Существование обобщенных втулочных связей, совместимых с arg-деформациями поверхностей в римановом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Е. А. Коломыцева

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЕЙ, СОВМЕСТИМЫХ С АЯС-ДЕФОРМАЦИЯМИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Аннотация. Даются достаточные условия существования счетного множества обобщенных втулочных связей, совместимых с нетривиальными ARG -деформациями поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римано-вом пространстве при заданном коэффициенте рекуррентности.

Ключевые слова: риманово пространство, поверхность, внешняя кривизна, обобщенная втулочная связь, ARG -деформация.

Abstract. The sufficient conditions of the existence of the denumerable set of the generalized hub relations compatible with the nontrivial ARG -deformations of the surfaces of positive curvature with boundary in a Riemannian space with the preassigned coefficient of the recurrent are given.

Keywords: Riemannian space, surface, exterior curvature, generalized hub relation, ARG -deformation.

1. Предварительные сведения

Пусть R3 - трехмерное риманово пространство с координатами ya (а = 1,2,3) и метрикой ds2 = aapdyady^, где aape C4,v, 0 <v<1, F2 -

(m + 1) -связная поверхность с краем, заданная уравнениями ya = fa | x1, x2 j, a = 1,2,3, | x1, x2 je D, где f a| x1, x2 j - функции класса C3,v (D). Пусть далее граница dD области D принадлежит классу C2,v , 0 <v< 1. Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности. Будем считать, что внешняя кривизна поверхности положительна K > ko > 0, ko = const. Рассмотрим бесконечно малую деформацию |Fe2 J (Fo2 = F2) поверхности F2 , опре-

a a a a

деляемую уравнениями ye = y + ez , где z - векторное поле смещения то-

2

чек поверхности F при ее деформации; e - малый параметр. Представим по-

a a a a i a

ле смещения в виде суммы z = zT + zn , где zT = a y,i - тангенциальная со-

a a a a a

ставляющая поля z ; zn = cn - нормальная составляющая поля z ; n -

^ a

поле единичных векторов нормалей к поверхности F2 , y,a = —-, i = 1,2 .

dxl

Бесконечно малую деформацию {Fe2} поверхности F2 называют ARG -деформацией [1], если выполняются условия:

1) вариация 8(d а) элемента площади d а поверхности F удовлетворяет соотношению 8(dа) = 2HXcdа, где H - средняя кривизна поверхности

F 2 ; X - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности;

2) для любой точки поверхности Е2 ее единичный вектор нормали га, параллельно перенесенный в Л3 в смысле Леви-Чивита в направлении вектора га в соответствующую точку поверхности Еє2 , совпадает с вектором нормали пєа к Еє2 в этой точке.

Зададим на краю ЭЕ2 поверхности Е2 отличное от нуля векторное поле

і а=/та+¡а, (1)

?а її а ?а ;а ?3 а

где іт = і у,ї - тангенциальная составляющая поля і ; іп = і п - нормальная составляющая поля іа; і1, і2, і3 - заданные функции класса С1’у,

0 < V < 1. Будем рассматривать бесконечно малые ЛЯО -деформации поверхности Е2 , подчиненной на краю ЭЕ2 условию

а

aaßz г = h, (2)

где h - заданная функция класса C1,v, 0 <v< 1. Это условие назовем условием обобщенной втулочной связи.

Обобщенная втулочная связь называется корректной [2], если для любой функции h существует единственное поле смещения za, удовлетворяющее условию (2), при этом малому изменению функции h (в смысле некоторой нормы) соответствует малое изменение поля za .

Обобщенная втулочная связь называется некорректной [2], если при h Ф 0 поверхность допускает бесконечно малые деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h , а при h = 0 поверхность допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых деформаций.

