Непрерывные ARG-деформации поверхностей с краем при обобщенных втулочных связях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (2), (3) следует, что каждый полугруппоид Брандта как объект категории В*, является нулевым ограничением единственного (с точностью до обозначения нуля) объекта категории В. Если (р * - сильный гомоморфизм полугруппоида Брандта 8* в полугруппоид Брандта Т*, т.е. (р * - произвольный морфизм категории В*, то (р * является нулевым ограничением единственного ненулевого гомоморфизма (р из полугруппы Брандта 8 в полугруппу Брандта Т (как морфизма категории В). Таким образом, имеем биективный ковариантный функтор, т.е. изоморфизм, из категории В на категорию В* и теорема доказана.

С л е д с т в и е 1. Категория В полугрупп Брандта изоморфна собственной подкатегории В* категории К.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В* есть собственная подкатегория в К ,так как не любой морфизм категории К является сильным гомоморфизмом.

С л е д с т в и е 2. Категория групп есть собственная подкатегория категории К. Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждая группа, будучи полным группоидом Брандта, является объектом категории К,а всякий гомоморфизм из группы в группу есть морфизм этой категории К.

Следствие 1 показывает, что не всякое утверждение о полугруппоидах Брандта можно доказать в теории полугрупп Брандта, как, например, высказывание отображение (р: В —> {е} является гомоморфизмом (см. пример выше). Значит, полугруппоиды вообще и полугруппоиды Брандта в частности заслуживают внимания и изучения

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972.

2. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. Т. 1.

3. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

Е.А. Коломыцева

НЕПРЕРЫВНЫЕ ARG-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ ОБОБЩЕННЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЯХ

§1. Предварительные сведения

Рассмотрим в евклидовом пространстве E поверхность F 2 , заданную уравнением —* —* 2 2

Г = г(U,V), (II,V ) G I) . и деформацию Ft поверхности F , порождаемую параметром t, tG(—tQ,to), tQ>0, и заданную уравнением ft(u,V) = f(u,V) + Zf(u,V),

Zf(li,V) - векторное поле смещения точек поверхности F при её деформации, (U,V) Е D,

2

D - ограниченная область евклидовой плоскости E . Будем говорить, что поверхность

F допускает непрерывную деформацию класса С ' , 0 < V < 1, порождаемую параметром 1, если: 1) существует семейство полей смещений {Zt}, t £ (>'()) ■ 'о > 0 • непрерывно зависящих от параметра /: 2) Zq = 0; 3) для всех значений параметра t из промежутка (—ig,/()). tq > 0 , векторные поля Zt принадлежат классу

С1'у, 0<V<1.

2 2 Деформацию Ft поверхности

F 2 называют ареально-рекуррентной G -деформацией (коротко ARG -деформацией) [1], если выполняются условия: 1) приращение A(d<j) элемен-

2

та площади с!(Т поверхности /' удовлетворяет соотношению Л(с!(7) = 2НХ(2^, П )с!(7 ,

2

где Н - средняя кривизна поверхности - заданное число, называемое коэффициентом

рекуррентности, П - поле единичных векторов нормалей к поверхности г ; 2) приращение

—>■ 2 единичного вектора нормали П в каждой точке поверхности /' равно нулю: ЛП = 0.

Пусть D=D + dD ,граница dD области D принадлежит

классу

с2' Пусть, далее, 3,1/

.Р - поверхность, заданная уравнением Г = ?( II, V), (и,V) <Е И , Г (и,V) €:С ' (И).

2

Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности Г .

2 2 — ^^ 2_ з

Зададим на краю О'/' поверхности /' векторное поле 1=1 Г.. + / /' + /

/ , где z1, /z, l * - заданные функции класса С ' . Рассмотрим непрерывные ARG

2

деформации поверхности F 2 , подчиненные вдоль края условию

(zt,l) = ht,

1,v

(1)

где ht - заданная функция класса С . непрерывно зависящая от параметра t, t €Е J{) J ■ ig > 0 . Это условие назовём условием обобщенной втулочной связи.

§2. Уравнение непрерывных ARG -деформаций

2

Теорема 1. Пусть F - поверхность, удовлетворяющая условиям регулярности. Пусть, далее, поверхность F 2 подвергнута непрерывной ARG -деформации класса С ' с полем смещения Zt = Z t( U,V) . Тогда векторное уравнение непрерывных ARG -деформаций имеет вид:

l,r>'r + 1<=<у + l,r=>r =2//'J =>'» ¿1"

(2)

2

Доказательство. Площадь поверхности F определяется с помощью формулы

С = JJ| Ii Л • Площадь Ft2 : ¿т, = Л fty ^udv .

