Точная оценка радиуса нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №2(68)

УДК 514.74

33

ТОЧНАЯ ОЦЕНКА РАДИУСА НОРМАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ЗАМКНУТОЙ ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ1

© 2009 В.Н.Кокарев2

Получена точная априорная оценка на радиусы нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны.

Ключевые слова: априорные оценки, условный радиус кривизны.

1. Основные понятия и уравнения

Пусть /к = ^2”•,•=! ак.хгхз, (к = 1,..., т) — положительно определенные квадратичные формы. Составим форму / = ^^=1 Лк/к и рассмотрим определитель матрицы квадратичной формы /: ёе1 / = ёе1(Л1а' + ... + Лтат).

Это однородный многочлен степени п по А1,...,Ат , то есть

т т

ёе! / = Е ... Е Лк1 Лк2 ... Лк„Я(/к1,..., /кп).

кп = 1 к 1 = 1

Коэффициент при Лк1 Лк2 ... Лкп, взятый симметричным по всем индексам, называется смешанным дискриминантом форм /к1, /к2,...,/кп или матриц (ак1), (ак2),..., (акп).

Пусть 5 замкнутая выпуклая поверхность в (п + 1)-мерном евклидовом пространстве Ега+1, в котором введены декартовы координаты Х1,..., хп+1. Если 5 регулярна, по крайней мере дважды дифференцируема, и гауссова кривизна ее в любой точке положительна, то ее опорная функция Н обладает той же степенью регулярности [1]. Обозначим ^Х-аХ ■ = Н'. Главные радиусы нормальной кривизны удовлетворяют уравнению

ёе1(Н' — ) = 0 (г,^ = 1,...,п + 1), (1.1)

хСтатья поддержана грантами РФФИ № 08-01-00151 и АВЦП № 3341.

2Кокарев Виктор Николаевич ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

где производные фукции Н надо вычислять на единичной сфере [1]. Уравнение (1.1) имеет один посторонний корень К = 0 . Отбрасывая этот корень, по теореме Виета получаем, что произведение всех главных радиусов кривизны равняется сумме всех главных миноров п-го порядка матрицы Н'. Этот факт удобно записывать в следующем виде:

1

Кз

— = пДЯу,...,Яу,Ьіу) (г,; = 1,...,п + 1), (1.2)

где Кз — гауссова кривизна поверхности 5, В — символ смешанного дискриминанта.

Пусть 5 и Е регулярные замкнутые выпуклые поверхности в (п + + 1)-мерном евклидовом пространстве Еп+1 с положительной гауссовой кривизной. Тогда 5 и Е имеют биективные сферические отображения на единичную сферу

Vs: 5 ^ Бп,ив: Е ^ 5п.

Тем самым определено отображение

V-1 о vs: 5 ^ Е,

которое сопоставляет всякой точке х поверхности 5 с внешней нормалью

V точку у поверхности Е с той же внешней нормалью.

Дифференциалы указанных отображений устанавливают изоморфизмы между Тх(5), Ту(Е) и Ти(5п) — касательными пространствами к 5, Е и 5п в точках х,у и V. Пусть вектору ^ £ Т(5п) соответствуют векторы ^х е Тх(5) и ^у е Ту(Е).

Экстремумы отношения дуз^ по всему Ти(5'п) называются главными условными радиусами кривизны поверхности 5 относительно поверхности Е в точке х. Далее будем их называть условными радиусами кривизны 5 относительно Е и обозначать Кг. Для условных радиусов кривизны получаем уравнение

ёе^ьЗ — КЬЕ) = 0 (г,^ = 1,...,п), (1.3)

где ЬЗ, ЬЕ — коэффициенты вторых квадратичных форм поверхностей Б и Е, соответственно.

Для условных радиусов кривизны справедлива обобщенная теорема Ро-дрига, а именно для тех направлений ^, в которых отношение Зуз; до_ стигает экстремума, соответствующие этому ^ векторы ^х и ^у пропорциональны, то есть

^х — -Кг^у = 0,

где Кг — соответствующий условный радиус кривизны. Отсюда получается, что у условно параллельной поверхности 5 + ЛЕ условные радиусы кривизны равны Кг + Л.

з

2 ,

— дискриминанты первых и вторых квадратичных форм поверхностей

Обозначим через Ks, Ке гауссовы кривизны, а через , В

5, Е и единичной сферы £”. Тогда

По теореме Гаусса

Dsn

В = к 2, = к®.

Тогда получаем

Отсюда и из (1.3)

ВЗ 3, ВЕ

Кз = в| вЕ В3п = В| К ке в® в3п вз вЕ к2.

Ке = Вз = К К

Кз = ВЕ = 1 •••п

Обозначим опорные функции поверхностей 5 и Е через Н и Н0, соответственно. Заменяя гауссовы кривизны их выражениями (1.2) через опорные функции, получаем

В(Н',..., Н', ^) = (Н° ,..., Н'Д.)^1 ••• КЙп (г,; = 1,..., п + 1).

