CC BY
25Двойственным образом рассматривается случай, когда симметрии транзитивно действуют на вершинах графа G, а грани графа G образуют две орбиты. Этот случай дает атомы Dn, СП, DП, P', P2, P3, P4, P5, Qi, Q3 и Рз.
Таким образом, теорема классификации доказана.
Автор приносит благодарность академику А. Т. Фоменко за постановку задачи и внимание к работе.
Работа частично поддержана грантом РФФИ № 14-01-31288-мол-а, программой "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-7962.2016.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.
2. Мантуров В.О. Бифуркации, атомы и узлы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 1. 3-8.
3. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.
4. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. 22, вып. 4. 38-51.
5. Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, вып. 1. 145-173.
6. Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 55, № 4. 747-779.
7. Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, вып. 4. 23-35.
8. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
9. Ilyutko D.P., Manturov V.O. Virtual knots: the state of the art. Series on knots and everything. Vol. 51. Singapore: World Scientific, 2012.
10. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А.Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, вып. 9. 3-96.
11. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А.Т. Симметричные и неприводимые абстрактные многогранники // Современные проблемы математики и механики / Под ред. А. Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 2009. 58-97.
12. Волчанецкий Н.В., Никонов И.М. Максимально симметричные высотные атомы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 2. 3-6.
13. Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Матем. ин-та РАН им. В. А. Стеклова. М.: Наука, 1994. 131-140.
Поступила в редакцию 16.03.2016
УДК 514.774.8+514.746
ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
Р. К. Климов1
В работе развивается исследование, начатое И. В. Сыпченко и Д. С. Тимониной по классификации замкнутых геодезических на кусочно-гладких поверхностях вращения постоянной кривизны. Анализируется случай постоянной отрицательной кривизны. Рассматриваются замкнутые геодезические на поверхности, составленной из двух экземпляров по-
1 Климов Роман Кириллович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: klroman95@mail.ru.
верхностей Бельтрами. Найдены все замкнутые геодезические без самопересечений и исследованы на устойчивость в определенном конечномерном классе возмущений. Частично найдены сопряженные точки.
Ключевые слова: риманова геометрия, кусочно-гладкая поверхность вращения, поверхность Бельтрами, замкнутые геодезические, сопряженные точки.
The paper develops a study of closed geodesies on piecewise smooth surfaces of revolution of constant curvature initiated by I.V. Sypchenko and D. S. Timonina. This paper analyzes the case of constant negative curvature. We consider closed geodesics on a surface formed as a union of two Beltrami surfaces. All closed geodesics without self-intersections are found and tested for the stability in a certain finite-dimensional class of perturbations. Conjugate points are found partly.
Key words: Riemannian geometry, piecewise smooth surface of revolution, Beltrami surface, closed geodesics, conjugate points.
Цель работы — изучение геодезических на кусочно-гладких поверхностях постоянной кривизны.
Пусть (Mi, Gi) и (M2, G2) — гладкие полные римановы многообразия с краем; Gi , i € {1, 2}, — метрики на соответствующих многообразиях. Пусть задана изометрия краев этих многообразий h : dM1 ^ dM2. Рассмотрим новое многообразие
M = M1 U M2/(x ~ h(x),x € dM1),
полученное отождествлением соответствующих точек на dMi и dM2. После отождествления мы не будем различать dMi и dM2 и обозначим через П полученную гиперповерхность в M.
Обобщим понятие геодезической на случай кусочной гладкости. Пусть 71 — геодезическая в Mi, выходящая из некоторой точки P1 € M1 и пересекающаяся с П в точке R € П. Аналогично 72 — геодезическая в M2, выходящая из точки R и ведущая в точку P2 € M2.
Определение 1. Кусочно-гладкую кривую 7 = 71 U y2 назовем обобщенной геодезической на M, если она является локально кратчайшей в каждой своей точке.
Поясним, что для внутренних точек на 71 и 72 определение локально кратчайшей понимается в обычном "гладком" смысле, а в точке R — в следующем смысле: найдется такое е > 0, что для любых точек P i € 71 и P2 € 72 из соответствующих е-полуокрестностей точки R сумма длин отрезков геодезических будет минимальной в классе кусочно-гладких кривых с концами в Pi и P2 и точкой на П.
Замечание 1. Далее везде под геодезическими понимаем именно обобщенные геодезические.
Определение 2. Звеном геодезической Yi называется связная компонента геодезической на соответствующем многообразии Mi, взятая от точки выхода геодезической с П и до первого ее пересечения с П.