D D

По определению ARG -деформаций Л(d(7) = 2НЯ(Zt, У1 )dc . Так как d(J = | , /*у J~^.udv , d(7f = | , Tfv J~^udv, то последнее соотношение представимо в виде

(3)

По определению

ARG -деформаций П( — П = У) .Тогда

t

Jt

и' ty —

Y^t

l

Г

v _

tu ' tv J_

Подставим равенство (3) в (4), получим

l

(4)

itu'rtv J

lu,rtv^(\ + 2HÄ(zt,n))l,rv\.

v

, то есть

(5)

Так как Г,и = Ги + Ztu , rty = Гу + Zty , то ши ,

И

,rt представляется в виде

v

v

v

\[11'Г1у _Г 1/>ГуЗ~ |/„ -'г К' '"/>• Х/н

Подставим последнее равенство в (5) и получим (2). Таким образом, векторное поле смещения 1^ удовлетворяет уравнению (2).

Обратно. Пусть поле смещения 1^ удовлетворяет уравнению (2). Так как непрерывно зависит от параметра / и = 0. то при малом I €Е (—) вьфажение 2НЛ(2 ^п) мало и сумма 1 + 2НХ(Zt ,п) > 0 . Тогда из (2) следует, что Ап = 0.

Кроме того, А1 =

Al,fv^2HÄ(zt,n)l,i

n-A\l,fv\^2HÄ(zt,nh

что

I

I

I

Откуда следует,

| ,fv I то есть А\ | ,TV U= 2НЯ(Zt,n)\ | ,Гу [.

Значит, приращение элемента площади поверхности F удовлетворяет первому из условий ARG -деформации. Теорема доказана.

2

Теорема 2. Пусть F - (т + \) - связная поверхность положительной гауссовой кривизны К >kQ > 0, к^ = COnst, в евклидовом пространстве, удовлетворяющая условиям ре-

2

гулярности. Пусть, далее, поверхность F 2 подвергнута непрерывной ARG -деформации класса

п 1- 2- -

С ' , с коэффициентом рекуррентности А и полем смещения Z( = ü \"и + U. Гу + СП. Тогда координаты a1, a2 , С поля Zt удовлетворяют системе уравнений

di (4gal )-(\ + Ä)2Hjgc = -4gO,

1 9

d\C + bna + bl2a =0,

1 9

Э2с + bl2a + b22a = 0,

(6)

где g = det gy , gtj =(ri,rj), bjj =(rv,n), dt -2

частная производная по переменной

JC . Ji — 1A . X

V.

ф = (Ц\Ц22 - Г^Ха1)2 + (rl2rl2 - Г22Гх22)(а2)2 + + (gljbyg2lb2l-g2jbljg42Oc2+(r\r22-r2rl22)ala2 +

+ ГЛ2g2% -rlWJb2l-r22glJbll+r2glJb2l)alc +

(7)

+ (rAgljb2j+rl22g2Jbll-r?2g2Jb2l-r22glJbll)a2c +

2j

J1j-

Oll О О 1 л ■ i 11 О 1 О О

+ Г12а öjß + Г22а дха -g Jb2jcdla - Г12а дха - Г22а дха +

+ gljb2Jcdla2 -Г1\а1д2а1 - Г22а2д2а1 + gZjblJcd2a1 + + Fxlald2a2 + ГХ2а2д2а2 - gljbx ,сд2а2 + дха1 • д2а2 - дха2 ■ д2а

Uu, и2и, -Г 1 l2u, U2и, g 2е

Доказательство. Производные Zf и Zf

Ztv = + /^v + yn>ztv = 8ru + srv + fM.

функции Zf представим в виде

V

v

1

v

Подставим эти функции в уравнение (2) и получим

(ал- бл- а£ - рд) \ (¡л л- а[1 - уд) + (У + У£- Рц) (,гу 3= 2НЯ(гг,п) Ь ,К _.

Прировняем множители при соответствующих векторах и получим следующую систему:

г а + £ + а£ - рд = 2НЯ( г0п),

¡л + а/и - ду = 0, (8)

у л- у£ - Р/л = 0.

