CC BY
30
УДК 514.17
О РАЗРЕШИМОСТИ ДИСКРЕТНОГО АНАЛОГА МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ МИНКОВСКОГО-АЛЕКСАНДРОВА
В. А. Клячин
Клячин Владимир Александрович, доктор физико-математических наук, доцент кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет, [email protected]
В статье рассматривается многомерный дискретный аналог задачи Минковского в постановке А. Д. Александрова о существовании выпуклого многогранника с заданными кривизнами в его вершинах. Найдены условия разрешимости этой задачи в общей постановке, когда в вершинах многогранника задается значение меры кривизны, определяемой произвольной непрерывной функцией, заданной на сфере ^ : §п-1 ^ (0, +ж). В основе решения задачи лежит разрешимость вопроса о том, можно ли каждой триангуляции конечного множества точек Р с §п-1 единичной сферы сопоставить выпуклый многогранник, у которого нормали к граням принадлежат множеству Р.
Ключевые слова: выпуклый многогранник, триангуляция, сферический симплекс. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-3-281-288
ВВЕДЕНИЕ
Классическая задача Минковского ставится как задача о существовании выпуклой замкнутой поверхности с заданной гауссовой кривизной, являющейся функцией нормали к поверхности. Иными словами, пусть Р : §2 ^ К. — положительная функция на единичной сфере §2. Необходимо определить, существует ли замкнутая гладкая выпуклая поверхность М с К3, гауссова кривизна К которой в точке х £ М удовлетворяет соотношению
К (х) = Р (С(х)),
где £(х) — вектор внешней нормали поверхности М в соответствующей точке.
Условие разрешимости данной задачи в случае аналитической функции Р найдено Г. Минковским и имеет вид
(Л- = 0 } р«) 0
в2
Вопросы разрешимости аналогичных задач в , п ^ 3, а также с более слабыми условиями регулярности на функцию Р рассматривались в работах А. В. Погорелова [1], К. Йоргенса (Ю^епз) [2], Е. Калаби (Са1аЫ) [3], А. Д. Александрова [4], А. И. Бодренко [5].
В работе [6] А. Д. Александровым была поставлена задача о существовании выпуклого многогранника с заданными значениями ш1, ш2,..., кривизн всех его вершин. При этом было отмечено, что необходимыми условиями разрешимости задачи являются соотношения
N
0 < шг < 2п, г = = 4п.
1=1
Достаточность этих условий для случая пространства М3 была доказана А. А. Зильбербергом (2П'ЬегЬе^) в [7]. Заметим, что поставленную задачу А. Д. Александровым можно считать дискретным аналогом проблемы Минковского.
В настоящей статье мы рассматриваем решение подобной задачи в Мп, предлагая, в частности, несколько иной подход, нежели используемый в [7]. Для формулировки постановки задачи и результатов нам понадобится ввести некоторые понятия.
Пусть А с §п-1 — некоторое замкнутое подмножество единичной сферы, лежащее в некоторой открытой полусфере. Множество А назовем сферически выпуклым, если оно вместе с любой парой своих точек содержит и кратчайшую дугу, соединяющую эти точки. Выпуклой оболочкой еопу(А) множества А с §п-1, лежащего в некоторой открытой полусфере, мы назовем наименьшее сферически выпуклое множество, содержащее А.
Пусть, как и ранее, Р : §п-1 ^ (0, — положительная, непрерывная функция, заданная на единичной сфере в Мп, и такая, что
Р(—С) = Р(С) V С е §п-1.
Для измеримого множества А С §п-1 введем обозначение
^ (А) = 1Р (С)#.
