О жесткости поверхности, склеенной из кусков поверхностей неотрицательной гауссовой кривизны, относительно бесконечно малых AG-деформаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

кх<е/</. (5)

Аналогично, существует идемпотент €= ОС ° ¡3 ° у такой, что

(6)

Но ао^о /ед т.е а о Р о у - группоид Брандта и /?,, /?2 & ОС ° Р ° у. значит либо /?1 И2 = 0, либо /?| = /?2. Если /?| ^ /?2 • то в группоиде СС ° /3 ° у нашлись различные идемпотенты ^, ^, удовлетворяющие (5), (6) и выполняется неравенство (4), что противоречит требованию «единственности» в формулировке теоремы. Значит И^ = И^. откуда получаем

0 ^ /?| = /?| = /?| /?2 = /?| (е/ ) • ( /£")/?2 = /?| (е/^)И2, поскольку полугруппоид. Отсюда следует С^ ^ 0. Таким образом, в инверсной полугруппе = ^ {0} полурешетка

идемпотентов категорийна в нуле, а потому категорийна в нуле и полугруппа $ , т.е. полугруппоид 5 катенарен.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Арапина-Арапова Е.С. Разложение полугрупп в объединение декартовых полугрупп // 11-я Международная конференция «Полугруппы: теория и приложения» в честь профессора Е.С. Ляпина. СПб, 1999. С. 66-67.

2. Вагнер В.В. Диаграммируемые полугруппоиды и обобщенные группоиды. Известия вузов, Математика, 1967. № 10. С. 11-23.

3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп // Мир, М., 1972. Т. 1,2.

4. Кожевников О.Б. Об одной операции на классах полугруппоидов. Вестник ТГПИ, Естест. науки, 2009.

Д.А. Жуков

О ЖЕСТКОСТИ ПОВЕРХНОСТИ, СКЛЕЕННОЙ ИЗ КУСКОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ, ОТНОСИТЕЛЬНО БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ Ав-ДЕФОРМАЦИЙ

1. Формулировка результата.

Предметом исследования данной работы являются замкнутые поверхности, звездные относительно некоторой точки, лежащей внутри поверхности, склеенные из гладких кусков поверхностей неотрицательной гауссовой кривизны (каждый кусок класса С™, 171 ^ 2 ). причем гауссова

кривизна может быть равна нулю только в конечном числе изолированных точек и вдоль некоторых кривых.

Исследование ведется в трехмерном евклидовом пространстве.

Ставится задача: изучить поведение такой поверхности относительно бесконечно малых Ав-деформаций, считая, что поле деформации непрерывно на всей поверхности, а на гладких кусках поле деформации принадлежит классу С™, Ш > 2.

Рассмотрим поверхность 7 = 7 (и, V) еС",/И>2, (м^)еО.

Определение 1. Бесконечно малыми Ав-деформациями поверхности называют такие бесконечно малые деформации, которые сохраняют поточечно сферический образ поверхности

_ _ [г , Г ]

(ÖYl — 0) и элемент площади поверхности (S(dCT) = 0), где П = "i ~~ единичный век-

Iva

тор нормали к поверхности, da = у/eG-F2 dudv = |[ги , rv ]| dudv - элемент площади поверхности.

Рассмотрим бесконечно малые AG-деформации поверхности S. {Ss}'. Г£ = Г + Sy , где У - поле бесконечно малой AG-деформации, причем S = S(j.

[7 7 ] [Г , Г ] i i

Тогда ñ = ñF, d(T = d(Tp7 то есть "' v = g"' £" и \[7,7 ]| = [F ,7 ] . СлеДовательно, [ru,rv

]=к ,] • тогда

[ru,rv~\ = [(7 + еу)н,(7 + еу\] = [7и + syu,rv + eyv,] = = [ru,rv] + £([ru,yv] + [уи,гл;]) + s2[yu,yv].

Рассмотрение ведется с точностью до второго порядка по е, поэтому получаем:

[ru = [ru ,rv] + s([ru ,yv] + [уи ,rv~\),

[KJu]-[ruJv] = ° (!)

Определение 2. Уравнение (1) называется уравнением бесконечно малых AG-деформаций в векторной форме.

