Существование нетривиальных ARG-деформаций поверхностей с краем при обобщенных втулочных связях в римановом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 514.75

В. Т. Фоменко, Е. А. Коломыцева

СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ АЯС-ДЕФОРМАЦИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ ОБОБЩЕННЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЯХ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Аннотация. Доказывается существование счетного множества коэффициентов рекуррентности ARG -деформаций поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве при условии, что вдоль края поверхность подчинена обобщенной втулочной связи, для которой существуют нетривиальные ARG -деформации поверхностей.

Ключевые слова: риманово пространство, поверхность, внешняя кривизна, обобщенная втулочная связь, ARG -деформация.

Abstract. The authors proved the existence of the denumerable set of the coefficients of the recurrent of ARG -deformations of the surfaces of the positive exterior curvature with boundary in a Riemannian space provided that the surface is subjected to the generalized hub relation along boundary for which the nontrivial ARG -deformations of the surface exist.

Keywords: Riemannian space, surface, exterior curvature, generalized hub relation, ARG -deformation.

1. Предварительные сведения

Пусть R3 - трехмерное риманово пространство с метрикой aa^dyady^, 4 2

aap е C и F - (m + 1) -связная поверхность с краем, заданная уравнениями

ya= fa(x\ x2), a = 1,2,3, (x1, x2 )e D, (1)

где f a|x1, x2 j - функции класса C3 . Пусть, далее, граница dD области D

принадлежит классу C2 . Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности. Будем считать, что внешняя кривизна поверхности в каждой точке положительна: K > ko > 0 , ko = const.

Рассмотрим бесконечно малую деформацию {Fe }, Fo = F2, поверхно-

,2 a a a

сти F , определяемую уравнениями ye = y + ez , где e - малый параметр,

za - векторное поле смещения точек поверхности F2 при ее деформации.

n a a . a a i a

Представим поле смещения в виде суммы z = zT + zn , где zT = a y,i - тан-

a

генциальная составляющая поля z ; знак «,г-» означает ковариантную произ-

г 7^2 а а

водную по переменной х в метрике поверхности Р ; zn = сп - нормаль-

а а

ная составляющая поля z ; п - поле единичных векторов нормалей к по-

тт2 а ду 1 *■> т"1 а

верхности Р , у,г =------, г = 1,2. Будем рассматривать поля z такие, что

дх1

их касательные и нормальные составляющие принадлежат соответственно классам С1 и С2 . Соответствующие деформации назовем допустимыми.

Бесконечно малую деформацию (Ре} поверхности Р2 назовем ареально-рекуррентной О -деформацией с коэффициентом рекуррентности X (коротко - ЛЯО -деформацией) [1], если выполнены условия:

1) вариация 8(й а) элемента площади й а поверхности Р удовлетворяет соотношению

8(й а) = 2Н Хсй а, (2)

где Н - средняя кривизна поверхности Р 2 , X - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности;

2) бесконечно малая деформация поверхности Р 2 является О -деформацией, т.е. для любой точки поверхности Р 2 ее единичный вектор нормали

а 3 тт

п , параллельно перенесенный в Я в смысле Леви-Чивита в направлении

вектора zа в соответствующую точку поверхности Ре2, совпадает с вектором нормали пеа к Ре2 в этой точке.

Будем говорить, что поверхность Р2 является X -жесткой в отношении ЛЯО -деформаций, если для заданного коэффициента рекуррентности X во

2

множестве ЛЯО -деформаций поверхности Р содержится только тождественная ЛЯО -деформация с полем смещения zа = 0; в противном случае поверхность Р2 будем называть X -нежесткой.

Зададим на краю дР2 поверхности Р2 отличное от нуля векторное поле

I а= /та+ п, (3)

где = /г'у,а - тангенциальная составляющая поля Iа; П = 13па - нормаль-

ная составляющая поля Iа; I1,12,13 - заданные функции класса С1.

Будем рассматривать бесконечно малые ЛЯО -деформации поверхности Р2 , подчиненные на краю дР2 условию

«ар zа1Р = 0. (4)

Это условие назовем условием обобщенной втулочной связи.