А
Рассмотрим в некоторую выпуклую замкнутую многогранную поверхность М и пусть
V = V(М) — совокупность ее вершин. Обозначим через С1, векторы внешних нормалей к
граням этой поверхности, инцидентных с вершиной V е V. Пусть
Е(-и) = сопу({£ь ...^т})
обозначает выпуклую оболочку множества концов этих нормалей в сферической геометрии. Учитывая выпуклость М, можно сделать вывод, что множество С §п-1 лежит в некоторой открытой
полусфере для всякой вершины V. Очевидно, что
§п-1 = ВД,
где объединение выполнено по всем вершинам многогранника М. Каждой вершине V е V(М) теперь можно сопоставить число
а(и) = ^ (ВД). Заметим, что в силу четности функции Р(С) величина
ар = 2др (Н5),
где Н5 — полусфера сферы §п-1, не зависит от выбора полусферы Н5, и из выпуклости многогранника М будем иметь
а^) ^ ар.
Пусть задан набор положительных чисел
ар/2 > а1? аи > 0,
таких, что
N
ар = у Р(С)^С = £аг.
§™-1 ¿-1
Требуется определить условия существования выпуклого многогранника, имеющего N вершин VI.,vN, пронумерованных так, что
а(^) = аг V г = 1,•••,N•
1. ТРИАНГУЛЯЦИЯ СФЕРЫ И ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ
В дальнейшем нам понадобится определение понятия триангуляции Делоне конечного множества на сфере §п-1. Сферическим к-мерным симплексом 5 = 5(Со, •••,£&) назовем выпуклую оболочку точек сферы С0, •••, Ск, 0 ^ к < п, лежащих в некоторой открытой полусфере. Рассмотрим некоторое конечное множество Р точек на сфере §п-1. Триангуляцией Р назовем совокупность невырожденных симплексов } такую, что
1) любые два симплекса не пересекаются по внутренним точкам;
2) объединение вершин всех симплексов совпадает с Р.
Рассмотрим некоторый невырожденный (п — 1)-мерный симплекс 5 С §п-1. Описанной сферой симплекса 5 назовем (п — 2)-мерную сферу, полученную пересечением сферы §п-1 с гиперплоскостью, проходящей через вершины 5. Через В(5) обозначим тот сферический (п — 1)-мерный шар в §п-1, который содержит 5, а его граница является описанной сферой симплекса 5. Триангуляцию Т
конечного множества P с Sn-1 назовем триангуляцией Делоне, если для любого ее симплекса S е T внутренность множества B(S) не содержит точек из P.
Пусть M — выпуклый замкнутый многогранник в Rn, причем число граней инцидентных с каждой его вершиной равно n. В таком случае для каждой вершины v е V(M) множество £(v) представляет собой симплекс. Рассмотрим множество P с Sn-1 нормалей к граням M и построим триангуляцию P следующим образом:
T = (E(v) : v е V(M)}.
Таким образом, каждому многограннику M с n-гранными вершинами можно сопоставить триангуляцию T = T(M), причем
Sn-1 = UsgT S. (1)
Теорема 1. Если в многогранник M можно вписать сферу, то T(M) — триангуляция Делоне.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что в M вписана единичная сфера.
Проверим выполнение условия триангуляции Делоне. Выберем S е T(M) и предположим, что пересечение внутренности B(S) с P не пусто. Пусть q е P — внутренняя точка B(S). Симплекс S определяется некоторой вершиной v е V(M) многогранника M. Эта вершина есть точка пересечения гиперплоскостей, касательных к сфере Sn-1 в вершинах симплекса S, которые лежат на границе B(S). Поэтому v представляет собой вершину конуса построенного как огибающая семейства всех гиперплоскостей касательных к Sn-1 в точках границы dB(S). Но тогда гиперплоскость, касательная к сфере Sn-1 в точке q, отделяет v от сферы Sn-1. В частности, такая гиперплоскость является гиперплоскостью некоторой грани M, разделяющей вершины на два подмножества. Это противоречит выпуклости многогранника. Теорема доказана. □
Зададимся вопросом: для каких триангуляций конечного множества точек P с Sn-1, обладающих свойством (1), найдется выпуклый многогранник M, для которого T = T(M)? В работе мы опишем два класса таких триангуляций.
