Непрерывные MG-деформации поверхностей с краем в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 514.75 ББК 22.151

НЕПРЕРЫВНЫЕ ЖС-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Бодренко Андрей Иванович

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры фундаментальной информатики и оптимального управления

Волгоградского государственного университета

[email protected]

Проспект Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. В статье исследуются свойства непрерывных деформаций двумерных поверхностей с краем в трехмерном евклидовом пространстве, поточечно сохраняющих грассманов образ и произведение главных кривизн поверхностей. Для двумерной односвязной ориентируемой поверхности Р с краем дР в трехмерном евклидовом пространстве Е3 мы вводим понятие непрерывной МС-деформации и находим дифференциальные уравнения, определяющие весь класс МС-деформаций поверхности Р в Е3. В работе доказан ряд лемм, в которых выводятся оценки норм функций, описывающих МС-деформации поверхности Р. С использованием метода последовательных приближений и принципа сжимающих отображения мы доказываем основной результат данной статьи — теорему 1.

Ключевые слова: деформация поверхности, средняя кривизна, гауссова кривизна, С-деформация, непрерывная деформация.

§ 1. Основные определения. Формулировка результата

2 Пусть Е3 — трехмерное евклидово пространство, заданное в координатах (у1, у2, у3). § Здесь и далее считаем, что индексы суммирования а,0,^,... пробегают значения от 1 X до 3, и действует правило суммирования Эйнштейна.

< Пусть Р — двумерная односвязная ориентируемая поверхность в Е3 с краем дР. * Обозначим через О область в Е2, через дИ — границу области И. Ц Пусть поверхность Р в Е3 задана погружением / : И ^ Е3:

о Ю

© у° = Г(х\х2), (х\х2) е Д а = 1, 2, 3.

На поверхности F порождается риманова метрика, задаваемая формулой ds2 =

= gij dxldxj, где

дуа dyß

9гэ = daß -g- -g-,

и индексы i,j пробегают значения от 1 до 2, 8aß — символ Кронекера.

В дальнейшем считаем, что формула верна для всех допустимых значений индексов, если не указано, для каких значений индексов данная формула имеет место.

Пусть bij — компоненты тензора второй основной формы поверхности F, g = = det\\gij||, b = det\\bij||. Обозначим через

da(x) = fg dx1 Л dx2

элемент площади поверхности F.

Пусть (х1,х2) — декартовы прямоугольные координаты в Е2. Без ограничения общности будем считать, что D = D U dD — круг единичного радиуса в Е2 с центром в начале координат. Отождествим точки погружения поверхности F с соответствующими координатными наборами в Е3.

Пусть F G Cm>v, dF е cm+1>v, v G (0; 1), m > 4.

Рассмотрим деформацию {Ft} поверхности F, определенную уравнениями:

= уа + z!^(t), za(0) = 0, t G [0; to], to > 0.

Пусть поверхность F не имеет действительных асимптотических направлений. Обозначим через к1 и к2 главные кривизны поверхности F. Будем считать, что к1 > 0, к2 > 0 на F. Обозначим через К = к1к2 гауссову кривизну поверхности F в Е3.

Введем обозначение А(/) = f (t) — f (0). Определение 1. Деформация {Ft} называется непрерывной деформацией, сохраняющей произведение главных кривизн К = k]_k2 (или М-деформацией [12]), если выполняются следующие условия: А(К) = 0, и za(t) непрерывны по t.

Деформация {Ft} порождает следующий набор кривых в Е3:

ua0 (т) = (уа0 + za0 (т)),

где za0(0) = 0, т G [0; t], t G [0; io], to > 0.

Определение 2. Деформация {Ft} называется G-деформацией, если каждый нормальный вектор поверхности F переносится параллельно вдоль траектории деформации {Ft} для каждой точки поверхности.

