О корректных втулочных связях при бесконечно малых -деформациях поверхностей в римановом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, А < О на 2, то есть А сохраняет знак на 2 . При этом выполнено соотношение (8), (г, П ) > 0 на X, в силу выбора ориентации, с!(7 > 0 - элемент площади X . Эти условия выполняются одновременно только при А = 0 на X .

Следовательно, А = 0 на каждом из гладких кусков (на Л*' и Б2).

Рассмотрим Л*'. В силу леммы 3 А = О тогда и только тогда, когда ОС — [5 = у = 0.

Тогда на $1 имеют место равенства:

Уи=аг1+рг1 = 0, _ -

. у = С, = const,

— —1 —1 л 1

где Г1 - радиус-вектор поверхности S1.

Следовательно, поверхность S1 является жесткой относительно бесконечно малых AG-деформаций.

Аналогично доказывается жесткость поверхности S2 .

Из непрерывности поля деформации у => у = С, = ( '2 = СОШ1 на всей поверхности

2 . Это означает, что вся поверхность X является жесткой относительно бесконечно малых АС-деформаций.

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. С. 378-384.

2. Мокрищев К. К. Введение в теорию бесконечно малых изгибаний поверхностей. Ростов-н/Д., 1961. С. 14-17.

3. Розендорн Э. Р. Теория поверхностей. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. С. 238-266.

Е.А. Коломыцева

О КОРРЕКТНЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЯХ ПРИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ARG-ДЕФОРМАЦИЯХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ RR

П.1. Пусть R3 - трёхмерное риманово пространство с координатами у" (ОС = 1,2,3)

'aßdyadyß ,ГДе aaß

и метрикой ds2 = aaßdyadyß , где ,, Е С *4 ' , 0 < V < 1, F2 - (¡11 + 1) -связная поверх-

ность с краем, заданная уравнениями уа — Л"', X2 , ОС — 1,2,3. Л-1, Л-2 £ I). где

/а X ,Х - функции класса . Пусть, далее, граница дВ области Б принадлежит

классу С2,1 , 0 < V < 1. Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности. Будем считать, что внешняя кривизна поверхности положительна К > к0 > 0 , к0 = С()ПН1. Рассмотрим бесконечно малую деформацию . 1'{) — /' . поверхности

, определяемую

л,а ,а . „_а а

уравнениями у — у + £2 , где 2 - векторное поле смещения точек поверхности г при

1 „ а а . _а

ее деформации, £ - малый параметр. Представим поле смещения в виде суммы 2 — 2 т + 2п .

Л л, а ли®

где = (л у\1 - тангенциальная составляющая поля Г . 2п = СП - нормальная состав-

_а а „ 772

ляющая поля Г . /7 - поле единичных векторов нормалей к поверхности г ,

1,2.

1 дх1

Бесконечно малую деформацию {F2} поверхности F2 называют ARG ^(формацией [1], если выполняются условия: 1) вариация öidcf) элемента площади cid поверхности F 2 удовлетворяет соотношению

8 {da) = 2A,Hcd<j,

где А - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности, H - средняя кривизна поверхности F 2 ; 2) для любой точки поверхности F 2 её единичный вектор нормали Па , параллельно перенесенный в В? в смысле Леви-Чивита в направлении вектора z" в соответст-

Z7 2 а Z7 2

вующую точку поверхности гs , совпадает с вектором нормали И:. к в этой точке.

Внешней связью поверхности при её ARG -деформации называют условие, при котором поле смещения Z на некотором множестве Сj точек поверхности F 2 обладает наперед заданными свойствами. Обычно, в качестве множества G выбирают край поверхности F 2 , то есть G = dF2, а в качестве внешней связи соотношение вида:

R za =h на dF2, (i)

где R Za - заданный линейный оператор,

h - заданная функция.

При И = О внешнюю связь называют однородной.