Рассмотрим в пространстве некоторую C1-гладкую замкнутую строго выпуклую поверхность Ф с Rn. Обозначим через n : Sn-1 ^ Ф отображение, обратное к гауссовому (сферическому) отображению поверхности Ф. Пусть P с Sn-1 — конечное множество точек на сфере. Триангуляцию T этого множества точек со свойством (1) мы будем называть Ф-триангуляцией, если ее симплексы обладают следующим свойством. Рассмотрим симплекс S е T с вершинами , ...,£n и точку v пересечения гиперплоскостей, касательных к Ф в точках n(£i.), -.,n(£n). Через Ф^) обозначим ту часть Ф, в точках x которой выполнено неравенство (v — x,£) ^ 0, где £ — внешняя нормаль к поверхности Ф. Другими словами, B(S) — видимая из точки v часть поверхности Ф. Для Ф триангуляции мы требуем, чтобы внутренность Ф^) не содержала бы точек n(P). Это условие является специальным аналогом условия пустой сферы в классическом случае триангуляции Делоне.
Теорема 2. Пусть T — некоторая Ф-триангуляция конечного множества точек P с Sn-1, для которой выполнено (1). Тогда в Rn найдется выпуклый многогранник M, для которого T = T(M).
Доказательство. Введем следующее обозначение:
H0(p) = {x е Rn : (x — p,p) ^ 0}, p = 0.
Заметим, что H0(p) представляет собой полупространство, содержащее начало координат и определяемое плоскостью, проходящей через точку p и ортогональной радиус-вектору этой точки. Построим многогранную область
Оо = Прер Ho (p).
Ясно, что О0 — выпуклая область и ее граница представляет собой выпуклый многогранник M0. Далее каждую гиперплоскость {x е Rn : (x— p,p) = 0} перенесем параллельно самой себе так, чтобы она стала касательной к поверхности Ф в точке n(p). В результате мы получим новые полупространства H(p) = {x е Rn : (x — n(p), n(p)) ^ 0}.
Покажем, что граница M пересечения О = HpePH(p) будет искомым многогранником.
Пусть S е T — симплекс с вершинами £1, ...,£n. Необходимо показать, что точка q пересечения гиперплоскостей, касательных к поверхности Ф в точках n(£1),...,n(£n), определяет вершину многогранника M. Если это не так, то должна найтись точка p е P, для которой q е H(p). При этом в силу
условия Ф-триангуляции точка р лежит вне множества Ф(5). В силу выпуклости поверхности Ф и определения множества Ф(5) гиперплоскость, касательная к Ф в точке р, не может отделять точку q от поверхности Ф. Это значит, что q е Н(р). Тем самым теорема доказана. □
Из доказанной теоремы непосредственно получаем
Следствие 1. Если для заданных чисел ар/2 > аг > 0, г = 1, • таких, что
N
ар = ^ аг, ¿=1
найдется Ф триангуляция Т = {5г, г = 1, •••,N}, для которой
Др (5г) = аг,
то найдется выпуклый многогранник М с вершинами VI,, такой, что
а^г ) = а», г = 1,•••,N•
Следствие 2. Если в условиях теоремы заданная триангуляция Т является триангуляцией Делоне, то искомый многогранник можно найти такой, что в него можно вписать единичную сферу.
Доказательство. Достаточно показать, что найденный при доказательстве теоремы 2 многогранник М0 — требуемый. Это будет следовать из того факта, что точка V пересечения п касательных к §п-1 гиперплоскостей, построенных в вершинах сферического симплекса 5 е Т заданной триангуляции, определяет вершину многогранника М0. Если это не так, то найдется вершина триангуляции т такая, что касательная гиперплоскость к §п-1, построенная в этой вершине, отделяет точку V и начало координат. Но тогда точка т должна принадлежать внутренности В(5). Это устанавливается рассуждениями, аналогичными доказательству теоремы 1. Таким образом, мы придем к нарушению условия Делоне. Полученное противоречие доказывает утверждение следствия. □
Опишем второй класс триангуляций. Для этого рассмотрим некоторый выпуклый многогранник М0 и построим по нему триангуляцию Т0 = Т(М0). К этой триангуляции будем применять такую операцию. Выбираем некоторую внутреннюю точку р некоторого симплекса 5 е Т0 с вершинами С1, • ••Сп и разбиваем этот симплекс на п симплексов 5г = 5(С1,..., Сг-ъР, Сг+ъ •••Сп),г = 1,...,п. При этом соответствующий многогранник строится отсечением подходящей гиперплоскостью, ортогональной радиус-вектору точки р части исходного многогранника у его вершины, определяемой симплексом 5. Причем эта гиперплоскость должна пройти так, чтобы отделить эту вершину от остальных вершин исходного многогранника.
