Бесконечно малые G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн при стационарности геодезического кручения вдоль края Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75/.77

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ G-ДЕ ФОРМАЦИИ С НУЛЕВОЙ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИЕЙ ВАРИАЦИЙ ГАУССОВОЙ И СРЕДНЕЙ КРИВИЗН ПРИ СТАЦИОНАРНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО КРУЧЕНИЯ ВДОЛЬ КРАЯ*

© 2013 г. Д.А. Жуков

Жуков Дмитрий Александрович - кандидат физико-ма- Zhukov Dmitry Alexandrovich - Candidate of Physical and тематических наук, ассистент, кафедра геометрии, Mathematical Science, Assistant, Department of Geometry, факультет математики, механики и компьютерных Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: fossil.new@yandex.ru. Don, 344090, Russia, e-mail: fossil.new@yandex.ru.

Изучается вопрос о существовании и единственности бесконечно малой G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн для односвязной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Вдоль края поверхности вариация геодезического кручения равна нулю в выбранном направлении. Выводится система уравнений деформаций. Полученная система и краевое условие записываются в комплексном виде. Исследование существования и единственности деформации сводится к изучению вопроса о разрешимости полученной краевой задачи. Вычисляется индекс краевого условия, применяются признаки разрешимости краевой задачи.

Ключевые слова: поверхность, бесконечно малая G-деформация, гауссова кривизна, средняя кривизна.

In this paper we research existence and uniqueness of infinitesimal G-deformation with zero linear combination of variations of Gaussian and mean curvatures for a simply connected surface in three-dimensional Euclidian space. The variation of a geodesic torsion equals to zero along the boundary in selected direction. We deduce the set of simultaneous equations of the deformations, then the set of simultaneous equations and boundary condition we write in complex form. The research is reduced to investigation of solvability of found boundary problem. We find the index of the boundary condition and use criterions of solvability of the boundary problem.

Keywords: surface, infinitesimal G-deformation, Gaussian curvature, mean curvature.

В данной работе рассматриваются бесконечно малые G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн односвязной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Изучается вопрос о существовании и единственности таких деформаций при одном краевом условии: вариация геодезического кручения вдоль края поверхности в некотором выбранном направлении равна нулю. Ранее данный вопрос в литературе не рассматривался.

Пусть S - поверхность, заданная радиус-вектором

r = r(u,v) e D3p, p>2, с краем dS класса Cla,0<a< 1, (u, v) e Q; Q - плоская односвязная область. Гауссова кривизна поверхности S: K > k0 > 0, k0 = const.

Рассмотрим деформацию St, t e (-t0,t0), t0>0, поверхности S. Зададим её уравнением rt = R(u, v, t), где (u,v) e Q ; R(u, v, t) - функция класса D3p, p>2, по параметрам u, v и класса C2 по параметру t; R(u, v,0) = r(u, v).

Пусть a(u, v) - некоторая функция на поверхности S. После деформации функция a перейдет в A(u, v, t) на деформированной поверхности St, причем

A(u,v,0) = a(u,v). Функцию Sa =

SA "dt

t=0

Векторное поле

St

будем называть векторным полем деформации. Далее будем считать, что у = у (и, у) е 03р, р > 2 .

Две деформации называются эквивалентными, если их векторные поля деформаций равны. Каждый класс эквивалентных деформаций будем называть бесконечно малой деформацией поверхности 5".

Бесконечно малой в-деформацией поверхности 5 называется такая бесконечно малая деформация, при которой поточечно сохраняется сферический образ поверхности [1, с. 463].

Бесконечно малой в-деформацией с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн называется бесконечно малая в-деформация поверхности 5, при которой выполняется условие

[■¿К + 2Ну-ЗН = 0 , (1)

где ЗК - вариация гауссовой кривизны поверхности 5; 8Н - вариация средней кривизны поверхности 5; [ и V - произвольные непрерывные функции параметров (и,у), удовлетворяющие условиям:

!Л1 + vz ф 0,

/л-у> 0.

(2)

будем назы-

вать вариацией функции а. Если За = 0, то будем говорить, что величина а стационарна при деформации.

^^ = Зг обозначим через у и

Этот вид деформаций введен и рассмотрен автором [2].