Для формулировки результата введем в рассмотрение правый сопровождающий трехгранник Френе (а, ^а, па } края дР2 поверхности Р2, где tа - поле единичных векторов касательных к краю дР2 ; ^а - поле единич-

ных векторов тангенциальных нормалей к краю dF2 ; na - поле единичных

векторов нормалей к краю dF2 .

Имеет место следующая

Теорема. Пусть (т +1) -связная поверхность F2 положительной

внешней кривизны K > ko > 0, ko = const, в римановом пространстве R удовлетворяет условиям регулярности, ориентирована так, что ее средняя кривизна H положительна, и подвергнута бесконечно малой ARG -деформации с заданным коэффициентом рекуррентности Х. Пусть, далее, поверхность F2 подчинена обобщенной втулочной связи (4), где поле la таково, что тангенциальная составляющая l^ = liy,a сопряжена с направлением ta края dF2 поверхности F2, образует тупой угол с тангенциальной нормалью ^a края dF2 , и координата l3 < o . Тогда существует точно счетное множество {\}°=1 значений Х, -1 <^1 <Х2 <..., Хг- при i ^^, таких,

что

1) при Х = Хг- (i = 1,2,...) поверхность F2 является Хг- -нежесткой в отношении допустимых бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Хг- при условии обобщенной втулочной связи (4); для

каждого значения Хг- (i = 1,2,.) поверхность F допускает конечное число

линейно-независимых векторных полей смещений za, определяющих бесконечно малые ARG -деформации с коэффициентом рекуррентности Хг-;

2) при Х^Хг- (i = 1,2,...) поверхность F2 является X-жесткой в отношении бесконечно малых ARG -деформаций с коэффициентом рекуррентности Х при условии обобщенной втулочной связи (4).

2. Вывод уравнения бесконечно малых ARG -деформаций

2

Лемма 1. Пусть (т +1) -связная поверхность F положительной

3

внешней кривизны K > ko > o, ko = const, в римановом пространстве R удовлетворяет условиям регулярности и подвергнута бесконечно малой ARG -деформации с коэффициентом рекуррентности Х и полем смещения

za= aiy,a + cna. Тогда уравнение для функции с в координатной форме имеет вид: dk(^[gi>lkdic) + (1 + Х)2Н^/^с = o, где gj = aapyayP- ,gkl - тен-

з^ обратный к gij ; g = det||gj-|, bij = aapy^ nP , bij = ||bj|| 1, 2H = glmbim .

При этом функции al находятся по формуле a1 = -b1J djC .

Доказательство. По условию теоремы поверхность F2 задана уравнениями (1). Положим za = aiy,a + cna , a1,с - искомые координаты поля смещения точек поверхности при ее ARG -деформации. Перенесем тензор (y,a +ez,a) параллельно в смысле Леви-Чивита в точку (ya). В результате

получим тензор у,і +є(г,; +Гогу,; г ), где Гог - символы Кристоффеля, вычисленные по тензору аар в точке (уа + ега). Обозначая через V; смешанное ковариантное дифференцирование по переменной X в Я3, запишем

результат параллельного перенесения тензора (у,а +ег,а) в точку (уа) в виа , „т-? а х~7 а а , т^а г т^а / а\ '■р

де у,; +єV^z,^ , где V= г,; + Г ігг ; Г аг вычисляются в точке (у ). Так

как для ЛЯО -деформации полученный вектор лежит в касательной к Р2 плоскости в точке (уа), то имеет место соотношение

аа^У;2а ИР = 0. (5)

Преобразуем уравнение (5). Используя уравнения Гаусса V уу,а = ЪуПа и уравнения Вейнгаартена Vупа = -Ьд£йу,а , находим

V ^а = (а1Ьу + с, j )па + (а,-сЪ^П1) у“. (6)

Подставляем найденное выражение Vjzа в уравнение (5), получим шя, описывающие О -деформации п<

форме:

уравнения, описывающие О -деформации поверхности Р2 в координатной

д jC + а Ъу = 0, г = 1, 2, (7)

где д jC = с, j - частная производная функции с по переменной X .

Выведем уравнение, описывающее ареально-рекуррентную деформацию поверхности Р2 с коэффициентом рекуррентности X . Условие (2) в силу соотношения й а = ■>1[^йх1йх2, g = det|| £гу||, эквивалентно соотношению

8^ = 41Щс . (8)

Подсчет показывает, что 8gij = aарV | г ^у,^р |.