2. СУЩЕСТВОВАНИЕ ЗАДАННОГО РАЗБИЕНИЯ СФЕРЫ
Таким образом, из вышесказанного следует, что разрешимость поставленной задачи следует из возможности построения триангуляции первого или второго класса конечного множества точек сферы с заданными значениями мер др симплексов. В этом параграфе статьи мы покажем построение требуемой триангуляции для второго класса. Ограничимся рассмотрением случая п = 3. Из формулы Эйлера вытекает четность количества треугольников триангуляции конечного набора точек сферы, обладающей свойством (1).
Теорема 3. Пусть п = 3 и заданы числа ар/2 > аг > 0, г = 1,..., N = 2к ^ 4, такие, что
N
ар = а». ¿=1
Тогда найдется триангуляция второго класса Т = {5г,г = 1, }, для которой
Др (5г) = аг.
Разобьем доказательство теоремы на несколько вспомогательных утверждений.
п
^=1
Пусть 50 = {х = (х1, ...,хп) е Мп : хг ^ 0, ^П=1 хг ^ 1} — единичный симплекс в
Лемма 1. Пусть / : 5о ^ £о _ непрерывное отображение такое, что /(д5о) = д£о• Тогда / (5о) = 5о •
Доказательство. Пусть это не так. Тогда найдется точка у £ £о \ /(5о). Заметим, что в силу условия леммы у — внутренняя точка симплекса. Пусть хо — некоторая внутренняя точка 5о. Рассмотрим семейство симплексов 5(Ь) = 5(Ао(Ь),..., Ап(Ь)), 0 ^ Ь ^ 1, где Аг(Ь) = Аг(1 — Ь) + хоЬ, Аг = (0,..., 1,0,..., 0) (1 стоит на г-м месте).
Заметим, что 5(0) = 5о, 5(1) = хо. В силу непрерывности отображения / при всех Ь, достаточно близких к 1, множество /(5(Ь)) содержится в некоторой окрестности точки /(хо). В силу того что /(хо) = у, можно выбрать эту окрестность так, чтобы точка у в нее не попадала. Из соображений непрерывности по параметру Ь найдется такое Ьо £ (0,1), что у £ /(5(Ьо)). Это противоречит предположению о том, что у £ £о \ /(5о). Тем самым лемма 1 доказана. □
Пусть 5 С §п-1 — некоторый симплекс с вершинами ...,£п и д £ 5 — произвольная его точка. Построим симплексы 51 (д),...,£п(д):
Бг(д) = 5...&-1, ...,Сп), г = 1, ...,п.
