Обобщение теоремы Лиувилля на бесконечно малые геодезические деформации поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75/.77 ББК 22.151

В. Т. Фоменко

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ НА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ1

Аннотация. Автор доказывает, что поверхность допускает нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации тогда и только тогда, когда поверхность является поверхностью Лиувилля.

Ключевые слова: поверхность, бесконечно малая геодезическая деформация, кривизна.

V. T. Fomenko

THE GENERALIZATION OF THE LIOUVILLE THEOREM ON THE INFINITESIMAL GEODESIC DEFORMATIONS OF THE SURFACES

Abstract. The author proves that the surface admits nontrivial infinitesimal geodesic deformations if the surface is the Liouville surface.

Key words: surface, infinitesimal geodesic deformation, curvature.

Известная теорема Лиувилля-Дини, согласно которой поверхность Лиувилля, и только она, локально допускает нетривиальные геодезические отображения на другую поверхность [1], [2]. В настоящей работе эта теорема доказывается для бесконечно малых геодезических деформаций поверхностей. Показано, что поверхности Лиувилля, и только они, локально допускают нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации. Изучается вопрос о существовании нетривиальных бесконечно малых геодезических деформаций замкнутых поверхностей. Доказано, что поверхности с центрально симметрической метрикой, гомеоморфные сфере, допускают нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации, а поверхности, гомеоморфные тору, являются жесткими в отношении бесконечно малых геодезических деформаций при условии, если на поверхность при бесконечно малой деформации наложить дополнительно условие существования хотя бы одной точки подобия.

§ 1. Бесконечно малые Л-геодезические деформации поверхностей

Ранее [4] нам встречались бесконечно малые геодезические деформации метрик, которые сохраняли ортогональность координатной сети. Поставим задачу отыскания других видов бесконечно малых геодезических деформаций двумерных метрик.

Определение: Метрика вида

сЬ2 = ЕсМ2 + 2 ¥<ЫЬ + СсЬ2 допускает бесконечно малую ^-геодезическую деформацию, если ее геодезическая деформация обладает свойством: ¿> ео - /<- = о •

Теорема. Для того чтобы метрика с/.\2 = /икг +ОсЬ2 допускала ^-геодезическую бесконечно-малую деформацию, необходимо и достаточно, чтобы она была плоской.

Доказательство. Пусть метрика й$2 допускает бесконечно малую А -геодезическую деформацию. Тогда вариации , где дgll - дИ. дgl2 - <->'/• . Sg22 - д(г при ортогональной параметризации, то есть при F = 0, удовлетворяют следующей системе уравнений

Е G ¿Яп) | Е,

е l 4eg

( S8u ^ G-

— = 0; — = 0:

I Е )v 4т 4ЁП

'АМи.) ^у__

^4eg)u 4EG Е

G

4eg Jv 4EG E

(1)

1 Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А. П. Чехова» по проекту №1.423.2011, тема «Реализация метрик положительной кривизны в виде поверхностей с заданной опорой», научный руководитель В. Т. Фоменко.

Умножая 12 на , - на и складывая левые и правые части этих уравнении, получим

E ' ~

ssn (ssn Е { Е

s8n { s8i

О-

Аналогично из уравнений 1 и 15 получаем

^lu/^Iul , SSl2 ( SSl2 |

E ^ E )v 4Ёё\-1Ёё Отсюда следует, что

-xv -y,~

e„

4eg

g„

•Jeg

7 = 0; Y = 0-

(2)

e„

y, +

где X =

yfEG

gu

4eg Y=

X =0;

X = 0;

11 . V- ^§ 12 <%ll , <%22 =Q

e ' 4ш}' e g Из этих уравнений находим:

Х2+Г2 =0; X2 + 72 =0.

Это означает, что X = Rcosa, Y -Rs,ma, где R = const. а - параметр, а = a u,v . Подставляя x,y в систему (2), находим

-Rsm.ee-а„ +

Е„

Rsmaa,, +

4eg

G.

iisino; = 0;

Jm

R sin a = 0,

что дает a =

E„

a„= —

G.

Jeg' v 4EG '

Так как a = a , то

uv Vll -

dv{jEG J du{^EG

g

= 0 .

(3)

Условие (3) означает, что гауссова кривизна метрики с1.\1 равна нулю. Отметим также, что при К = 0 мы находим

а =

'г е g

—pJ=du—f= dv + cn, cn = const.

