О жесткости поверхностей с краем положительной кривизны в классе ChRG - бесконечно малых деформаций при заданном краевом условии Текст научной статьи по специальности «Математика»

вых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности». Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1999. Ч. 2. С. 15-43.

2. Фоменко В.Т. О решении обобщенной проблемы Минковского для поверхности с краем // Отображения поверхностей римановых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности: Сб. науч. тр. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1998. Ч. 1. С. 56-65.

Н.С. Казарян

О ЖЕСТКОСТИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В КЛАССЕ СИЯС - БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ЗАДАННОМ КРАЕВОМ УСЛОВИИ

1. Постановка задачи

Пусть односвязная поверхность Е с краем сЕ £ ('' " класса С2а с гауссовой кривизной К>к0>0, k0=соnst, преобразована в трехмерном евклидовом пространстве Е3 в поверхность Е* класса С2'" таким образом, что в соответствующих точках М и М* образы этих точек на сферическом изображении совпадают для любых точек поверхности Е. Такие преобразования называют О -преобразованиями или гауссовыми преобразованиями. При О - преобразовании поверхности Е касательная плоскость ТМЕ поверхности Е в точке М преобразуется в параллельную ей касательную плоскость поверхности Е* в точке М*, при этом указанное преобразование ТМЕ^ТМ*Е* является аффинным.

Известно [2], что для поверхности Е с положительной гауссовой кривизной К > к0> О, О - преобразование имеет в каждой точке М. .\/Е /'. \1 € с!' , по крайней мере два направления, сохраняющихся в Е3 при О - преобразовании поверхности Е в поверхность Е*. Такие направления на поверхности Е назовем устойчивыми относительно О - преобразования.

Пусть устойчивые направления в каждой точке поверхности Е задаются единичными векторами , • Пусть Р1 , Р2 — радиусы кривизны поверхности Е по устойчивым направлениям.

Обозначим через А1 сумму относительных вариаций радиусов р1 , р2 при бесконечно малых О -деформациях поверхности Е, то есть положим

д 5Р1 | 5Рг

Pi Р2

Можно изучать G - бесконечно малые деформации поверхности F с краем dF, удовлетворяющие следующему рекуррентному соотношению:

6(R, +R2) = XAl(Rl +R2), (i)

где R - главные радиусы кривизны поверхности F; к - заданное вещественное число называемое коэффициентом рекуррентности. Кроме того, при этом будем предполагать, что вариация длины дуги края dF равна нулю:

b{ds2 ) = 0 на dF. (2)

Очевидно, что при Л=0 рассматриваемые О - бесконечно малые деформации сохраняют сумму относительных вариаций радиусов кривизны Е, и вопрос существования таких О - бесконечно малых деформаций равносилен вопросу единственности (с точностью до параллельного переноса) решения проблемы Кристоффеля. В связи с этим рассматриваемые О - бесконечно малые деформация поверхности Е будем называть СИКО - бесконечно малыми деформациями, то есть О - бесконечно малыми деформациями рекуррентными по Кристоффелю. СИКО - бесконечно малые деформации поверхности Е назовем тривиальными, если они совпадают с параллельным переносом поверхности Е в пространстве Е3. В противном случае СИКО - бесконечно малые деформации назовем нетривиальными. Если поверхность Е допускает только тривиальные СИКО -бесконечно малые деформации, то поверхность Е будем называть жесткой в классе СИКО - бесконечно малых деформаций. Известно, что любая поверхность с краем всегда допускает нетривиальные СИКО - бесконечно малые деформации.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Односвязная поверхность Е Е £ С2,а положительной гауссовой кривизны К >к0 > О, с краем ЗЕ£ С1'™, вдоль которого вариация длины дуги равна нулю при СИКО - беско-

нечно малых деформациях, является жесткой, если коэффициент рекуррентности X £ (О, 1) удовлетворяет условию

, , .2 . . .2

1 1 gnu + g12uv + g22u

К <---max-,

2 2 3D gu + g22

где gp - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности F вдоль края ЗЕ; 3D Е С1,а граница односвязной области D, заданная уравнениями

du . dv

и = cosф, V = sin ф , 0<ф<2я; й - —, v - — .

