорема, которую Евклид просто не сумел доказать [5,19]. Таким образом, возникла необходимость доказать это предложение, опираясь как на исходные на остальные аксиомы и постулаты. Это была задача, над решением которой впоследствии безуспешно бились сотни геометров. [5,20].
В составившем эпоху в развитии геометрии докладе 1826 г. Н. И. Лобачевский дал уже окончательное, но совсем неожиданное решение проблемы параллелей. Он создал новую геометрию, заменив Евклидов постулат более общей аксиомой параллельности и сохранив прочие аксиомы и постулаты. Вместе с тем новая аксиома параллельности включала прежнюю как предельный случай, т.е. новая геометрия обобщала евклидову [5,25].
Смысл аксиомы Лобачевского легче понять, если рассмотреть предварительно на плоскости произвольную прямую A A, точку P вне прямой, перпендикуляр PQ к прямой A A [5,25].
Если обозначим отрезок PQ через X , то наименьший угол наклона а прямой PT к перпендикуляру PQ, при котором PT не пересекает A A назван углом параллельности для отрезка PQ = X.
Очень важно отметить, что угол параллельности а не может быть постоянным (если он постоянен, то он обязательно прямой, и получается геометрия Евклида). Исследование показывает, что он является
монотонно убывающей непрерывной функцией отрезка PQ = X и изменяется от
К
~2
до 0, когда X
а
возрастает от 0 до + да . Лобачевский нашел для этой функции следующее выражение: tg — = e k или
X
X
а = 2arctg(e k) k — длина некоторого постоянного отрезка, названного впоследствии радиусом кривизны пространства, а e - число Непера- основание натуральных логарифмов [5,31]. Если X устремить к бесконечности, то в пределе
О о О Ж Ж
tg — = e , т.е. — = — и а = —.
2 2 4 2
Мы получаем геометрию Евклида. Отметим, что Лобачевский доказал еще до установления упомянутой
функциональной зависимости, что каждый острый угол
а,0 <а <
Ж
2
можно рассматривать как угол
параллельности некоторого отрезка.
И Лобачевскому, и Гауссу, и Больаи было хорошо известно [6], что евклидова геометрия представляет собой частный случай новой «воображаемой» геометрии, соответствующей бесконечному значению параметра к или, следовательно, нулевому значению кривизны пространства (так называется в настоящее
время величина
1
к
). Поэтому пространства Лобачевского называются пространствами постоянной
отрицательной кривизны K < 0 (K =------—), а соответствующая геометрия называется гиперболической.
к
Как было указано выше, угол параллельности а в геометрии Лобачевского изменяется монотонно и Ж Ж
непрерывно от — до 0, 0 < а < —, когда длина отрезка X изменяется от 0 до + да. Пусть а угол 2 2
параллельности в геометрии Лобачевского равный —. Известно [5,38], что площадь треугольника ABC Г
4
в пространстве Лобачевского выражается через сумму его углов
г = 4к2 (ж- (ZA + ZB + ZC))
Треугольника (в собственном смысле) самой большой площади не существует. Величина площади получится самой большой (Г = 4жк2, если ZA + ZB + ZC = 0, т.е. ZA = 0, ZB = 0, ZC = 0 . Это может иметь место, только когда все три вершины удалены в бесконечность, т.е. стороны треугольника попарно параллельны. Такой треугольник называется асимптотическим. Треугольник с собственными вершинами A(
Ж
ZA = —), B( ZB 2
— ) и вершиной C( ZC = 0), удаленной в бесконечность, будет иметь площадь
4
г = к2 ж . В связи с изложенным справедливы теоремы:
Теорема 1. Если a, Ъ, с - натуральные числа, то уравнение
аа + ЪР + с% = ж,
где а, Р, X — углы треугольника в пространстве Евклида, имеет единственное решение а = 1, Ъ = 1, с = 1.
Доказательство. Действительно, для любого треугольника ABC в евклидовом пространстве сумма его углов а + Р + X = Ж . Поэтому
аа + ЪР + сх > а + Р + X = Ж, если, по крайней мере, одно из чисел а, Ъ, с отлично от 1, и если а = Ъ = с = 1, то аа + ЪР + сх = ж .
Теорема 2. Если а,^с - натуральные числа, то уравнение
аа + ЪР + сх = ж, (1)
где а, Р, X - углы треугольника в пространстве Лобачевского, имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений.
Доказательство. Действительно, рассмотрим в пространстве Лобачевского треугольник с собственными
вершинами A( ZA
Ж
- X B( ZB
—) и вершиной C( ZC = 0), удаленной в бесконечность. Очевидно в
4
этом случае уравнение (1) будет иметь решение а = 1, Ъ = 2, с — любое натуральное число, откуда следует утверждение теоремы.
Теорема 3. Если а, ^ с - натуральные числа, то уравнение аа + ЪР + сх = ж,
где а, Р, X - углы треугольника в геометрии Римана, не имеет решений.
Доказательство. Действительно аа + ЪР+ cх >а + Р + X > —, что и требовалось доказать.
Таким образом, при рассмотрении теоретико-числовых проблем с применением геометрических принципов, вопреки мнению некоторых [1], имеет большое значение какая система аксиом геометрии при этом рассматривается.
Примечание: внесем некоторые уточнения в статьи автора, опубликованные ранее - [4] и [7]. А именно, в [4] на стр.10 в 8-ой и 7-ой строках следует заменить номера уравнений; в [7] на стр.7 в 16-ой строке сверху в предложении часть «и притом единственные соответственно 3 и 26» не читать, так как
для n ~ 2 таких чисел бесконечно много.
Литература
1. Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, v.141 Second series № 3 May 1995 p. 445-551.
2. Сингх С. Великая теорема Ферма, МЦНМО, 2000. 288 с.
3. Абраров Д. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса. http://polit.ru/article/2006/12/28/abrarov/.
4. Кочкарев Б. С. Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений, Проблемы современной науки и образования, № 4 (22), 2014 с. 8-10.
5. Лаптев Б. Л. Николай Иванович Лобачевский. Изд. Казанского университета, 1976. 136 с.
6. Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия. Госуд. Изд. технико-теоретической литературы. Москва. 1955 с.302.
7. КочкаревБ.С. Об одном свойстве натуральных чисел, Проблемы современной науки и образования, №7 (25), 2014 с. 6-7
