О бесконечно малых EAG−деформациях поверхностей с краем положительной кривизны при заданном краевом условии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л Л _ fjy СЕХ/Х +Еу/у-Е2) + ZEfxy (6.1)

U\1 21 I---—

2^(1 + /, +Л>

, _ (1 + Л2 + Eyfy + 2Efyy

о22

2^Е(\ + /Х2 +//)

В частности, для метрики /,■ = ^о) коэффициенты второй квадратичной формы имеют вид:

°11 —

2^E(l + f2+fy2y

Ь12 = Ь21 =

2i]E(l + fx2 +//) -£'(1 + /у2) + 2£/уу

¿22= '

2,1т+л2 + л2)

Для метрики £ = Е(х2 + у2 + z2)-

Е'{ 1 + Л2 )(*/, + yfY " /) +

Ь12 = Ь21 =

E'fxfy <jxfx + yfy-f) + Efxy

yjE (1 + f? + f2)

EX 1 + /v2 + yfy -л + Ef

-2

£ = _i_*

22

Je (i+f2+ f2)

п.7. Внешняя кривизна поверхности ^2 в ^3

Используя найденные значения коэффициентов второй квадратичной формы поверхности ^2, посчитаем внешнюю кривизну поверхности ^2 в ^3 по формуле:

А" =

bub22 bl2 gug22 -g\2

Используя (2.1), (6.1) и обозначая: D = Exfx + Е / - /•'_. получаем:

-Г^ _ fxxfyy fxy fyy(\Jtfx^)JtfxxQJtfy^) ^fxfyfxy p. D

л = —----—- H------—-JJ + -

E2(\ + f2+f2)2 2E2(\ + f2+f2)2 4E3(\ + f2+f2)2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Fomenko V.T. ARG - deformation hypersurface with a boundary in Riemannian space. Presented at the 90th Anniversary Conference of Akitsugu Kawaguchi's Birth. Bucharest, Aug. 24-29, 1992.

В.В. Сидорякина, Н.С. Казарян

О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ^G-ДЕФОРМАЦИЯХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

С КРАЕМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПРИ ЗАДАННОМ КРАЕВОМ УСЛОВИИ

1. Постановка задачи

Пусть односвязная поверхность F2 с краем dF2 Е С1'" класса С2,а, 0<а<1 с гауссовой кривизной K>k¿>(), ko=const, в трехмерном евклидовом пространстве Еъ подвергнута бесконечно малой деформации, т.е. преобразована в поверхность F2, еб (-е0, £о), (-;„>() класса С2'", 0<а<1. Всякая величина А, заданная на поверхности F2, преобразуется в величину As рассматриваемую на поверхности F2, при этомAs=A+söA+s2ö2A+... . При бесконечно малой деформации поверхности считаем, что As=A+söA, где величина ÖA называется вариацией величины А.

Говорят [1], что поверхность F2

допускает бесконечно малую эквиареальную деформацию (ЕА-деформацию), если существует бесконечно малая деформация {F2}, е Е (-е0, е0), ео>0 поверхности F2, переводящая любые равные по площади куски поверхности F2 в равные по площади куски поверхности {Fs2}. Аналитически это означает, что

S^GP2) = с^С^2) , (1)

где S (F 2 ) - площадь куска поверхности F2, c\=const.

Постоянная с в этом соотношении выступает в качестве параметра и при cj=0 эквиареаль-ная деформация является ареальной деформацией.

Будем рассматривать эквиареальную деформацию поверхности F2 сохраняющую поточечно ее гауссов (сферический) образ поверхности. Такую деформацию называют G-деформацией поверхности F2. G - деформация характеризуется аналитическим условием: = п . где . п -

22

единичные вектора нормалей поверхностей F , fs в соответствующих точках.

Бесконечно малую EA-деформацию поверхности F2 будем называть бесконечно малой EAG-деформацией, если она является G - деформацией, то есть бесконечно малой эквиареальной гауссовой деформацией.