¿/ф' ¿/ф

2. Вывод уравнений ChRG - бесконечно малых деформаций

Пусть односвязная поверхность EG С2,а с краем 3FE С1,а положительной гауссовой кривизны K > k0 > 0, k^^nst, задана в окрестности некоторой своей точки уравнением

г = г (и, v) G C2'a(D), (и, V)£D,

где D - односвязная область с границей 3D Е С1,а

Пусть поверхность Е преобразована в односвязную поверхность Е* Е С2, заданную в области D уравнением

*

г {и, v) = г (и, v) + iz(u, v) Е C2'a(D), (и, v)eZ); (3)

где t>0 - бесконечно малая величина.

Векторное поле Z называют полем смещений поверхности F при ее бесконечно малой деформации. Будем считать, что поверхности F и F* в соответствующих точках M и M* имеют оди-

* *

наково направленные нормальные единичные векторы n и n , т. е. n = n . Найдем первые частные производные вектор-функций (3), имеем

г

ги (и,у) = Ти(и,у) + Ии(и,у\ * ,

*

дг

V —

I* - * дг 8г

* 0;

у - " п ' я

ои (V

Обе части этих уравнений скалярно умножая на вектор п, и учитывая, что (ги,П ) = (гу , п ) = 0 , получим

, , »к , > гк

С ги + и ) = + ) = О .

Так как п = п , то последние равенства принимают вид

ГС + 7-п ) = 0,

+ , п) = О.

Так как ^ ^ 0 , то отсюда находим:

(4)

где а, Р, <5 - некоторые непрерывно дифференцируемые функции в координатах

(//, V) <= I) •

Так как вторые производные векторного поля 7 не зависят от порядка дифференцирования, т. е. — 2уи . то из системы (4) имеем:

К - У и Уи + (ру - У + (а - ЭД^Й + + ¿12«) -

— (5)

- у(гп ги + КК + ьи") + Р(Г22 ги + Г222^ + М) = О,

где Ьу - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности /•'. а I д- - символы Кри-стоффеля поверхности Е.

Так как векторы , ' , П линейнонезависимы, то из равенства (5) находим

(ос — 6)612 = у ъг1— + (хг;2 + рг^2 = у,, + уг,1, + 5г;2 , (6)

р. + гхГ,2 + РГ22 = 5М + уГ,, + 6Г12 .

Известно [1], что на поверхностях С2'а с К>ко>0, ко=сош1, существует изотермически-сопряженная параметризация (и, V), для которой ¿ц=Й22= л ^ о ; ¿12=0. В этих координатах из 10

*

системы (6) находим Р = у, и система (6), описывающая О - бесконечно малые деформации поверхности Е, принимает вид

«V - У и = -а ГД + у(ГД - гд ) + 8Г112, (7)

&u~yv = агд + усг^ - гд ) - згд.

Известно [2], что (Х + 5 является инвариантом относительно преобразований внутренних координат на поверхности и потому есть инвариант рассматриваемой О - бесконечно малой деформации, кроме того, здесь было доказано, что на поверхностях С2,а с К>к0>0, к0=сот(, в изотермически-сопряженной параметризации Д1 = сх + 8 .

Используя формулу дифференциальной геометрии для вычисления суммы главных радиусов кривизны

6llè22 - 612

для изотермически-сопряженной параметризации поверхности F находим

«S'il + 2уg" 12 2

+ я,) = "•«ч-^гем-г^ + ^) • (8)

ё 22

Из формулы (8) следует, что О - бесконечно малая деформация поверхности Е является СИКО - бесконечно малой деформацией тогда и только тогда, когда в изотермически-сопряженной параметризации поверхности выполняется условие

«-Ян + 2уg" 12

22- = ■ (9)

ёи ё11

Так как А] = СХ- + 5 5 то уравнение (9) запишем в виде:

+ + §£22 = КЯи + + 8) • (9')

Полагая, £/= 1/2(а-5), V = -у, П = 1/2 (а + 3), находим: а = 11+ 11, 3 = 11-11, у = -V.