Внешняя связь называется корректной [2], если для любой функции h существует единст-

(X

венное поле смещения Z , удовлетворяющее условию (1), при этом малому изменению функции

И соответствует малое изменение поля z".

Внешняя связь называется некорректной [2], если при h* О поверхность допускает бесконечно малые деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h , а при /2 = 0 поверхность допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых деформаций.

Зададим на краю dF2 поверхности F2 отличное от нуля векторное поле

та та . та 1=1+1, (2)

т п ' v '

ia ii a ja la

где iT — I - тангенциальная составляющая поля / , l — L Yl - нормальная составляющая поля - заданные функции класса С 'v, 0 < V < 1. Будем рассматривать бесконечно малые ARG -деформации поверхности F2 , подчиненной на краю dF2 условию

aaßzalß=h, (3)

где И - заданная функция класса С '1"1'. 0 < V < 1. Это условие назовём условием обобщенной втулочной связи.

Для формулировки результата введем в рассмотрение правый сопровождающий трехгранник Френе края дР2 поверхности /' 2. где Iй - поле единичных векторов

касательных к краю ÖF2. Tj '1 - поле единичных векторов тангенциальных нормалей к краю

8F2 , П - поле единичных векторов нормалей к краю 8F2.

Имеет место следующая

Теорема. Пусть (т +1) -связная поверхность F2 положительной внешней кривизны К > к() > 0 . к{) = COVlSt , в римановом пространстве удовлетворяет условиям регулярности, ориентирована так, что средняя кривизна н> о, и подвергнута бесконечно малой ARG -деформации с заданным коэффициентом рекуррентности Л, Л < —1. Пусть, далее, поверхность F 2 подчинена на краю 3F2 условию обобщенной втулочной связи (3), где поле Г = Г у " +V У1 таково, что его тангенциальная составляющая I" = Г у " образует тупой угол с тангенциальной нормалью Tja края поверхности /' 2 , координата /3 < 0. Тогда эта связь является корректной в классе С'\ 0<v<l , в отношении бесконечно малых ARG -деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности Л, Л < — 1. Причем поле смещения l" принадлежит классу С *'Л . О < V < 1, а его нормальная составляющая С принадлежит классу C2'v , 0 < V < 1.

П.2. Выведем уравнение, описывающее бесконечно малые ARG -деформации поверхности F 2 положительной внешней кривизны К > kQ > 0, к{] = COHSt. Здесь и далее в этой работе будем считать, что на поверхности введена изотермически-сопряженная параметризация, то есть вторая квадратичная форма поверхности имеет вид II = \((б/х )' . Имеет

место следующая

Лемма 1. Пусть

(т +1) -связная поверхность F2 положительной внешней кривизны К > к0 > 0 , к{) = COVlSt, в римановом пространстве R^, удовлетворяющая условиям регулярности, подвергнута бесконечно малой

ARG -деформации с заданным коэффициентом рекуррентности Л и с полем смещения z" = ü'y" +CYla . Тогда уравнение для функции С в координатной форме имеет вид:

2

(Jgd1c) + Q+WHy[gc = о.

2-1 Л

df

При этом функции а , находятся по формуле О =--.

А

Доказательство. Известно из [1], что уравнение для функции с, возникающее при ARG -деформации поверхности F2 с коэффициентом рекуррентности А, при условии К >кп>0.

kr, = COHSt, имеет вид: дк {4gblkdf) + (1 + Я)2Я Vgc = о, где g = det

о

- матрица, обратная к матрице ||b | коэффициентов второй квадра-

§у= аарУп У'у ■

я

тичной формы поверхности, (7. С =--. Координаты С1 находятся из выражения

дх1

а' =-Ь'1 с ¡с.

Так как на поверхности введена изотермически-сопряженная параметризация, то есть II = А(й&С1 + йбс2), то Ьп =Ь22 =Л, Ьп = 0, при этом ЬП =Ь22 Ь12 = 0, где

(х1,*2) е 1). Тогда уравнение для функции С , описывающее А1{(} -деформацию поверхности F " с коэффициентом рекуррентности А, в этих координатах примет вид: 2 —

^ д1 (—— д1С) + (\ + Л)2Н^е = 0 , (X1, X2)е Б, где С - искомая функция.