Бесконечно малые EAG-деформации поверхности F2 назовем тривиальными, если они совпадают с параллельным переносом поверхности F2 в пространстве Е3. В противном случае EAG-бесконечно малые деформации назовем нетривиальными. Если поверхность

F2

допускает

только тривиальные бесконечно малые EAG-деформации, то поверхность F2 будем называть жесткой в классе EAG-бесконечно малых деформаций.

Кроме того, при этом будем предполагать, что вариация длины дуги края dF2 равна нулю:

ö(ds2) = 0 на dF2. (2)

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Односвязная поверхность F2, F2 Е С2,а положительной гауссовой кривизны К>к0 > > 0, к0=сот1, с краем не допускает бесконечно малых (даже тривиальных) EAG-

деформаций при условии, что вариация длины дуги поверхности вдоль границы равна нулю.

2. Вывод уравнений EAG - бесконечно малых деформаций

Будем рассматривать в евклидовом пространстве Еъ поверхность F2, F2 Е С2,а, 0<а<1 положительной гауссовой кривизны К >к0> О, к, =amsi с краем dF2 Е С1,а. Будем считать, что поверх-

7-2

ность F2 задана уравнением:

г = г(х, у), (х, у) е D, где r(x, у) Е C2'a(D).

2 Т7 ^ 2

Пусть поверхности F преобразована в односвязную поверхность ' ЕС 'а, 0<а<1, заданную в области D уравнением:

Гъ (х, у) = г(х, у) + 8z(x, у) Е С2'\В), (л, у) е. D, (3)

где е - бесконечно малая величина; е Е (-% (-;,,). е0>0; Z Е С2,а, О < а < 1.

Векторное поле Z называют полем смещений поверхности F2 при ее бесконечно малой деформации.

Учитывая (3) равенство (1) можно записывать в виде:

где |г,х = , г = , c(ß) - заданная функция от е; с(0)=0, с'е (0) 0.

дх ^ ду

Ясно, что для бесконечно малых EAG-деформаций и только для них выполняется соотношение:

Отсюда следует, что векторное поле смещений Z удовлетворяет уравнению:

\zx,ry\ + \rx,zy'\ = cl\rx,ry\, (5)

где = с]. (О) = const. ■ Положим:

* = «1 гу + ßxry + у = + ß29y + y2ri.

Тогда из (5) следует:

<=^1 К ] -+- [Я, гу ] -+- /?2 \_гх , гу ] -+- г2 К , Я] = Cj \_гх , гу ]

Так как векторы [rx, Гу ], [n, ry ] , [r, n] линейно независимы, то отсюда следует, что ух = у^ = О , ск1 + ß2 = с,. Это означает, что имеют место формулы:

- V = ОСГх + ßPy , (6)

= угх -+- (—сг + C-J ,

где ос = ß = ßY у = «2 ~ некоторые функции класса С1'", 0 < а < 1. Зная «. ß. у . можно для односвязной поверхности F с точностью до константы восстановить векторное поле

Z . Так как Z Е С2,а, 0 <а < 1, то из соотношений (6) с учетом формулы - = - , находим:

аугх + а{Г1ггх + Г?2гу + Ъ12п) + р/у + Р(Г¡2гх + Г\гу + Ъ22п) = = Г Л + К/пГ* + фу +Ъ\\П)~ ахгу + (-а + Х/]^ + г£гу + й12й),

где Ъ.. ~ коэффициенты второй квадратичной формы поверхности //2. а / •- символы Кри-стоффеля поверхности Р1

Так как векторы Гх, Гу , И линейно независимы, то из равенства (7) находим:

«у + <*1 12 + Р1 22 =Гх+ УГ\1 + (-« + )/ 12 , Ру + + 0Г& = -«х + Гг£ + (-« + С! ) /11 , ' <8>

осЪ12+/ЗЪ22 = Ь11у + (-сс + с1)Ь12.