Потребуем, чтобы вектор деформации у в некоторой точке М0(и0, у0) поверхности 5 был равен заданному бесконечно малому вектору С ; это условие будем называть точечной связью. Аналитически точечная связь записывается в виде

У(М о) = С. (3)

*Работа выполнена при финансовой поддержке внутреннего гранта ЮФУ № 213.01-24/2013-66.

t=0

IV

Введем инвариант тп = , где II и IV - вторая и

четвертая квадратичные формы поверхности соответственно.

Поле направлений Я на поверхности будем задавать отношением п), 42 + Л2 ^ 0 . Вычет поверхности 5 относительно поля направлений Я будем обозначать VR (8) [3, с. 11]. Доказана

Теорема. Пусть геодезическое кручение поверхности 5 вдоль края 38 в направлении Я стационарно при бесконечно малой О-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью. Пусть |ги| > 1 вдоль края 38 в направлении Я.

Тогда если VR(S) > -2, то существует и единственна бесконечно малая О-деформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности 5; если VR(S)<-2, то существует (-2VR(S)-3) линейно независимых бесконечно малых О-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности 5.

Система уравнений для бесконечно малой С-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн

Из [1, с. 464] известно, что аналитически бесконечно малые О-деформации характеризуются соотношениями

3j y =аk дкr, j = 1,2,

(4)

(5)

где а^ - некоторые скалярные функции от и, V, и

а2 = а2 .

В силу односвязности поверхности 5 по частным производным 3у у можно восстановить векторное

поле у с точностью до постоянного вектора С . Система уравнений для бесконечно малых О-деформаций имеет вид [4, с. 21]

- 32 V + 2Г^и + (Г21 - Г222Ж = -3-П, [з и + 3-V + 2Г2и + (Г-1 - Г22) V = 3 2 П, где Г] - символы Кристоффеля второго рода,

и = 1(а22 - а-) , V = а-2, П = 1а2 +а-) . (6)

Преобразуем равенство (1) так, чтобы в него входили неизвестные функции а-, а12, а2 . Для этого используем формулы нахождения средней и гауссо-

и с г ь

вой кривизн поверхности: Н = — , К = —, где

28 8

с = 811Ь22 - 2812Ь12 + 822Ь11; 8 = 811822 - 822 ;

Ь = Ь11Ь22 -Ь22; 81], Ьу - коэффициенты первой и

второй квадратичных форм поверхности соответственно. Отсюда следует, что

Н = Л± 1 = 1&'8 - ^, ¿К = з{Ь ] = ® •8 - Ь •¿8

Подставим SH и SK в равенство (1); умножим

2

полученное равенство на g :

Л ■ (Sb ■ g - b ■ Sg) +Hv ■ (Se ■ g - c ■ Sg) = 0 . Вместо средней кривизны подставим ее выражение H = и после преобразований получим 2g

2/g (Sb ■g — b■Sg) + с■v^ (&■ g — cSg) = 0 . (7) Для дальнейших преобразований требуются функции Sg , Sb , Sc . Так как поверхность S имеет гауссову кривизну K > k0 > 0, k0 = const, будем считать, что на поверхности введена изометрически сопряженная система координат, в которой справедливы равенства

bn = b22 * 0 , bi2 = 0 . (8) Функции Sg , Sb при этом выражаются формулами [4, с. 21]: Sg = 2g(a¡ + a^),

Sb = b11b11(a;1 + a|) = b(a¡ + a^) . Найдем Sc :

Sc = Sg11 ■ b22 + g11 ■Sb22 — 2Sg12 ■ b12 —

-2g12 ■Sb12 +Sg22 ■ b11 + g22 ■Sb11• (9) Используя формулы, выражающие Sgp и dby [4, с. 21-22]

Sg11 = 2aíg11 + 2a12 g21, Sg12 =alg12 +a12g22 + a12g11 + a2 g21, Sg22 = 2a12g12 + 2a%g22, b = a¡bn, S12 =a12bn, Sb22 = a2b i, перепишем выражение (9) в виде Sc = (2aígn + 2a12g21) ■ b22 + gn ■ a2bn -- 2(aíg12 + a12g22 + a12g11 + a2 g21) ■ b12 - 2g12 ■ ^11 +

+ (2a 12g12 + 2a2g22) ■ b11 + g22 ■ alb11 .

Последнее в^1ражение в силу формул (8) принимает

вид Sc = bu(aí (2gn + g22) + a22g12 + a2 (2g22 + gu)). Подставим выражения Sg , Sb , Sc в (7)

2/g ■ (bn(a¡ + a\) ■ g - b ■ 2g(aJ + a^)) +

+ с ■ v ■ ((aí (2g11b11 + g22b11) + a12 2g12b11 + + a\ (2g22bu + gubu)) ■ g - c ■ 2g(aJ + a^)) = 0 . (10)

(11)

J 2 g2

g

В силу равенств (8) имеем b = b^, с = bu(gu + g22).