Л

При этом функции Ü находятся по формуле Ü —

дгс А

■. Лемма доказана.

П.3. Дадим аналитическую запись условия обобщенной втулочной связи. Отметим, что при

Г

изотермически-сопряженнои параметризации тангенциальная составляющая lf поля / переходит в поле векторов 1т = {llJ2} на границе 8D области D в плоскости (X , X ). Имеет место

Лемма 2. Пусть на краю dFl поверхности F2 задано векторное поле (2). Пусть, далее,

поверхность F2 при бесконечно малой ARG -деформации подчинена вдоль края 8F2 условию обобщенной втулочной связи (3). Тогда это условие можно представить в виде:

дс

Jl; +1;-- A/V = -Ah на ÖD.

V 1 2 dl

(4)

дс

где - - производная по направлению / —

dl

к

■\J + V 1\ + ^2

в плоскости (x ,X ),

l. = gJJ.

1 Oll

Доказательство. Так как координаты векторного поля смещения 2 имеют вид:

„а г ,, а . а /а /а /г' , а . 13„а

г = а у^ +СП , а координаты / имеют вид: / = / у^ +1 П , то

аар2а1р = асф(а1у" +спа)(!'у,?- +13п/>) = = аару" у,Р а'Г + асфУ/} пасГ + а^ праЧ3 + аарпапрс1ъ =

= g ci'lJ + с/3 = а% +cl3 =

д^с

и

А ) \ А у Подставим последнее равенство в (3) и получим

73

с/3 = —— (SjC-Zj +d2c-l2) + cl3,

дхс • /j + <Э2с • /2 - Ас/ = —Ah.

(5)

Умножим (5) на

Зс -

где — = д1С--

1

öc AI3 с

Ah

I

и получим---. —--.

2 91 V^F

-I- Я с — - производная по направлению

2

12

VA' + Ii + Ii

и получим

д1 1 2

плоскости (X1, X2). Умножим последнее равенство на -\J 12 + I \1 /,2 + /2--А/3С = —Л/2, что совпадает с (4). Лемма доказана.

v э/

П.4. Нахождение бесконечно малых ARG -деформаций поверхности F2 с полем смеще-

сс i Ct Ci

ния Z = Cl y\i +CFI при условии обобщенной втулочной связи (3), как было показано в леммах 1 и 2, сводится к изучению разрешимости краевой задачи

2 г;

X 5, агс) + (1 + = О в £>, (6)

^Л2 +11—- А13с - к на ао

V 1 2 я; '

81

При этом функции £/ находятся по формуле О —--.

Л

Так как внешняя кривизна поверхности положительна К > к0 > 0, к{) = С()ПН1, то дифференциальное уравнение задачи (6) является эллиптическим. В силу ориентации поверхности

Л

А > 0 и поэтому -> 0 . По условию теоремы коэффициент рекуррентности Л < — 1 и

Л

Н > О, поэтому для уравнения задачи (6) имеем (1 + Л )2 Н < О . Так как тангенциальная

та та - „ „ „а

составляющая I поля / образует тупой угол с тангенциальной нормалью 7/ края поверхности

, то при изотермически-сопряженной параметризации прообраз / вектора / и прообраз

71 вектора 7]" образуют тупой угол в плоскости (х', X1). Следовательно, вектор I образует острый угол с внешней нормалью к области Б

. Поэтому краевая задача (6) является третьей краевой задачей. По условию теоремы функция Г<0 , поэтому имеем -Л/ > о . В силу сказанного, задача (6) для любой заданной функции И класса С ' , 0 < V < 1, имеет единственное решение С класса С~л'. О < V <1. Это решение можно представить в виде

,Л'2 ) = ^ Р(х1 ,Х2 ,у1 ,у2л)И(у1 ,у2л)б1 у(Т, где /' - функция Грина рассматриваемой

дО

задачи. При этом справедлива оценка:

С < Р

И

(7)

с'-^ао)

где Р - С(>т1.