Условно параллельная поверхность 5 + ЛЕ имеет опорную функцию Н + + ЛН0. Поэтому

00

В(Я- + АЯ0,..., Я- + АЯ0, ^) =

= В(Н' ,...,Н°., ^ )(^1 + Л) • • • (кЙп+Л) (г,; = 1,... ,п+1).

п

Разлагая обе части по степеням Л и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем

Сп В(Нг.,. Нг', Н°,..., Н°, г.-) = В(Н',..., Н. ,5. К (г,; = 1,..., п +1).

кп

(1.4)

Смешанный дискриминант слева — это коэффициент при £кКп-кв в определителе

ёе^Н. + КН. + в5'). (1.5)

В области, где хп+1 = 0, имеют место соотношения (см. [1]):

пп

Н = _ Н х Но = _ Но хг

Нп+1,' = 2^ Н' х 1 , Нп+1,' = 2_> Нг' х 1 .

г=1 п+ г=1 п+

Поэтому, если г-ю строку определителя (1.5) умножить на — хх^ и прибавить к п + 1-й строке для всех г = 1,..., п , а г-й столбец тоже умножить

на — хх^ и прибавить к п + 1-му столбцу для всех г = 1, ...,п, то определитель (1.5) примет вид

( *Яц + К Я?! + в ІЯ!2 + ЇІЯ?2 ІЯ21 + КЯ0 ^Я22 + ЯЯ02 + 8

V

— в

Х1

хп + 1

— в'

Х2

хп + 1

Отсюда получаем коэффициент при ^Яп к8 :

+ хп

ХП + 1

Х2

хп + 1

+-+х" хп + 1

Хп+1

В (Я, ,..., Я, ,Я0, ,...,Я0 ), (г,; = 1,...,п).

Он равен смешанному дискриминанту в левой части (1.4), а при Н = Н0 получим смешанный дискриминант в правой части (1.4). Делая замену, получаем из (1.4)

сп В(Н',..., Н', Н',..., Н') = В (НО,..., Н' И, (г,; = 1,..., п). (1.6)

Это сотношение справедливо в области хп+1 = 0.

Используя положительную однородность первой степени опорной функции Н, получим

х1 хп

Обозначим

Я(Ж1,... ,Ж”+і) = ж„+іЯ( V,

1).

Хп+1 Хп+1

1 = А, тогда если функция Я рассматривается на

хп+1 хп+1

единичной сфере, то ^2 +... + жга+1 = 1 и А = л/1 + ^2 + ... + V”. Обозначим

Х1 ХП

Я(

1) = ... ,-и„).

хп+1 хп+1

Функция Л, является ограничением функции Н на плоскость хп+1 = = 1. Условимся дифференцирование по ы функций, зависящих от Ы1,..., ып, обозначать соответствующим индексом внизу, например

д 2Л

‘-о

Тогда получим Я- = АН- (г,; = 1,..., п), где Я- вычисляются на единичной сфере, Ну на плоскости хп+1 = 1 в точках, лежащих на одном луче, проведенном из начала координат.

Относительно функции Я0 мы повторим те же рассуждения, обозначив

я 0(-Х1

1) = Н (^1,..., V”).

Хп+1 Хп+1

Тогда Я?- = АН0,-. Следовательно, уравнение (1.6) принимает вид

СПВ(Н,,... ,Ну,Н°,-,... ,Н°,-) = в(н0,,... ,н0,К, (^ І = ^ . . . ,п). (1.7)

к

п

) = ёв1

= а/1 + ^2 +.. . + V2 = Л

л2-^2 —^1^2 — ^1^п

л3 л3 _ ... л3

—^2 V 1 > 10 1 с* Ю(0 —^2^п

л3 л3 ... л3

—ъг^ 1 —^п^2 л2—V"

Л . Поэтому

л3

Лп+2

л3

л3

/

Если положить в соотношении (1.7) Ь = Ь0, Ь0 = й = п, то получим

Я(Ь0,- ,...,Ь0,-) = 1

п

Лп+2Ке'

Отсюда и из (1.7) получаем

СП В(%,...,% ,Л0, ,...,Л0> )= ^

Лп+2Ке ■

(1.8)

2. Априорная оценка радиуса нормальной

кривизны замкнутой выпуклой поверхности

Пусть ^(^) = (V),..., Дп(^)^ — й-я элементарная симметрическая

функция условных радиусов кривизны поверхности 5 относительно Е. Оценим сверху главные радиусы нормальной кривизны поверхности 5 через заданную функцию ).

Пусть радиус нормальной кривизны поверхности 5 достигает максимума в точке X с внешней нормалью V . Пусть Л1 ^ ... ^ Лп — главные радиусы нормальной кривизны поверхности 5 в точке X; через Ке, ге, Ле обозначим, соответственно, гауссову кривизну, минимальный и максимальный радиусы нормальной кривизны поверхности Е в точке X. Направим ось ж декартовой системы координат параллельно г-му главному направлению поверхности 5 в точке X . Направление оси жп+1 возьмем совпадающим с направлением нормали V.

