CC BY
28
МАТЕМАТИКА
УДК 514
0.10. Матукевич
Оценка периметра геодезического треугольника на строго ныпуклой поверхности
В предлагаемой работе рассматривается вопрос об оценке периметра треугольника, состоящего из дуг геодезических, на замкнутой выпук-лой поверхности с гауссовой кривизной К > 1 в пространстве И3 Известно, что если треугольник состоит из кратчайших, то его периметр не превосходит 27Г, однако в случае, когда стороны не обязательно кратчайшие, это не так. Доказывается, что для обобщенного треугольника периметр не превосходит 4л\
Пусть М замкнутая выпуклая поверхность с гауссовой кривизной К > 1.
Определение. Кривая 7 : [а, 6] —► М называется простой, если для любых различных н /2, принадлежащих отрезку [о,6], выполняется
Ф ~(Ы-
Определение. Область С С М называется геодезически выпуклой, если кратчайшие линии области С являются геодезическими поверхности м.
Определение. Замкнутая кривая 7 называется выпуклой, если она является границей некоторой геодезически выпуклой области.
Отметим: для того, чтобы область С на М, ограниченная кривой 7, была геодезически выпуклой. необходимо и достаточно, чтобы каждая дуга кривой 7 имела со стороны области О неотрицательный поворот. В частности, для гого, чтобы кривая, являющаяся многоугольником, стороны которого есть геодезические, была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы каждый из углов со стороны области О не превосходил ТТ.
Определение. Обобщенным треугольником (двуугольником) на поверхности М будем называть замкнутую кривую 7, удовлетворяющую условиям:
1) 7 разбивает поверхность на две односвяз-ные области;
2) 7 состоит из трех (двух) дуг геодезических. называемых сторонами.
Для доказательства основного результата нам потребуются следствия, вытекающие из теорем В.А. Топоногова [1].
Следствие 1. Пусть М замкнутая выпуклая поверхность с гауссовой кривизной К > 1, тог-
да длина любой замкнутой выпуклой кривой не превосходит 2тг.
Следствие 2. Пусть М замкнутая выпуклая поверхность с гауссовой кривизной К > 1. Тогда, если длина замкнутой геодезической кривой равна 2я-, то М совпадает с 52.
Теорема. Пусть М замкнутая выпуклая поверхность с гауссовой кривизной К > 1. Тогда периметр любого треугольника на М меньше 4л-.
Доказательство. Обозначим стороны треугольника, т.е. дуги геодезических через а, 6, с, а их пересечения, т.е вершины через А, В. С.
Простая замкнутая кривая ЛВС разбивает М на две односвязные области (7 и О1. Тогда возможны два случая:
1) все углы при вершинах со стороны области Ст либо больше 7Г, либо не превосходят 7Г;
2) если не выполнено условие 1), то можно выбрать одну из областей С или С1 так, что одни угол треугольника будет больше тг, а два других не превосходят п. Для определенности будем считать, что это область С.
В первом случае получаем, что кривая ЛВС является замкнутой и выпуклой, следовательно, по следствию 1 ее длина Ь(АВС) < 2п. Во втором случае отрезок геодезической с можно продолжить за вершину В.
Тогда возникают еще четыре возможности.
(1) Продолжение геодезической с пересекает геодезическую Ь в точке О (рис. 1). Тогда получившиеся две кривые СВО и ОБА являются замкнутыми и выпуклыми, так как со стороны области С все углы для данных кривых не превосходят 7г. Значнт, по следствию 1 длина каждой из этих кривых не превосходит 2тг, причем длина одной из них меньше '2п. Если предположить, что последнее неверно, т.е. Ь(СВО) = ЦВВА) = 2тг, то по следствию 2 получим, что М изометрична сфере и кривые СВО и ОБА не должны иметь углов, Приходим к противоречию. Следовательно, Ь(АВС) < 4тт.
(2) Продолжение геодезической с пересекает геодезическую а в точке £> (рис. 2). Как и е случае (1) две кривые ОВВИ и ВАСй являются замкнутыми и выпуклыми. Таким образом Ь(АВС) < 4тг.
Оценка периметра геодезического треугольника
Рис. 1, 2
(3) Продолжение геодезической с пересекает Как и в случаях (1) и (2) рассматривая две кри-
отрезок А В геодезической с в точке О (рис.1). ные, получаем, что Ь(АВС) < 4я\
Рис. 3, 4
(4) Продолжение геодезической с будет варианты, получаем, что периметр любого тре-
нметь точку самопересечения, которую обозна- угольника не превосходит 4л-.
чим через П (рис. 4). Заметим, что кривая
ИВСАВПРО (где точка ^ принадлежит петле Следствие. Пусть М замкнутая выпуклая
геодезической с) является замкнутой и выпук- поверхность с гауссовой кривизной К > 1. Тог-
лой, следовательно, ее длина не превосходит 2л\ да периметр любого двуугольника на М меньше
Таким образом, рассмотрев все возможные 4л.
Литература
1, Топоногов П.Л. Оценка длины выпуклой кри- 2. Громол Д. Риманова геометрия в целом М.,
вой на двумерной поверхности // Сибирский 1973.
математический журнал. 1963. Т. 4. №5.