Перепишем систему (7) в виде:

\иы - К ~пи =а11и + а1у,

где = -2Г; , о12 =Г121 -Г^, а21 = 2Г , «22 = ГД: - ГД . Уравнение (9') относительно переменных и, V, П принимает вид:

П = дг11 + д2У ,

где „ =-Шм—§и-, а =--

(1-2Л.)(&1+*г22) a-2?,Xg11 + g22)

Таким образом, система (10) принимает вид:

1 - 1 - ^ . 1 + 1 + ^

(11)

где х=и, у=у, Сг1 = С'>1 , с,2 = + С/'2" , с21 = ^-^

С —

ч и. л л

1-^1 1 + <?1

2 .

-22

Система уравнений (11) описывает СИКО — бесконечно малую деформацию поверхности ЕЕ С2'" в Е3. Известно [2], что система уравнений (11) является системой эллиптического типа,

если Л £ (0, 1).

Систему уравнений (11) можно записать в комплексной форме в виде:

+ + = О, (11')

где |ф)|+|6(г)|<?о<1.

3. Вывод краевого условия

Пусть односвязная поверхность Е класса С2,а с гауссовой кривизной К >к0> 0, к0=сот1., край которой ЗЕЕ С1,а подвергнута СкКО - бесконечно малой деформации.

Будем считать, что при СИКО - бесконечно малой деформации вариация длины дуги края дЕ равна нулю:

¿>(о^2) = О надЕ, (12)

где = Л- , (м^) е дО .

Из равенства (12) имеем:

(ги,ги)й2 + Цги, ) + (Л, )]ш> + , )у2 = 0 на 5Д (13)

где 2 - полем смещений поверхности Е при ее СИКО - бесконечно малой деформации. Воспользовавшись формулами (4) условие (13) принимает вид:

(,ги,аги +уг)й2+[(ги,уги +Ьгу) + {гу,аги +угу)]гп + {гу,уги + 5г|>2 =0 тдв.

Отсюда имеем:

I <*-<*„,А,) + у^тЮ/"2 + Ь'У^пА,) + (К'К)) +

+ (д + а)(ги,гу)]йл? + /ууг„,гг1) + д^,^)]^2 = О

или

+ + [у(^ц + £22) + (б + °0^12]гл> + [У&12 + ^гг]^2 = 0 на (14)

где - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности /•' на с/-'.

Формула (14) есть краевое условие относительно переменных ОС, У , 5 заданные на границе области Б.

Напишем уравнение (14) относительно переменных и, V. Имеем, что

ос = £/ + ГГ, 3 = Т\ — и, г = П = +

ГДе _ _<§~22 ~ ¿?1 1_ , _ __2 8 12_ .

41 ~ (1-2^X^11+^22) 2 " (1-2^X^11+^22)

Таким образом, условие (14) после небольшого преобразования относительно переменных и, V принимает вид:

.-.2 „ -2-, , „ -2 , о„ • •. , „ -2

К.Ы| |'> ) 1 +2g-12Mv + g-22v )]£/ + на Ж. (15)

+ [-(Cg"n +g"22)wv + g-12(M2 +v2)) + q-2(g-11M2 + 2g12úv + g22v2)]V = О

Так как изотермически-сопряженная сеть отображает поверхность на единичный круг, то можно положить и = cos ср , V = sin <р, 0 < ср < 2я . Тогда U = — Sin (р, v = cos^? и м2 + V2 = 1. При этом имеем, что м2 — v2 = — cos 7.ср , 2wv = — sin 1(р . Найдем

• 2 , т„ „■„■, , „ ,-,2__„;„2„ „ „•„ 0„ , „ „„„2____ 1 - COS 2ф

guú +2g12úv + g22v =gnsin Ф - g12 sin 2ф + g22 cos ф = £„-

. 1 + С03 2ф gn+g22 Г&11~.?22 o -Ol

-g12 sin 2ф + g22-- = —- —cos 2ф + g12 sin 2ф .