Тогда в окрестности точки X мы можем пользоваться уравнением (1.8). При этом функция

и / ч(1+ „2 +-----+ ^П )3/2

ш = Ь11 (,,1--,п) (1 + „2 + ... + „П)

будет в точке „1 = 0,..., „п = 0 достигать абсолютного максимума

Ьц(0,..., 0) = Л1 см.[1]. Следовательно, в этой точке = 0, ^2ш ^ 0. Вычисляя шг и ш, в точке (0,..., 0), получим

Шг = Ьцг = 0,Ш11 = Ь1111 + 3ЬП,Шй = Ь^ц + Ьп(г = 1),ш, = ЬуИ(г = ;).

(2.1)

Кроме того, Ь,(0,..., 0) = 0(г = ]), Ьгг(0,..., 0) = Лг. Введем в рассмотрение функцию

=

Рк = лп+2ке .

3

п

1

Дифференцируя уравнение (1.8) по VI в точке (0,..., 0) и обозначив да = рк , получим

(

Е

г,

дВ(% ,...,% ,Л0,,..., Л0,)

дЛ

+

'г,

+ Е

дв(Лг,, . . . , , , . . . , ) 0

г,,

дЛ

Л

'г,

г, 1

Смешанный дискриминант В(Лг,,..., Лг,, Л0,,..., Л0,) будем считать функ-

к

цией переменных Лг,, Л0,. Обозначим через й частный дифференциал на пространстве переменных Лг,, через 5 обозначим частный дифференциал на переменных Л0,. Полагая йЛг, — Лг,1,5Л0, — Л0,1, получим

Рк — СП ( йв(Лг,,. .., %, л0,,..., л0,) + гД(Лг,,. •., %, л0,,..., л0, 1 . (2.2)

V к к /

Дифференцируя (1.8) в точке (0,..., 0) дважды по г^, обозначив ^дрт — Рк, получаем1

Рк- — С; ( й2В(Лг,,..., Лг,, Л0,,..., Л0,) + 2й£В(Лг,,..., Лг,, Л0,,..., Л0,) +

+52В(Лг, ,...,Лг, ,Л0, ,...,Л0 )+ Е

дв(Лг,, . . . , Лг,, , . . . , )

дЛ

г,,

г,

Лг, 11 +

+Е

дв('Лг,,..., Лг,, л0, ,..., л0, )

г,,

дЛ0,

г^ Л0 Лг,11

(2.3)

При этом

к1

дВ(Лг, ,...,Лг, , Л0,,..., Л0,) . 0

Е----------------дЛ.. ^--------- Лг,11 — тВ(Л11г,, Лг,,..., Лг,, ,..., )

г,,

Так как й2ад ^ 0, то

в(^г,, Лг,,..., Лг,, ,..., ) ^ 0.

к1

Подставляя сюда выражения для ш, из (2.1) , получаем

г,

кк

С к д^(Ьг.?, . . . , Ьг,', ь0, , . . . , ь0, ) Ь ^ 2С к дВ(Ьг?, . . . , Ьг?, Ьо,, . . . , Ь°/) Ь

Сп Е-----------------аЬ~------------/1у11 ^ -2Сп------------------------------дЬЛ-Ь11—

г,,

-Сп-1 Е ЬП£>(Ь, , . . . , Ьг,, Ь0,, . . . , Ь0,)й. (2.4) г ' к— ’

Здесь В(Ьг,,..., Ьг,, Ь0,,..., Ь0,)гг — смешанный дискриминант матриц (Ь,) к-1

и (Ь0,) с вычеркнутыми г-ми строками и столбцами.

Далее определим величины к, соотношениями

Ь1111 = —3Ь11 + к11,Ь°111 = — 2Ь°1 + кг1(г = 1),Ь0,11 = —Ь0, + кг, (г,.7 = 1) (2.5)

и обозначим к = тах | к, |. Тогда получим г,

к к

дв(Лг,, . . . , Лг,, Л°-, . . . , Л°-) Л0 — ^ дВ(Лг,, . . . , Лг,, Л0,•, . . . , Л°-)

дЛ0 Л,п — ^ дЛ0 ^

Кг,

г,, г, г,, г,

_ дВ(Ьг,, . . . , Ьг,, Ь0,, . . . , Ь0, ) 0 ^ дВ(Ьг,, . . . , Ьг,, ^ , . . . , ^) 0

—ъ < —2 £ «Я *“■

(2.6)

Для второго и первого слагаемых в правой части этого равенства имеем к

дв(Ь“'.'^,Ь0? ,...,Ь0,) к

Е ,^VlгJ’" ’^о г^~’ ^ — (п - к)^(Лг,,..., Лг,, Л0,',..., л0,). (2.7)

к

д^(Ьг,, . . . , Ьг,, Ьг,, . . . , Ьг,) . (п — й) 0ккЛе /о о\

2^-----------------дЬ--------------к, ^к Гп-к-------------------------------------. (2.8)

г,, г, Кё ГЕ

Для любого г каждое слагаемое в В(Ьг,,..., Ь,, Ь0,,..., Ь0,) содержит либо

к

0

сомножитель Ьл, либо Ь01 . Поэтому

к к

_ дв(%,..., Лг,, Л°-,..., Л°-) п ^ дв(Лг,,..., Лг,, Л°-,..., Л°-)

^ Щ-----------Л“ + £ -------------------дй--------------^ —

г^1 г1 г^1

— В(Лг,,..., Лг,, ,...,ліі ).

