CC BY
22
Раздел I. Алгебра и геометрия
Д.А. Жуков
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ MG-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ С КРАЕМ ПРИ СТАЦИОНАРНОЙ ВДОЛЬ КРАЯ ПЕРВОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЕ
Введение
В работе изучается поведение поверхности гауссовой кривизны К>к0> 0, к{] = const с краем, относительно бесконечно малых MG-деформаций (при этих деформациях сохраняется поточечно сферический образ поверхности, вариация гауссовой кривизны задается как функция <т на поверхности). На край поверхности наложено дополнительное условие 61 = 0, где 51 - вариация первой квадратичной формы рассматриваемой поверхности. Исследование проводится в
j-- з
трехмерном евклидовом пространстве E .
Предполагается, что поверхность принадлежит классу D3 , р > 2 , поле деформации класса
D2p,p> 2, функция а е /J, /(. р > 2 . Поверхность взаимно-однозначно отображается на одно-
связную область, граница которой принадлежит классу С^, 0 < ц < 1.
В §1 вводится понятие бесконечно малой MG-деформации, тривиальной деформации. В §2 выводится комплексное уравнение MG-деформации и другие вспомогательные формулы. §3 посвящен преобразованию краевого условия. Основные результаты работы сформулированы в виде теоремы, которая доказывается в §4.
Теорема. Пусть односвязная поверхность класса D3 , р > 2, гауссовой кривизны
К>к0>0, к0= const, с краем, подвергнута бесконечно малым MG-деформациям. Пусть при этом вдоль края поверхности первая квадратичная форма поверхности стационарна. Тогда:
а) бесконечно малая MG-деформация является тривиальной тогда и только тогда, когда а = О ;
б) если а ё 0, то бесконечно малая MG-деформация существует и единственна тогда и только тогда, когда а удовлетворяет трем условиям
о, о=и,з),
где w[,w'2,w'3 - полная система решений сопряженной однородной задачи А'.
§1. Понятие бесконечно малой MG-деформации
Пусть S: г = Tin. V) - поверхность в Е3, (u,v)eG, G - плоская область. Будем считать, что S, начиная с некоторого момента, деформируется так, что принимает определенную форму и взаимно-однозначно и непрерывно отображается на область G. Обозначим множество получаемых таким образом поверхностей St:rt= R(u,v,t), t е [ОД], причем S{] - S . Если в каждой точке («,v)eG существует разложение
- В, Ч В, пч dR(u,v,0) 2 d2R(u,v,0)
rt = R(u,v,t) = R(u,v,0) +1-----h t--—--h..., то деформацию называют анали-
dt dtz
dR{u,v,0) d2R(u,v,0)
тической, а-—-—,----—____ - полями деформации первого, второго и т. д. порядка.
Семейство аналитических деформаций, у которых равны поля деформации первого порядка, при малом />0, называется бесконечно малой деформацией.
- - _ _
Бесконечно малая деформация : г, = г +1---К... I е [ОД], где г - г (и. V) - радиус-вектор
дt
исходной поверхности, / - малый параметр, при которой выполняются условия:
Ж = а, 8п = 0,
где 8К и 8п - вариации гауссовой кривизны и единичного вектора нормали исходной поверхности соответственно, а - заданная функция, называется бесконечно малой МСИ-деформацией.
СГ _
Векторное поле бесконечно малой Мв-деформации — - 8г обозначим у. Найти беско-
8(
нечно малую Мв-деформацию, это значит найти у .
Если вектор смещений имеет вид только у = const, т. е. соответствует параллельному переносу поверхности S в пространстве, то такую бесконечно малую MG-деформацию будем называть тривиальной.
§2. Уравнение бесконечно малой МС-деформации
Пусть 5": г = г (п. V) е /Л, р. р > 2 - поверхность в Е3 гауссовой кривизны К>к0> О,
к0 =сот1, (м,у) е<7, О - плоская односвязная область. Будем предполагать, что у = у{и,у)&02р,р>1.
Рассмотрим условие 8п - О .