4ЁС yfEG Полагая a - a -c0, получаем Sgu=ER cos a + c0 ;

= 4egr sin a

+ cn

512 ~ ~ 1 J

* = -GR cos a + c .

Так как найденные значения вариации 5 удовлетворяет условию

<%1 | _ о

Е О '

V

то эта деформация является бесконечно малой а -геодезической деформацией поверхности.

Пример. Положим ds2 = du2 + u2dv2. Это означает, что /•' = 1. /• = 0. G = u2. Тогда система (1) принимает вид

Яг,

■ = R cos a, R = const;

511 2

и

Sgn = sine?; ап =0, av = -2;

Тогданаходим а = - 2v; Sgn = /¿cos 2 v. Sg22 = -Ru2 cos 2 v. Sgl2 =-Ru sin2v.

S ds2 = R cos 2vdu2 - 2Ru sin Ivdudv - Ru2 cos 2vdv2.

Указанная бесконечно малая геодезическая деформация является а -деформацией метрики конической поверхности, так как имеет место равенство

¿gn | Sg22_Rcosa | ~Ru2cosa =q EG 1 и2 '

§ 2. Преобразование системы уравнений геодезических бесконечно малых деформаций поверхности

Система уравнений, описывающая бесконечно малые геодезические деформации поверхности в ортогональной параметризации имеет вид

MÉMi

3^ Е 3^ g

( s8u

2( s8z

3\ g

, 3 { Е 4g i

е.,

s8n _

4ш 4eg

Gu s8n

= 0;

_4т)и4Ё в 4Ё i

4eg )v4g б

4eg 4ж

= 0.

g

g

Ev f ¿g2.

2e{ g

Gu (

2G{ Е

g

(4)

= 0

= 0

Введем новые искомые функции, положив

Х =

Sgn _ ^g22 у = 2 = ^

Е

g

4ш'

Е

g

(5)

Тогда имеем X + Z = 2¿>g" ■ - X + Z = 2¿>g22 и система (4) принимает вид:

е g

F 1 X +-^Y = -Z ;

3 " 1

-X +-¡=J=7=-Z ;

3 v

y —e=x = 1 ;

-n/Ж? 3 v VG

Y+-^x = 1 z.#

V£G 3 "

Умножим 6 на и вычтем из 64 ; получим

4E

4ё " е v 4ёс '

Умножим 6 на ^L и вычтем из 6 ; получим

(6)

(7)

Je x +GLy = y -JVX •

4G v G u 4EG '

и

Систему уравнений (7), (8) перепишем в виде:

E3

-| = -G7 Е

(9)

Искомая функция z находится из системы уравнений:

G„

Е,.

X =3 1 +

Е„

4eg

4ё \ " 4eg'

X =3 -х,,+

G,

4т

(10)

Система уравнений (9) является системой эллиптического типа (см. [3]) относительно искомых функций Х,7 . Полагая в (9) Е = С > 0, получаем

'X

(11)

Это означает, что, если на поверхности введены изотермические координаты и,V , то искомая функция

X 7

<р г =--VI —

Е Е

является аналитической в области /) комплексного переменного 2-й + м\ и. у е 1) .

Отметим, что система (9) не эквивалентна системе (6). Именно, зная X,У как решение системы (9), необходимо из системы (10) найти функцию г для заданной метрики ск2 =Ес1и2 + (¡V1. Функция г гарантировано будет найдена, если область /) односвязна и выполнено условие полной интегрируемости систему (10): 2т = 2ш . Это условие имеет вид

2X.

4eg

Y -

G„

4ЁС

7 =0.

(12)

Далее будут указаны некоторые условия выполнимости условия (12). Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Для того, чтобы метрика ds2 =Е u,v du2 +dv2 , u,v e 1). заданная в одно-связной области D , допускала нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации, необходимо и достаточно, чтобы функция E и,v в области d удовлетворяла условию

Е- ср + ср +— Еи (р — (р —— Ev (р — ср =0,

uv 2 и 2 v

где (р z - некоторая аналитическая в /) функция от комплексной переменной z = u + iv; i2 =-1. § 3. Некоторые следствия, вытекающие из уравнений (11), (12)

Будем говорить, что бесконечно малая геодезическая деформация метрики ds2 является тривиальной, если во всех точках поверхности по всем направлениям имеем Sds2 = cds2, где с = const. К числу тривиальных бесконечно малых геодезических деформаций относятся бесконечно малые изгибания поверхностей, бесконечно малые деформации подобия и их композиции. Точку М0 поверхности будем называть точкой подобия при бесконечно малой геодезической деформации, если £ds2 |м = c0ds2 |м , где с0 = const. Будем говорить далее, что поверхность является

жесткой относительно бесконечно малых геодезических деформаций, если она не допускает нетривиальных бесконечно малых геодезических деформаций.