Лемма 2. Для любого набора чисел
0 ^ о 1,..., ^ др(5), = др(5),
г=1
найдется точка д £ 5 такая, что
Ог = др (5г (д)), г = 1, ...,п.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по размерности пространства. При п = 1 утверждение следует из теоремы о промежуточном значении непрерывной функции. Предположим, что утверждение леммы справедливо для всех размерностей, меньших п — 1. Пусть, как и выше, 5о — единичный симплекс в Мп-1 и д : 5о ^ 5, ...,£п) — некоторый гомеоморфизм, переводящий к-мерные грани симплекса 5о в соответствующие к-мерные грани симплекса 5(£]_,...,£п). Построим непрерывное отображение к : 5 ^ 5о следующим образом. Для точки д £ 5 положим
Н( ) = (др(51 (д)) др(52(д)) др(5п-1 (д))
V др(5) ' др(5) '"'' др(5)
Ясно, что к(д) £ 5о. Несложно увидеть, что в силу предположения индукции отображение / = к о д удовлетворяет условиям лемм 1. Поэтому для всякой точки у £ 5о найдется такая точка хо £ 5о, что /(хо) = у. В частности, для
{ О1 О2 Оп-1 \
у V др (5)' др (5) '...'др (5)/ £ 5о
найдется точка хо £ 5о такая, что /(хо) = у. Положим д = д(хо). Тогда по построению отображения к получаем:
/ др (51 (д)) др (5п-1(д)Л N / 01 Оп-1 \
Л ,, N О1 Оп-1 \
=/ (Хо> =у = I дЙ5) , дрщ;,
V др (5) ' ' др (5)
что и приводит к требуемому. □
Замечание. При п = 3 справедливость доказанной леммы легко устанавливается и в случае, когда вместо симплекса 5 С §2 рассмотреть некоторую полусферу С §2 с выбранными на ее границе тремя точками, поскольку в этом случае необходимый при доказательстве гомеоморфизм д : 5о ^ , очевидно, также существует.
Лемма 3. Теорема 3 верна для к =
Доказательство. Пусть р = (0,0,1), д = (0,0, —1) — две диаметрально противоположные точки сферы §2 С М3. Будем рассматривать тройки областей Р1, Р2, Р3, ограниченных дугами Е1, Е2, Ез окружностей большого радиуса, соединяющих точки р и (рисунок).
Будем считать, что
Р
Ясно, что в силу неравенства о + ст2 + о3 = ор — о4 < ор такое множество дуг непусто. В каждой области Б построим дугу 7(Б^) окружности большого радиуса, соединяющую две точки на ее граничных дугах, лежащие на одной горизонтальной плоскости, и такую,
Более того, мы будем рассматривать только те допустимые положения дуг Е1, Е2, Е3, для которых справедливы неравенства
дБ1 = Е1 и Е2, дБ2 = Е2 и Е3, дБ3 = Е3 и Е1.
(Б^) > о, г = 1, 2, 3.
Я
что для нижнего сферического треугольника А^, ограниченного граничными дугами и дугой 7(Б^) было выполнено равенство (А^) = о^. В силу неравенств о < ор/2 получающиеся таким образом сферические треугольники лежат в некоторой полусфере. Покажем, что найдется такое расположение дуг Е1, Е2, Е3, что дуги 7(Б^), г = 1, 2,3 образуют сферический треугольник. С этой целью покажем сначала, что дугу Е3 можно выбрать так, чтобы дуги 7(Б2), 7(Б3) имели общую точку на Е3. Заметим, что если дугу Е3 перемещать в сторону дуги Е1, то дуга 7(Б3) будет перемещать к точке р и в положении, близком к крайнему допустимому (когда (Б3) близко к о3), эта дуга будет располагаться выше дуги 7(Б2). А если дугу Е3 перемещать в обратном направлении, то выше оказывается дуга 7(Б2). Из соображений непрерывности найдется такое положении дуги Е3, что дуги 7(Б2) и 7(Б3) пересекутся в некоторой точке на дуге Е3. Ясно, что имеется непрерывная зависимость такого положения Е3 от положения дуг Е2 и Е1. Рассмотрим допустимое положение дуг Е1, Е2, близкое к крайнему положению, т.е. положению, при котором (Б1) = о1. В этом случае дуга 7(Б1) будет находиться вблизи точки р и выше дуг 7(Б2) и 7(Б3). Если мы будем «раздвигать» дуги Е1 и Е2, то дуга 7(Б1) будет перемещаться вниз, а сцепленные в общей точке дуги 7(Б2) и 73 будут перемещаться вверх. И когда дуги Е2, Е1 будут близки к другому крайнему положению, т. е. положению, когда
(Б2) = о2, (Б3) = о3, дуги 7(Б2) и 7(Б3) окажутся близкими к точке р, т. е. выше дуги 7(Б1). Следовательно, найдется положение дуг Е1, Е2 такое, что все три дуги 7(Б^), г = 1,2,3 образуют сферический треугольник А4, причем в силу аддитивности интеграла (А4) = о4. Лемма дока-
Доказательство теоремы 3. Проведем доказательство по индукции. При к = 2 теорема справедлива в силу доказанной леммы. Предположим, что утверждение теоремы установлено для всех значений к < I. Докажем справедливость теоремы для случая к = I. Заметим тогда, что имеет место неравенство N = 2к ^ 6. Не ограничивая общности, будем считать, что заданный набор чисел упорядочен:
Предположим сначала, что о1 + о2 + о3 < ор/2. Используя предположение индукции, найдется триангуляция Т = г = 1, ...^ — 2, для которой имеет место (1) и
о1 ^ ... ^ о^.