[^1 г,д2г] ) _й[д1г,д2г\\[д1г,д2г~\\-[д1г,д2г\-811_д1г,д2г~\\^
Sn = 8
|[«5/,<?/] |у
2
— о,
_ <~г _ Гг
где дхг = —, д2г = — . Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда числитель равен
ди 5у
нулю:
8\д,?,д2?\ I [5/,д2г] I • ЗЦд^г] |> О . (1)
Учитывая, что
|> 8^[д/,д2?]2 = ^{[дхг,д2г]2)~2-8([д/,д2г]2) =
1
д2г]2
1
■ 2[Э/,д2г] ■ ([8(8/),д2г] + [8хг, 5(д2г)]) =
\[д,?,д2?]\
запишем (1) в виде:
№\Г,д2г\Хд\У,д2г\ + [дхг,д2у\)
([«Э^,д2г] + [«9/,д2у])-1 [5/,д2г] |2 -[5/,д2г ] • ([«9/,д2г],[«Э^,52г] + [5/,д2Я)
= 0,
|[Э1Г,д2г]|
это равенство справедливо тогда и только тогда, когда
([^Я д2г] + [5/, д2у]) ■ Р1 - [<3/, д2г] • Р2 = 0 , (2)
где Р1 =| [Э1г,Э2г] |2 и Р2 =([51г,52?],[Э1>;,Э2г] + [Э1г,52х1) - скалярные величины. Умножив равенство (2) скалярно на с^г , получим (с^Я^г, 5^) = 0, а умножив (2) скалярно на 82г , получим ф]Т,д2у,д2г) = 0 , следовательно, векторы с ¡г . д2г , с, у. Э2>> компланарны, значит с, у. г, у можно разложить по векторам 8хг , <32г :
д}у = а)д1?,]=\2, (3)
где ОТ/ - некоторые скалярные функции от и,у.
Продифференцируем первое уравнение системы (3) по V, а второе по и.
\дп У = д2а\дх7 + а\дпг + д2а2д27 + а2д22г, \д21у = дха\дхг + а\дпг + д^д^г + а1д21г. Используем деривационные формулы Гаусса 5 -¿г = Гд5¡г +Ь -¿Я; ],к = 1,2 :
дпУ = д2а1д\Г + а1 (Г125/ + Т\2д27 + Й12«) + д2а1д2,: + а1 (Г225/ + ^2д 27 + Й22«Х
[д21у = дха12дх7 + а^Т^г + Т2хд2? + Ьпп) + дха1д2? + а22 (Т121дх? + Т21д2Р + Ъ21п), где Ь;к. ¡.к = 1.2 - коэффициенты второй квадратичной формы исходной поверхности. Так как д12у = д21у, то, приравняв коэффициенты полученных уравнений при с,Г , д2г , п , получим систему:
Я , „Лт-1 , „2-1-1
52«; +«11Г112 +«12Г22 = 8ха\ +«2ril +«22г21'
д2а2 + а\Т22 +а?Т22 = дга2 +а^ +а2Г2Ъ
a\b12 + cc\b22 = a\bn +а2Ь21.
(5)
J12 TU[ и22 - w2 11 u2 21'
Так как гауссова кривизна исходной поверхности S: К>к0> 0, = со«л7, то вводя на S сопряженно изометрическую систему координат, в которой bn =Ь22 фО , Ьп = 0, получим а2 = а\. Система (5) преобразуется в систему
[52«/ -дга2 =(а22 -ori)^! + а2(Г111 -Г>2), [д2а2 - дга2 = (а2 - а\ )Г22 + (Г2 - Г22).
(6)
Система (6) является системой уравнений бесконечно малых в-деформаций поверхности положительной гауссовой кривизны. Теперь, следуя В.Т. Фоменко [3, с. 87], введем обозначения:
1 о 1 X О 1 1 9
и = —(а2 V = ах , П = —(а2 +ах). Тогда ах =П-С/, а2 = П + £/. Уравнения (6) прини-
мают вид:
\дхи- d2V + 2T?2U + QT2!- Г222 )V = - ^п, 1 d2U + DlV + 2Т\и + (Г/ - Г22 )V = 5^.
(7)
Таким образом, из условия дп= О следует справедливость системы (7). Рассмотрим условие 8К = а .