2. Вывод уравнения бесконечно малых ARG -деформаций

Выведем уравнение, описывающее бесконечно малые ARG -деформации поверхности F положительной внешней кривизны K > ко > 0, ко = const. Здесь и далее в этой работе будем считать, что на поверхности введена изотермически-сопряженная параметризация, т.е. вторая квадратичная фор дующая

2

мма 1. Пусть (т +1) -связная поверхность F положительн

)3

12 2 2

ная форма поверхности имеет вид II = А((ёх ) + (ёх ) ). Имеет место сле-

2

Лемма 1. Пусть (т +1) -связная поверхность Г положительной

внешней кривизны K > к0 > 0, к) = const, в римановом пространстве R“ удовлетворяющая условиям регулярности, подвергнута бесконечно малой ARG -деформации с заданным коэффициентом рекуррентности X и с полем

смещения zа = aly,f +cna. Тогда уравнение для функции с в координатной форме имеет вид

Л:

/=1

2д, ^д;С + (1 + Х)2Я^с = 0.

J

Э c

При этом функции а1 находятся по формуле а1 = —— .

Л

Доказательство. Известно [1], что уравнение для функции с, возни-

2

кающее при ARG -деформации поверхности F с коэффициентом рекуррентности X , при условии K > ko > 0, ko = const, имеет вид

д k (Jgbik de) + (1 + X)2 Hjgc = 0,

где g = det||gy||, gj = aapy,a y,^-, bij - матрица, обратная к матрице Ць^-Ц

2 dc

коэффициентов второй квадратичной формы поверхности F , Эгс = —т. Ко-

дх1

ординаты а1 находятся из выражения а1 = -blJ djC . Так как на поверхности 2

F введена изотермически-сопряженная параметризация, т.е.

11 =

Л^х1)2 + (dx2)2),

то bii = byy = Л, Ъуу = 0, при этом Ъ11 = Ъ22 = —, b12 = 0, где (х1, х2) є D . Л

Тогда уравнение для функции с , описывающее ARG -деформацию поверхности F2 с коэффициентом рекуррентности X, в этих координатах примет вид

2 ( g }

2 Э,- ^эгс + (1 + X)2Hjgc = 0, (х1, х2) є Я,

1=1

V J

где с - искомая функция.

Э с

При этом функции а1 находятся по формуле а1 = —— . Лемма доказана.

Л

3. Вывод условия обобщенной втулочной связи

Дадим аналитическую запись условия обобщенной втулочной связи. Отметим, что при изотермически-сопряженной параметризации тангенциальная составляющая /“ поля lа переходит в поле векторов /т = {lj,¿2} на гра-

1 2

нице ЭВ области D в плоскости (x , x ). Имеет место

Лемма 2. Пусть на краю ЭF2 поверхности F2 задано векторное поле

2

(1). Пусть, далее, поверхность F при бесконечно малой ARG -деформации

подчинена вдоль края ЭF2 условию обобщенной втулочной связи (2). Тогда это условие можно представить в виде

ф? + ¿2 Э/-Л/3с = —ЛН наЭВ , (3)

где Э- - производная по направлению 16

l =

^ +122 VІ12 +122 ,

= {І1, l2>

в плоскости (х1, х2), Ц = .

Доказательство. Так как координаты векторного поля смещения га

а г а . а ,а ?а 4 а . ;3 а

имеют вид г = а у,г- +сп , а координаты I имеют вид I = I у,г- +1 п , то

аа/г= аа/(а'У“ +спаХ^У,(/ +1 ^) = аа/У,“ У+

+аар у,у пае1-1 + аа/у,а п^аЧ3 + аа/пап/с13 = gy■аilJ + с13 =

= аЧг + с13 = ^-Э^ ^ ^ ~~~12 ^ + с13 = -^(Э1с • 11 + Э 2с • 12) + с13.

Подставим последнее равенство в (2) и получим

Э1с • 11 + Э2с • 12 - Лс13 = -Лй . (4)

Умножим (4) на , 1 и получим V1? + 12

3

Эс Л1 с = Лй

Э1 у/! +122 ’

Эс ~ ~ ~ ~

где — = Э1с -11 + Э2с • 12 - производная по направлению I = {11,12} в плоскости

Э1

1 2 1~~2 2"

(х , х ). Умножим последнее равенство на уІ1 +12 и получим

Эс Э1

V2 2 Эс 3

І1 +1'2-Л1 с = -ЛИ, что совпадает с (3). Лемма доказана.