\(\л- а)/и-ду = 0,

Рассмотрим систему уравнений ^ относительно неизвестных у

[-МР + (\ + £)у = 0,

и /Л. Определитель матрицы коэффициентов этой системы равен Л = \ Л- а Л- £ Л- а£ — Рд. Из системы (8) следует, что А = \Л- 2НЯ(, /7) . Так как непрерывно зависит от параметра / и Гц = 0. то при малом t €Е (—,/д ) вьфажение 2 НЯ(, /7 ) мало и определитель

Ат^ 0. Согласно теореме Кронекера-Капелли, система

г(\ + а)/л-ду = 0,

имеет только

/лР + (\+£)у = 0

нулевое решение: у = /1 = 0 . Таким образом, система (8) примет вид

а + £ л- а£ - рд = 2НЯ(г(,п), /1 = 0, (9)

у = 0.

- - 1- 2- -Так как поле имеет вид = (2 Ги + (2 + 677. то

= (а1и +Гх\а1 + Г;2а2-^'Ьу/с)ги + (а2 + +

1 о —

+ л-Ь12а )п;

1 9

Таким образом, получаем, что

а = а\+ Ц\а1 + Ц\а2 - с, р = я2 + Г2 а1 + - g2^1

с,

Г = си + ¿П«1 + ¿12«2 5 = + Л г«1 + Лг«2 - ^¿гу

с,

2.. , 7—'2, 1 , 7—' ^ ^

£ = ау + 712<з + Г22а

ё2]Ь2,с, ц = су+Ъ12а1 + Ъ22а2.

'Л- V

Тогда первое уравнение системы (9) примет вид

1 , я „2 , / г-1 , г2|„1 ,/г1 , г-2 1 „2

12

а^1 + + + /ЙУ + г/]2 + - + +

+ (Г{\Г22 - Г2^2)(а\)2+(Г^ - Ш^2)Га2 )2+Г^'Ь^21Ь21 -ёУЬ1]ё1'Ь2г)с2+(Г1\г}2-Г2Г^2)а1а2 у

+Г2^Ь2!)а1с + (Г2^Ь2! + Г^2'Ь1,-Г^2'Ь2, -

- ,)а2с + Гх2а1дха1 + Г^д^1 - g2Jb2 fcдlal - Гх2а1дха2 -

ууи ОТ112и ^и -г ± 22и, ихи, и2^и1и, ~±Х2<-

2 т-2 1 у-. 2 „2-

- Г22а2дха2 + Ъ2^сдха2 - Г2ха1д2а1 - Г22а2д2а1 + g2•/ЬХ]сд2а1 +

112 12 2 1' 1 2 2 1 + Гпад2а + Г12а д2а -£}Ъх^сд2а +дха •д2а -дха •д2а -

= 2 НАс.

Учитывая формулу Фосса-Вейля Ы = Г^ , где Г^ - символы Кристоффеля поверхности /' 2 в метрике ¿^у , и вьфажение для средней кривизны 2/1/ = я""^»/?. последнее уравнение преобразуем к виду:

2 + —}= дх д/^О1 + —¡=¿2 л/я6/2 ~~ 2 Не +Ф = 2НЯс , где Ф совпадает л/Я л/Я

с (7). Умножив последнее равенство на

л^Я, приведем систему (8) к виду (6). Теорема доказана. .2

Замечание. Если на поверхности ^ 2 введена изометрически-сопряженная параметриза-

12 2 2

ция, то есть вторая квадратичная форма поверхности имеет вид II = Л(((Ъс )'

1 2

Ьхх= ¿22 = ^ • ¿12 = 0. ( X ,Х ) £ I). то уравнение для функции С имеет вид

2 Гя

+ ( \ + Х)2НЛа = Ф,

1=1

; Ф = К^с2 + ^(Гх\§12 + /]2^12 - Т]1^22 - Г2§и + я22Э: /и Л -

ё12Э21пЛ)сдхс + 4ё(Гх22ё12 + Г122ё12 -Г222ЯП -гАя22 -Я12^!/«Л +

2

+ ё 1^2 2^ ^1^2 - ^12 " ¡пЛ + /1^2 +

Л

+ (ГпГА-Г&Г^+Г^ЫЛ-Гх\д2 ¡пЛ)(д2с)2 + ^(/Ц/^2 -Л л

- ^11^22 + (Г\2 - Г22)д\ 1пЛ + (Г22- Гх\)д2 1пЛ)дхсд2С ~ ^ёёи^цС +

Гя

Гя

+ Ц-Г&^сЭ„с + Ц-(Г£ - 52 ¡пЛ)дгсд„с + ^л/яя12^ 12с +

Л

л

+ Щ-(д2¡пл-ц\ -/]21 1СЗ12^(э 1 ¡пА-г*)д2сд 12с

л л

- л/яя11^22^ ^(^П " ¡^^ 22с + 22с + Л

Л

л/?