ос

По известной функции С однозначно восстанавливается поле смещения 2 , совместимое с заданной обобщенной втулочной связью поверхности вдоль края дИ1 . При этом поле смещения 2а является полем класса С '' '', 0 < V < 1, в области I) , причем его нормальная составляющая СПа принадлежит классу С.~Л<. О < V < 1.

Покажем, что при сделанных предположениях данная связь является корректной. Для этого

необходимо убедиться, что малому изменению величины И в классе С ' , 0 < V < 1, соответствует малое изменение поля смещения 2а в классе С ' , 0 < V < 1. Запишем задачу (6) в операторном виде:

гЬс = 0 в п

ВС = Н на ЭД

где Ь = Xд, ) + (1 + Л)2Н^, Я = ^^А - ^3 .

¿-1 А VI

(8)

Пусть имеем два значения величины И : Н = , И = И2. Обозначив решение задачи (8) при И = через Сх, а при И = /?2 через С2 , получим

= 0 в д Г/х2 = 0 вД

^ = /2 на ал. [5С2 = /?2 на ал.

Тогда, вычитая из первой полученной задачи вторую, находим: \Ь(сх -с2) = 0 в ^

B(cl-c2) = hl-h2 на ал.

В силу оценки (7), для задачи (9) имеем ||Cj — ^Ic^fm ~ ^ll^l ~~ 11с1

(9)

Далее, имеем z" - Z2 = (d\ - d\)y" + (üf - ü2)y2 + (q - С2)п

2|lc2'v(Z)) 1П 2\\cl'v{dD) •

22к

= ~ 51сгК - т(а2С1 - d2Ci)ya2 + (ci - С2К =

Л Л

= —— Э,(с - С2 )_)л" - — (с, - С2)у2 + (а - С2)па , где z" - векторное поле,

Л Л

соответствующее решению задачи (8) при И = h¿.

-c2)||cu45)<|K-c2||c In И 1

Так как \\dfa - C2)\cU,0) < ¡C, - C2\\^v0), \\d2(Cl - C2)\c,v0) < \\c, - С2\\с^ф).

то

2Пс^ф) - A"Ci С211с2-(5) + л11с1 C2||C^(5) + IIC1 c2||С^фу

Следовательно,

а а Zl 2

С^ф)~ Д I'1 "2||с2-(15) _ А " "2 «С1-" (3D)-

Таким образом, малому изменению величины соответствует малое изменение поля смещения Za в классе С ' , 0 < V < 1. Следовательно, обобщенная втулочная связь (3) является корректной в классе С'v, 0 < V < 1, в отношении бесконечно малых ARG -деформаций с коэффициентом рекуррентности Л, Л < — 1. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Fomenko V.T. ARG -deformations hypersurface with boundary in Riemannial space. Tensor, N.S. vol. 54 (1993). Chigasaki, Japan.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции/ под ред. О.А. Олейник и Б.В. Шабата.2-е изд., пе-рераб. М.: Наука / гл. ред. Физмат. Лит., 1988. 512с. ISBN 5-02-013747-2.

В.Т. Фоменко ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Вычислительная геометрия как раздел математики сформировался в последние четыре десятилетия благодаря бурному развитию электронной вычислительной техники. Термин "вычислительная геометрия", ставший в настоящее время общепринятым, ввел в 1971 г. английский математик А.Р. Форрест, который определил вычислительную геометрию как представление в ЭВМ, анализ и синтез информации о геометрическом образе [1]. Основными геометрическими образами в вычислительной геометрии являются кривые и поверхности на плоскости и в пространстве. До последнего времени проектирование кривых и поверхностей для нужд промышленности, как правило, осуществлялось графическим способом с помощью различных приемов, разработанных в начерта-