Данная работа является продолжением работы [1] И. В. Сыпченко и Д. С. Тимониной, где были получены следующие результаты.
Теорема 1 [1]. Пусть M = M1 U M2, dim M = 2, П = Z(s) — натурально параметризованная кривая. Пусть также 7 = y1 U y2 — кусочно-гладкая кривая, y1 П y2 = Z(s0), <Pi(so) — угол между Yi и Z в точке Z(s0), вычисленный в метрике Gi, i € {1, 2}. Тогда 7 — обобщенная геодезическая тогда и только тогда, когда 7i — геодезическая в метрике Gi, i € {1, 2}, и ^1(s0) = ^>2(s0).
Утверждение [1]. Пусть M = M1 U M2 — произвольная кусочно-гладкая поверхность вращения, П = Z(s) — окружность стыка двух гладких частей M1 и M2. Пусть геодезическая 7 пересекает окружность стыка П под углом а € (0,п). Тогда условие замкнутости 7 на M равносильно тому, что
l1(a) + l2(a) = pl, p € Q (т.е. p — рациональное число),
где li(a) — длина меньшей дуги окружности Z, отсекаемой звеном 7i геодезической в Mi, l — длина всей окружности. Если при этом для любого i € {1, 2} проекция звена 7i на плоскость окружности стыка от первого до второго пересечения окружности лежит в секторе, ограниченном диаметрами, проведенными из начальной и конечной точек (рис. 1), то имеет место следующий критерий: геодезическая 7 замкнута и не имеет самопересечений тогда и только тогда, когда
li(a)+ l2(a) = l/n, n € N, (1)
т.е. сумма длин дуг окружности, отсеченных звеньями геодезической, делит длину окружности.
Рис. 1
Также в работе [1] были найдены все замкнутые несамопересека-ющиеся геодезические на поверхности, образованной склейкой двух конусов по их общему основанию (случай постоянной нулевой кривизны).
Определим характеристику к такой локально-плоской поверхности следующим образом:
пЕ
к :=-,
Г1 + Г2
где Е — радиус основания, Г1 и г2 — длины образующих конусов.
Тогда, как показано в [1], для любой характеристики к и для любого натурального числа п существует угол а, такой, что геодезическая, выпущенная под этим углом к окружности стыка конусов, имеет 2п звеньев, является замкнутой и не имеет самопересечений. Такая геодезическая определяется углом а с точностью до поворотов поверхности вокруг оси вращения. Других замкнутых несамопересекающихся геодезических нет. Явная связь между углом и количеством звеньев такова: а =
В настоящей работе рассматривается случай кусочно-гладкой поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны, а именно двух склеенных поверхностей Бельтрами. Установлен критерий замкнутости геодезических (теорема 2), исследованы условия устойчивости геодезических (теорема 3), частично найдены сопряженные точки на геодезических (теорема 4).
Определение 3. Трактриса — это плоская кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой (осью) является постоянной величиной.
Определение 4. Поверхностью Бельтрами (псевдосферой) называется поверхность вращения трактрисы вокруг ее асимптоты. Кривизна псевдосферы постоянна и отрицательна. Для воронки радиуса а кривизна равна --К (подробности см. в [2] и [3]).
Рассмотрим две поверхности Бельтрами с радиусами воронок а и Ь. Рассмотрим усечение каждой поверхности Бельтрами перпендикулярно оси вращения, такое, что радиус каждой усеченной воронки стал равен с. Понятно, что с ^ шт(а,Ь). Соединим полученные воронки по граничной окружности. Назовем такую кусочно-гладкую поверхность веретеном Бельтрами. Определим характеристику к получившейся поверхности следующим образом: к :=
Теорема 2. Для любой характеристики к и для любого натурального числа п существует единственный угол а, такой, что геодезическая, выпущенная под этим углом к окружности стыка поверхностей Бельтрами на веретене Бельтрами, имеет 2п звеньев, является замкнутой и не имеет самопересечений. Геодезическая определяется углом а с точностью до поворотов поверхности вокруг оси вращения. Других замкнутых несамопересекающихся геодезических для данного значения к нет. Явная связь между углом и количеством звеньев такова: 1^(а:) =
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим одну поверхность Бельтрами с начальным радиусом воронки а. Известно, что она изометрична области в плоскости Лобачевского. А именно для модели Паункаре в диске — это область, заключенная между двумя параллельными прямыми (А, то) и (В, то) (в геометрии Лобачевского) и дугой орицикла ^АВ. Напомним, что орициклом называется линия на плоскости Лобачевского, ортогональная к семейству параллельных прямых. В модели Пуанкаре орицикл представляется окружностью, касающейся изнутри абсолюта в некоторой точке (то). Евклидов радиус диска модели Пуанкаре равен а. Длина дуги орицикла ^АВ равна 2па (в смысле геометрии Лобачевского), как и длина края воронки псевдосферы уже в евклидовом смысле (рис. 1, а).