Положим gii + 822 _ e ; gn S22 _ ; gu — f; при этом имеем, что gü = в + g, 2 2

$22 = ■ Тогда для коэффициентов при переменных ( '. I' в (15) относительно е. g. / имеем:

g11ú2 + 2g12úv + g22v2 = (e + g} sin2 <p — 1f sin (p eos <p + + (e — g") cos2 <p = e — (g cos 2^> + f sin 1<p) = í2e.

-¿"гг^2 =(e + g-)sin2^-(e-g-)cos2^ =

, 41 —cos2 <p , 4l + cos2ß> _

= (e + g)---—-O ~g)---— = g~ ecos 1(p.

- ((gn + §22 + gl2 (й2 + v2 )) = -/ + esin 1q> . Таким образом, условие (15) принимает вид:

~ е соэ 2ф -ь (е — соэ 2ф + у эгп 2ф))]£/ + на

+ [—У -+- е эгп 2ф -+- (е — соэ 2ф -+- у" эгп 2ф))]Г^ = О

Так как а =_К_, а_ =-—-

^ (1-2Я)е 2 (1-2Я)е

делив на е, можно записать в виде:

то обе части последнего уравнения раз-

Сг Сг Сг

—— соэ2ф--2-[1 — — соэ2ф — — эт 2ф]

е (1 — 27С)е е е

и ■

на дБ.

/

— ——I- эт 2ф +

е (1 — 27С)е е

^ [1-—соэ2ф- —эт2ф] е

V = О

Отсюда после небольшого преобразования получим:

сов2ф + —

е

1-

1-2Х

и -

■ о / вт 2ф — —

е

1-

1 — 2Х

V = О

на дБ.

(16)

гттр ? , Я ~ Т • ~ 2(е, ,м2 + 2е19мт>+е99т>2)

ГДе ¡2 = 1 _ со8 2ф — — 81П 2ф = -^12-«2—¿.

е е <§11+<§22

Рассмотрим комплексную функцию

гу(г) = 77(» + , г = х + гу Е дБ,

(17)

где г\(г) — -соз2ф + /зт2ф, ^(У) = К.

1-

г2

1-2А.

,1

1

г2

12

(18)

Тогда уравнение (16) можно записать в виде:

Ие «}(г)Ж(г) ^ 0 на 5Д

(19)

где ЖО) = и + IV , о7(» = 77 О) + ^О) .

Краевую задачу (11'), (19) назовем краевой задачей А

Имеем, что | л(2) 1= 1 • Найдем | ¿И? ) |, имеем:

1--

г2

1-2Х

1--

г2

1-2Х

2 / у\2

8 I , [ /

7 + «

1--

Г 2

1-2А.

е е 2

1--

г2

1 — 2Х

4 ^2

(Й1+^22)2 (Й1+^22)2

1-2/1-Г 1 — 2Х

1 —

4А

(&11 + &22)

\-2X-t \ — 2к

Л = gllg22-gl2■

2

2

г

г

е

2

2

2

е

2

2

2

Итак, имеем, что

1 —

4 А

(.Su + g22y

l — 2.A — t2

1 — 2 Я

Будем требовать, чтобы | ч(^) | <1. Но так как

1 —

4 А <1

+ s22y

то из последнего равенства следует, что

1-2 A-t" 1-2 А

<1

Тогда неравенство | | <1 будет выполняться тогда и только тогда, когда

11 2

/L <---max /

2 4 <5Z3

(21)

гДе г2 = 1 — — cos ~2<р - — sin 2.<р ■

е е

Итак, будем решать краевую задачу A при условии (21).