Подставляя (11) в (10), получаем

2 12 2 12 2Mg-(ЬцС«! +«2)-g -bn-2g(a^ +a^)) +

+ bll(gll + g22) ' v ' ((al (2gllbll + g22bll) + + al22gl2bll + a22(2g22bll + gllbll)) • g -- bll( gll + g22) • 2g(al + а22)) = 0 . Разделим последнее равенство на bl2lg ф 0 и перегруппируем слагаемые

aí (2Mg + ^g22(gll + g22)) - a22gl2(gll + g22)V +

+ a22 (2Mg + Vgll(gll + g 22)) = 0 . Для краткости введем обозначения h = 2№ + ^?22(gll + g22) , l2 = 2gl2(gll + g22)V ,

l3 = 2^g + ^gll(gll + g22) .

g

Следовательно,

a\lY + a2l2 + ct|l3 = 0. (12)

Перепишем равенство (12), используя обозначения (6)

П(1Х +13) + Vl2 + U(l3 - lj) = 0 . (13)

Присоединим уравнение (13) к системе уравнений (5). Получим систему уравнений для бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн:

'дх U -д2V + 2Г22U + (Г2! - r^)V = -5jП,

Ô2U + dV + 2r2iU + (Г ! i - = д 2-П, (14) П(^ +13 ) + Vl2 + U (l3 - ) = 0.

Краевое условие

Вдоль края поверхности S в направлении R выполняется условие

* я = 0 >

(15)

где т - геодезическое кручение поверхности 5. Представим условие (15) в виде уравнения, содержащего неизвестные функции

Из [3, с. 68] в2 = £2 +Т , где в, кп - сферическая

и нормальная кривизны, следует, что условие (15) выполняется тогда и только тогда, когда справедливо равенство

(16)

ß(02) - 2knSkn = 0 .

При бесконечно малой G-деформации по определению сохраняется поточечно сферический образ поверхности, поэтому вариация третьей квадратичной формы поверхности тождественно равна нулю. Из

п 2 111 1 11 этого факта с учетом формул О = —, kn = —, где

I, II, III - первая, вторая и третья квадратичные формы поверхности соответственно, следует, что равенство (16) эквивалентно aß I + ßßI = 0, где

а = 2II2 - III ■ I, ß = -2II ■ I. Вычисляя SI и HI, получаем

aßg1l#2 + 2Sgi2! +Së22V2) + + ßßß2 + 2ß>!+ ß>2272) = 0 .

Воспользуемся формулами (10) и (11)

12 2 12 2 2a(a1b1 +a1 b2 +a^b3) + ßb11(a1c1 +a1 c2 +а2с3) = 0, (17)

где b, С, '=1^3, - известные функции, выражающиеся формулами:

b1 = gl1#2 + gl27 , b2 = gl2^2 + S22& + giß! + 8ll72 ,

b3 = gl2!+ g2272 , (18)

ci = #2 , С2 = 2! , Сз =72. (19)

Перегруппируем равенство (17) и введем обозначения:

fi = 2abi + ßbuCi, /2 = 2ab2 +ßbiiC2 ,

/з = 2аЬз +ßbiC3 . (20)

Краевое условие (13) примет вид

а/ + а2/2 +а2/з = 0. (21)

Перепишем условие (21) c учетом (6)

U(/3 - fi) + Vf2 =-П(/3 + fi) .

(22)

Здесь /, /2, /3 - известные функции, выражающиеся формулами (20); и, V, П - неизвестные функции, связанные с а\, а2, а 2 формулами (6).

Таким образом, исследование бесконечно малых О-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн при выполнении условия (15) свелось к изучению краевой задачи для системы уравнений (14) с краевым условием (22).

Комплексная запись полученной краевой задачи

Следуя И.Н. Векуа [5, с. 110], введем в рассмотрение функцию н>^) = и + ¡V, где 7 = и + ¡V, /2 =—1, (и, V) е О.

В равенства (14) подставим выражения и и V через

V + V V — ^

н<2) = и + ¡V, т. е. и =- и V =-. Система

2 2/

уравнений (14) в комплексном виде

\д-2 V + + В= —д2 П,

14 V — V + ^ (23)

|П(/- + /3) +¡2 (/3 — К) = 0. ( )

Второе уравнение системы (23) позволяет выразить функцию П через V и привести систему (23) к одному уравнению с одной неизвестной функцией V .