к

Так как по (2.1) у нас Ьц = 0(г > 1), то ( к

-2Сп

^ дВ(Ьг,, . . . , Ь,, ь0,, . . . , Ь0,) Ь0 +

г>1

дЬ01

V

+

дВ(Ьг,, . . . , Ьг, ,Ь0, ,...,Ь0, )

------------Ь11

дЬ

11

= —2рк. (2.9)

Очевидно, что

Ск-^ П(Л-- Л-- Ь0 Ь0 V-> (п — к + 1)0к-1-Е~

Сп-1 ^(Ьг,, . . . , Ь,; Ьг, , . . . , Ьг,)гг > ^Дп-к+1

пк

к1

Учитывая, что Ьц > -еЛ?1, из (2.4), (2.6) — (2.10) получаем (к

к

Сп

Е

г,,

дВ(Ьг,, . . . , Ьг, ,Ь0, ,...,Ь0, )

дЬ

Ьг, 11 +

'г,

(2.10)

+ Е

г,,

г^ Ь0

г, 11

<

^ (к — П — 2)рк +

(п — к)20ккЛЕ к 1 (п — к + 1)стк-1-Е к+1-Й1

Ке -е

Приступим теперь к оценке

пк

Ке лЕ-к+1

Обозначим

(^2 + 2^£ + £2)В(Ьг,,..., Ь,, Ь0,,..., Ь,).

к

тах |Ь0,1| = 0. г, ^

Тогда

,

Ь , Ь0 , Ь ,, Ь ,,

л2

, Ь0,) ^ 2(п — к)(п — к — 1)-у0к.

-е

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Будем считать В(Ьг,,..., Ьг,, Ь0,,..., Ь0,) функцией от п(п2+1) переменных

Ь г, при фиксированных Ь0,, которую обозначим через В(Ь). Переменные Ьг, расположим, например, в следующем порядке:

Ь22, . . . , Ьпп; Ь12, . . . , Ь1n, Ь23, . . . , . . . , Ьп- 1,п.

Из неравенства А.Д. Александрова для смешанных дискриминантов положительно определенных форм [2]

[D(/1,..., /n)]m > П £(/_./, /-+1,..., /n), k=l

где знак равенства может стоять лишь в случае пропорциональности форм /1,...,/т, получаем, что для точек

ь1 = (ь1^ Ь22, . . . , Ь,, . . .), Л2 = (Л-Ш Ь22, . . . , Ь,, . . .)

[В(^Ь1 + (1 — ^)Ь2)]1/к > £ [В(Ь1)]1/к + (1 — £) [В(Ь2)]1/к , £ е [0,1],

где знак равенства стоит тогда и только тогда, когда координаты точек Ь1 и Ь2 пропорциональны. Это означает, что в точке Ь , где Ьг, являются коэффициентами положительно определенной квадратичной формы, функция 1/к

Вк строго вогнута по всем направлениям за исключением направления ОЬ, в котором она линейна.

У нас Ьц > ... > Ьпп > 0 и Ьш = 0. Поэтому вектор ОЬ не лежит в плоскости Ьцг = 0. Значит, у нас форма ^2В,/к |^1И=0< 0. Обозначим через Л1 максимальное собственное значение этой формы. Тогда

d2Di/k = 1 (< 1 - 1)°;/k-2dD? + Dk/k-ld2Dk) < Лі Е 4і-

і,І> 1 Отсюда

d2Dk < kDІ-1/kЛі Е h2,i + (1 - 1)^. (2.14)

і,І> і k

Из (2.2) CndDk = pk - Cn^Dk. Так как |Cn5Dk| ^ (n k) go~k , следователь-

но,

(сп<Шк)2 < Рк2 + (П—к)^ (2|рк! + . (2.15)

-е \ -е /

Оценим теперь Л1. Речь идет о максимальном собственном значении матрицы

/ д2д!А : д2д1/к \

дНидНк1

(2.16)

d2Dl/k . d2Dl/k

\ dhkidhjj . dhkidhpq )

(i, j, к, l,p, q = 2,..., n; к = l,p = q). Другими словами, мы дожны рассмот-

1/

к

h11 = const,

реть ограничение функции В/к на плоскость

aconst :

h12 = const, h1n = const.