Используя полученное выражение для 8gгj■, найдем 8g . Имеем

Й1 §Й1 ^12 §.?22

§^11 g21 §.?12 ^22

: 2,%ЧЧу = gglJУ,аiVу)аар .

Подставляя полученное выражение для 8g в уравнение (8), найдем уравнение gгjaaрV(iZау,Р) = 4ЛНс . Учитывая формулу (6), запишем это уравнение в виде: а,г -сЪ^^т1 = 2НXc . Учитывая формулу Фосса - Вейля дг 1п4§ = Ц , где Лк - символы Кристоффеля поверхности Р2 в метрике gij, и выражение 2Н = glmЪim, последнее уравнение преобразуем к виду

dk (Jgak) = 2 H (1 + Х)^Т^. (9)

Уравнение (9) есть искомое дифференцированное уравнение для координат a1, c . Воспользуемся тем условием, что для поверхности F внешняя кривизна положительна. В этом случае вторая основная форма bjdxldxJ поверхности F2 положительно определена, поэтому det||bj|| Ф o. Обозначим через biJ тензор, обратный к тензору bij, т.е. удовлетворяющий условию blJbik =sj, где sj - символ Кронекера. Тогда из уравнения (7) находим

ai =-bijdjc . (Ю)

Подставляя выражение из формулы (Ю) в уравнение (9), находим окончательно уравнение для функции c, описывающей ARG -деформацию

поверхности F2 с коэффициентом рекуррентности Х, в координатной форме: d k (jgbik dic) + (1 + Х)2 H<Jgc = o.

Зная решение c последнего уравнения, поле смещения za точек поверхности F2 при ARG -деформации представляем в координатном виде по формуле

za = -bijdJcy,“+cna . (11)

Лемма доказана.

3. Вывод условия обобщенной втулочной связи

Дадим аналитическую запись условия обобщенной втулочной связи.

Здесь и далее в работе считаем, что на поверхности F 2 введена изотермиче-

ски-сопряженная параметризация, т.е. вторая квадратичная форма поверхно-

12 2 2 12 сти имеет вид II = A((dx ) + (dx ) ), где (x , x ) е D. Отметим, что при этой

параметризации тангенциальная составляющая l^ поля la переходит в поле

1 2

векторов lT = {l1, l2} на границе dD области D в плоскости (x , x ). Имеет место

Лемма 2. Пусть на краю dF2 поверхности F2 положительной внешней кривизны K > ko > o, ko = const, задано векторное поле (3). Пусть, далее,

2

поверхность F при бесконечно малой ARG -деформации подчинена вдоль

края dF2 условию обобщенной втулочной связи (4). Тогда это условие можно представить в виде

dc ~3

----Al c = o на dD, (12)

dl

где d- - производная по направлению

і =

л/Ї + ЇТ А2 +122 ,

в плоскости (х1, х2), Ц = gІJ■l:J , І3 = 1

3

Доказательство. Так как координаты векторного поля смещения га

а і а . а ?а ?а 4 а . ;3 а

имеют вид г = а у,; +сп , а координаты I имеют вид I = I у,; +1 п , то

аа/ г^Р = аа/ (а1у,а +спа )(іУу,р +1^Р ) = ааР у“ у^-^ +

+аар у,Ррпа сіу + аар у,“ пР а113 + аа/па пРсІ3 = giJallJ + сі3 =

= аііІ + сі3 = Г-Э^ ) + Г-^^12 ] + сі3 = -^(^с • і1 + Э2с • і2) + сі3 .

Подставим последнее равенство в (4) и получим

Э1с • І1 + Э2с • І2 - Лсі3 = 0.

(13)

~3 і

Обозначая і =

Эс * 73,

л/1? +12

, условие (13) запишем в виде---------------ЛІ с = 0,

Э1

что совпадает с (12). Лемма доказана.

4. Доказательство теоремы

2

Нахождение бесконечно малых ЛЯО -деформаций поверхности Р с полем смещения zа = агу,а +спа при условии обобщенной втулочной связи (4), как было показано в леммах 1 и 2, в изотермически-сопряженной параметризации сводится к изучению разрешимости краевой задачи:

2 Г

£Э;(^Л-Э;с) + (1 + А)2Я^с = 0 в А

І=1 Эс ~3

--------ЛІ с = 0 на Э£>.

