Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при внешней связи Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Гретцер, Г. Общая теория решеток / Г. Гретцер. - М.: Мир, 1982.

3. Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп / А. Клиффорд, Г. Престон. - М.: Мир, 1972. - Т. 1.

4. Ляпин, Е. С. Частичные алгебраические действия / Е. С. Ляпин, А. Е. Евсеев. - СПб., 1991.

5. Кожевников, О. Б. Об одной операции на классах полугруппоидов // Вестник ТГПИ. Физико-математические и естественные науки. - 2009. - № 1.

6. АрапинаАрапова, Е. С. О катерных инверсных полугруппоидах // Вестник ТГПИ. Физико-математические и естественные науки. - 2010. - № 1. - С. 3-5.

УДК 514.75/.77 ББК 22.151

Е. А. Коломыцева

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ARG-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ВНЕШНЕЙ СВЯЗИ

Аннотация. Автор доказывает существование счетного множества коэффициентов рекуррентности ARG -деформаций поверхностей положительной внешней кривизны с краем в рима-новом пространстве при условии, что вдоль края поверхность подчинена обобщенной втулочной связи, для которой существуют нетривиальные ARG -деформации поверхностей.

Ключевые слова: риманово пространство, поверхность, внешняя кривизна, обобщенная втулочная связь, ARG -деформация.

E. A. Kolomytseva

INFINITESIMAL ARG -DEFORMATIONS OF THE SURFACES WITH THE EXTERIOR RELATION

Abstract. Author proved the existence of the denumerable set of the coefficients of the recurrent of ARG -deformations of the surfaces of the positive exterior curvature with boundary in a Riemannian space provided that the surface is subjected to the generalized hub relation along boundary for which the nontrivial ARG -deformations of the surface exist.

Key words: Riemannian space, surface, exterior curvature, generalized hub relation, ARG -deformation.

§ 1. Предварительные сведения и формулировка результата )3

Пусть R - трёхмерное риманово пространство с координатами (у" ) и метрикой

'apdyadyp, где aaf}

ds2 = aaBdyadyp, где а в e С4,у (Q), 0 < v < 1.

Рассмотрим поверхность F^ в R^ , заданную уравнениями

уа =уа(х\х2), (x\x2)gD,

где у" - функции класса С '"(D), 0<к<1, D - некоторая замкнутая область евклидовой

плоскости Е^. Пусть, далее, граница 3D области D принадлежит классу С2'К, 0 < V < 1. Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности F2 в R3 .

Поверхность F2 является (т +1) -связной и имеет положительную внешнюю кривизну

К > к0 > 0, к0 = const.

Z72

Подвергнем поверхность г бесконечно малой деформации

F2 : уае (х\х2) = Уа (х\х2) + £Za (х\х2), (x\x2)eD

где 2 - векторное поле смещения точек поверхности при деформации, £ - малый параметр,

ее(-е0,е0), £0>0.

Бесконечно малую деформацию поверхности F2 называют бесконечно малой аре-

ально -рекуррентно и G -деформацией с коэффициентом рекуррентности Я (коротко бесконечно малои ARG -деформацией) [1], если выполняются условия:

1) вариация Ö( do' ) элемента площади d(J поверхности ¡'~ удовлетворяет соотношению

S{d&) = 2HX{aaßzanß)do-, (i)

где H - средняя кривизна поверхности F\ Я - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности, У1а - поле единичных векторов нормалей к поверхности ¡'~:

2) деформация поверхности г является бесконечно малой G -деформацией, то есть для любой точки поверхности F её единичный вектор нормали п" , параллельно перенесенный в R? в смысле Леви-Чивита в направлении вектора z" в соответствующую точку поверхности F^, совпадает с вектором нормали Vi" к F^ в этой точке.

Будем говорить, что поверхность F2 является Я-жёсткой в отношении бесконечно малых ARG -деформаций, если для заданного коэффициента рекуррентности Я поверхность допускает только тождественные бесконечно малые ARG -деформации, в противном случае поверхность будем называть Я -нежёсткой.

Зададим вдоль края 8F2 поверхности г векторное поле Г, aaßlalß Пусть по-

[ 2

верхность г при бесконечно малой ARG -деформации подчинена вдоль края условию

fl

где h - заданная функция класса С'"' (dl)), 0 < V < 1.

Определение 1. Условие (2) назовём условием обобщенной втулочной связи. Определение 2. Если h = О , то обобщенная втулочная связь (2) называется твёрдой. Указанная обобщенная втулочная связь имеет вид

aaßzalß= 0. (3)

Для формулировки полученных результатов введем в рассмотрение правый сопровождающий репер {ta ,Т}а ,Па} края 8F2 поверхности F2 в римановом пространстве R^ , где /" -

поле единичных векторов касательных к краю ÖF2. t] - поле единичных векторов тангенциальных нормалей к краю 3F 2. П " - поле единичных векторов нормалей к краю ÖF 2. Теорема 1.