4. Корректные обобщенные втулочные связи при бесконечно малых ARG -деформациях поверхностей

Для формулировки результатов введем в рассмотрение правый сопровождающий трехгранник Френе {ta, ца, п а> края ЭF2 поверхности F2, где

j а ^ 7—>2 а

t - поле единичных векторов касательных к краю Эр ; ц - поле единичных векторов тангенциальных нормалей к краю ЭР2 , па - поле единичных

векторов нормалей к краю ЭР2 .

В этом пункте будем рассматривать бесконечно малые ARG -

рмации поверхн ной втулочной связи

деформации поверхности F2, подчиненной на краю ЭР2 условию обобщен-

«aß^alP =И , (5)

где поле l = l y,j +l n таково, что его тангенциальная составляющая

ja ii а г ~ a

Ч = l У,1 образует тупой угол с тангенциальной нормалью ц края поверх-

2 3

ности F , координата l < 0 .

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть (m + 1) -связная поверхность F2 положительной

3

внешней кривизны K > ko > 0, ko = const, в римановом пространстве R удовлетворяет условиям регулярности, ориентирована так, что средняя кривизна H > 0 , и подвергнута бесконечно малой ARG -деформации с заданным коэффициентом рекуррентности X, X<—1. Пусть далее поверхность

F2 подчинена на краю dF2 условию обобщенной втулочной связи (5). Тогда

эта связь является корректной в классе C1,v, 0 <v< 1, в отношении бесконечно малых ARG -деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности X, X<—1. Причем поле смещения za принадлежит классу C1,v,

0 <v< 1, а его нормальная составляющая cna принадлежит классу C2,v ,

0<v<1.

Доказательство. Нахождение бесконечно малых ARG -деформаций поверхности F2 с полем смещения za = aly,a +cna при условии обобщенной втулочной связи (5), как было показано в леммах 1 и 2, сводится к изучению разрешимости краевой задачи

2 ( g }

^ di ——dic + (1 + X)2Hyfgc = 0 в D,

i=1

Л

v /

dc

(6)

Jl2 + lf -c — Л1 3c = h на dD, dl

где h = —Ah; Jg e C2’v, AeC1’v , H e C1>v , l e C1>v, l3 e C1>v , 0 <v<1.

При этом функции a находятся по формуле a‘ = —.

A

Так как внешняя кривизна поверхности положительна K > ko > 0, ko = const, то уравнение задачи (6) является эллиптическим. В силу ориента-

Jg

ции поверхности А> 0, поэтому ——> 0. По условию теоремы X < —1 и

А

H > 0 , поэтому для уравнения задачи (6) имеем (1 + X)2H^/g < 0 . Так как

тангенциальная составляющая 1“ поля la образует тупой угол с тангенци-

a 2

альной нормалью ^ края поверхности F , то при изотермически-

сопряженной параметризации прообраз lT вектора l,1 и прообраз ^ вектора

a 12

^ образуют тупой угол в плоскости (х , х ). Следовательно, вектор l, образует острый угол с внешней нормалью к области D . Поэтому краевая задача (6) является третьей краевой задачей. По условию теоремы функция

33

l < 0, поэтому —Al > 0 . В силу сказанного задача (6) для любой заданной 18

функции И класса С1’у, 0 <у< 1, имеет единственное решение с класса С2’у , 0 <у < 1. Это решение можно представить в виде

с(x1,x2) = j F(x1,x2,y1,y2)h(y1,y2)d

dD

где F - функция Грина рассматриваемой задачи. При этом справедлива оценка

\\С\\с2,v (D) - ^||h|lc1,v(9D), (7)

где P = const.

По известной функции с однозначно восстанавливается поле смещения za, совместимое с заданной обобщенной втулочной связью поверхности F2 вдоль края 9F2 . При этом поле смещения za является полем класса C1,v, 0 <v< 1, в области D, причем его нормальная составляющая cna принадлежит классу C2,v , 0 <v < 1.

Покажем, что при сделанных предположениях данная связь является корректной. Для этого необходимо убедиться, что малому изменению величины h в классе C1,v, 0 <v< 1, соответствует малое изменение поля смещения za в классе C1, v, 0 <v< 1.

Запишем задачу (6) в операторном виде:

Lc = 0 в D,

- (8) Bc = h на D,

2 ( g ^ I------- i

где L = 2i ^ + (1 + X)2^Vg, B = ^2 +122 --Al3.