Основная задача теории бесконечно малых геодезических деформаций заключается в отыскании нетривиальных бесконечно малых геодезических деформаций поверхности. Аналогом классической теоремы Лиувилля-Дини о геодезических отображениях поверхностей является

Теорема 2. Всякая поверхность Лиувилля в окрестности каждой точки допускает нетривиальные геодезические бесконечно малые деформации.

Доказательство. Рассмотрим кусок поверхности Лиувилля, допускающий параметризацию

х, у , для которой

с1я2 = и х +У у с!х2 +с!у2 ,

х,у е I). /) - плоская ограниченная область. Решение системы (11), (12) будем искать в виде = со>со = const, 'у/. = 0 . Тогда уравнение (12) имеет вид: X ^ = 0 . что выполняется, так как

X - с0Е, где E = U х + V у .Из системы (6) находим Хг = ЪХи = 3 c0U'x\Zy = -3Xv = -3 c0V'y . Тогда имеем

I х,у =3c0ju'dx-V'dy + cl=3c0 U-V +cp

где cl = const.

Тогда имеем

sSu ~s822 =C0 U+V ;

8&ll+8&22 = u+v 3co u~v +cI ■

Это означает, что

2Sgn= U+V 3c0 U-V +c0+cx

2Sg22 = U + V 30 U-V +c1-c0

Так как при c0= 0 имеем 2Sgn = с, U + V ; 2Sg22 = с, U + V ; Sgl2 = 0 , то при c0= 0 имеем тривиальную бесконечно малую геодезическую деформацию. При с0 ф 0 получаем нетривиальную бесконечно малую геодезическую деформацию поверхности Лиувилля. Теорема 2 доказана.

Поверхности Лиувилля образуют довольно широкий класс поверхностей. К ним относятся, например, поверхности второго порядка, поверхности постоянной гауссовой кривизны, все поверхности вращения. Так как «в малом» такие поверхности допускают нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации, то естественное поставить вопрос: как ведут себя относительно бесконечно малых геодезических деформаций поверхности «в целом»? В частности, допускают ли нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации замкнутые поверхности? Ответ на эти вопросы дают следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть F2 - замкнутая ориентируемая поверхность класса С2 рода р, р> \. Тогда F2 является жесткой относительно бесконечно малых геодезических деформаций.

Доказательство. Рассмотрим на поверхности F2, р> 1, некоторую метрику ds2 класса С1. Будем считать, что в окрестности каждой точки м поверхности F2 введены изометрические координаты н'./Г относительно метрической формы ds2. Если точка М' принадлежит окрестности точки д/ и и' - изометрические координаты в окрестности точки М', то в силу ориентируемости поверхности F2 переход от одной параметризации к другой осуществляется посредством конформного отображения первого рода. Это означает, что если z=ul +iu2, z = п' +iu2 , то z = Ф z , где Ф z - аналитическая функция, причем дФ z Ф 0 в окрестности точки м . Так

как по предположению F2 - замкнутая поверхность рода р> 1, то она представляет собой связный комплекс, и потому ее в дальнейшем будем рассматривать как замкнутую риманову поверхность F2 р> 1 с локальной униформирующей z или z'.

Выясним закон преобразования функции (р z при переходе к новой параметризации z'.

Имеют место

г' = т г I

с1г

Лемма 1. (р' г' = <р г \ —- \ •

ди'

Доказательство. Так как 5%.. - тензор, то Sgr = u'¡,uJj,Sg¡j, где и'.. = —7 . Отсюда находим с

у ди'

2 ( сВ V

учетом, что и\ = м22, и] = -и\: ,, - + = и\ + ш\. 2 , - ¿>>22 + И8ёи = I -ф ■

511 <Ь22 1 612

2

Г/ГГ

е 2 = е 2

+ 2iSgn . Величина Е является относительным инвариантом веса один, поэтому с1г

<к\

Так как <р г = 8gu- 8$22 + 2i8gu , то получаем

, , I сВ Ю 2 =

У 1 сЕ

с1г

(к'

.92=\-\92

(к'

Лемма 2. Пусть ц/- абелев линейный голоморфный дифференциал первого рода на Е2. р>\. Тогда величина

ф 2 = ц/2 2 (р х

является голоморфной инвариантной функцией на Р^, р > 1.