Усеченная псевдосфера в этой же модели представлена полосой, заключенной между теми же прямыми и меньшим орициклом так, что точки пересечения А' и В' этого орицикла с прямыми отстоят друг от друга на расстояние 2пс (рис. 1, б).
Поскольку все орициклы конгруэнтны, т.е. переводятся друг в друга изометрией, и параллельные прямые можно выбирать произвольно, то считаем, что прямая (А', то) проходит через начало
координат и точку (то) с координатами (0, а), где х2 + (у — = — это уравнение орицикла (рис. 2).
С точностью до поворотов и симметрий достаточно рассмотреть геодезические, выходящие из точки О и образующие угол а € (0, 5) с касательной к орициклу в точке О. Касательной в этом
случае является ось ОХ. Геодезическая, выходящая из точки О, является радиусом диска. В зависимости от угла геодезическая пересечет дугу орицикла ^ОБ' в некоторой точке Q. Длина дуги орицикла ^ OQ, подсчитанная в метрике Лобачевского, будет как раз равна длине дуги окружного Л 2 4а4(йг2 +г2йф2) сти стыка, отсекаемой звеном геодезической на одной воронке. Имеем аз = —\а2-г2)2 — метрика
модели Пуанкаре, г = а вт(а) — уравнение орицикла в полярных координатах. Тогда дуга
OQ = 1i(a)
14а4 (cos2 (ф)с1ф'2 + sin 2{ф)йф2)
a2(cos2(ф)2)
2а tg(a).
(2)
Аналогично для другой воронки получаем ¿2 (а) = 2Ь tg(а). Воспользовавшись формулой (1),
находим
2а tg(a) + 2b tg(a) = 2nc,
откуда следует, что
tg(a) =
n
(3)
Рис. 2
Заметим, что условие самопересечения одного звена на первой воронке таково: 2аtg(a) ^ 2пс. То же самое верно и для второй воронки, т.е. 2б^(а) ^ 2нс. Но для tg(a:) = ^ это неверно. Отсюда следует, что замкнутые геодезические, связанные соотношением (3), не имеют самопересечений. Теорема доказана.
Рассмотрим замкнутую несамопересекающуюся геодезическую с 2п звеньями. Тогда в силу теоремы 1 в каждой точке излома угол а один и тот же. Изучим вопрос устойчивости геодезической в следующем классе возмущений.
Определение 5. Рассмотрим следующий класс возмущений: "пошевелим" геодезическую, изменив угол а в каждой точке излома геодезической на малую величину ^ 2п — 1. Первое звено выходит под углом а + е\ к окружности стыка. Далее, в случае г ^ 2 г-е звено соединено с (г — 1)-м и выходит под углом а + к окружности стыка. Чтобы "возмущенная" кривая осталась замкнутой, соединим конец (2п — 1)-го звена с началом первого звена геодезической.
Определение 6. Назовем геодезическую неустойчивой в определенном классе возмущений, если индекс формы второй вариации функционала длины (см. [4]) больше нуля.
Определение 7. Индексом симметричной квадратичной формы называется число отрицательных собственных чисел.
Теорема 3. Любая замкнутая несамопересекающаяся геодезическая на веретене Бельтрами неустойчива в определенном выше классе возмущений, т.е. существует ее малая деформация, уменьшающая длину.
Сначала рассмотрим случай п = 1. Нам понадобится следующая лемма.
Лемма. Для веретена Бельтрами положим с =1, тогда а,Ь ^ 1. Пусть на этой поверхности задана следующая двухзвенная кривая: первое звено — это геодезическая на одной усеченной псевдосфере, выпущенная под углом а к основанию. Второе звено — это геодезическая на второй псевдосфере, замыкающая первое звено (рис. 3). Пусть 1(а) — длина такой кривой. Тогда
1(a) = 2а arcth(sin(a)) + 2b arcth ( sin
arctg (ZL^lM
(4)
Доказательство. Длина первого звена — это длина отрезка OQ, посчитанная в метрике Лобачевского (рис. 2). В полярных координатах отрезок параметризуется как a = const. Тогда имеем
OQ
tsin(aM 4а4dr2
(а2 — r2)2
2а arcth(sin(a)). (5)
Рис. 3
Первое звено геодезической заметает дугу окружности, причем длина дуги по формуле (2) равна 2а tg(a).
k
о
Следовательно, второе звено заметает дугу длины 2п — 2аtg(a). Поэтому в силу соотношения (3) она образует угол с окружностью стыка, равный arctg(7r Значит, длина второго звена равна
26arcth ^sin ^arctg jjj, откуда следует утверждение леммы.