Определение 3. Уравнение (1) всегда допускает решения вида у = С = COVlSt. Вектор-

ное поле вида у = С = СОПН1 будем называть тривиальной бесконечно малой АС-деформацией.

Определение 4. Если поверхность не допускает иных бесконечно малых AG-деформаций, кроме тривиальных, то она называется жесткой относительно бесконечно малых AG-деформаций. Сформулируем основной результат работы.

Теорема. Пусть 2 - замкнутая поверхность, звездная относительно некоторой точки О, лежащей внутри нее, склеенная из гладких кусков поверхностей неотрицательной гауссовой кривизны (каждый из них класса С™, 177 ^ 2 ). причем гауссова кривизна может быть равна нулю

только в конечном числе изолированных точек и вдоль некоторых кривых. Тогда поверхность Л является жесткой относительно бесконечно малых AG-деформаций.

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Для поверхности 5": 7 = 7(и,У) е С™, УП > 2, е О, и поля ее беско-

нечно малой АС-деформации у £ (''", 177 > 2 справедливы формулы:

У«=<хги+0г„,

_ _ (2) Л = Гги~агу,

где (2, /?, У - некоторые скалярные функции от 2/, V. Доказательство.

Воспользуемся уравнением бесконечно малой AG-деформации в векторном виде:

Умножая это равенство скалярно на Г И Г , находим

(г,у,г) = 0, (г,у,г) = 0.

V ¡(' и/ ? V V/

Следовательно, векторы Г и Г компланарны с векторами ум и ^. Значит мы можем разложить векторы уи и у по векторам Г и Г , тогда

Л = уги+87У.

ОС, Р,у,8 - некоторые скалярные функции от 2/, V

Подставив эти выражения в [г,, Уи ] = [г , ], получим:

[г,«г + /37] = [7,у7 + дУ], <Аг?,ги~\ + Ж/,] = Лги,ги] + 8[7и,7у],

(а + д)[гиХ\ = 0.

По условию [г , Г ] ^ 0 , следовательно, 8 = — С?.

Откуда следуют формулы (2). Лемма доказана.

Лемма 2. Коэффициенты второй квадратичной формы Ь, М, N поверхности 5": 7 = 7{и.у) е С™, 111 > 2, (г/,V') £ /). связаны со скалярными функциями а,Р,у е С1 следующим соотношением:

Ьу-2Мсс-Ыр = Ъ. (3)

Доказательство.

Рассматриваемая поверхность удовлетворяет условию леммы 1, значит для нее справедливы соотношения (2). Продифференцируем первое из них по V, а второе по и:

у =а7 + а7 + /37 + /37 ,

у т у и ш г^у V г' w'

V =ГГ+ГГ-<2Г - <2Г .

УИ / и и /им и V ш

В силу условия ут = уш , имеем

а 7 + а7 + /3 7 + В7 -у 7 -у7 + а 7 +а7 =0.

V и XIV / V V ~ уу / и и / ии и V VII

Умножив полученное выражение скалярно на единичный вектор нормали П , учитывая, что (г , И) = (г , И) = 0 , получим

+ - Г(/ии,п) + а(7т,п) = 0 .

Откуда следует формула (3). Лемма доказана.

Известен следующий результат (см. напр. [3]). Лемма 3.

Если Ш - М2 >0 и Ьу - 2 Ма - N р = 0, то А = -а2 ~Ру<0. Равенство А = 0 возможно тогда и только тогда, когда ОС — /3 — у — 0.

Лемма 4. Для бесконечно малых AG-деформаций поверхности справедлива интегральная формула

[г ,п )/\аа = [^{г,

^ зз

где - гладкая поверхность с радиус-вектором Г = Г (и, V) Е С™, /77 > 2, (?/, V') €Е . -ее граница, - единичный вектор нормали к поверхности 5", у Е С™, поле беско-

нечно малой АС-дсформации. А = —ОС2 — (Зу. ОС., /?, У - некоторые скалярные функции от М, V, при этом обход дБ производится в направлении, оставляющем поверхность слева.

Доказательство:

Очевидны тождества

д __ _ __ _ ___ ___

Т~(г,уи,у) = (гу,уи,у) + (г,уиу,у) + (г,уи,уу),

ОУ

д____________

-¿-(г,уу,у) = (ги,уу,у) + (г,ут,у) + (г,уу,уи).

