Бесконечно малые EAG−деформации поверхностей Дарбу с краем при заданном краевом условии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.С. Казарян

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ EAG-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДАРБУ С КРАЕМ ПРИ ЗАДАННОМ КРАЕВОМ УСЛОВИИ

Известно [2], что на поверхностях второго порядка положительной кривизны (поверхности Дарбу) в трехмерном пространстве Е3 и только на них уравнения бесконечно малых изгибаний приводится к системе Коши - Римана.

В настоящей работе показывается, что сходный результат имеет место для поверхностей Дарбу в отношении бесконечно малых эквиареальных деформаций, сохраняющих поточечно сферический образ поверхности. Кроме того, доказывается теорема о жесткости поверхностей Дарбу в классе бесконечно малых EAG -деформациях при условии вариацией длины дуги равной нулю вдоль границы поверхности.

ni. Постановка задачи. Пусть односвязная поверхность F2 с краем dF2e С1'" класса С2". 0<а <1 с гауссовой кривизной К>к0>О, k0=const., в трехмерном евклидовом пространстве Е3 подвергнута бесконечно малой деформации, т.е. преобразована в поверхность /-'Л ее(-е0, £оХ ео>0 класса С2 '\0<сг<1.

Говорят [1], что поверхность F2 допускает бесконечно малую эквиареальную деформацию (ЕА-деформацию), если существует бесконечно малая деформация {F2}, ее (-е0, £о), ,>() поверхности F2, переводящая любые равные по площади куски поверхности F2 в равные по площади куски поверхности {Fs2}. Аналитически это означает, что

SS(F2) = ClS(F2> (!)

где S(F2) - площадь куска поверхности F2, c\=const. и при cj=0 эквиареальная деформация является ареальной деформацией.

Эквиареальную деформацию поверхности F2 сохраняющую поточечно ее гауссов (сферический) образ поверхности называют G -деформацией поверхности F2. G -деформация аналитический определяется условием: П£ = П , где П£ , П — единичные вектора нормалей поверхностей 22

f , ре в соответствующих точках.

Бесконечно малую EA -деформацию поверхности F2 будем называть бесконечно малой EAG -деформацией, если она является G -деформацией, то есть бесконечно малой эквиареальной гауссовой деформацией.

Бесконечно малые EAG -деформации поверхности F2 назовем тривиальными, если они совпадают с параллельным переносом поверхности F2 в пространстве Е3. В противном случае EAG-бесконечно малые деформации назовем нетривиальными. Если поверхность

F2

допускает

только тривиальные бесконечно малые EAG-деформации, то поверхность F2 будем называть жесткой в классе EAG-бесконечно малых деформациях.

Будем предполагать, что вариация длины дуги края dF2 равна нулю:

S(ds2) = 0mdF2. (2)

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Поверхности Дарбу с краем dF2e Cha являются жесткими в классе бесконечно малых EAG -деформациях при условии вариацией длины дуги равной нулю вдоль границы поверхности.

п2. Вывод уравнений EAG-бесконечно малых деформаций. Будем рассматривать в евклидовом пространстве Е3 поверхность F2, F2e. С2". 0<сг<1 положительной гауссовой кривизны ¡\ >k, ,>(). k0=const. с краем 3F2g С1'". Будем считать, что поверхность F2 задана уравнением

г = г{и,у), (и,у) е £>, где г (и,у) е С%а (£>).

Пусть поверхность //2 преобразована в односвязную поверхность /<'_2 £ Си, 0<аг<1, заданную в области Д уравнением

ге(и,у) = г(и,у) + а(и,у) е С2а (£>), (к,у)е£>, (3)

где е - бесконечно малая величина; ее (-к,„ к,,). к,,Х): геС!'°,0<а<1.

Векторное поле г называют полем смещений поверхности Е2 при ее бесконечно малой деформации.

Известно [4], что для частных производных векторного поля г имеют место формулы

(4)

г

уги +{-а + с1)гу,

где а, /3, у ~ некоторые функции класса С1'", 0<аг<1.

Если известны а, /?, у, то можно с точностью до константы восстановить векторное поле т.. Будем считать, что на поверхности Е2 координатная сеть является изотермически сопряженной. Так как I е С2'", 0<сг<1 и Г , Г , П линейно независимы, то из системы (4) с учетом фор-

ГД, + ДГ' -Г2')-2<2 =-с^2, (5)

Ы +« +/?(Г222 - Г2) + 2«Г12 = .