Тогда о1 + о2 + о3 ^ ор/2. Если это не так, то тем более о4 + + ^ ор/2, а значит,
N
¿=1
что противоречит условию теоремы. Рассмотрим новый набор чисел
о"! + о2 + оз, СТ4,..., о^.
Др($1) = о + о2 + оз, Др($г) = о¿+2, г = 2,..., N — 2. Согласно лемме 2 симплекс 51 можно разбить на три симплекса £1, $2, $3 так, чтобы
(£') = о^, г = 1, 2,3.
Тогда триангуляция Т' = {$1, $2, $3, $2, -1} является искомой.
Пусть теперь + 02 + 03 = 0Р/2. В этом случае N = = 6. Действительно, в силу упорядоченности заданного набора чисел получаем:
04 + 05 + 06 ^ 01 + 02 + 0з = 0Р/2,
и потому
6
0^ = 0Р, 0^ = 0 для г > 6.
¿=1
Требуемую триангуляцию построим следующим образом. Выберем на одной из окружностей большого радиуса три точки, образующих в М3 равносторонний треугольник. Такая окружность разделит сферу на две полусферы 51, 52. Согласно замечанию к лемме 2 можно найти точку в одной полусфере и точку в другой полусфере так, чтобы образуемые сферические треугольники 51, 51', £1", 52, 52', 52'' разбивали меру полусферы на требуемые части. Теорема доказана полностью. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-41-02517).
Библиографический список
1. Погорелое А. В. Многомерная проблема Минков-ского. М. : Наука, 1971. 95 с.
2. Iorgens K. Über die Losungen der Differentialgleichung nt - s2 = 1 // Math. Ann. 1954. Vol. 127. P. 130-134.
3. Calabi E. Improper affine hypersheres of convex type and a generalizations of theorem by K. Iorgens // Michigan Math. J. 1958. Vol. 5, iss. 2. P. 105-126. DOI: 10.1307/mmj/1028998055.
4. Александров А. Д. Задача Дирихле для уравнения Detllzij || = ^(zi,..., zn, z, xi,..., Xn). I // Вестн.
ЛГУ. Сер. Математика, механика и астрономия. 1958. № 1, вып. 1. С. 5-24.
5. Bodrenko A. I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. Arx-iv.org. 2007. arXiv:0708.3929.
6. Александров А. Д. Выпуклые многогранники. М. ; Л. : ГИТТЛ, 1950. 429 с.
7. Зильберберг А. А. О существовании замкнутых выпуклых многогранников с произвольными заданными кривизнами вершин // УМН. 1962. Т. 17, вып. 4(106). С. 119-126.
Образец для цитирования:
Клячин В. А. О разрешимости дискретного аналога многомерной задачи Минковского - Александрова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 3. С. 281-288. 001: 10.18500/1816-9791-2016-16-3-281-288.
On the Solvability of the Discrete Analogue of the Minkowski-Alexandrov Problem
V. A. Klyachin
Vladimir A. Klyachin, Volgograd State University, 100, Universitetskii prospekt, 400062, Volgograd, Russia, [email protected]
The article deals with the multidimensional discrete analogue of the Minkowski problem in the production of A. D. Aleksandrov on the existence of a convex polyhedron with given curvatures at the vertices. We find the conditions for the solvability of this problem in a general setting, when the curvature measure at the polyhedron vertices is defined by an arbitrary continuous function defined on a field F : Sn-1 ^ (0, The basis for solving the problem is the solvability of the problem whether each triangulation of a finite set of points P c Sn-1 of the unit sphere corresponds a convex polyhedron whose faces normal belong to the set P.