Доказательство теоремы 3. Рассматриваем случай n = 1. Положим c = 1. По теореме 2 замкнутая геодезическая характеризуется углом а = arctg(^q^). "Пошевелим" геодезическую. Исходный угол а заменится на угол а + е. Чтобы кривая осталась замкнутой, соединим концы звена, лежащего на одной псевдосфере, звеном геодезической на другой псевдосфере. Длина получившейся кривой 1(е) полностью определяется величиной е и согласно формуле (4) равна
1(е) = 2a arcth(sin(a + е)) + 2barcth ( sin ( arctg ~atg(a + e)^^ ^
Исследуем полученный функционал на устойчивость:
2ab sec2(a)
l' (0) = 2a sec(a) —
д/(7г — a tg(a))2 + b2'
Поскольку a = arctg(^^), то имеем l'(0) = 0. Далее вычисляем вторую производную:
„ _ 2a26sec4(a)(7r-atg(a)) _ 4a6tg(a) sec2(a) ( ((vr — atg(a))2 + 62))3/2 V(vr-atg(«))2+62+ g( j (
Опять подставив известный нам угол а, получаем
Следовательно, геодезическая неустойчива в данном классе возмущений.
Теперь рассмотрим общий случай п € М, т.е. п-звенную геодезическую. Пусть для простоты с = 1, а = Ь = г. Исходная замкнутая геодезическая характеризуется углом а = аг(^(2^г). "Пошевелим" геодезическую. Так же, как в лемме, получаем функцию длины кривой, зависящую от вектора е = (е1,е2,..., е2п-1), а именно:
1(е) = 2г агеШ^т(а + е1)) + 2г arcth(sin(а + е2)) + ... + 2г агеШ^т(а + е2п-1)) +
(п - г tg(а + е1) - г tg(а + е2) - ...--г tg(а + е2п-1)
+2r arcth ^sin ^ arctg Поскольку а = arctg(2^r), имеем
2nr >
l (0, 0,... , 0) = 0,
Мы получили матрицу гессиана размером (2п — 1) * (2п — 1). Найдем знаки собственных чисел этой матрицы. Представим ее в виде
(п( , \ ¡{п\2 ( ¡{п\2
Н = -
п
где А — матрица единиц, т.е. каждый элемент матрицы равен единице. Ортогональным преобразованием приведем матрицу Н к виду
Г
где B — матрица, каждый элемент которой равен нулю, за исключением числа 2n—1 в верхнем левом углу. Очевидно, все собственные значения такой матрицы отрицательны, что ведет к неустойчивости геодезической. Теорема доказана.
Определение 8. Пусть Г = r(t) — геодезическая на многообразии M, t € [0; 1]. Пусть D(t, u) — кусочно-гладкая вариация Г, т.е. D(-,u) — геодезическая для любого u, причем D(t, 0) = r(t) для любого t € [0; 1] и существует такое разбиение 0 = t0 < ti < ... < tr = 1 отрезка [0,1], что на каждом прямоугольнике [t¿_i,t¿] х (—е,е), i = 1,...,r, отображение D гладкое. Тогда векторное
поле, определяемое формулой J(t) = U=cb t € [0; 1], называется полем Якоби. Определенное
поле является непрерывным кусочно-гладким, причем значение поля J(t) в точке излома t¿,t ^ 2, можно определить как J(t¿) = limt^ti_0 J(t).
Определение 9. Если J(а) = 0, J(b) = 0, где а, b € [0; 1], и поле J(t) отлично от тождественного нуля, то точки Г(а) и Г(Ь) на M называются сопряженными точками вдоль Г (подробнее см. [4]).
Теорема 4. Рассмотрим веретено Бельтрами. Пусть а — радиус каждой воронки, параметр c = а. Рассмотрим замкнутую геодезическую, выходящую под углом а к окружности стыка. Пусть эта геодезическая имеет 2n звеньев. Пусть точка, для которой мы ищем сопряженные точки, лежит на окружности стыка поверхностей Бельтрами. Тогда сопряженных точек к ней, считая саму эту точку, ровно столько, сколько звеньев у геодезической. Каждая из сопряженных
точек принадлежит соответствующему звену и лежит на расстоянии a sh-1 sm(a)^J
от последнего пересечения геодезической с окружностью стыка, где (i + 1) — номер звена геодезической.