дисд22с-

Л

гад2.

При этом функции ¿7 находятся по формуле С! — — -

3;С

Л

Лемма 1. Для функции Ф имеет место оценка С » , где Q - постоянная.

112 ,v'

зависящая от поверхности .

Доказательство. Представим функцию Ф в виде квадратичной формы

ф = ^kjmylk yJm, i,j,k,m = 0,1,2, где

д2с

дх1дх]

X1 = и , X2 = V.

(х1 ,Х2) gD . Имеем llcIL < IldL , llö.dL < ' х II НО.v II H2.V II 1 HO.v

'c n S CU >

'I0,v II 112, v

dvc

0

< С L . Пусть

II 112,v

В = max\EihA. Тогда ||ф||А < 17ß||c|L = ü\c\. . Лемма доказана. \~Щт\ II IIO.v II H2,v ^11 П2,v

§ 3. Условие обобщенной втулочной связи Дадим аналитическую запись условия обобщенной втулочной связи. Отметим, что при изотермически-сопряженной параметризации тангенциальная составляющая 1Т поля / переходит в

поле векторов /г' = на границе dl) области D в плоскости (X\х2 j.

2

Теорема 3. Пусть F - поверхность, удовлетворяющая условиям регулярности. Пусть, да-2

лее, поверхность F 2 подвергнута непрерывной ARG -деформации. Подчиним эту деформацию

2

условию обобщенной втулочной связи (1). Тогда, если на поверхности

F2

введена изотермически-сопряженная параметризация, то условие (1) можно представить в виде:

1} ^L-Al3c = -Aht на 8D. 81

(10)

дс ~

где —^ - производная по направлению / = 81

(x\x2),lt=gJJ.

/

в плоскости

Доказательство. Так как координаты векторных полей и I имеют вид:

1 9 — 1 ^ о

= а г„ + а г,+спА = / г„ +1 п, +1 п, то

(zt,l ) = alllgn+aTgl2+aAllg2l+aAlAg22 +Гс = а1(11ёп+1'ёи) +

+ a 2 (/2 g21 + /2 g22 ) + / ъс = alL+ a 2/2+ / 3c = --L- l2+ / 3c =

Л Л

1

12

.2 Л

2i2

1 /J1

= -(dlC-ll+d2C-l2) + l С, где = gy l ^ .

А

Подставим последнее равенство в (1) и получим дj С • /| + д2С • 12 — ЛI С = — Ah(.

Умножим это равенство на

дс

1

дс AV

ЛИ,

и получим

BI

rC = ~

/2+/2

где

—jj — д\С • /| + д2С • ¡2 - производная по направлению / = /2 ^

А2+ /22' yfif^i

/

/

1

2

в

/1 2 i

плоскости ( X ,Х ). Умножим последнее равенство на доказана.

^2

2 и получим (10). Теорема

§ 4. Непрерывные ARG -деформации поверхности при условии обобщенной втулочной связи Для формулировки полученного результата введем в рассмотрение правый сопровождаю-

щий трехгранник t^J] ,П края ~ поверхности /' ^ . где / - поле единичных векторов касательных к краю 3F 2, Tj - поле единичных векторов тангенциальных нормалей к краю 3F 2.

2

Теорема 4. Пусть F - (УП + \) -связная поверхность положительной гауссовой кривизны К >к0 > 0, ¡Zq = COnst, в евклидовом пространстве Е , удовлетворяющая условиям

регулярности и ориентированная так, что средняя кривизна Н > 0. Пусть, далее, поверхность 2

F 2

подвергнута непрерывной ARG -деформации с заданным коэффициентом рекуррентности

Л, Ä < . Подчиним эту деформацию условию обобщенной втулочной связи (1), где поле /

1 — 2 — I =1 Г +1 Г образует -

2

таково, что его тангенциальная составляющая

■ тупой угол с тангенци-

альной нормалью 7] края поверхности !'2. Тогда, если <0, то существует такое число

¿г >0,

зависящее от поверхности

F2

что при

h

1,v

поверхность F 2 допускает един-

ственную непрерывную ARG -деформацию класса С ' , совместимую с заданной обобщенной втулочной связью.