A

i=1

V /

Ы

Пусть имеем два значения величины Ъ : Ъ = Ні, Ъ = . Обозначив ре-

шение задачи (8) при Ъ = Ъ через с, а при Ъ = Ъ2 через с2 , получим

ГЬсі = 0 в Б, ГЬс2 = 0 в Б,

[Всі = Ъ[ на Б, [Вс2 = Ъ2 на Б.

Тогда, вычитая из первой полученной задачи вторую, находим

ГДС - С2) = 0 в Б,

[В(сі - С2) = Ъ - Ъ2 на Б.

В силу оценки (7) для задачи (9) имеем

||С1 - С2І\с2,у(в) - Р\\Ъ1 -Н2ІІС1^(дБ).

Далее имеем

- га = («і- «2) уа + (°2 - аЪ уа + (сі- с2)п а =

(9)

= —7Э1(С1 -С2)у\ ^Э2(С1 -С2)У2 +(с -С2)«а’

л л

где га - векторное поле, соответствующее решению задачи (8) при И = И . Так как

||Э1(С1 - С2)С1’У (5) -|1С1 - С21С 2,у (5)’ 11Э2(С1 - С2)1с1’у (5) - 11С1 - С21С 2,у (5)’

то

С1-v(D) -Л С ”^1C2’V(D) + ЛlCl “C2-v(D) +lIC1 “C2C2-v(D) •

ß —Zß 1 2 Следовательно,

a a z1 - z2

2 + Л м и P . . и 1 1 и

---------llc1 - c2|C2,v (D) -Л (2 + Л)11 h1 - h2|Cl,'

C1,V(D) Л 11 C2-V(D) V|1 1 "2||C‘,V(dD) '

Таким образом, малому изменению величины h соответствует малое изменение поля смещения za в классе C1,v, 0 <v< 1. Следовательно, обобщенная втулочная связь (5) является корректной в классе C1,v, 0 <v< 1, в отношении бесконечно малых ARG -деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности X, X<—1. Теорема доказана.

Замечание. Если коэффициент рекуррентности ARG -деформации

X = —l и обобщенная втулочная связь (5) такова, что l < 0 , то эта связь является корректной в классе C1,v, 0 <v< 1, в отношении ARG -деформации с коэффициентом рекуррентности X = —l.

5. Распределение некорректных обобщенных втулочных связей поверхностей при бесконечно малых ARG -деформациях поверхностей

Исследуем корректность обобщенной втулочной связи aßyzßl^ = h , ос-

3

вободившись от требований, налагаемых на функцию l в теореме 1. Для изучения этого вопроса исследуем поведение поверхности при обобщенных втулках, которые выбираются из некоторого семейства обобщенных втулок.

С этой целью рассмотрим заданное вдоль края dF2 поверхности F2 векторное поле 1(1) = lly,a+lo«a, где тангенциальная составляющая la = lly,a сопряжена с направлением ta края поверхности F2 и образует тупой угол с тангенциальной нормалью ^a края поверхности F2 , координата lg > 0 ,

l1,l2,l03 е C1,v, 0 <v< l.

Введем в рассмотрение семейство векторных полей l(«) = lly,a +^Iq«a, где ц - числовой параметр. Каждое поле этого семейства порождает обобщенную втулочную связь

aaßza^) = h . (10)

Поведение поверхности, подчиненной таким обобщенным втулочным связям, дается следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть (т +1) -связная поверхность F2 положительной

3

внешней кривизны K > kQ > 0, £0 = const, в римановом пространстве R удовлетворяет условиям регулярности, ориентирована так, что ее средняя кривизна H > 0 , и подвергнута бесконечно малой ARG -деформации с заданным коэффициентом рекуррентности X, где X<—1. Пусть далее поверхность F2 подчинена на краю dF2 условию обобщенной втулочной связи (10). Тогда существует точно счетное множество {¡Lik }^_1 значений ц,

0 <ii <12 - — -ik - • • •, ik ^ при k таких, что при заданном i:

а) ik, поверхность F2 допускает единственную бесконечно малую ARG -деформацию с заданным коэффициентом рекуррентности X, где X < —1, при условии обобщенной втулочной связи (10);

б) i_ ik, обобщенная втулочная связь является некорректной в классе

C1,v, 0 <v< 1, в отношении бесконечно малых ARG -деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности X , где X <—1.