Пусть F2 - (/77 + 1) - связная поверхность положительной внешней кривизны К >к0 > 0, к{) = COnst, в римановом пространстве R? , удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что её средняя кривизна Н > 0. Пусть, далее, поверхность ¡'~ подвергнута бесконечно малой ARG -деформации с коэффициентом рекуррентности Я, где

Я > — 1. Подчиним поверхность F при указанной деформации условию твердой обобщенной

aaßzalß=h, (2)

втулочной связи (3), где поле 1° таково, что (2ар1аТ]^ < 0, (2ар1аП'В < 0 и касательная со/а та .а ставляющая 1Т поля I сопряжена с направлением I края поверхности. Тогда существует

точно счетное множество {Яг }г=1 значений Л, -1 < Я1 < Я2 <... < Яг <..., Л1 —> оо при I —^ 00, таких, что

1) при А = Л1 поверхность ¡'~ является Af -нежесткой в отношении бесконечно малых ARG -деформаций с коэффициентом рекуррентности Д. при заданной твердой обобщенной втулочной связи; для каждого значения Ai поверхность ¡'~ допускает конечное число линейно

независимых векторных полей смещений класса С(1)) , 0 < V < 1, определяющих бесконечно малые ARG -деформации с коэффициентом рекуррентности Л ;

2) при Л Ф А■, А > — 1, поверхность ¡'~ является А -жесткой в отношении бесконечно

малых ARG -деформаций с коэффициентом рекуррентности А при заданной твердой обобщенной втулочной связи.

§ 2. Вывод уравнения бесконечно малых ARG -деформаций Выведем уравнения, описывающие бесконечно малые ARG -деформации рассматриваемой поверхности. Представим поле бесконечно малой ARG -деформации в виде

дус

Z = а У +СП , где уп —--. Тогда условие (1) примет вид

дх'

ö(dcj) = 2HAcd<7. (4)

Известно [1], что нахождение бесконечно малых ARG -деформаций с коэффициентом рекуррентности А для рассматриваемой поверхности сводится к решению следующего уравнения относительно искомой функции С в области D :

dj (y[gbiJdic) + (1 + A)2Hy[gc = О,

где g — det gjj . Ь '' = Ьу I , д i - частная производная по переменной х'. При этом функции Ü' находятся по формуле й' = —Ь 4д -С .

Пусть на поверхности F введена изотермически-сопряженная параметризация, то есть вторая квадратичная форма поверхности F имеет вид // = А((й&С1)2 + (dx1 )2 ). где

1

нахо-

ь =Ь22=А, Ьи=0, (х\х2)еО , при этом Ьп =Ь22 = —, Ьп =0. Тогда

Л

ждение бесконечно малых ARG -деформаций поверхности с коэффициентом рекуррентности А сводится к решению следующего уравнения в области Б :

¿а г (&д1с) + (1 + л)2н^с = 0.

При этом функции а' находятся по формуле о' =---—.

Л

§ 3. Вывод условия обобщенной втулочной связи

Дадим аналитическую запись условия обобщенной втулочной связи в римановом простран-

г) 3 та та 1 ^ , а I I?1 ,.а 1а Р а

стве 1\ . Для этого представим поле I в виде / — I +/ П , где /. — I }',. - каса-

1а та 1 а /1 /2 /3

тельная составляющая поля I , / = / VI - нормальная составляющая поля / .1.1 . I -

заданные функции класса С' ' (с!)), 0 < V < 1. Пусть на поверхности введена изотермически-

сопряженная параметризация. Тогда касательная составляющая I" поля /" отображается в поле

векторов / ={/1?/2} на плоскости („X"' ,-Х"2 ). Считаем, что поле имеет вид

ОС 2 ОС (X

2 = а у п +СП . Справедлива следующая

Лемма 1.

Пусть F - (ifl +1) -связная поверхность положительной внешней кривизны

К >к() > 0, к{) = COVlSt, в римановом пространстве R , удовлетворяющая условиям регу-

[ 2

лярности. Пусть, далее, поверхность г подвергнута бесконечно малой

ARG -деформации с

коэффициентом рекуррентности Л . Подчиним поверхность F2 при указанной деформации условию обобщенной втулочной связи (3). Тогда это условие можно представить в виде:

-Г) С

l2+l27 — -Al3c = 0rndD. 1 2 dl

(5)

дс

где — - производная функции С по направлению / = dl

> в плоскости

(.x\x2),lt=gJJ.