(

П = w

i li - 1з i ¡2

2 \ +13 2i lx +1

+ w

3

i ¡i -13 , i ¡2

2 l + l 2i l + l

3 У

Покажем, что ^ + ¡3 ф 0. Предположим, что

¡1 + ¡з = 0, тогда ¡1 + ¡з = 2[ + 1^22(я„ + £22) +

+ 2[ + ^?11(£-1 + ё22) = 4[8 + у(ёи + §22)2. Следовательно, равенства ¡1 + ¡3 = 0 и

+ v(g11 + ё22)2 = 0 эквивалентны. Пусть для определенности уф 0 , тогда — = —(811 + 822) < 0 , что

невозможно в силу условий (2). Аналогичный результат имеем и при —ф 0 . Следовательно, наше предположение неверно, и ¡1 + ¡3 ф 0.

Используем выражение для функции П и запишем систему (23) в виде

д-w + Alw + Bw = -dz w

i ¡i - ¡3

i U

2 ¡i + ¡3 2i ¡i + ¡3

- wd,

- w д.

i ¡i - ¡3 i ¡2

2 \ + ¡3 2i \ + ¡3 y

U

- д w

i ¡i - ¡3 i t

+ —

2 ¡j + ^ 2i ^ + ^ y

i. ¡i -¡3 1 i 2

2 ¡i + ¡3 2i ¡i + ¡3

Перенесем все члены в левую часть равенства и введем обозначения:

f

9i( z) = -

i ¡i - ¡3 i ¡2

A

2 ¡j + ^ 2i ^ + ¡3

f

92 ( z) = -

i ¡i - ¡3 , i ¡2

A

2 ^ + ^ 2i ¡j + ¡3

Ai = Ai +d z

i ¡i - ¡3 i ¡2

Bi = Bi +d.

2 ¡i + ¡3 2i ¡i + ¡3 i ¡i - ¡3 , i ¡2

+---

2 ^ + ^ 2i ¡j + ^ y

Тогда система (23) запишется в виде д zw - ql (z)d zw - q2 (z)d zw + Alw + Blw = 0. (24) Исследуем регулярность коэффициентов уравнения (24). Коэффициенты g-- e D2 p, p>2, поэтому Гк- e p ,

p>2, следовательно, Al,B e Dlp , p>2. Это означает,

что A, B e Lp . Функции q и q2 - измеримые, так как

ql, q2 e D2 p, p>2, а значит, qj, q2 e ¿p .

Покажем, что функции qx и q2 удовлетворяют неравенству

|ql(z) + |q2(z) < q0 < l. (25)

Для этого докажем справедливость неравенства 4lll3 - ¡l > 0 . (26)

Учитывая условия (2) и известное неравенство

g = gllg22 - gl22 > 0 , имеем

4¡l¡3 -¡2 = l6^2g2 + 8^Vg(gll + g22)2 + + 4v2g(gll + g22)2 > 0 .

Таким образом, справедливость неравенства (26) доказана. Вернемся к неравенству (25). Имеют место

1

1 (- и

4 111 +13

+ —

11 U

4111 +13

равенства:

|q (z)| = yj (Re^})2 + (Im{ft})2

|q2(z)| = J(Re{q2})2 + (Im{q2})2 = , 1 .1.1. .

1 |4 ^ l1 +13 J 4 ^ l1 +13

поэтому неравенство (25) принимает вид

22 1 (l1 -13 ) 11 l,

V

(li - l3 )2 +122

1

(27)

(l1 + 1з)2 -(l1 - 1З)2 -122 > 0.

(28)

П =

w + w l1 -13 w - w l2

2 l1 +13 2/ l1 +13

U =

w + w 2

w - w

к = ——— , получаем

U(/3 - /1)+v/2 =-

U-

Л -13

-v

li + l3 A + h

(/3 + /1) . (29)

4(l1 + h)2 2 Возведем (27) в квадрат и умножим на 4(lj + l3)2 * 0

Неравенство (28) эквивалентно (25), поэтому справедливость неравенства (28) будет автоматически означать справедливость неравенства (25). Учитывая

(26), получим (11 + ¡3)2 -(¡1 - ¡3 )2 - ¡22 = 4/1/3 - ¡22 > 0 . Справедливость неравенства (25) доказана. Таким образом, поиск поля у сводится к следующим действиям.