На плоскости асо^ максимальное собственное значение квадратичной формы й2^,/к достигается на векторе, являющемся проекцией вектора ОЛ на эту плоскость, то есть на векторе (Л-22, Лзз, . . . , Лпп, Л-23,...).

Так как у нас Л-, — 0 при і — і, то в направлении этого вектора имеем

V- д2^1/к ^ 2 ^ 2

Е ял - • дЛ Лг,'— Л1 ^ — Л1 ^ Л*г.

дЛг? дЛро ■ і т

г,.?,Р,д>1 г,,>1 г>1

Учитывая, что любой главный минор (п — к)-го порядка матрицы (Л0,) огра-

п__к т-чп__к

ничен снизу и сверху величинами ге и , соответственно, получаем

д2^1/к ^ д2^1/к д2^1/к 2

______к л Л — \ _______к л Л +_____________Л2

дЛг, дЛюо ^^ — .А , дЛг, дЛюо ^^ + дЛ2 %1 +

Чт^М'ра ■ ■ . і ^‘Чт^'ьра «.у/611

г,,,Р,д г,,,р,^>1 11

____ д2 П1/к ___ 1

+2 Е яь дк, Л,1 Лгг — Л, Е Лг + к^,/к—2 х

^ дЛцдЛгг ^ гг к к

г>1 г>1

Д п /'дДЛ2 ,2 Г, д2Рк , Д пд^к дДЛ,

'к Н 9/гп) 11 + к дЛцдЛгг +(к ) 9/ги дЛ-г/ 11 гг

г>

1/к—2

^ —1)(^1—,яе—к Л,і)2+

г>1 к(Сп)1/ккЕ/к-2

+2 Е 51-2-Е(п-к) + (1 — 1)51-1^-1 лЕ(п-к)) ЬпЬгг

Здесь 5к — к-я элементарная симметрическая функция от Ьц,...,Ьпп,

1 — (к — 1)-я элементарная симметрическая функция от Ьц,...,Ьпп, кроме Ьгг, 2 — (к — 2)-я элементарная симметрическая функция от

Ьц,..., Ьпп, кроме Ьгг, Ь,, 0к = СкВКе.

Учитывая, что

Е 4-1Ьгг = к5к,

г

Е 51-2Ьгг = (к — 1)5к-1,

г>1

51-1Ь11 > П-£к,

получаем оценку для Л1:

2(к 1)5 51 Ь Г Р2(п-к) _ Г2(п-к)__________к 02(п-кА 01/к-2

2(к 1)5кЬ 1-1Ь11 (лЕ -Е 2п лЕ ) 0к , „

Л1 <---------------------- ----------1/к-2---------------- ------------------. (2.17)

к(с‘)1/к'кЕ/к-2 Е Ь2г

г>1

Нам требуется отрицательная оценка для Л1, поэтому наложим условие

Г)2(п-к) 2(п-к) 1 Г)2(п-к) „

ЛЕ( ) — -Е( ) — 2ПЛЕ( ) < 0.

X

Для выполнения этого условия нужно, чтобы для отношения ^ = $0 выполнялось неравенство

2п - 1

Пусть, кроме того, выполнено условие

,11 , 2п + 1

------- — о, ^ ---------------------.

Лгага 2п — 1

Тогда

так как

\

СП/

£к

1/к

^к \

СП/

1/к

і £Х к і .

кк

Я!

!

__ / \ 2/к

Тогда ^ Ь2г ^ (п — 1)$2ЛЕ (тт ) , и из (2.17) получаем

г>1 V «/

2(к — 1)(сп)1/к-Ек (лЕ(п-к) — -Е(п-к) — 2п4(п-к))

Л1 <---------------------- --1/к_ 2 1/к-------------------- . (2.21)

п(п — 1)$2ке/ Д|

Теперь, используя (2.14) и (2.15), можно оценить (^2 + 2^)В(Ьг,,..., Ьг,, Ь0,,..., Ь,).

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Имеем 2^$В(Ьг,,..., Ьг,, Ь0,,..., Ь0,)= ^ Ьг,1Аг,, где модуль коэффициен-

г,,>1

та Аг, не превосходит С_П— 1^^Е к 1.

Из (2.20) получаем

/ \ 1—1/к А| < С^к"1^!"^С1) «Я

п—к— 1 ! .