__(Л I (Л оС

Доказательство. Так как векторное поле смещения 2 имеют вид 2 = О +677 , а

ja та ii , а . /3 а

поле I имеет вид / = / . +/ VI

то

а

aß

+ а„

zalß =aaß{dy^+cna){F у f]+fnß) = aaßy^ y^dF + ,ßyßnacF + aaßy^nßa1l3 + aaßnanßcl3 =gl]a1lJ +cl3 =

аЧ + cl2

dxc

А

+ с/3 = ' h + ' h) +

где

l = g lJ.

I Oll

Подставим последнее равенство в (3) и получим

ЪХС ■ 1Х + д2С • /2 - AI3С = 0.

(6)

Умножим (6) на

1

до

А13с

Jl^l

и получим равенство

"2

дс

где — - производная функции С по направлению / 81

я ^ /, /

= 0.

(x1, x2).

Умножим

до

последнее равенство на

Jtf^i

> в плоскости

l2 2

получим условие

/j + /2--AI С = 0, что совпадает с (5).

dl

Лемма 1 доказана.

§ 4. Доказательство теоремы 1

Так как по условию теоремы внешняя кривизна поверхности F положительна К >к0 > 0, к(} = COnst, то на поверхности можно ввести изотермически-сопряженную параметризацию. Тогда нахождение бесконечно малых ARG -деформаций поверхности г с коэффициентом рекуррентности Л при условии обобщенной втулочной связи (3), как было показано в §2 и §3, сводится к изучению разрешимости краевой задачи

l

l

1

2

1

(^ад + о + ден^^ 0 в б,

Ф2+ ¡1 — -1 3Лс = 0 на дБ, д!

где у[^еС2'у(Б), АеС1'У(Б), НеС1'у(Б). 1еС1у(дБ),13 е С1'" (дБ), О < к < 1.

(7)

д/!'+!22 е Си'(дБ),

Рассмотрим задачу

¿а г (^агс) = ц в б,

¡=1

!2 + !2 --!3Лс = 0 надБ,

12 а!

(8)

где Ц - известная функция.

Так как внешняя кривизна поверхности положительна К > к0 > 0, к{) = С()ПЫ1, то задача (8) является краевой задачей для эллиптического уравнения. В силу ориентации поверхности

Я

> 0. Из условия и.^,!'* Г] ^ < 0 следует, что касательная составляющая I" = Г у" поля

Л

I" образует тупой угол с тангенциальной нормалью 1] края поверхности /' . Так как каса-

7 а та 772

тельная составляющая I поля I сопряжена с направлением I края поверхности г , то при

изотермически-сопряженной параметризации прообраз / вектора I" сонаправлен с внешней нормалью области Б в плоскости (X1, X2) . Задача (8) является второй краевой задачей. Из условия С1ар1а¥1^ < 0 следует, что координата /3 < 0. Следовательно, — /3 А > 0. В силу сказанного, задача (8) для любой функции Ц класса СУ(Б) имеет единственное решение класса С 2 ' {I) ) . О < V <1. которое можно представить в виде:

2

с(х1 ,х2) = - fF(x1 ,х2,р\р2)д(р1 ,р2)с1р

в

инте-

(9)

где Р - функция Грина краевой задачи (8), (д-1, X2 ) е Б .

Подставим в последнюю формулу функцию ^ = —(1 + Д)2Н-^^С, получим гральное уравнение относительно функции с( X1, X 2 )

с( х1, х 2) = 2(1 + Я) (х1, х2, р1, р2) Н ( р1, р2)л1^(р\р2)с( Р1, р 2)Ф.

п>

Изучим разрешимость уравнения (9). Задача (8) является самосопряженной. Для самосопряженной задачи функция Грина является симметричной, а значит Р(X1,X2,р1,р2) является симметричной функцией. Ядро уравнения (9) не симметрично, но оно симметризуемо. В самом

деле, умножим обе части уравнения (9) на д/н (X1, X 2 )^[§(X1, X2^) = д/Г(X1, X2)

Г(X1,X2) > 0 , и введем новую искомую функцию С(X1,X2) = д/г(X1,X2)с(X1,X2). То гда уравнение (9) приводится к линейному интегральному уравнению вида

где

с(хг,х2) = р^К(х1 ,х2 ,р2)с(р1 ,р2)(}р , (10)

в

' 1212 / 12 12 1212 где К{х ,Х ,р ,р ) = д/г(х ,Х )г(р ,р )F(x ,Х ,р ,р ) - симметричное ядро,

р = 2(1 + Л).

Симметричное и не равное тождественно нулю ядро имеет по крайней мере одно собственное значение. По условию теоремы X > — 1, поэтому все собственные значения р> 0.

Занумеруем собственные значения р ¡: (к = 1,2,...) уравнения (10) так, чтобы их номера возрастали по мере увеличения соответствующих значений рк, то есть

0 <рх <р2 <... < рк <... . Убедимся, что для уравнения (10) существует точно счетное множество собственных значений.

Так как собственные значения р — рк (к = 1,2,...) уравнения (10) положительны, то

ядро К(X1, X2, р1, р2 ) будет положительно определено.