Решив уравнение (24), найдем функции V, П, и, V. 12 2

С помощью формул (6) - а1, а1 , а^^ , (4) - 31у , 32у . Поверхность 5 односвязна, и выполнено условие 312у = 321у . Следовательно, с учетом условия (3) в произвольной точке М поверхности 5 вектор деформации у

м

однозначно определяется по формуле у(М) = | й у + С.

Мо

Запишем краевое условие (22) в комплексном виде. Сделав замену переменных по формулам

Умножая равенство (29) на ¡1 +13, перегруппировав слагаемые и введя функцию

* = (№ + 'зХ/з -/1) + (11 -¡зХ/з + /1)) + ¿(('1 + ¡з)/2 -/2С/э + /1)) , перепишем его виде

Яе{х> = 0 . (30)

Поверхность 5: г = г(и, у) е 03р , р>2. Следовательно, 8] еВ2рр, р>2 ¿,] = 1,2, поэтому ¡1,'2,'з е, р > 2 . Следовательно, х е В2 р , р>2, и поэтому Ж е Ср(3П), 0 <р< 1.

Полученная краевая задача для уравнения (24) с краевым условием (30) является задачей А°, которая изучалась в [5, с. 281].

Используя условия разрешимости краевой задачи (24) - (30), можно сделать вывод о существовании рассматриваемых деформаций поверхности 5. Ключевую роль в этом исследовании играет индекс функции X. Для облегчения его подсчета сформулируем и докажем лемму.

Лемма 1. Если для данных краевой задачи (24) -(30) верно неравенство

- 4/3/1 + /22 > 0, (31)

то Ыйх = 1пйХ, где 2 = /3 - /1 + /2, Х ф 0, х ф 0 . Доказательство.

х = (¡1 + ¡3Х/3 - /1)+¿(¡1 + ¡3)/2 + (¡1 - ¡3Х/3 + /1) - ¿¡2С/3 + /1).

Введем обозначения: Х1 = (¡1 + ¡3)(/3 - /1 + /2), Х2 = С/3 + /1Х¡1 -¡3 -¿¡2) . Покажем, что |х1 > |х2|.

Х1Ч (¡1+¡з)2(/з - /1)2+/2 (¡1 + ¡3)2 =

= 7(¡1 + ¡3)2((/3 - /1)2 + /22) ,

|х2| = 7 (/3 + /Л - ¡3)2 + ¡2(/з + /1)2 = = 7(/3 + /1)2(С1 -¡3)2 + ¡2) .

Подставим полученные выражения в неравенство Х11 > |х21 и возведем обе его части в квадрат. Получим

(¡1 + ¡3)2(( /3 - /1)2 + /22) - (/3 + /Л - ¡3)2 + ¡22) > 0. (32)

Следовательно, неравенство |ж1 >|х2| эквивалентно (32), что означает справедливость неравенства Х1 > |х2|. Преобразуем левую часть неравенства (32)

(¡1 + ¡3)2((/3 - /1)2 + /22) - (/3 + /1)2((¡1 -¡3)2 + ¡22) = = (¡12 + ¡32)(-4/3/1 + /22) + Щ(2/32 + 2/12 + /22)-(/3 + /1)2¡22 .

Из (31) следует, что /22 > 4/3/1, поэтому последнее выражение можно оценить с учетом неравенств (27) и (31)

(¡2 + ¡2Х-4/3/; + /2)+2¡l¡з(^./з2++ /22) - (/3+/)2 ¡2 > > (¡12 + ¡32Х-4/3/1 + /22) + 2¡l¡з(2/3 + 4/3/1 + 2/12) - (/3 + /1)2 ¡22 =

=(¡2+/2Х-4/3/1 + /22)+(/з + /1)2№з - ¡2) > 0.

i

2

2

<

и

Доказана справедливость неравенства (32), а значит, и >|х2|. Следовательно, по свойствам индекса 1пё% = 1пйх1.

Рассмотрим функцию х1 = (¡1 + ¡3)(/ — /1 + /2). В силу свойств индекса индекс произведения равен сумме индексов сомножителей. Действительная функция ^ + ¡3 не обращается в нуль, 1пй(^ + ¡3) = 0 . Следовательно, !пй% = 1пй%х = 1пёЯ.

Лемма 2. Пусть справедливо неравенство (31) и 2 ф 0. Тогда х Ф 0 .