Доказательство. Так как голоморфные линейные абелевы дифференциалы первого рода на римановой поверхности Р^ образуют линейное пространство размерности р, р> \, то абелев

дифференциал ц> на Р^ существует, при этом 1/ 2 ск' = хр 2 сЬ . Тогда в силу леммы 1 имеем

, ,2 2 ( У ( йЬ'У 2

ср г =ц/ г (р г г —^ I - (р г I I = у/ г ср г = (р г .

что и доказывает лемму 2.

Для завершения доказательства теоремы 2 отметим, что абелев дифференциал первого рода имеет на Р~. р > 1. ровно 2 р — 1 нулей. Поэтому при р> 1 функция ф при ф ^ 0 всегда имеет изолированные нули на . Но число нулей и число полюсов на замкнутой компактной римановой поверхности Р^, р> 1, функции ф совпадают. Так как функция ф аналитическая на . то ф = 0,

что и доказывает теорему 3.

Условие р > 1 является существенным. Именно имеет место

Теорема 4. Всякая центрально симметрическая метрика вида ¿¡я2 = Е х2 + у2 (1х~ + с ¡у2 , заданная на сфере, допускает нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации, если

ЕеС2.

Доказательство. Будем считать, что х,у - изотермические координаты на двумерной сфере. Тогда х,у можно рассматривать как декартовы координаты на плоскости и считать, что х + гу = 2-точка комплексной плоскости 2 . Известно, что в этом случае имеем асимптотические оценки:

11—4 I 1—4 X. У I ¡4 II

Е = 0 г , sg =0 г , х,у,г=0 1 , —,— = о г при 2 со . 1 ЕЕ

На основании обобщенной теоремы Лиувилля для аналитических функций Ф г = — + /' —

Е Е

получаем, что

4

Ф г = ^ а/ , где я, = соне!.

1=0

2

2

-4

Рассмотрим функцию

Ф; z = z2;X = ЕЯеФ1=Е- х2-у2 ; Y = E-2xy.

Тогда условие (12) выполняется тождественно. В самом деле, имеем

х2—у2 +2.v-£'J + Е' • 2 у ■ 2ху v - Е'-2х-2ху t=4^E"-2ху х~-у1 +Е'-х -2 у +£"-2vxJ + +4 [Е" ■ 2 у ■ ху2 +Е'-х-2у]-4[Е"-2х-х2-у+Е'- у ■ 2х] = О

Таким образом, уравнение (12) тождественно удовлетворяется для любой функции

Е х2 + у2 = Е |г|2 при Ф г = z2 . Это означает, что теорема 4 доказана.

Теорема 5. Всякая поверхность F2 рода р = 1 является жесткой относительно бесконечно малых геодезических деформаций при условии, что на поверхности при деформации имеется хотя бы одна точка подобия.

Доказательство. Так как в точке подобия деформации поверхности F2 функция (р z обращается в ноль, то голоморфная функция ф также имеет ноль в точке подобия бесконечно малой геодезической деформации метрики ds2. Кроме того, абелев дифференциал первого рода не имеет на F{ нулей. Так как в точке подобия деформации функция ф z обращается в ноль, то <р z = 0, что и доказывает теорему 5.

Рассмотрим бесконечно малые геодезические деформации метрик ds2, заданные на плоскости x, y в виде

ds2=Ex2+y2 dx2 + dy2 , х,у е R2. Справедлива следующая

Теорема 6. Метрика ds2 = Е dx2 +dy2 , где Е-Е х2 + у2 gC2, х,у е R2, не допускает нетривиальных бесконечно малых геодезических деформаций, если выполнены условия:

I iT in!-

1) Е |z|" = О \z\ , k > 1;

. л- I.

2) SgtJ = О |z| , к > 1 при \z\ —»со, z = х + iv.

Доказательство. Так как —:— = О 1 , то —, — ведут на бесконечности, как Ы . Если к >\.

Е ЕЕ

то в силу теоремы Лиувилля для аналитических функций имеем = ^^ = 0 и потому бесконечно малая геодезическая деформация метрики ds2 является тривиальной. Теорема доказана.