12 1 2\

Покажем, что ядро К (X , X , р , р ) является замкнутым, то есть, что уравнение

|.&Г(х1,Х2,р1,р2)У"(р1,р2)<ф> = 0 , где /(х\х2) - искомая функция, имеет только

в

нулевое решение У(X1,X2 ) = 0.

Пусть /(х1, X2 ) - решение уравнения А/ = 0, где

А/=\К{х\х2,р\р2Жр\р2)с1р.

в

Обозначим

х( X1, х 2)= ]> (X1, х2, р1, р 2у г (р1, р 2)/(р1, р 2)ф, (X1, х 2)е В (11)

в

Умножим (11) на л/Г(X1, X2 ) и получим

г (X1, X "Х*1, X 2)= {КУ, X2, р1, р 2)/(р1, р 2)ф.

В

Следовательно, функция И;(х' , X2 ) = 0 .

С другой стороны, в силу (11) функция Х'^1, X 2) удовлетворяет краевой задаче

±д,(^дх) = -^~г/ в в,

¡2+12 —-I 3Лх = 0 на эв.

1 2 81

2 /я

Так как функция х(х1,х2) = 0, то —ЭгХ) = 0, а

значит

¿=1

Л

^(х1 ,Х2 )/(х1,X2 ) = 0 . Отсюда следует, что функция /(х', X2 ) = 0.

1 2 1 2\ Итак, доказано, что ядро К (X , X , р , р ) замкнуто.

Докажем, что замкнутое ядро имеет бесконечно много собственных значений. Действительно, допустим, что интегральное уравнение (10) имеет конечное число собственных значений

, р2,• • •, Р, им отвечают собственные функции 6'|, 6'2,..., 6\;. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство, элементами которого являются заданные в области В функции класса

Cl'v (D), 0 < V < 1. Введем в нем скалярное произведение (м, v) — JvAlídfl. Будем обо-

D

значать построенное таким образом гильбертово пространство через Н (Б). Тогда в нем найдётся функция С Ф О такая, что 6'|, 6'2.6\., С линейно независимы. Можно считать, что С ортогональна всем ,..., С^. Из того, что (С,С;) = 0 следует, что Ас =0 , а тогда в силу

замкнутости ядра имеем С = 0 и получаем противоречие. Тем самым доказано, что замкнутое ядро имеет бесконечно много собственных значений. Следовательно, система собственных функций ядра бесконечна. Таким образом, установлено, что существует счетное множество 1 собственных значений р/: уравнения (10) таких, что 0 < рх < р2 < ... < рк < ... , р^ —> се при к —> оо. Для каждого значения р¡: существует конечное число линейно независимых соб-

(X

ственных функций. Восстановление поля деформации Z по известной функции С проводится всегда и однозначно с помощью методов описанных в §2.

Если р Ф рк. то, интегральное уравнение (10) имеет только нулевое решение, следовательно, краевая задача (9) имеет только нулевое решение. Теорема 1 доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Fomenko, V.T. ARG -deformations of a hypersurface with a boundary in a Riemannian space // Tensor, N. S. -1993. - Vol. 54.

УДК 514.75/.77 ББК 22.151

М. М. Лучинский

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ БЛЯШКЕ

Аннотация. В данной работе рассматривается обобщение известной интегральной формулы Бляшке.

Ключевые слова: бесконечно малые изгибания, изгибающее поле, поле вращений, жесткость овалоида.

M. M. Luchinskij

ON A GENERALIZATION OF AN INTEGRAL FORMULA BLASCHKE

Abstract. In this paper we study the generalization of the well-known integral formula Blaschke.

Key words: infinitesimal bendings, make any bending of the field, the field rotations, rigidity ova-

loida.

В. Бляшке была получена следующая формула:

2 Яв (*• Уи> %)dudv = фг % у, dy), (1)

с помощью которой доказана жесткость овалоидов. Эта формула является некоторой модификацией формулы Грина, однако удобная для применения в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей.

В работе [1] Л. С. Ильина выводит интегральную формулу для изометричных поверхностей евклидова пространства, являющуюся обобщением формулы Герглотца, содержащая произвольное векторное поле т. Показано, что путем подходящего выбора поля т из нее могут быть единообразно получены формулы Герглотца, Гротемейера, а так же новые интегральные формулы. В работе [1] отмечено, что в ту же схему укладывается вывод известной формулы Бляшке, однако полного вывода формулы Бляшке в [1] не приводится. Также мы обнаружили некоторые неточности приведенного вывода в работе [1]. Нами получена новая интегральная формула, которая является обобщением формулы Бляшке (1).

Пусть, как в [1], a, b, c, а, в, у - произвольные функции переменных u, v, заданные в некоторой односвязной области D. Рассмотрим интеграл