ди

Вычитая из первого уравнения второе и учитывая уравнение (1), получим:

д _ _ _ д___ _________

-¿-(г,уи,у)-—(г,уу,у) = 2(г,уи,уу) + (гу,уи,у)-(ги,уу,у) = оу ди

= 2<7 ,у«,Ю + (&,уи] - [Г„,УЛу) = 2<7> У«>Ю-

То есть получили следующее равенство: д _ _ _ д _ _ _ ___

Т-(г,уи,у)-—(г,уу,у) = 2(г,уи,уу). (4)

оу ди

Полагая теперь в формуле Грина

- — \dudv = \\pdu + Qdv {Кди дг) ^ *

Р = (г ,уи,у\ О = (г ^ У У) и учитьшая равенство (4), получим

= -\(г.у:.у)с1ч + (Г,у,,у)^ = - |(г.Ы// + уф,у) = - ¡(Гл1у.у) = ¡(Г.ул1у).

до до до до

Получили формулу:

2Ц(г>У«>У*Уи(Ь = \§(г,у,<1у)- (5)

В дП

Используя формулы (2), преобразуем подынтегральное выражение левой части формулы (5):

= (г, ~а2[ги,гу] + ]) = (г,(-а2-РгЖЯ]) = " Рг)(г, ги,гу).

Формула (5) примет вид:

2 Я(р> Ти' ^ = ^ (Г, у, d у). (6)

В дП

\

с/иЛ\> =

Умножим и разделим выражение, стоящее в левой части равенства (6) под знаком интеграла, на \[Ги, Г ]|:

2 Я(Г )А\[ГЯ, Г ] = , у, ау).

в дБ

Откуда следует, что

^ да

Лемма доказана.

Лемма 5. На поверхности 2, склеенной из гладких кусков поверхностей положительной гауссовой кривизны (каждый из них класса С™, /?? > 2), величина А = —ОТ — /Зу сохраняет

знак, а именно А < 0. где ОС, /?, у €= С1 на каждом гладком куске. Доказательство:

Возьмем любой из гладких кусков, составляющих поверхность X, например Л*'. Он удовлетворяет условию леммы 2, поэтому для него справедлива формула (3).

Из положительности гауссовой кривизны следует, что — М 2 > 0, поэтому Л*' удовлетворяет условию леммы 3, следовательно, А < О на Л*'.

Это означает, что на X имеем А < 0, то есть А сохраняет знак на всей поверхности 2 . Лемма доказана. 3. Доказательство теоремы.

Для простоты доказательства будем считать, что поверхность X склеена из двух кусков Л*'

и Б2, удовлетворяющих условию теоремы.

Выберем начало координат в точке О, относительно которой поверхность И является звездной. Выберем на поверхности такую ориентацию, что (г, П ) > 0 на 2 , единичный вектор

нормали П направлен вне поверхности. дБ = дБ - общая граница Л' и Л' . Теперь вычислим интеграл по поверхности X :

||(г, п)М а = ||(г, п)М а + ||(г, п)Ы ст. (7)

51

Но в силу леммы 4:

\\(Т,п)М<5 = \\1(г\у\с1у+Х

51 1 да1

\\{г,п) Аб/С =

о ^ ^

я' ^ да2

Здесь Г +,у \с/у Г ,у ,(1у - предельные значения Г, у ,с! у на и Б2 соответственно. Далее имеем:

Г + = Г на дБ1 = дБ2 в силу непрерывности поверхности X ;

У + = у на = О^'2 в силу непрерывности поля деформации у на поверхности X ;

йу + = йу вдоль в направлении , так как у = у на

д&= дБ2.

Тогда равенство (7) примет вид:

Ж1

2 ^ 2 ^

^ а?1 ^ а?1

То есть

Л(г,п)Ма = 0. (8)

В силу леммы 5 А < О на X . при К > 0 на каждом из гладких кусков поверхностей. Рассмотрим два случая.

Пусть поверхность 51 имеет К > 0, за исключением некоторой точки М, в которой К = 0.

Мы уже увидели, что когда К > 0, то А = —ОС2 — /Зу < 0 . Предположим, что в точке М

(где К=0) А = -а2 - /3у>0.