Пусть g = gng22 -gl2, Ь =ЬпЬ22-Ь22 - дискриминанты первой и второй квадратичных
форм исходной поверхности соответственно, тогда К = — и
8
= <г,
отсюда следует равенство
Sb-K-Sg = gcг. Проварьируем g и b:
= -g 22 + #11 "<%22 - 2gl2 • 3
Sb = Sbn • ¿>22 + bn ■ Sb22 - 2bu ■ Sb1:
(8)
(9)
Вычислим вариации Sgjk и сЖ>;/.. ¡.к = 1,2, вьфажая их через а\ , а2, а; и коэффициенты первой и второй квадратичных форм исходной поверхности, учитывая, что 5г =у, <5й = 0 , имеем: Фи = ¿(-Э/Аг) = (^(51г),51г) +(5/^(5/)) = = 2(5^,3/) = 2(0^? + а1252г,51г) = га^ц +2«^,
12
Sgu = ё(дд2г) = д2г) + (5/, 3(д2г)) = (5^, 5/) + (5/, d2 J5) =
= (а^д/ + а12д2г,д2г) + (д1г,а12д1г +а2д2г) = alg12 + a2g22 + a2gn + a2g21
д§22 = ,д2г) = (3(д2г),д2г) + (д2г ,8(д2г)) = 2(д2у,д2г) = = 2(а2д1г + а282г,д2г) = 2 а2ёи + 2а\ё22. Таким образом, Sgjk вьфажаются следующими формулами:
=1а\ё\\ + -<%12 =«1^12 +«12Я22 +а1ё\\+а2ё2\> дg22 =2а^и +2 а^22.
Продифференцируем первое из уравнений (3) по и, а второе по V:
| диу = д^д/ + а\диг + д2а2д2г + а2д21г
2-
\922У = д2а\д\г + а12д127 + д2а1д27 + а2д22Р.
Используя полученные равенства, а также первое равенство системы (4), находим: 8Ьп = (6(дпг),п) + (8пг,дп) = (диу,п) = а\(дпг,п) + а2(д2Лг,п) = а\Ьп +а2Ьи, Я>12 = (§(д12г),п) + {д12г,§п) = (д12у,п) = а\(д12г ,й) + а2 (д22г ,й) = а{Ь12 +а2Ь22, %>22 = (3(д22г),п) + (д22г,8п) = (д22у,п) = а2(диг,п) + а2 (д22г,п) = а2Ь12 + а2Ь22,
Так как Ьп = Ь22 ф 0 , Ьи = 0 , то 8Ьп = а\Ьи, ЬЪ12 - а2Ьп, Я>22 = а2Ьи . Подставляя найденные вариации в (9), получаем
= 2я22 (о^ц + 21 ) + 28и (а18и + а2822 ) - 2^12 (а1§12 + а1ё22 + а1 ёи + а1ё21 X ЗЬ = а\Ьп -Ь22 +Ьи ■а2Ьи -2Ьи ■а2Ьи = ЬпЬп(а\ +а2).
Подставляя эти выражения в (8), находим:
10 10 0 0 ЬиЬи(а! +а2)-2^22(а^и + а^21)-2^п{а^12 +а^22) +
+ 2 ^12(а1^12 +а^22 + a¡g2l) = ga.
Перегруппировав полученное выражение, приводим его к виду:
(а} +а2)фпЬп -2К£) = ga,
отсюда имеем
1 2 аг, + =--.
1 2 к
1 2 ,
Сделаем замену П = — (а2 + ах), уравнение (11) приняло вид:
(10)
(11)
п = —
2 К
(12)
Таким образом, при бесконечно малой MG-деформации поверхности гауссовой кривизны K>k0>0, к0= const справедлива следующая система:
dp- d2V++ - г222 )V = - ^п,
д2и + ду + 2T\iU + г22 )V = д^,
а 2К
(13)
Из третьего уравнения системы (13) легко находится функция П , которая выражается через К и <т - известные и заранее заданные функции, поэтому вместо функции П мы подставим в
первые два уравнения системы (13) ее значение--. Получим систему двух уравнений с двумя
2 К
неизвестными и и V.
дхи- д2у+1г?2и + (Г2 -г22 у = з,
д2и + д,У + 2Г12,и + (Г,1, - Г122 у = -82 j.