2

Доказательство. Так как по условию теоремы гауссова кривизна поверхности F положительна К > kq > 0, = COnst, то на поверхности можно ввести изометрически-сопряженную параметризацию [2] так же как в замечании к теореме 2. Нахождение непрерывных

2 12

ARG -деформаций поверхности

F2

с полем смещения Z^ — (2 Ги + (2 Fv + СП при условии

обобщенной втулочной связи (1), как было показано в теоремах 2 и 3, сводится к изучению разрешимости краевой задачи

±д,(^0с) + (1 + Л)2#л/*с = Ф в D,

¡¡ — М3c = h. на DD,

dl

(11)

где hf

ht = -Äht, AeClv, HeClv, ФеС1у,

Лу

I е С1'у, /3 е С1'у, еС

Будем решать краевую задачу (11) методом последовательных приближений. Построим последовательность {Сп }, П — 1,2,..., по следующему правилу.

Положим Со = 0 . Построим функцию как решение задачи

^дс) + (1 + Л)2НЛ/Яс = 0 в .

1,v

Лу

(0±да) + (1 + l)2H4gcx=0 в D,

p~Fdci ~

Jl,2+ ¡2'-С1- М3c= ~ на BD.

м 1 2 д1 1 f

Так как гауссова кривизна поверхности положительна К > к^ > 0, к^ = С()ПН1 , то (12) является краевой задачей для эллиптического уравнения [2]. В силу ориентации поверхности

Л

Л>0 и поэтому -> I). По условию теоремы А<-1 и Н>0 , поэтому для задачи (12)

имеем (\ + Л)2Нл[ё < 0. Так как тангенциальная составляющая 1Т поля / образует тупой угол с тангенциальной нормалью 7] края поверхности г , то при изотермически-сопряженнои

параметризации прообраз Ц вектора 1Т и прообраз Т]' вектора // образуют тупой угол в плос-

12 ~~"V

кости (X , X ). Следовательно, вектор 1Т образует острый угол с внешней нормалью к области

в

. Краевая задача (12) является третьей краевой задачей. По условию теоремы функция / < 0 , поэтому — Л13 > 0 . Задача (12) для любой заданной функции И} класса С '' ''. имеет единственное решение С| класса и

Построим функцию С2 как решение задачи

±дг^^д1с2) + (\ + ЩН^с2= Ф1 в В,

с

(13)

12 , ;2 2

12

д!

- А!Зс = И на дВ,

где Ф1=Ф(С1).

Задача (13) для любой заданной функции класса С' ' ^ . имеет единственное решение

с о класса С

2 у

Пусть построена функция С п_\, тогда С п находим как решение задачи

^ (^дгсп ) + (1 + Л)2^4ёс^Фп_1 в В,

с д1

(14)

-Л! 3с =к на дВ,

п I ?

где

Фп-1=Ф(сп-1).

Решение задачи (14) существует, единственно и принадлежит классу С ' . Таким образом.

построена последовательность {С } , П = 1;2,____Изучим свойства этой последовательности.

Лемма 2. Для членов последовательности {Сп } , П = 1;2,... имеют место оценки

lk.IL <а1„_ Л2. + А,

2

>п"42 у ,2

1У

где А - константа, определяемая поверхностью Г .

Доказательство. Для функции сп имеет место априорная оценка Шаудера, а именно, так

/^Лу

как коэффициенты уравнения и краевого условия задачи (14) принадлежат классу С , то спра-

ведлива оценка: ^ Л \\Фп-+

1 ,v(8D )

где постоянная P опреде-

ляется поверхностью F2 . Так как |Ф/?_| ||() ^ < || ^ ^. где Q определяется поверхно-

стью F2 , то оценка для функции Сп запишется так: \сп || 0 ^ < Р IL +

п\\2 у

|2

к

1,v

Обозначим через А наибольшую из констант Р. С). PQ , тогда последнее неравенство примет

вид \Сп\2,у -А^п-й2,у +

ht

. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть функции С для любого У1 — 1,2,... обладают свойством < S.

II 112,V

где S - некоторое число. Тогда для любого П = 1,2,... имеет место оценка

\Cn+l ~Сп\2у ^К(Ö)\\сп -Сп_х\2у, где К( 8) - положительная константа, зависящая от S, такая, что lim K(ö) = 0.