Доказательство. Нахождение бесконечно малых ARG -деформаций

поверхности F2 с полем смещения zа _ aiy,<a +cna при условии обобщенной втулочной связи (10), как было показано в леммах 1 и 2, сводится к изучению разрешимости краевой задачи

I -,

,=1

Л

Л

-,с

(1 + Х)2H^fgc = 0 в D,

Ф? + ¡2 -^ - МЛ/3с = h на 3D,

(11)

где Ъ = -ЛЪ, ф^ є С 2,у, ЛєС1,у, Н є С1,у , І є С1^, ¡0 є С1^ , 0 <у<1.

д с

При этом функции а1 находятся по формуле а1 = —— .

Л

Перепишем задачу (11) в виде

I -

, =1

Л

Л

-с

-,с

+ (1 + Х)2Hфgc = 0 в D,

-v/li2 + ¡2 -С = h * на 3D, У 1 2 -

(12)

где h = h + ^l0Ac .

Так как внешняя кривизна поверхности положительна K > ^ > 0, ¿0 = const, то уравнение задачи (12) является эллиптическим. В силу ориен-

Jg

тации поверхности A>0, поэтому ——> 0. По условию теоремы Х<—1 и

A

Н > 0, поэтому для уравнения задачи (12) имеем (1 + Л)2<0 . Так как

.а

тангенциальная составляющая сопряжена с направлением ^ края поверхности Р2 и образует тупой угол с тангенциальной нормалью ^а края поверх-

^2

ности Р ’ то при изотермически-сопряженной параметризации направление

прообраза /т вектора ^ совпадает с направлением внешней нормали к об-

1 2

ласти 5 в плоскости (х , х ). Поэтому задача (12) является задачей Неймана.

*

Для задачи (12), считая функцию И известной, выполняется теорема существования и единственности, так как X <-1.

Решение задачи (12) можем представить в виде

с(х1,х2) = | Р(х1,х2,ф(а),^(а))И*(а)йа, (13)

д5

где Р - функция Грина задачи (12); йа - элемент длины дуги дБ,

1 2 “ 1 2 (х ,х ) е 5, х =ф(5), х = ^(5); 5 е [51,S2] - уравнение границы дБ .

Сведем краевую задачу (12) к интегральному уравнению на контуре д5. С этой целью преобразуем формулу (13), подставив в нее явный вид

*

функции И . Имеем

С(х1,х2)-ц | Р(х1,х2,ф(а),^(а))х(а)С(а)йа = ^(х1,х2), (14)

д5

12 — 1 2 Г 12 ~

где (х , х ) е 5, g(х , х ) = I Р(х , х ,ф(а),^(а))И(а)йа - известная функ-

д5

ция в 5, С(а) = С(ф(а),у(а)), х(а) = /о(а)Л(а).

Функцию Грина на контуре д5 запишем в виде

Р(5, а) = Р(ф(5),^(5),ф(а),у(а)).

Тогда, переходя в уравнении (14) на контур д5, получим интегральное уравнение относительно искомой функции С(ф(5),^(5)) = с(5) :

С(5) -ц I К(5,а)С(а)йа = g(5), (15)

д5

где К(5, а) = Р(5, а)%(а), g(5) - известная функция на д5 .

Изучим разрешимость уравнения (15). Задача (12) является самосопряженной. Известно, что для самосопряженной задачи функция Грина является симметричной, а значит, Р(5, а) является симметричной функцией. Ядро уравнения (15) несимметрично, но оно симметризуемо. В самом деле, умножим обе части уравнения (15) на ^/%(5), где %(5) > 0, и введем новую искомую функцию С(5) = д/х(5)С(5). Тогда уравнение (15) приводится к линейному интегральному уравнению вида

С(5) -ц | К(5, а)С(а)йа = g(5), (16)

д5

где К(5, а) = у/%(5)х(а)Р(5, а) - симметричное ядро, g(5) = Л/Х(5)£(5).