Известно [2], что на поверхностях С2'", 0<а<1 с К>к0>О, ки=соп.\1. существует изотермически-сопряженная параметризация (//.г), для которой Ьи=Ь22= А ^ О. ¿12=0 и потому из последнего уравнения системы (8) получим, что у = р. Тогда система (7) приводится к виду:

' Рх - «V + Ж/i'i - /'22 ) - 2«/ ,'2 = с, / /з ,

Ру+ссх+ Pi-/!?) + 1аГ& = ClT\l.

(9)

Таким образом, нахождение поле 2 сводится к решению системы (9) относительно искомых функций сс, /3 ■ Так как у = р. то по решению системы (9) можно найти правые части формул (6),

а значит, и поле .

Полагая ос = —и + с, /2 . /? = V система (9) относительно переменных и, V примет вид:

I - + + v(/\i -/£,) = О,

2 , „^2 ^2 1 = 1,

(10)

I U у + vx + 2.11 Г 2 + ~~ /~22 ) = О.

Введем в рассмотрение комплексную функцию Vl;(z) — и(х,у) + /v(x,у) , z=X+/>, zе Д систему (10) перепишем в виде [2]:

d~w + A(z)w + B(z)w — О, (11)

где

d-2w = i(wx + . = ± -4 +24 +г(Г222 +2Г/2);

5(z) = i -/£ +2/11 +'(/li -/и +2/12)^

3. Вывод краевого условия

Пусть односвязная поверхность /'2 класса С2'" с гауссовой кривизной K>ko>().f ko=const. край которой dF 6 С 'а подвергнут бесконечно малой E^G-деформацией. Будем считать, что при бесконечно малой EAG-деформации вариация длины дуги края dF2 равна нулю:

S(ds2) = 0mdF\

(12) 27

где ds2 = +2g12(x,y)dxdy + g22(x,y)dy2 , (x,y) e 3D , gp- - коэффици-

[ервой квадратичной форм Из равенства (12) имеем:

енты первой квадратичной формы поверхности F2 на dF2.

(fx Jx)x2+ [(rx,zy) + (fy, zx)]xy + (fy, zy )y2 = 0 на 3D, (13)

где 2 - поле смещений точек поверхности F при ее бесконечно малой ЕЛО - деформации. Воспользовавшись формулами (6) условие (13) принимает вид:

{rx,ocPx +/3F )х2 +[(гх,/ЗРх +(-« + с1)гу) +

+ (гу,ссгх + /ЗгуУ\ху + (гу,/Згх +(-« + c1)ry)j>2 =0 Отсюда имеем:

————9 —* —* > >

' ry Ж +W((rx , rx

на dD.

( ( ( ( t t clirx,rv)]xy + lP(r 'rx) + + c\)(rv,rv)]y = 0

x^y.-

y ■> x

УУ'

или

[gif - g22 У2 ]« + [fell + g2i)xy + gn (x2 + y2W + ci (gnXy + gaf) = 0 на dD. (14)

Формула (14) есть краевое условие относительно переменных ОС. fi заданных на границе области D.

Так как изотермически-сопряженная сеть отображает поверхность на единичный круг, то можно положить x = C0S(p, j = sinФ, 0<(р<2ж. Тогда x = -sincp, j> = cos(p и . 2 . 2 • 2 • 2

х +у = 1. При этом имеем: х -у = -cos2(p , 2ху = -sin2cp.

Положим gu + g22 = , gn " g2 2 = 2g, gn=f, тогда gn = e + g, g22 = e - g. Для коэффициентов при ОС, (3 и Ci в (14) относительно е. g. f. имеем:

gn*2 ~ gn/ = (е + g)sm2 9 - (e - g) cos2 ер = g -e cos 29,

Л Л

(gn + g22)Xy + &2(X + У ) =^ Sin29 ,

9 9

g]2x + g22У =-/ si^CQ^ + (^g)CQS ф .