1 + х2 + у2 ' п п 2

Пример. Рассмотрим на плоскости метрику: ds2 =-—- dx2 +dv2 , x,v еМ". Эта

метрика может быть реализована в E3 в виде поверхности Эннепера

S :Г = + v2 v^l + x2-i v2 x2-v2 |. Так как E = 0 |г|4 , то поверхность Энне-

пера является жесткой относительно бесконечно малых геодезических деформаций с условием

sgu=o H4 .

Теорема 7. Метрика ds' =Е dx' +dy" , х,у еМ2 является нежесткой относительно бесконечно малых геодезических деформаций, если выполнены условия

1) Е = О 1 при \z\ = \х + iv\ —»со;

2) SgtJ = 0 1 при \z\ = \х + iv\ —> оо.

V Y I I

Доказательство. Так как -—н У — - О 1 при lzI—> оо, то в силу теоремы Лиувилля имеем

ЕЕ

X = с0Е, Y = с0Е, где с0 = const. Положим сд = сд + ic0. Уравнение (12) в этом случае принимает вид: 16

2 с0Е'-2' + Е'-2у-ё0 - Е'■ 2х-ё0 = 0,

У у X

4ё0 • Е" ■ 2ху + 2с0 ■ Е' + Е" • 4у2с0 - Е' ■ 2ё0 - Е" ■ 4х% = 0, 4-Е" с0 ■ 2ху + ё0 у2 - х2 = 0, то есть Е" = 0, если с0 + ic0 Ф 0.

Отсюда следует, что Е = а0 х2+у2 + Ь0, где аи = const. bu = const. Это означает, что Z = const и потому Sgy постоянны.

При этом можно считать, что * 1

SSn = 2 С1+С2 '

SS22=~ С2~С1 >

где с. I = 1. 2, 3,- произвольные постоянные. Это означает, что метрика ds2 допускает нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации. Теорема 7 доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Синюков, Н. С. Геодезические отображения римановых пространств / Н. С. Синюков. - М.: Наука, 1979. - 255 с.

2. Каган, В. Ф. Основы теории поверхностей / В. Ф. Каган. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - Ч. II. - 407 с.

3. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. - М.: Наука, 1959. - 628 с.

4. Фоменко, В. Т. Исследование уравнений бесконечно малых геодезических деформаций поверхностей // Вестник ТГПИ. - № 1. Естественные науки. - 2011. - С. 35-42.

В. Т. Фоменко, В. В. Сидорякина

УРАВНЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ1

Аннотация. Дается вывод уравнений бесконечно малых изгибаний двумерной поверхности в трехмерном римановом пространстве относительно ковариантных компонент изгибающего тензорного поля поверхности.

Ключевые слова: риманово пространство, поверхность, бесконечно малые изгибания, кова-риантное тензорное поля.

V. T. Fomenko, V. V. Sidorjakina

THE EQUATIONS OF THE INFINITESIMAL BENDINGS OF THE SURFACES INTO THE RIEMANNIAN SPACE

Abstract. The authors give the conclusion of the equations of the infinitesimal bendings of the two-dimensional surfaces into the three-dimensional Riemannian space.

Key words: Riemannian space, surface, infinitesimal bendings, covariant tensor field.

Уравнения бесконечно малых изгибаний в римановых пространствах.

п.1. Будем рассматривать бесконечно малые изгибания поверхностей в римановом пространстве R3 с координатами (уа) и метрикой ds2 = aapdyadyP, где ааа £ C4,v, 0 < v < 1. Будем считать, что поверхность S в R3 задана уравнениями уа = fa(jx}, х2), (х , х2) Е D, а = 1,2,3.

Пусть поверхность S подвергнута изгибанию с малым параметром £ и переходит в поверхность SE, заданную уравнением уа =/"(х1,^2) + £za(3C1,3C2), где (za) - изгибающее поле поверхности S0 = S.

Выведем уравнения бесконечно малых изгибаний поверхности S исходя из условия, что метрика поверхности S стационарна в начальный момент изгибания. Имеем

а-крОУ1 + m1, у2 + sz2,y3 + £z3)(dya + £dza)(dy* + £dz= (a^Qy1, y2,y3) +

dyaaflyl,

y2,y3£zy+...dyady/}+edzady/}+dzfîdya+...=aafidyady/2+£fyaa0zydyadyfi+aafidyfidza+aafi

dyadzfi+..,

1 Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту N° 1.423.2011 по теме «Реализация метрик положительной кривизны в виде поверхностей с заданной опорой», научный руководитель В. Т. Фоменко.