Следствие. Точки излома геодезической сопряженными не являются.
Замечание 2. Сопряженные точки в этой теореме найдены за один оборот замкнутой геодезической.
Замечание 3. Все вычисления производятся в модели Пуанкаре.
Доказательство теоремы 4. Сопряженные точки к точке на окружности стыка ищем следующим эквивалентным определению 9 образом. Пусть исходная геодезическая выходит из точки O под углом а к оси OX. Выпустим "пошевеленную" геодезическую из точки на окружности стыка под углом а + е. Уменьшая е, будем смотреть, где "пошевеленная" геодезическая пересекает исходную. Предел точек пересечения и будет сопряженной точкой. Очевидно, геодезические будут пересекаться в каждом звене.
Найдем расстояние от последнего пересечения линии стыка исходной геодезической до точки пересечения с возмущенной геодезической. Рассмотрим (i + 1)-е звено исходной геодезической. Точка O — начало этого звена, B — точка выхода "пошевеленной" геодезической. Эта геодезическая образует угол а + е с касательной к окружности стыка (орициклу). Пусть она пересекает исходную геодезическую в точке A. Соединим точки O и B геодезической OB. Пусть BC — касательная к "пошевеленной" геодезической в точке B; KM — касательная к орициклу в точке B. Обозначим ZBOC через в, а ZOAB через x (рис. 4).
Тогда, с одной стороны, в силу (2) дуга орицикла ^ OB = 2а tg(e). С другой стороны, дуга ^ OB = 2ai(tg(а + е) — tg^)) как разность дуг, отсекаемых исходной и "пошевеленной" геодезическими. Отсюда получаем в = arctg^tan^ + е) — tan^)). Далее имеем ZAOB = а — в, ZABO = п — а — в — е. Длину отрезка OB находим по формуле (5): OB = 2а arcth(sin(e)). Рассмотрим геодезический треугольник OAB. Для него справедливы теорема синусов
sin(x) sin(n — а — в — е) ,„,
(6)
8И(ОБ/а) вИ(ОА/а)
и теорема косинусов
еов(ж) = — ео8(а — в) еов(п — а — в — е) + зт(а — в) зт(п — а — в — е) еЬ(ОБ/а). (7)
Решая систему (6), (7) и переходя к пределу е ^ 0, получаем
О А = аъЪ'1 [ л/2 ъЫа)*-V
V У г + еов(а))
Теорема доказана.
Примечание. Пусть теперь точка, для которой мы ищем сопряженные точки, лежит внутри первого звена на расстоянии 1 от пересечения геодезической с окружностью стыка. Тогда сопряженные к ней точки можно искать следующим образом: теперь расстояние ОА = 1 известно, будем
уменьшать АОАБ = е между исходной и "пошевеленной" геодезическими и смотреть, где в следующих звеньях исходная геодезическая пересечет "пошевеленную". Обозначим угол выхода последней через АБК = х (рис. 5).
Рис. 4 Рис. 5
Для геодезического треугольника ОАБ выполняются теорема синусов
вт(б) 8ш(7г — х — ¡3) &ЦОВ/а) = &Ц1/а) ( }
и теорема косинусов
со8(п — х — в) = — со8(а — в) со8(е) + 8т(а — в) 8т(е) сЬ(1/а). (9)
Длина геодезической ОБ в силу формулы (5) равна 2а 1апЬ-1(8т(в)). Если х = х(1,а,е) определяется из системы (8), (9), то положения сопряженных точек к точке А находятся аналогично теореме 4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сыпченко И.В., Тимонина Д.С. Замкнутые геодезические на кусочно-гладких поверхностях вращения постоянной кривизны // Матем. сб. 2015. 206, № 5. 127-160.
2. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. 3-е изд., переработанное и дополненное. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2010.
3. Ошемков А.А., Попеленский Ф.Ю., Тужилин А.А., Фоменко А.Т., Шафаревич А.И. Курс наглядной геометрии и топологии. Сер. Классический учебник МГУ. M.: Изд-во URSS, Леланд, 2014.
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Т. 1: Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. Сер. Классический университетский учебник. МГУ им. М.В. Ломоносова. 6-е изд. M.: Изд-во УРСС, книжный дом "Иброком", 2013.
Поступила в редакцию 22.04.2016