При доказательстве леммы 1 было показано, что \хг\ > |х2|. Функция в нуль не обращается, так как ¡1 + ¡3 ф 0, Хф 0, следовательно, хФ 0 .

Доказательство теоремы

В силу леммы 1 индекс функции х равен индексу функции X, если выполнено условие (31). С учетом равенств (18) и (19) получаем

— 4(2аЪ3 + /ЗЬп€3 )(2ай1 + /ЗЪгс )+(2аЪ2 + )2 = = 4а2(—4Ъ1Ъ3 + Ъ|) > 0.

Итак, условие (31) выполнено. Следовательно, в силу леммы 1 индекс функции х равен индексу функции X.

Х = /3 — /1 + 1/2 =

= (4—' Ф(2а[ё 2тП+8и'4+812КЛ — ¡^)]—РЪ11(ё—/ф)). Обозначим

2 = 2а'[ё22Ф + 811/4+ ё12/ф— ¡4)] — РЪ11(4.— /ф) .

Покажем, что X Ф 0. Для этого предположим, что Х = 0 . Тогда 2 = 0, так как 4 — ¡фФ 0 в силу условия

42 +ф2 ф 0 . Функция 2 = 0 тогда и только тогда, когда выполнены условия:

К2а8п + Д>114 + 2а812ф = 0 12а8124 + (2а822 + РЪ\\ф = 0.

Выражение (2а811 + ^Ъ11)(2а822 +РЪ\)— 4а2822 Ф0, так как (2а81 г + РЪХ х )(2а822 + РЪХ х )— 4а2 8 22 =

= 4а2 8 + 2а/?Ъ11(8ц + 822) + Д>п > 0 с учетом выбора изометрически сопряженной системы координат и в силу условия |ти| > 1. Отсюда 42 + ф2 = 0, что

невозможно. Полученное противоречие доказывает, что Хф 0. Следовательно, в силу леммы 2 хФ 0 . Вычислим индекс функции X.

IndX = Ind (g - i v) + Ind2 , 2 = 2a[822V + 8nig + 8\2i(n -ig)]- ßb11(g-iV) = = (g- i V)(- 2a (g 22 + 811) -ßii)+

+ 2a(822#-i8nV-8i2(V-ig)) •

Введем обозначения:

X2 = (g- iV)(-2a(822 + 8l1) -ßbl!),

X3 = 2a(822g - i8nV - 812(V - ig)) • Покажем, что |X| >|2|. Для этого достаточно показать, что |X2|2 — |Хз|2 > 0. Учитывая, что 8228п - 822 > 0, имеем

Х^2 -|Хз|2 = 4a2#2(8?i + 28228ii -8I22) +

ООО о о

+ 4a V (822 + 2822811- 812) + 8a &8i2(822 + 8ii) +

+ (4aßbu(822 + 811) + ß^nXg2 + V2) >

> 4a 2 (811 + 8 22 )(811g2 + 2812#V + 8 22V2) +

+ (4aßbn(822 + 811) + ß2^121)(#2 + V2) •

Полученное выражение положительно в силу выбора изометрически сопряженной системы координат и условия |rn| > 1. Следовательно, доказано, что

1X2! > |Х3|. В силу свойств индекса [6, с. 93] получаем IndX = Ind(g - i v) + IndX = Ind(g - i V) + IndX = = 2Ind(g - i v)+Ind(-2a(822 + 81 x) - ßbx x) = 2Ind(g - i 7) . Индекс функции g-iv вычислен в [4, с. 25],

Ind (g- iV) =-1 (Vr (S) + 2).

2

Следовательно, Indx = IndX = -(VR (S) + 2).

Далее, применяя признаки разрешимости задачи [5, с. 284, 286], получаем утверждение теоремы.

Литература

1. Фоменко В.Т. Об одном аналоге теоремы Зауера // Мат. заметки. 2003. Т. 74, вып. 3. С. 463-470.

2. Жуков Д.А. MG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 2012. 20 с.

3. Фоменко В.Т. Об изгибании и однозначной определенности поверхностей положительной кривизны с краем. Таганрог, 2011. 74 с.

4. Жуков Д.А. Бесконечно малые MG-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны при стационарности средней кривизны вдоль края // Науч.-техн. вестн. Поволжья. 2012. № 3. С. 18-25.

5. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1988. 512 с.

6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1958. 544 с.

Поступила в редакцию

10 сентября 2013 г.