(2.22)

Тогда, оценив квадратные по Ьг,1 двучлены, получим, заменив с учетом

/о 1а\ к(п-к)2(п-1)^2^ 0 2

(2.19) ( 8га(к—1) ) 1 на 2п2

Сі(й2 + 2й6)£(Лг,,..., Лг,, Л0,,..., Л0,) <

< (1 — 1)(Р12 + <п — к)2^к (2|рк| +(П — к)2^^к

к \ Рк РкГЕ V ГЕ

+

2п2Я|га—2

Кег|к (гЕ("-|) + £я|"—к) - я|("-к))

Из (2.3), (2.11), (2.13) и (2.23) получаем

(п — к + 1)а|—іг! + Яі Ке Я!—к+1

+

(2.23)

^ (к — п — 2)рі + (1 — к) ~---------------------ркг+

к рк

1

(п — к)2стккЛЕ к 1 (к — 1)(п — к)2встк / , (п — к)20стк

+ КЕ^ + к-Е 12|рк|+ -Е 1 +

в2 , 2п2ЛЕп-2^к в2

+2(” — к)(" — к — 1)-2"к + Ке-Еп (1 + 5п$02(п-к) — «Г»' • (2.24)

1/к

/ \ 1/к

Введем функцию ^к = [о^) . Тогда

Рк = ^к ск(1+г2 +...+о-^.

В рассматриваемой точке получаем

2

1 Р2

(к — п — 2)рк + (1 — т) -р рк = кспк ^ 1(^к — ^А^).

к Рк

1 1

А так как (§|-т) * 1 > (о|) * , то ^-1 > С* <рк 1.

Обозначив

А =

лЕ-к+2кЕ/к

гп-к+1 :

' Е

1 / 2п2ДЕп-2в2 , лв2КЕ

В = — ( ----------(---------Е— ------- ——^ + 2(п — к)(п — к — 1) —2—+

Кег2п (1 + ^ «„2(п-к) — $п-‘)) -1

(п — к)2кЛЕ-к-1 , (к — 1)(п — к)20КЕ Л. (п — к)'2в^к-Ке^

+ пТк I г— 21^к1 +

-

п- к Е

к-Е V к-Е

из (2.24) получаем оценку на максимальный условный радиус кривизны в рассматриваемой точке:

А

Л1 ^ (^к(1 + В) — ^к) . (2.25)

Отсюда получаем оценку на максимальный главный радиус кривизны

Л1 ^ А (^к(1 + В) — ^к) . (2.26)

Дифференцирование по можно заменить дифференцированием по длине дуги на единичной сфере [1].

Теперь нам осталось выяснить геометрический смысл величин в и к. Пусть 7(5) — геодезическая на поверхности Е, такая, что 7(0) =

= X, 7(0) = ^^7",..., . Пусть кп(з) — нормальная кривизна этой гео-

дезической. Вычислим (0). Имеем

, е ^гг йг,

кп = Ь‘, * АТ,

йкп <9£Е йгг ^г, йгк Е ^2гг ^г,

+ 2^.

^5 дгк ^5 ^5 ^5 4 ^2 ^5 ’

по повторяющимся индексам происходит суммирование.

Обозначим символом (;) ковариантное дифференцирование и

дг!

_ т! г^ ра т! га 7-!

пг,к — гг,;к — "д^ Г гкга, — Г ,кга-.

Числа пг,| являются координатами тензора Кодацци, симметричного по всем индексам (см. [3]). Тогда получаем

йкга — й^| + 2(^ч + гг й,й^|

йз Пг,к йз йз йз йз2 аЬ йз йз ^ йз Пг,к йз йз йз ^

Для координат тензора Кодацци в [4] получено выражение

/ д2г д^ \ / дг д2^ \ (2 2_)

Пг,к V д^гди,- ’ д-и;/ V д^к ’ д^гди,- / . .

Здесь г — вектор-функция, задающая поверхность Е, V — единичная нор-

маль поверхности Е. В окрестности точки X для них имеют место выражения

Г — (Л°,...,ЛП,Л° — Л0)^г), V — (1 +(^2’+.. ’ ^+’ 12 )1/2. (2-28)

(1 + ^2 +----+ )1/2

Вычисляя, получаем

пг,к(0,...,0) — Л,(0, ...>0).

Для коэффициентов первой квадратичной формы поверхности Е из (2.28) получаем

5гЕ = Ь1гЬ0, + • • • + ЬпгЬп, + ^ (2.29)

где ^ — квадратичная форма от г1,...,гп. Следовательно, в точке X с координатами (0,..., 0) матрицы (д,) и (Ь0,) связаны соотношением (д,) = = (Ь,)2, поэтому собственные значения матрицы (д,) заключены между -° и ЛЕ, а тогда -° ^ дг| ^ ЛЕ.

Обозначим тах (0) = в. Здесь максимум берется по всем направлениям п на Е в точке X. Значит, для любого единичного вектора П = = (п1,..., Пп) модуль кубической формы

1п(п)1 = |пг,кпУПк 1 < £

Взяв п1 = (0,..., 0, пг, 0,..., 0) , получим

|п|ггг|Пг3| < в при д|ЕГг|Пг2 = 1.

(Здесь и далее по индексам, заключенным в знак | |, суммирование не производится.) Следовательно, |пггг| ^ вЛЕ.

Возьмем единичные векторы П2,Пз с ненулевыми только г-ми и ^-ми координатами

П2 = (0,..., аг]г,..., аП,..., 0), П3 = (0,..., —впг,..., вп^',..., 0). Положим |пг| = 2^1, ^ = 27^, а > ^ в > 0.