Известно, что симметричное и не равное тождественно нулю ядро имеет по крайней мере одно собственное значение. Так как заданная функция /^ является положительной, то при ц<0 задача (11) имеет единственное решение в силу теоремы 1 в классе С1,у, 0 <у < 1. Поэтому собственные значения Цк (к = 1,2,...) уравнения (16) будут положительны.

Занумеруем собственные значения Цк (к = 1,2,...) уравнения (16) так, чтобы их номера возрастали по мере увеличения соответствующих значений Цк , т.е. 0 <Ц1 <Ц2 - — - Цк - — Убедимся, что для уравнения (16) существует точно счетное множество собственных значений.

Так как собственные значения Ц = Цк (к = 1,2,...) уравнения (16) положительны, то ядро К(5, а) будет положительно определено.

Покажем, что ядро К (5, а) полное, т.е. I К (5, а) / (а)й а = 0, где / (5) -

д5

искомая функция, имеет только нулевое решение.

Пусть /(5) - решение уравнения Л/ = 0 , где Л/ = I К(5, а)/(а)йа .

д5

Обозначим

г(х1,х2) = I Р(х1,х2,ф(а),\|/(а))7х(а)/(а)йа, (17)

дБ

где (х1, х2) є Б .

1 2

Тогда г(х , х ) есть решение задачи

2 ( Гё

^ ду ——дуС + (1 + Х)2НЛ/ё"с = 0 в Б,

1=1

Л

V /

■дс

(18)

л/і? + ¡2 -С = лШ/(*) на дБ.

Перейдем в уравнении (17) на контур д5 . Получим

г(5) = I Р(5,а)д/х(а)/(а)йа. (19)

д5

Умножим (19) на Л/%( 5) . Имеем

л/х05)г(5) = I Р(5, а)7х(5)х(а)/(а)йа. (20)

д5

Так как в наших обозначениях К(5, а) = Л(/х(5)х(а)Р(5, а), где К(5, а) -ядро уравнения (16), то формулу (20) можно записать в виде

л/хСФ(s) = J K(s, a) f (a)dа. (21)

dD

Но функция / (5) есть решение уравнения Л/ = 0, т.е.

| К(5, а)/(а)ёа = 0. Тогда из (21) следует, что -7%(5)г(5) = 0, поэтому

дБ

1 2

г(5) = 0 на границе дБ . Но тогда г(х , х ) в области Б находится как решение задачи Дирихле

2 ( g ^

2 di —dС + (1 + ^)2Hjgz = 0 в D,

i=1 V Л z = 0 на dD,

(22)

Так как (1 + Х)2Н Jg <0 и ^Л^ > 0, то задача (22) имеет единственное

12 12 _ dz

решение z(x ,x ) = 0, (x ,x )e D . Тогда — = 0 на dD . В силу краевого ус-

д!

ловия задачи (18) имеем д/%(s) f (s) = 0 на dD, т.е. f (s) = 0 на dD .

Итак, доказано, что уравнение J K(s, a) f (a)dа = 0 имеет только нуле-

dD

вое решение, а значит, что ядро K (s, а) полное. Откуда следует, что система собственных функций ядра бесконечна. Таким образом, установлено, что существует счетное множество собственных значений уравнения (16). Восстановление поля деформации zа по известной функции с проводится всегда и однозначно с помощью методов, описанных в разд. 2. Если Цд, то уравнение (16) имеет единственное решение в классе С1, v, 0 <v < 1. Теорема доказана.

Список литературы

1. Fomenko, V. T. ARG -deformations of a hypersurface with a boundary in a Rie-mannian space / V. T. Fomenko // Tensor N.S. - 1993. - V. 54. - Chigasaki, Japan.

2. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа ; под ред. О. А. Олейник и Б. В. Шабата. - 2-е изд., перераб. - М. : Наука, 1988. - 512 с.

Коломыцева Елена Алексеевна Kolomytseva Elena Alekseevna

аспирант, Таганрогский государственный Postgraduate student, педагогический институт Taganrog State Pedagogical University

E-mail: [email protected]

УДК 514.75 Коломыцева, Е. А.

Существование обобщенных втулочных связей, совместимых с АЛС-деформациями поверхностей в римановом пространстве / Е. А. Коломыцева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4 (16). - С. 14-25.