где - символы Кристоффеля поверхности Е2.

Таким образом, нахождение поле Z сводится к решению системы (5) относительно искомых функций а, р • Так как у = Р, то по решению системы (5) можно найти правые части формул (4), а значит, и поле Z .

Полагая а = —11 + с1 /2, Р — V и заменяя х=и, у г система (5) относительно переменных и, V примет вид:

+ 2игп + ^(Гп ~Ю = о, (6)

[иу+Ух+ 2^2+ V (Г^-Г^О,

Введем в рассмотрение комплексную функцию м>(г) = II(х,у) + / К(л".у), г х ¡у. геД тогда систему (6) можно записать в виде [4]:

д^ + + = О, (7)

где д.*, = I + ^), = Аь ^^,

В® Л С;-Г'

Введем в рассмотрение новую комплексную функцию ^(г) - ^/^/^^(г), геД. Тогда уравнение (7) относительно комплексной функции ^(г) примет вид:

мулы - — _ находим

д-w + B(z)w = о. (8)

Для поверхностей Дарбу [2] имеем, что B(z) = О . Тогда уравнение (8) примет вид

d-W = 0. (9)

z

Итак, бесконечно малые ¿AG-деформации поверхностей Дарбу описывается уравнением Коши-Римана.

Имеет место следующая ([5])

Теорема. На поверхностях Дарбу положительной кривизны и только на них общее решение уравнения (7) имеет вид:

w(z) =

(10)

где Ф(г) - аналитическая в области D функция.

пЗ. Вывод краевого условия. Пусть односвязная поверхность F2 класса С2"с гауссовой кривизной /v>/й,>(). k0=const., край которой dF2e С' " подвергнута бесконечно малой EAG - деформации. Будем считать, что при бесконечно малой EAG - деформации вариация длины дуги края dF2 равна нулю:

S(ds2) = 0 на dF2, (11)

где ds2 = gn{u,v)du2 + 2gl2(u,v)dudv + g22(u,v)dv2, (и. v) e cl)■ gp - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности F2 на dF2. Из равенства (11) имеем:

(;fu,zu)ü2 +[(r,zv) + (r,zJ]MV + (r,zv)v2 =0 на 3d, (12)

где Z - полем смещений поверхности

F2 при ее бесконечно малой EAG - деформации. Воспользовавшись формулами (4) условие (12) принимает вид ([4]):

[gii"2 "£22^]« + Kg» + S22№ + Su(ü2+v2)W + Ci(gaüv + gj2) = 0 на dD. (13)

Формула (13) есть краевое условие относительно переменных а, ¡3 заданные на границе области D.

Так как изотермически-сопряженная сеть отображает поверхность на единичный круг, то можно положить и — coscp, V — sin (р, 0<(р<2ж ■ Тогда й = -sin (р, v = cos (р и м2 + r2 si. При этом имеем, что й2 - v2 = - cos 2(р, 2úv — — sin 2ср.

Положим gn + g22 = 2е, ga - g22 = 2g, gu = f, при этом имеем, что gu=e +g, gn=e-g. Тогда уравнение (13) относительно переменных а, /3 примет вид:

— - cos 2(р а + — --sin 2(р "ta п

e e Л

--1 |cos^ ^ + — sin 2(р

e ) 2e

на dD.

Полагая, а = —11 + с1 /2, р = V. то последнее уравнение относительно переменных ('. V принимает вид:

" и- г = с1Я0'/е5£)' (14)

е

g

— - cos 2(р

е

где /,'(/ ) = gux + 2gnxy + g22y Отсюда следует, что /<(/) > 0 для всех t е с"7); x=x(t). y=y(t).

.§П §22

Так как c\=const., то либо с /< (!) < 0, либо с /' (/) > 0. Рассмотрим комплексную функцию

A(z) = 7(z) + £(z), z = x + iyedD, (15)

R f

где n{z) = - cos 2(p + i sin 2<p, g(z) = --/' — . (16)

e e

Тогда уравнение (14) можно записать в виде:

Re ^(z)w(z) j /(0 на (1?)

где w(z) = U + iV, J(z) = (z) + |"(z), y(t) = .

Краевую задачу (7), (17) есть краевая задача A [2].

Если полагать, что cj=0, то краевое условие (15) примет вид

Re ^(z)w(z) J 0.