<?->■ о

Доказательство. Запишем краевую задачу для функции Сп+Х — С п . Имеем

1д. (^ (c„+i - c)) + (1 + Л)2 Hjg (c^i- cn ) = Фи - Ф^ в D,

(15)

2 , J2d(cn+i~ cn)

ei

■Kl\cn+l-cn ) = 0 на BD.

Согласно априорной оценке Шаудера, для решения задачи (15) относительно искомой функции Сп+1-Сп имеем ¡Сп+1 ~Сп\2у < М\Фп

|~Сп-\)\оу -|\Сп ~Сп-\\2у>

Известно, что с — С J < С —С J , ' || и и—1 По v — II « «_l|l2v

dj(cn~cn-1)

0,v

< c„ - c

n-1 lb,i

. Поэтому

IФп -0n-l\oy-R\Cn\2y\Cn ~Cn-l\2y +^lC»-ll2,vlC» "C»-llkv' ГДе R ОПРеДеляетСЯ поверхностью F2 . По условию леммы |б'/; ^ ^ S. поэтому

|\Фп -Фп-l||o,v ^ЩСп -Cn-llly + RS\Cn -Cn-llly =2RSh -Cn-lliy

Таким образом, получили неравенство ||cw+i — С^Ц^ ^ K(öJ^Cn — , где

K(S) = 2 RMS - положительная константа, зависящая от О , такая что lim K(SJ = 0.

о

Лемма доказана.

Лемма 4. Существует такое число О, зависящее от поверхности F2 , что если <-, где А - константа, определяемая леммой 2, то последовательность {С„ } схо-

1." 4 А

h

дится в пространстве С к функции С такой, что

2 ,v

<s.

>к

c

Доказательство. Выберем до >0 таким, чтобы выполнялись неравенства: д§ • А < —

3

и К( б>о ) < — . Это возможно, так как К( д) —>0 при

Рассмотрим оценку Цс^^^ из леммы 2 Ц^Ц^^ — р-и-!^ „ +

П — 1,2,____Так как по условию леммы 4

И

п112 у

5п

с

К

1,У

для любого

<- то указанная оценка для Сл запишется

1,у 4 А

так:

: С, \1 <А

с я \

'1\\2

У4АУ

< до. Аналогично, для С

■■ \\ciL <А

о имеем: о „

^ II ¿112,V

( я ^ я1 . до Оо +

V

4 А

Продолжая рассуяедения, получим 11С... II. < А

II " 112,V

4 А

< 5а ДЛЯ ЛЮ60Г0 П = 1,2,....

Из леммы 3 имеем неравенство — || < ХУ^^Цс^ — || где

3

К( д) —> 0 при д —> 0. Выбирая § = . получим, что К(д) < — . Отсюда, учитывая,

4

что пространство класса С , является полным, следует, что существует предел последователь-

ности {Сп }, равный С , С £ С

2у

с

2 у

< д . Лемма доказана.

Таким образом, мы доказали существование решения краевой задачи (11), исходя из на-

>к

чального приближения Сд = 0 . Покажем, что предел С не зависит от начального приближения. Имеет место

Лемма 5. Предел с последовательности {сп } не зависит от начального приближения Сд при условии, ЧТО ЦСдЦ^^ ^

Доказательство. Пусть {с'п }, {с'^ } - две последовательности, полученные описанным выше способом, {Сд}, / б'" / - их начальные приближения, такие что ЦсдЦ^^ ^

4 А

д

Не" Н„ ^ ~~— • Легко видеть, что для членов последовательностей {с'п }, {с"п } имеют место

'О Н2,

4 А

леммы 2, 3, 4. Составим краевую задачу для функции с" — с' :

«-<)) + (1 + Л)2Н^(сП-сП) = Ф11- Ф11 в Б,

п. пЗ(с:-сп;

!1 1 ! 2

д!

-А! 3(с"-с' ) = И,"-К на дБ.

V п п / г г

Составленная задача имеет решение с"п — с'п класса . Так как Цб'^Ц^ ^ ^д,

Сп\2у-3> то' Учи™вая, что " -11|0,, с'п-\\2у^ оценки

для

функций с"п -с'п запишутся так \с"п - с'„\\2 у < К(8 ^с'^ - с'п_т\2 у, где К(8)

П—1 n-l\\2v'

по-

ложительная константа, зависящая от S, lim K(S) = О . Если О достаточно мало, то можно

считать К(8 ) < 1. Отсюда получаем, что последовательности {с'п }, {с"п } имеют один и

тот же предел в . Лемма доказана.