Э1

(14)

При этом функции аг находятся по формуле аг = ——.

Л

'т 7 а 7 г а 7 а

Так как тангенциальная составляющая /т = / у,г поля / сопряжена

с направлением tа края поверхности Р2 и образует тупой угол с тангенци-

а 2

альной нормалью ^ края поверхности Р , то при изотермически-

сопряженной параметризации направление прообраза /т вектора /а совпада-

1 2

ет с направлением внешней нормали к области В в плоскости (х , х ) . Перепишем (14) в операторном виде:

3

где Ь = -

£ Э;

(

\

Э;

Л 1

V

Ьс = цс в Б, Вс = 0 на Б,

Э ~3

В =-----ЛІ 3, ц = Х + 1.

Э1

(15)

2н/?й

Рассмотрим в области В пространство функций Ь2 (В, 2Н), считая, что / е Ь2 (В, 2Н), если

12Н / (х1, х2)/ (х1, х2) Ах1 Ах2 < ^,

Б

V -л73,/'

Э1 7

= 0, 2 Н > 0, (х1, х2) є Б.

ЭБ

Пространство Ь2(В,2Н) является полным банаховым пространством с нормой

12Н^/ |х\ х2|/ |х\ х2 |б/х1^х2

IБ

Превратим его в гильбертово пространство, определив на нем скалярное произведение по формуле

(/, ™) Ь2( Б ,2 Н) = 12НЛ/^/(х1, х2 ^ (х1, х2 ^х1^2 Б

для любых /, ^ є Ь (Б, 2Н). Будем рассматривать на Б оператор Ь, определяемый формулой (15). Отнесем к области определения Мь оператора все

•Л Г

функции / класса С2 такие, что / є Ь2(Б,2Н),------------------ЛЇ3/

Э1

= 0. Покажем,

ЭБ

что оператор £ является эрмитовым. Для этого следует убедиться, что М^ плотно в 1^(В,2Н) и (£/,^дон) = (/,^)^в,2Н) У/,^ е Мь .

Так как множество бесконечно дифференцируемых на В функций плотно в Ь2 (В, 2Н) и это множество содержится в М£ , то М£ плотно в ^2 (В, 2Н). Подсчитаем разность (£/, ^)^в,2Н ) “ (/, ^)^в,2Н ) при /, ^ е Мь .

2 ^а /1=^1

Имеем £ Э; ;=1

оператор Ь в виде

—Э;/

Л 1

—V/ Л

. Поэтому можем представить

(

Ь = -

div

Л

1

1

(Ь/, м/)ь2(В,2Н) - (/, Ьм,)ь2(В,2Н) -

—У/

Л

(

-/ div

Сх^Сх2 -

- | 4ё ~1 ЪЯ/<® + У/У^сХСх2 + | їїУ/У^Сх1

дВ В А В Л

|їїУ/у2ІІсх1Сх2 + | ^7- {—У/УШх1

Сх2 -

Сх2 -

В

дВ

В

| /УЇЇУ^АСх1Сх2 + | /УїїУ^А^С^Сх2 - 0 .

Следовательно, оператор £ является эрмитовым в области Мь . Покажем, что оператор £ является положительным. Для этого подсчитав (Ь/, /)І2(в,2И ) У/ є МЬ :

(Ь/,/)і2(В,2И) --{ div

В

—У/

Л

/йХСх2 - -{ /■&div(У/)Сх1Сх2 -в А

7у/ ух '

Сх1Сх2 -

Л

{ ^|У/|2Сх1Сх2 - {^/ 3|/|2

дВ

С8.

В

Таким образом, (Ь/,/)^(ВДН) - |У/|2Сх1Сх2 - { 31/|2 а» > 0 .

В дВ

Это означает, что оператор Ь является положительным на Мь . Известно, что эрмитов положительный оператор имеет не более чем счетное множество {щ} неотрицательных собственных значений цг- > 0, не имеющих предельных точек на конечном расстоянии. Каждое собственное значение оператора Ь действительно и имеет конечную кратность.