Таким образом, условие (14) принимает вид:

г

^-есо$2(р\а + [/-е$т2(р](3 + с^е - g)cos2 (р ~ — $т2(р\ - 0 на дБ. Разделив обе части последнего уравнения на в, его можно записать в виде:

g т --CQS 2cp a + " / --Sin 2^ II

e e

— -1 |cos2^ + / sin 2(р

e ) 2e

на dD.

Полагая, сс = —и + с1 /2 , ¡3 = V, то последнее уравнение относительно переменных , V принимает вид:

ё ->

--соз2 ср

е

и —

Г

--хт 2 <р

е

(15)

2\ е

ё 22

Отсюда следует, что С> (/) >0 для всех / е 51) . Так как сл =соп.\1. то либо С]<з(1) < 0 , либо сха(0 > 0 .

Рассмотрим комплексную функцию

= т\(г) + ^(г) , г = Х +¡У е дБ, (16)

где

г/(г) = — со8 2 (р + г^т 1ср,

Я (17)

е е

Тогда уравнение (15) можно записать в виде:

Яе ^г)м^(г) ^ с^сгО) насД (18)

где = г/ + /' у . ХО) = 77 (г) + ¿ГО) .

Краевую задачу (11), (18) называют краевой задачей А [1].

Если полагать с1=0, то краевое условие (18) примет вид:

К с } О .

При этом будем иметь однородную краевую задачу А° к задаче А. Тогда задача А° будет описывать бесконечно малую ^46-деформацию при вариации длины дуги края дР1 равной нулю.

4. Об индексе краевой задачи А

Подсчитаем индекс комплексной функции А,(г) = Г|(г) + с,(г), 2 Е с1). Из первого равенства (17) следует, что | |= 1. Найдем | | :

е е

\е)

4А

§П§22 §12-

Так как

4А

(«"и + «Ъг)

| Г|(» | > | ^(г) | для всех г € сД

] {gu+g22)2

0 , то | ¿г (~) | <1 для всех г Е с!). Таким образом, имеем, что

Определение [1]. Индексом краевой задачи А будем называть число

е

2тг

где Х(г) — комплексная функция в области Б, определяемая равенством (16); 1 — X + /у .

Так как |лМ|>|5(2)| для всех г €= дБ, то по теореме Руше [3] функции л(г) и имеют один и тот же индекс в области Б. Поэтому для индекса п= »А(г), имеем:

/йЛ(г) = тйф) = Аю = Дж = Аю(-2<р) = -2.

¿71 ¿71 271

Итак, индекс п краевой задачи А есть отрицательное число.

5. Доказательство теоремы

Пусть поверхности Е2 с краем дЕ2 подвергнута бесконечно малой Е40-деформации и переведена в поверхность I'} . В силу условия К > кп > 0. к,)=сопх1. указанная деформация описывается системой уравнений эллиптического типа. Тогда бесконечно малые £40-деформации поверхности Е2 с краевым условием (2) описываются решением краевой задачи А.

Так как индекс п краевой задачи А отрицателен и о(/) >0, то краевая задача А не имеет никаких решений [4]. Следовательно, поверхность Е2 не допускает бесконечно малых (даже тривиальных) Е40-деформаций. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. Т. 2.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

3. Шабат Б.А. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

4. Фоменко В.Т. Исследование решений основных уравнений теории поверхности. М.: ДАН СССР, 1962. Т. 144. Вып. 2. С. 286-288.

В.Т. Фоменко О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ В В Е

Хорошо известны свойства параллельных поверхностей трехмерного евклидова пространства Е3, [1]. Цель настоящей работы обобщить понятие параллельных поверхностей на к -мерные поверхности рк в п -мерном евклидовом пространстве Еп , найти условия их существования и изучить некоторые их свойства.

п. 1. Будем считать, что поверхность рк в Еп задана векторным уравнением

г -г

\

и , и

и , и

еД

(1)

Рк

где г ес3, О-к -мерный диск арифметического пространства Ак • Будем считать, что на выбрано регулярное класса С2 поле единичных нормальных к рк векторов

I1, и2,

.к , не имеющее на рк особых точек.

1

1

к

к

и

и

П = /7