Так как А = — ОС2 — /Зу непрерывно, то А = —ОС2 — /Зу > 0 в некоторой окрестности точки М. Возьмем еще меньшую окрестность точки М, вложенную в первую окрестность, и выбросим ее. У нас осталось кольцо, в котором, по предположению А = — ОС2 — /Зу > 0, при этом в нем К > 0. Но тогда по лемме 3 А = -а ~ /Зу <0 . Получили противоречие. Значит наше

предположение, что в точке М А = —ОС2 — /Зу > 0, неверно, и А - —ОС2 — /Зу < 0 в точке М, в которой К = 0.

Рассмотрим теперь некоторую кривую (I) на поверхности 51, вдоль которой К = 0, при этом на остальной поверхности Л*' К > 0, а значит А < 0. Итак, вдоль кривой гауссова кривизна равна нулю. Предположим, что в некоторой точке М{) этой кривой А > 0.

В силу непрерывности А = —ОС2 — /Зу. получаем, что в некоторой окрестности точки М0 А>0 . В этой окрестности всегда можно выбрать точку М^, не лежащую на кривой (/). Всегда можно указать такую окрестность точки М1, что она будет целиком лежать в окрестности точки М0, и при этом не будет содержать точек кривой (/). Но во всех точках, не лежащих на кривой, К > 0, а следовательно, там имеем А < 0 . Получается, что с одной стороны, в окрестности точки М1 А > 0, а с другой стороны А<0 . Получили противоречие. Значит наше предположение, о том, что в некоторой точке кривой (/) А > 0, неверно и, в силу произвольности выбора точки М0, в каждой точке кривой (/), вдоль которой К = 0, имеем А<0.

Итак, А < 0 и в случае, когда К = 0 в изолированных точках поверхности 5 , и когда К = 0 вдоль некоторой кривой на поверхности Л*', следовательно А < 0 на всей поверхности Л*'. Аналогично доказывается, что А < 0 на поверхности 5 .

Таким образом, А < О иа 2, то есть А сохраняет знак на X . При этом выполнено соотношение (8), (г, П ) > 0 на X, в силу выбора ориентации, с!(7 > 0 - элемент площади X . Эти условия выполняются одновременно только при А = 0 на X .

Следовательно, А = 0 на каждом из гладких кусков (на Л*' и 5 2).

Рассмотрим Л*'. В силу леммы 3 А = О тогда и только тогда, когда ОС — [5 = у = 0.

Тогда на 51 имеют место равенства:

Уи=аг1+рг1 = 0, _ -

. у = С, = const,

— —1 —1 л 1

где Г1 - радиус-вектор поверхности S1.

Следовательно, поверхность S1 является жесткой относительно бесконечно малых AG-деформаций.

Аналогично доказывается жесткость поверхности S2 .

Из непрерывности поля деформации у => у = С, = ( '2 = ООШ1 на всей поверхности

X . Это означает, что вся поверхность X является жесткой относительно бесконечно малых АС-деформаций.

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. С. 378-384.

2. Мокрищев К. К. Введение в теорию бесконечно малых изгибаний поверхностей. Ростов-н/Д., 1961. С. 14-17.

3. Розендорн Э. Р. Теория поверхностей. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. С. 238-266.

Е.А. Коломыцева

О КОРРЕКТНЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЯХ ПРИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ARG-ДЕФОРМАЦИЯХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ RR

П.1. Пусть R3 - трёхмерное риманово пространство с координатами уа (ОС = 1,2,3)

'aßdyadyß ,ГДе aaß

и метрикой ds2 = aaßdyadyß , где ,, Е С *4 ' , 0 < V < 1, F2 - (¡11 + 1) -связная поверх-

ность с краем, заданная уравнениями уа — Л"', X2 , ОС — 1,2,3, Л"', X2 £ I). где

/а X ,Х - функции класса . Пусть, далее, граница дВ области Б принадлежит

классу С2'1 , 0 < V < 1. Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности. Будем считать, что внешняя кривизна поверхности положительна К > к0 > 0 , к0 = С()ПН1. Рассмотрим бесконечно малую деформацию . 1'{) — /' . поверхности

, определяемую

л,а ,а . „_а а

уравнениями у — у + £2 , где 2 - векторное поле смещения точек поверхности г при

1 „ а а . _а

ее деформации, £ - малый параметр. Представим поле смещения в виде суммы 2 — 2 т + 2п .