Покажем теперь, что множество {щ} бесконечно. Введем в рассмотрение на В пространство функций Н\ (В,у[^), элементы которого вместе со своими производными первого порядка принадлежат классу Ь (В, 2И). Пространство Н 2( В,у[^) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(/,">Н'(В,^) - У/УїїСх^х2 - { 13 ,//» . (16)

2 ’ В дВ

Функцию с є Н2(В,^) назовем обобщенным решением уравнения Ьс -цс, если выполняется соотношение

{ УсУ^ох1Сх2 - { 1 '3y[gcwdS - ц { 2Нд/^(

В А дВ В

cwdx1dx 2

для любой функции ^ класса и\ (О, д/,). Это уравнение можно переписать в виде

(c,^И1(О,Л/§) = Ц(с^Ь1(О2И) Vwе И2(В,4§). (17)

Функция с е И2(О,^/,), с Ф 0, называется обобщенной функцией оператора Ь, если существует такое число ц, что функция с при всех w е И2(0,4,) удовлетворяет соотношению (17). Число ц называется собственным значением, соответствующим обобщенной функции с . Будем считать, что \\4ь2( О2И) = 1.

Покажем, следуя [2], что существует линейный ограниченный оператор А из 1^(В,2И) в И2(О,у[^) с областью определения Ь^(0,2И), для которого при всех wе И2(О,^) имеет место равенство (с,w)ь2(В2И) = = (Ас, w)н 1 (о ^). При этом оператор А имеет обратный А-1, и оператор А,

если его рассматривать из И (О^^ё) в И (О^^ё), является самосопряженным, положительным и вполне непрерывным. Для доказательства этого утверждения рассмотрим линейный функционал из И(0,4,), заданный формулой I^) = (с, w)ь2(о 2И), где с - фиксированная функция из 1^(0,2И),

wе И2(0,4,).

Так как

1 (- |(с^ь2(в,2Н)| -

{ 2Н ^Jgcwdx1dx2

В

- { 2И^/ЕС||^Сх1сх2 -

В

- с11с11ь2(О) IНь2(В) - с2 IПь1(В,2И) IН\ь2(В,2И) - с3 IНь1(В,2И) 1МИ^В,^), то функционал I(w) = (с,w)ь2(В2И) ограничен. Поэтому по теореме Рисса существует единственная функция и е И2(О) такая, что

I^) = (и,w)Иl(В ^g) Vwе И2(0,4,),

при этом |иЦ^ (в ^) = |Ц - С ||с||ь (в 2И). Это означает, что на Ь2 (0,2И) задан линейный оператор Ас = и, для которого имеет место равенство (c,^’)Ь1(В,2И) = (и,). Так как

11Ас1и2(0^7,) 11и11И 1(В^Т,) - С\\с\\ь2(В,2И),

то оператор А из 0,2И) в и2(0,4,) ограничен. Пусть при некотором с е 1^(0,2И) имеем Ас = 0. Тогда и = 0 и (с, w) ь2( В2И) = 0

Vw е И2 (0,4,). Поэтому

12И^Jgcwdx1dx2 = 0 Vw е и2(0,4,).

В

Отсюда следует, что с = 0 , т.е. уравнение Ас = 0 имеет только нулевое

,1-1

решение, и потому существует оператор А .

Так как

(Ас, ^ И 1(В,у[ё) = (с, ^ЫВЛИ) = (^ с)ь1(В,2И) =

= и 1( В,4ё) = (с,Aw) и 2( В,4ё),

то оператор А является самосопряженным.

Кроме того, оператор А положительный, так как

(А^с)И 1(В,V,) = (c,с)Ь2(В,2И) = |22 ^ 0,

В

где равенство нулю возможно только при с = 0 .