Key words: convex polyhedron, triangulation, spherical simplex.
This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 15-41-02517). References
1. Pogorelov A. V. Mnogomernaia problema Min- 3. Calabi E. Improper affine hypersheres of con-kovskogo [Multidimensional Minkowsky problem]. vex type and a generalizations of theorem by Moscow, Nauka, 1971, 95 p. (in Russian). K. Iorgens. Michigan Math. J., 1958, vol. 5, iss. 2,
K .. d pp. 105-126. DOI: 10.1307/mmj/1028998055.
2. Iorgens K. Uber die Losungen der Differentialgleichung nt — s2 = 1. Math. Ann., 1954, vol. 127, 4. Aleksandrov A. D. Dirichlet problem for equation pp. 130-134. Det^zij || = ^(zi,... ). I. Vestnik
LGU, Ser. Mathematics, mechanics and astronomy, 1958, no. 1, iss. 1, pp. 5-24 (in Russian).
vex polyhedra]. Moscow ; Leningrad, GITTL, 1950, 429 p. (in Russian).
5. Bodrenko A. I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. Arx-iv.org, 2007, arXiv:0708.3929.
7. Zil'berberg A. A. On existence of closed convex
polyhedra with prescrobed curvature of vertex-
es. Uspehi Mat. Nauk, 1962, vol. 17, no. 4(106), pp. 119-126 (in Russian).
6. Aleksandrov A. D. Vypuklye mnogogranniki [Con-
Please cite this article in press as:
Klyachin V. A. On the Solvability of the Discrete Analogue of the Minkowski - Alexandrov Problem. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 3, pp. 281-288 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-97912016-16-3-281-288.
УДК 517.518.85
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ НА ОТРЕЗКЕ СИНК-АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
Трынин Александр Юрьевич, доктор физико-математических наук, доцент кафедры математической экономики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Получены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений для функций ограниченной вариации. Отдельно рассматриваются условия равномерной сходимости внутри интервала (0, п) и на отрезке [0, п]. Установлена невозможность равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции ограниченной вариации на отрезке [0,п]. Выделена главная часть погрешности синк-аппроксимации при приближении негладких функций из пространств непрерывных функций и непрерывных функций, исчезающих на концах отрезка [0, п], снабженных чебышевской нормой.
Ключевые слова: равномерная сходимость, синк-приближения, ограниченная вариация, синк-аппроксимации. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-3-288-298
Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств синк-приближений, используемых в теореме отсчетов Уиттекера - Котельникова - Шеннона [1-4]. В связи с необходимостью развития теории кодирования сигналов Э. Борель и Е. Т. Уиттекер ввели понятие кардинальной функции, сужение с оси на отрезок [0, п] которой выглядит так:
К настоящему времени достаточно полно исследованы свойства синк-аппроксимаций аналитической на действительной оси функции, экспоненциально убывающей на бесконечности. Наиболее полный обзор результатов, полученных в этом направлении до 1993 года, а также большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в [3]. Интересный исторический обзор исследований в этой области содержится также в [5].
Синк-приближения нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и приближения функций как одной, так и нескольких переменных [6-8] в теории квадратурных формул [3] и теории вейвлет-преобразований или всплесков [1,2,4]. В [9,10] изучаются модификации синк-приближений, с помощью которых можно приближать произвольные равномерно непрерывные функции, ограниченные на оси.
Результаты работ [11, 12] позволяют сделать заключение о том, что при использовании классических синк-аппроксимаций (1) вблизи концов отрезка [0,п] возникает явление Гиббса (Уилбрейама-Гиббса).
А. Ю. Трынин
ВВЕДЕНИЕ
(1)