Так как собственные значения матрицы (дЕ) не превосходят ЛЕ, то 1 = дЕг|Пг2а2 + 2дЕ-|ПУа2 + дЕл^'2а2 ^ 72 = а2, поэтому а > 1. Анало-

гично в ^ 1. Получаем

п(п2) + п(г?з) ,3 а3 + в3 , о -2 , а3 + в3

--------2------------— —2— + 3п|гг,|П п"—2—

2 а3 в3 3 а3 в3

+3п|г.,|ПУ ------2--+ П|ггг|Пг ------2--^ в. (2.30)

т> - ґ п г ,2 а3—в3 -3 а3 —в3 \ г\

Взяв знак п- таким, чтобы 3п|г,,|П-'П'/ —2 —+ П|ггг|П- —2" ^ 0, из второго

неравенства в (2.30) с учетом а +в ^ 1 получаем п-г, ^ вЯ! (і — і). Взяв Пг с противоположным знаком, из первого неравенства в (2.30) получим пгг, ^ — (і — і).

Возьмем единичные векторы П4, П5 с ненулевыми только і,і, к-ми координатами

П4 — (0,..., апг,..., ап^,..., апк,..., 0),

Пб — (0,..., впг,..., — вп7',..., —впк,..., 0).

Положим |пг| — У| — |пкI — 3д^, а > 0, в > 0. Тогда, как и выше, а ^ 1, в ^ 1. А так как собственные значения матрицы (д!) не меньше

г!, то а < тЕ, в ^ %.

Получаем

п(г?4) + п(пб) г3 а3 + в3 , 3 а3 — в3

--------2------------ — п|ггг|п -----------------2- + Пl777|n7 ---2-----

пк3 а3 — в3 , 3_ пгп,2 а3 + в3 , 3п пгпк2 а3 + в3 , +п|ккк|п -----2-----+3п|гіі|пп -------2------+3п|гкк|пп -------2----+

2 а3 в3 2 а3 в3 2 а3 в3

+3п|,гг|n7пг -----2-------+ ^Ь'кк^п -------2----+ 3п|кгг|п пг -----2----+

2 а3 в3

+3п|кіі|пк^ -------2-----+ 6п|г7k|nгn7пк < в. (2.31)

Выберем знак п так, чтобы в последнем выражении кубической формы сумма первого, четвертого и пятого слагаемых была неотрицательна. Знак п, выберем так, чтобы сумма второго, шестого и седьмого слагаемых была тоже неотрицательна. Знак пк выберем так, чтобы пУ пк > 0. Учитывая, что а +в ^ 1 ,|а —в | ^ ^— 1^ < 1/20, из второго неравенства в (2.31)

получаем пг,к ^ вЯ! (і — і — к). Поменяв знаки пгУ, из первого неравенства в (2.31) получаем п-,; ^ — вЯ! (і — і — к).

Итак, в точке X

в — тах ^к1 ^ . (2.32)

г,,,к

Вычислим теперь (0) . Учитывая, что 7(5) — геодезическая, получим

й2кп й-иг йг, йик

й52 Пг,к;1 йз йз йз .

Но , вообще говоря, не симметричны по всем индексам. Симметрируя n(ijfc;1) , получаем

d2kn dvj dvj dvk dv

ds2 njk1 ds ds ds ds ’

Обозначим max | (0) | = т, где максимум берется по всем направле-

ниям на E в точке X.

Из соотношения | nijkZ ПкП11 ^ т для введенного выше единичного век-

тора ni получаем для всех i

|niiii| ^ tRE. (2.33)

Рассматривая соотношение | Пг^кгПгП^ Пк П1 ^ т для введенного выше единичного вектора 772, получаем систему неравенств для всех i = j

13 3^3 13

4 < ± 2 + 3njiii < ~4,

13 3 3^3 13

4 < 3nijjj ± 2 + njiii < 4 .

Отсюда

13 3

kwi1 < уtRE, |niijj1 < ^tRE (i =j). (2.34)

Возьмем для вектора П4 |n*| = , У I = |nk I = 2Щ. Выбрав знак пг,

получим для всех i = j = k

kijfc| ^ 4tRE. (2.35)

Символом (,i) обозначим частную производную по v^. Из формул (2.27) и (2.28) получаем в точке X

niii,i = h0iii + n(iii,j) = h1iij + 1 h0j (i = j = 1),

n(iii,i) = h?iii + 2^ n(iii,i) = h?iii + hii + hn (i = 1). (2.36)

Из (2.29) и (2.32) с учетом |hj| ^ Re получаем в точке X

|gij,z| ^ 2nR|(9.