Следуя И.Н. Векуа [1, 111], вводим в рассмотрение функцию w(z) - II + ¡V. где z = и +iv, (m,v) е С/ и сводим полученную систему уравнений в одно уравнение
где
d^w +Axw + Bxw =—di— 2 v K
Г22+2Г12) ^(Гп Г22 2Г21),
(14)
В, = ±(Г*2 -+ 2Г12) +1 (Г2 -Г22 + 2ГЪ), В, GLp2,p> 2,
d-w = — (d,w +id2w), dj — | = — z 2 1 2 \К) 2
Упростим уравнение (14). Для этого воспользуемся тем, что А1 = -4г 1 ил/^л/Х7 [1, 100]. Вве-
дг
дем в рассмотрение функцию w = w^gJK , тогда
. Подставляем w в (14) и, учитывая,
что А1 = ^тШ приводим уравнение (14) к виду
dz
dzw + B^w =
(15)
2 \К,
Таким образом, отыскание поля у сводится к нижеследующим действиям. Решив уравнение (15) мы найдем функцию й = ^^мК , отсюда найдем м, зная м, находим и = Яе^^)},
V = Тт{м>(г)}. Зная и и V, с помощью формул а\= П-С/, V = а2, а2 = П + £/, и (12) получим
1 2 2 * СС^ * СС2 •
Затем, с помощью формул (3) находим дху, д2у . Так как область О односвязна, то интегрируя соотношение с1у = д\уйи + д2ус1у, находим вектор смещения Мв-деформации у , с точностью до постоянного вектора.
Уравнение (15) будем называть комплексным уравнением бесконечно малых МС деформаций поверхностей положительной гауссовой кривизны.
§ 3. Преобразование краевого условия
Пусть на краю поверхности задано условие 51 = 0. Известно, что первая квадратичная
форма поверхности имеет вид: / = gnй2 + 2g12йv + g22v2, где й = с/и. у = сЫ. Проварьируем Г.
SI = Sgnii +2Sguw + t
Условие 51 = 0 запишем в виде:
5guu2 +25g12uv + 5g22v2 = 0 .
Воспользуемся формулами (10), формула (16) примет вид:
1 221222 2 22 (2«ign +2«! g21)u +2(«!g12 +«! g22 +«! gn + a2g21)uv + (2a1 g12 +2a2g22)v = 0 .
w =
2
22
Разделим это выражение на 2 и перегруппируем:
1 "У "У "У "> "У "У
аЛёи11 +8пт>) + а1(812и +822т> + 8ит> + 812У У + ^^п^ + ёпУ ) = Обозначим коэффициенты при г/,2. а\ через ах,а2, а3 соответственно:
а1аг + а2а2 + а2а3 - 0 (17)
В формуле (17) сделаем замену а{ = П - и, а2 = V , а2 =Т1 + и:
(П-С/^+Га^П + С/)^ = 0, и(а3 -аг) + Уа2 + П(а3 + а1) = 0, и(а3 -аг) + Уа2 = -П(а3 + аг) ,
учитывая равенство (12), получаем:
11(а3-а1)+Уа2 = -^-{а3+а1). 2К
Пусть Я~а3-а1+1а2, м> -II+ г'17 . Ам> = (а3 -га2)(и + /У) = (а3 — аг)и + /У(а3 - -/я2С/ + Уа2 . Ие^м/} = (а3 - а^и + а2У . Наше краевое условие приняло вид:
¿К
Умножим его на
^K:
Re{/tw} = -^~(а3+ щ yJgjK ¿K
(18)
Итак, Вг е L 2,р > 2; из того, что г = r(ul,u2) е D3 р,р > 2 , <reDlp,p> 2 следует, что
-—(а3 +a1)^gyÍK е СДГ), 0 < v < 1, АеСу( Г), 0 < v < 1. Очевидно, что Л поэтому (в силу 2 К
[2, 231]) можем считать, что |Л|=1. Таким образом, выполнены все условия задачи А [1, 179], следовательно, задача (15)-(18) является задачей А.
§ 4. Доказательство теоремы
Подсчитаем индекс к функции X, который является индексом задачи.
A = gnúv + g22v2-guú2 -gl2m> + i(gl2ú2 +g22úv + guúv + gnv2) = = g22^2 +iúv) + gu(-ú2 +iitv)+gl2i(ú2 +v2) =
= (v + iü) |22v + guiú +gl2i(v- iü) 7]
Введем обозначения: л, = v + iü. X2= g22v + gniú + gl2i(y-iü). Из [2, 94] известно ,что если А — • Л2, то к = Indi = IndA1 +IndA2. Подсчитаем индекс функции .