По построению последовательность {Сп} обладает тем свойством, что ее предел, если он существует, является решением краевой задачи (11). В силу лемм 4, 5 предел последовательности

(On)

существует и единственный, если

h

<-. Поэтому, полагая G —-, убеждаем-

lv 4 А 4 А

ся в существовании и единственности решения задачи (11) в достаточно малой окрестности нуля

для

любой функции h,, удовлетворяющей неравенству

h

1,у

. Покажем, что полученное

решение непрерывно зависит от параметра /, ? £ > 'о ) ■ ¿0 > 0 Имеет место

Лемма 6. Решение краевой задачи (11), определяемое леммой 4, непрерывно зависит от параметра /, ? е >¿о )> ^о > 0

Доказательство. Возьмем два значения параметра / : / — /' и / = I ". принадлежащих промежутку (—,) . > 0 , и построим решения с' и с" краевой задачи (11), соответствующие этим параметрам. Имеем:

± дг (^дс') + (1 + Л)2Н^с' = Ф' в В,

А

de'

^¡2+ ¡1 ^К- AlЗе' = К на ÔD.

dl

(16)

О^де") + (\ + Х)2Н^е'' = Ф" в D,

I-де" ~

д/А2 + l ¡-К-Al ъе" = к на 8D.

dl

(17)

Функции И^, И" вычислены при / = /' и / = /" соответственно. Положим, что функции С и с" обладают свойством Цс'Ц^ у — 8, Цс"]^ у — 8 , где 8 - число, определяемое леммой 4.

Найдем оценку ||с" — с'Ц^ ^ . Вычтем правые и левые части соответствующих уравнений систем (16), (17). Получим краевую задачу для функции с" — с':

^д, (^д, (s- е )+(\+x)2H4g (е- е ) = ф' -Ф' в D,

д(еп-е' ) ÔÏ

-Al ъ(е"-е' ) = h"-h't на ÔD.

Справедлива оценка Ile" — cil < Р\ \\Ф" — Ф'\\ +

v II \\2,v(D) ~ Иг ^ Но,v(D)

h';-h't

. Так как

2 ,v'

то

имеет

1,1'(8D ) место неравенство

i= 1

"-4, +

112,1'

к-к

1,v

где

S -

константа, зависящая от

lim S = О . Так как по условию теоремы функция h и ее производные по длине дуги края не-¿-X)

прерывно зависят от параметра t, то

И" — h't ^ < p\t" — / '|. где р - константа, зависящая

от выбора функции . Следовательно, с" — С1 <Т Це" -с' | + У - ,где Т-

константа, зависящая от 8, ///?? Т = О. Выбирая 8 так, чтобы /<1. получим

||с" - с! < - 1'\. Так как Ь" - с'| < ||с" - сТ

11 ,,2'у 1 -г 1 .....

т

2 у - т0 выполняется неравенство

|с" — С'\ < -—— /" — / , что означает непрерывность функции С от параметра t. Лемма доказана.

Теорема 4 доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Fomenko V.T. ARG-deformations hypersurface with boundary in Riemannial space // Tensor, N.S. 1993. Vol. 54. Chigasaki, Japan.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции / под ред. О.А. Олейник и Б.В. Шабата. 2-е изд., перераб. М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 512 с.

В.М. Кривенко, Н.Н. Кривенко

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА

Введение

В последние годы в нормативных документах к ЕГЭ по математике просматривается тенденция, направленная на включение в программу ЕГЭ самых разнообразных заданий, решаемых алгебраическими методами. Отметим в связи с этим спецификацию и кодификатор к задачам группы Ce([lJ, [2¡D, в которых указывается, что выпускник должен: уметь строить и исследовать простейшие математические модели; моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи и исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры; моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем аппарата алгебры и решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин; проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения.

В настоящей работе авторами разработан алгебраический подход к отысканию решений систем простейших тригонометрических уравнений общего вида. Этот метод доступен учащимся старших классов и позволяет без труда составлять и решать задачи по указанной тематике.

1 Простейшие тригонометрические уравнения общего вида, отыскание общих решений двух уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями общего вида будем называть следующие уравнения:

SÍ1LА х = а (I), eos Вх = Р (II]. tan Сх = у ШОи cotBx = S (IV],