При этом будем иметь однородную краевую задачу A° к задаче A. Тогда задача A° будет описывать бесконечно малую A G - деформацию при вариации длины дуги края 3F2 равной нулю. Рассмотрим комплексную функцию Л(г) = rj(z) + <g(z). ze 3D. Из первого равенства (16)

следует, что \т]{£)\—\. Известно [5], что ¿f(z) <1. Таким образом, имеем, что

| T](z) I >| ¿;(z) I для всех Z е 3D.

п4. Об индексе краевой задачи A. Пусть ft) непрерывная функция в области D. Обозначим через ДэдЛО приращение функции f(t), когда точка t один раз опишет кривую dD в направлении, оставляющем область D слева. Вводим в рассмотрение целое число:

п = ^-АюатёЯ(г), (18)

где Л(г) ~ комплексная функция в области I), z = X + iy.

Представим комплексная функция A(z) в виДе единичного вектора Я(г), причем будем считать, что его начало закреплено. Когда точка z опишет один раз границу dD области D в направлении, оставляющем эту область слева, вектор Л(г) вернется в свое исходное положение,

совершив вокруг своего начала некоторое число n+ полных оборотов против движения часовой стрелки и некоторое число n~ полных оборотов в противоположном направлении.

Известно [2], что число n, определяемое равенством (18), равно разности n+-n- Эту разность называют индексом функции A(z) относительно границы 8D области I) или индексом краевой задачи. Индекс краевой задачи не изменяется при топологических преобразованиях области D. Его обозначим через ind A(z).

Известна ([2]) следующая теорема.

Теорема (*). Если индекс n краевой задачи A отрицательное число, то однородная краевая задача A° не имеет нетривиального решения. Неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда функция F(t) удовлетворяет условию разрешимости.

\Л(t)W'(t)F(t)dt = О на dD,

8D

где W'(t) ~ любое решение сопряженной однородной краевой задачи А 34

Подсчитаем индекс комплексной функции Л(г) определяемой равенствами (15) и (16).

Так как | г/(г) |>| ¿¡(г) | для всех г 6 с1). то по теореме Руше [3] функции Т}(г) и

а/(г) + 4'(-) = л(г) имеют один тот же индекс в области В. Поэтому для индекса п= тс1/ь(г). имеем:

МЛ(г) = Мг1(г) = гх§,7](г) = а^-е"2'" ) = ^-Агв(-2(р) = -2.

2 п 2л

Итак, индекс п краевой задачи А есть отрицательное число, и потому задача А имеет только нулевое решение.

п5. Доказательство теоремы. Пусть поверхности Р1 с краем дР1 подвергнута бесконечно малой ЕАО - деформации и переведена в поверхность /<'2. По теореме (*) краевая задача А не

имеет нетривиального решения. Следовательно, поверхность допускает только тривиальное решение. Отсюда следует, что поверхность Р1 является жесткой в пространстве Е3. Поэтому и в частности поверхности Дарбу являются жесткими. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. Т. 2.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

3. Шабат Б.А. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

4. Сидорякина В.В., Казарян Н.С. О бесконечно малых ЕАО -деформациях поверхностей с краем положительной кривизны при заданном краевом условии // Вестник ТГПИ. Естественные науки. 1006. № 1.

5. Казарян Н.С. О сведении уравнений бесконечно малых ЕАО -деформации к однородной системе Коши-Римана // Вестник ТГПУ. Естественные и физико-математические науки. 1006. № 4.

В.В. Казак, Н.Н. Солохин

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ УСЛОВИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ СЕГМЕНТОВ

Рассмотрим краевое условие

афТ) + Р(Щ = у, (1)

где и и V - векторные поля смещения и вращения бесконечно малого изгибания поверхности,

/ - векторное поле, заданное вдоль края поверхности, П - поле нормалей поверхности, (X, /?, у -некоторые функции, заданные вдоль границы поверхности.

Граничное условие (1) называется квазикорректным с р степенями свободы, если однородное условие (у = 0) совместимо с р линейно независимыми бесконечно малыми изгибаниями поверхности Б, а неоднородное условие совместимо с бесконечно малыми изгибаниями для любой функции у . Векторное поле I назовём собственным, если условие (1) не является квазикорректным.

В данной работе рассматривается картина распределения собственных векторных полей для сферических сегментов.

Введём на сфере стереографические координаты и, V , спроектировав её из южного полюса на плоскость экватора. Тогда, как известно, уравнение сферы в стереографической системе координат имеет вид:

[ 2и 2У

г(и,у) = \ --г;--г;--з \ = -п(и,у),

где г = и + / V.