Индекс функции обладает свойством (см. напр. [2]): если \f\>\h |, то Ind(f + h) = Indf. Пусть Л3 =g22v + guiú, Л4 =g12iv + g12ú .
Сравним | Л3 \= ,j(g22v)2 +(guú)2 и \Л4\= yj(g12v)2 +(g12ú)2 . Чтобы сравнить
\=y¡(8 22 ) 2 V 2 +(gn)2 ú 2 , 1Л 1= л/( gl2)2 V ^(gl2)2 ú 2 нужно сравнить (g 22)2+(gll)2 и (gi2)2+(gi2)2=2(g12)2.
Из курса дифференциальной геометрии известно, что gng22 - (gu)2 > 0 • следовательно,
2gng22 >2(g12f. (19)
С другой стороны (g22 -gп)2 > 0, т. е. (g22)2 - 2gng22 + (£и)2 > 0, отсюда следует, что
Сg22)2+(gn)2>2gug22 (20)
Из формул (19) и (20) следует, что | Я^ |>| Я4 | и IndÁ2 =1пёЯъ.
h = + g\\iü = g-пУ + ftl^ + g22iü + g\\iü - gll^ - g22iü = = (g22 + gll)^ + (#22 + g\\)iü ~ gll^ " g22iü-
Обозначим Л5 =(g22 +gn)v + (g22 +gn)iú , Á6 =-gnv-g22iú ; | Л5 |>| Л6 |, так как
V(g 22 + gl l)2 v 2+(g 22+ gl l)2 U 2 >V(gl l)2 v 2+(g 22 )2 « 2 .
Следовательно IndA^ = Indl5.
¿5 = (g22 +g 11 + (g22 + gll= (g22 + gll)(v + iü) ■ Это означает, что IndÁ5 =Ind(g22 + gn) + Ind(v + iü) Ind(g22 + gn) = 0, так как Re(g22 + ííi i) > 0 • окончательно имеем: Ind/12 =IndA3 =IndA5 = Ind(y + iü).
Получается, что к = IndÁ = Ind\ + IndÁ2 = 2Ind(v + iü).
Так как мы имеем дело с поверхностью положительной гауссовой кривизны с краем взаимно-однозначно отображающуюся на плоскую область G, то граница области G гомеоморфна единичной окружности, поэтому, не нарушая общности, будем считать, что граница области G - единичная окружность, и = cos <р, V = sin(р, 0 < <р < 2л, следовательно н - -sin ср. v - cos(р. Используя формулу подсчета индекса из [2, 96], находим:
2ж 2ж
т -ч ~ 1 fcosfí>(-sinfí>) -(-sm<x>)cos т , If, K = IndX = 2Ind(v + iu) = 2— -—-р—-—-¡~d(p =--\d<p = - 2.
2Л J «in ffl + mc (!) Л J
2Л J sin <^ + COS <р Л
При а = 0 выполнены условия теоремы 4.5 из [1], из которой следует, что при а = 0 бес-
конечно малая MG-деформация является только тривиальной, т. е. у = const. Докажем обратное утверждение.
Пусть у = const, тогда из равенств dy = д1ydu + д2ydv и (3) следует, что д}-у = ак^дк7 = 0, j = 1,2 ,
следовательно, ак. = 0, j = 1,2, отсюда, в силу (11), получаем, что <т = 0 . Таким образом, мы доказали пункт а) теоремы.
При а ^ 0 задача (15)-(18) удовлетворяет условию теоремы 4.10 из [1], из которой следует справедливость пункта б) теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 512 с.
2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1958. 544 с.
3. Фоменко В.Т. О единственности решений проблем Кристоффеля и Минковского для овалоидов // Сб. науч. тр. по межвуз. программе «Университеты России - фундаментальные исследования». Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1998. С. 73-95.
О.Б. Кожевников, Е.С. Арапина-Арапова ИНВЕРСНЫЕ КЛИФФОРДОВЫ ПОЛУГРУППОИДЫ
Факторгруппоид произвольной полугруппы является полугруппой. В настоящей работе рассматривается весьма широкий класс полугруппоидов, на которых не выполняется аналог этого полугруппового свойства. Иными словами, частичный факторгруппоид полугруппоида не всегда является полугруппоидом. Изучаемый в работе класс является подклассом класса полугруппоидов, рассмотренного ранее в [4].