Собственные значения матрицы контравариантного метрического тензора ($ы) заключены между и 4г, значит |gk11 ^ 4f. Следовательно, для коэффициентов Кристоффеля поверхности E в точке X имеет место оценка

k ^ 3n-2 rE9 |Г 1 ^ r2 .

rE

Тогда

. 9n3RE92

|nijfc;1 nijfc,1| ^ 2 , rE

|n(ijfc;1) n(ijfc,1)|

Из (2.5), (2.33) и (2.36) получаем

9n3RE 92

r

1 1 1,0 ,0 1 1 1 1 1 9n3RE92 л4 9n3RE92

|kii| = |h1iii + 3hn| = |niii,i| ^ |niii;i| +------------2^— ^ tRe +----2^.

rE rE

Так как [h1^ ^ Re — rE (i = 1), то из (2.5), (2.34) и (2.36) получим

, , , 1,0 , , , 9n3RE92 1 -2~

|Kii| = |n(iii,i) + 2hli| ^ Kiii;^ + Г2 + 2 v RE — rE ^

e

13 , 9n3 R792 1

Аналогично из (2.5), (2.35) и (2.36) получаем

1 9n3 (2 1 у----

К | = |n(iii,j) + - h0j | < 4tRE +----------^ + - J RE — rE (i = j = 1).

2 rE 2

Далее из (2.5), (2.34) и(2.36) получаем , . . 1,0 1, 0 , 3 , 9n3RE92 1,„ ч , ч

|Kii| = |n(iii,i) + 2hii — 2hn| ^ 2tRe + r^ + 2( — rE) (i = 1).

Е

Таким образом, для к = max |xj | получаем оценку

, „4 9п3ЛЕ92 1 /ГЮ 2~

к ^ 4тЛе + -o + 2\/Ле — -е .

' Е ^

Сформулируем теперь доказанную теорему.

Пусть 7(5) — геодезическая на поверхности Е, проходящая через точку

7(0) с внешней нормалью V в направлении п. Пусть кп(з) — нормальная

кривизна этой геодезической. Обозначим

9 \ йкп 1п\ I \ Iй кп/пм

9т = тах —— (0), т (V) = тах | (0)|,

п аз п аз2

где максимумы берутся по всем направлениям в точке 7(0). Введем функции

9М = 9МЛЕ(^

9п3ЛЕ (v)92(v) 1

-Е ^) + 2

k(v) = 4т (v)rE (v) + + ^/rE (v) — rE(v)

где Ле(V) — максимальный, а -е(V) — минимальный радиусы нормальной кривизны поверхности Е в точке 7(0). Обозначим

A(v ) =

RE-k+2KE/k

rra-fc+i ,

'e

. 1 / 2п2Л|га-202 Й2КЕ

В(^) = 7- І ----------т----------Е— - ——— + 2(п — к)(п — к — 1)—2----------------+

Ке -Еп (1 + 2п С-4 — «с2(п-‘0 -Е

(п — к:)2кЯЕ-к-1 (к — 1)(п — к)29КЕ ^ ,, , (п — к)29^кКе^

+ Г- + к-Е 12|!Л | + к-Е ^ ^

где все величины в правых частях считаются в точке 7(0) или V. Доказана следующая

Теорема. Пусть 5 и Е — регулярные замкнутые выпуклые, удовлетворяющие условиям (2.18) и (2.19 ) поверхности в евклидовом пространстве Еп+1. Пусть ^1^),..., Кп^)^ — к-я элементарная симметриче-

ская функция условных радиусов кривизны поверхности 5 относительно Е. Тогда для радиусов нормальной кривизны поверхности 5 справедлива оценка

1/к

а дифференцирование выполняется по длине дуги большого круга на единичной сфере в точке V в направлении п. Максимум берется по всем точкам сферы и всем направлениям в этих точках.

Полученная оценка является точной: если поверхности 5 и Е являются единичными сферами, то А^) = 1, ) = 0, и теорема дает К ^ 1.

Литература

[1] Погорелов, А.В. Многомерная проблема Минковского / А.В. Погоре-лов. — М.: Наука, 1975. — 96 с.

[2] Александров, А.Д. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы /

A.Д. Александров // Матем. сб. — 1938. — Т. 3. — № 2. — С. 227-251.

[3] Каган, В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении /

B.Ф. Каган. — М.; Л.: ОГИЗ, 1948. — Ч. 2 — 407 с.

[4] БиЬпо—, Л. иЬег Тешогеп шИ пісМвкаіагеп Кошропепіеп / Л. БиЬпо— // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — 1933. — Т. 1. — С. 196-212.

Поступила в редакцию 23/Ц/2009; в окончательном варианте — 23////2009.

PRECISE ESTIMATE OF RADIUS OF NORMAL CURVATURE OF CLOSED CONVEX SURFACE

© 2009 V.N. Kokarev3

A precise a priori estimate of radiuses of normal curvature of closed convex surface with given elementary symmetric function of relative radiuses curvature is obtained.

Key words and phrases: a priori estimates, relative curvature radius.

Paper received 23/77/2009. Paper accepted 23/77/2009.

3Kokarev Victor Nikolaevich ([email protected]), chair of Algebra and geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.