4. Об индексе краевой задачи A Введем, как в [1], понятие индекса краевой задачи A.

Пусть f(t) непрерывная функция в области D. Обозначим через ДддЛО приращение функции f(t), когда точка t один раз опишет кривую dD в направлении, оставляющем область D слева. Вводим в рассмотрение целое число:

п = ——Aaz3 arg¿уО) 2тг

(22)

где со (.г) _ комплексная функция в области I). г = х + г у.

Представим комплексную функцию со(г) в виде единичного вектора ¿у(г), причем будем считать, что его начало закреплено. Когда точка г опишет один раз границу дБ области Б в направлении, оставляющем эту область слева, вектор со (.г) вернется в свое исходное положение, совершив вокруг своего начала некоторое число п+ полных оборотов против движения часовой стрелки и некоторое число П полных оборотов в противоположном направлении.

Известно [1], что число п, определяемое равенством (22), равно разности п+-п~. Эту разность называют индексом функции о>(г) относительно границы с!) области Г) или индексом краевой задачи. Индекс краевой задачи не изменяется при топологических преобразованиях области Б. Его обозначим через тс1 (,> ( -).

Известна [1] следующая теорема.

Теорема (*). Если индекс п краевой задачи А отрицательное число, то краевая задача А не имеет нетривиального решения.

Подсчитаем индекс комплексной функции СО (г) определяемой равенствами (17) и (18).

2

2

Так как | t](z) |= 1, и | ¿'(z) | <1 при условии (21) и, следовательно, | T]{z) |>| q{z) | для всех z6 с!), то по теореме Руше [3] функции J](z) и !](-) + ) = со(-) имеют один и тот же индекс в области D. Поэтому для индекса п= indco^z) , имеем:

indco(z) = indrj(z) = —Адп arg r/(z) =

In

1 AdD arg(—е~2гЧ") = —i—Aaz3(—= —2.

—. -OU---С v - ^ ~

2тт 2тг

Итак, если Л £ (0, 1) удовлетворяет условию (21), т. е.

Х^1 -тахИ- — cos 2ш — ^ sin 2ф |, (21')

2 4 so у e e )

то индекс n краевой задачи A есть отрицательное число, и потому задача A имеет только нулевое решение.

5. Доказательство теоремы

Пусть поверхность F с краем dF подвергнута ChRG - бесконечно малой деформации и переведена в поверхность F*. В силу условия K > k0 > 0, k0=const, указанная деформация описывается системой уравнений эллиптического типа, если коэффициент рекуррентности X <t (0, 1).

В силу того, что коэффициент рекуррентности удовлетворяет условию (21'), то по теореме (*) краевая задача A не имеет нетривиального решения. Следовательно, при условии (21') поверхность допускает только тривиальное решение. Отсюда следует, что поверхность F является жесткой в пространстве Е3. Теорема доказана.

Автор приносит благодарность профессору В.Т. Фоменко за постановку и руководство данной задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз., 1959.

2. Фоменко В.Т. Об однозначной определенности овалоидов положительной кривизны в классе СИКО - преобразований // Сб. науч. работ по межвузовской научной программе «Университеты России - фундаментальные исследования». Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1999.

3. Шабат Б.А. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

Е.А. Кульчинская

ОСНОВНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ В КОНФОРМНО-ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Исследование различных видов бесконечно малых деформаций поверхности в римановых

пространствах Я3, как правило (см. [1]), сходится к решению дифференциальных уравнений, тип которых (эллиптический, параболический, гиперболический) определяется соотношениями, выраженными через уравнения рассматриваемой поверхности. Чтобы придать инвариантный характер этим соотношениям, необходимо методами тензорного исчисления знать выражение метрического тензора поверхности, тензора второй квадратичной формы и других характеристик поверх-