Покажем, что оператор А из И2 (0,4,) в и2 (0,4,) является вполне непрерывным. Для этого возьмем произвольное ограниченное множество функций в И2(0,4,). Это множество компактно в Ь,2(В,2И), т.е. из любого его бесконечного подмножества в Ь,2(В,2И) можно выбрать фундаментальную последовательность с5, 5 = 1,2,... Так как оператор А из Ь^( 0,2 И)

в И2(0,4,) ограничен, то он непрерывен, и потому Ас5, 5 = 1,2,..., образуют фундаментальную последовательность в и2(0,4,). Это означает, что

оператор А вполне непрерывен из и2(0,4,) в и2(0,4,). Перепишем уравнение (17) в виде

(c, ^ и2( 0,4,) = ц(Ac, w) и\(в,4,),

что эквивалентно операторному уравнению в пространстве И2(0,4,):

цАс = с, с е И2(0,4,). Таким образом, число ц является собственным значением оператора Ь, ас - соответствующей ему обобщенной собственной функцией, тогда и только тогда, когда ц есть характеристическое число оператора А из И2(0,4,) в И2(0,4,), с - соответствующий ему собственный элемент. Так как оператор А является самосопряженным, положитель-

ным и вполне непрерывным, то существует не более чем счетное множество

характеристических чисел уравнения цАс = с в пространстве и2(0,4,).

Это множество не имеет предельных конечных точек, все собственные значения вещественны, каждому собственному значению отвечает конечное число

ортогональных в и2(0,4,) собственных функций, собственные функции,

соответствующие различным собственным значениям, ортогональны

в и 2( 0,4,).

Пусть , 5 = 1,2,. - последовательность, содержащая все характеристические числа оператора А ; с5, 5 = 1,2,., - система взаимно ортогональных в И2(0,4,) собственных функций, таких что ||с5 Ци1 (в 4,) = 1 и

ц5Ас5 = с5 , 5 = 1,2,. (18)

Умножим (18) скалярно в И2(0,4,) на с5, получим

с, с5)и2(0,4,) =1Ы 1И2(0,4,) = vcVcdx1dx2 - | / ъ4,сс^ =

В дВ

= ц5 (Ас5, ся )и'( 0,4,) =ц5 (с5, ^ )Ь2(В,2И) = (Х5 +1)1с11ь2( 0,2 И) = Х +1 .

Это соотношение можно переписать в виде

Ус|2dx1dx2 - (X5 +1) 12ИЛ/,|с|2dx1dx2 - | /34,\с\2 dS = 0.

В В дВ

Из полученного равенства следует, что X5 +1 >0, 5 = 1,2,... Из соот-

с с2

ношения (18) вытекает, что система функций . , . ,. является

4Х1 + 1 д/Х2 + 1

ортонормированной в и2( 0,4,) системой и потому является ортонормиро-

ванным базисом в и2 (0,4,). Так как пространство функций И2 (0,4,) бесконечномерно, то множество {с5}, 5 = 1,2,., является бесконечным. Поэтому ц5 — те при 5 —— те . Таким образом, установлено, что уравнение Ьс = цс имеет счетное множество {ц }те собственных значений ц , для которых оно имеет ненулевое решение, принадлежащее классу И2(0,4,). Так 2и

как ----е С , то обобщенные собственные функции с оператора Ь принад-

Л

лежат классу и2(0,4,). В силу теоремы вложения и2(0,4,) с С2, потому

обобщенные собственные функции с5 являются функциями класса С2, при этом Ьс5 е Ь2(0,2И). В силу формулы (11) находим, что касательная со-

д iC ™ ™ 1

ставляющая —— у,г- поля смещения z принадлежит классу C , если cs е C2. Теорема доказана.

Список литературы

1. Fomenko, V. T. ARG-deformations of a hypersurface with a boundary in a Rie-mannian space / V. T. Fomenko, N. S. Tensor. - Chigasaki, Japan, 1993. - V. 54.

2. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных /

В. П. Михайлов. - М. : Наука, 1976. - 520 с.

Фоменко Валентин Трофимович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, Таганрогский государственный педагогический институт, заслуженный деятель науки

E-mail: vtfomenko@rambler.ru

Коломыцева Елена Алексеевна аспирант, Таганрогский государственный педагогический институт

E-mail: kolomytseva86@mail.ru

Fomenko Valentin Trofimovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of algebra and geometry, Taganrog State Pedagogical University, Honoured Scientist of the Russian Federation

Kolomitseva Elena Alekseevna Postgraduate student,

Taganrog State Pedagogical University

УДК 514.75 Фоменко, В. Т.

Существование нетривиальных АЯО-деформаций поверхностей с краем при обобщенных втулочных связях в римановом пространстве /

B. Т. Фоменко, Е. А. Коломыцева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 3 (15). -

C. 3-14.