Пусть вдоль dF задано векторное поле, касательное к F:

^ = 1Уг , (1)

где символом « ¿» обозначена ковариантная производная в метрике поверхности F. Рассмотрим краевое условие:

Saßzavß = j(s, t), s G dD, (2)

где функции va и 7 принадлежат классу Cm-2'u. Положим:

~7k = SaßУ%Vß, к =1, 2, (3)

Хк = -;-Хк „ , к = 1, 2, (4)

(Jl)2 + (\2)2

X(s) = Xi(s) + г\2(s), s edD. (5)

Пусть N — индекс данного краевого условия:

N =^AdD argX(s). (6)

Теорема 1. Пусть F e Cm>v, v e (0;1),т > 4, dF e Cm+1'v. Пусть vße Cm-2>v(dD) и при этом функция j непрерывно дифференцируема по t. Пусть в точке (ж^-р ж2о)) области D выполняется условие: za (t) = 0 Vt.

Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если N > 0, то существуют t0 > 0 и е(t0) > 0 такие, что для любой допустимой функции J, удовлетворяющей условию \\j\\m-2,v < s(t0), для всех t e [0, t0) существует MG-деформация класса Cm-2'u (D), непрерывная по t, непрерывно зависящая от (2N — 1) произвольных действительных непрерывных функций Ci(t), г = 1,..., (2N — 1), удовлетворяющих условиям Ci(0) = 0, г= 1,..., (2N — 1).

2. Если N < 0, то существуют t0 > 0 и е(t0) > 0 такие, что для любой допустимой функции J, удовлетворяющей условию \\j\\m-2,v < е(10), для всех t e e [0, t0) существует не более одной MG-деформации класса Cm-2'u(D), непрерывной по .

§ 2. Вывод уравнений б-деформаций поверхностей в евклидовом пространстве

Будем решать поставленную задачу методами теории деформаций поверхностей [1-8].

Введем следующие обозначения:

ъгз (г) = ъгз + ^ (г)), ъгз (0) = ъгз, ъ(г) = ь( у° + г- (г)), ь(0) = ь,

9И (^ = 9и (Уа + ^ (V), 9ц (0) = 9ц, 9(1) = д( уа + ^ (I)), д(0) = д,

а3 (г) = а3, с(г) = с, (г) = .

Положим:

(г) = 0,1 (г) у°, 3 + с(г)па, (7)

где а? (0) = 0, с(0) = 0.

Таким образом, деформация [Р^ поверхности Р, заданная формулой (1), определяется функциями а? и с.

Мы имеем (см.: [13, с. 203]):

= Л + С, 3)па + (аг, 3 - сЬзтдтг)уа, г.

Условие С-деформации [Рг} поверхности Р эквивалентно следующему равенству:

(У "г + % (1))П = 0.

Таким образом, уравнения С-деформации [Рг} поверхности Р принимают вид:

а1Ъ1г + с, г = 0, г = 1, 2. (8)

§ 3. Уравнения б-деформаций в сопряженно изотермической системе координат

Введем на Р сопряженно изотермическую систему координат (х1,х2). Обозначим Ьц = V, г = 1, 2, при этом Ь12 = Ь21 = 0. Тогда систему уравнений (8) можно записать в следующем виде:

с, 1 + Уа1 = 0,

с, 2 + Уа2 = 0. (9)

Продифференцируем первое уравнение системы (9) по х2, второе — по х1, и вычтем из первого уравнения второе. Тогда мы получим:

Уд2а1 - Удха2 + д2Уа1 - дхУа2 = 0. (10)

Из (10) находим:

82а1 - 81а2 + ркак = 0, (11)

где р1 = 52(1п V),р2 = -д1 (1п V). Заметим, что не зависят от

Дифференцируя уравнение (11) по получаем следующее уравнение:

д2а1 — д1а2 + рк ак = 0.

§ 4. Решение системы уравнений (9): нахождение функции с по функциям а1

Будем решать систему уравнений (9), предполагая, что функции а1 и а2 заданы. Заметим, что функция V не зависит от с,аг. Мы имеем:

г

с(х1,х2,Ь) = У с(х\х2,т)ё,т, (с(х1,х2, 0) = 0); (12)

о

г

а1(х1 ,х2,г) = ! се(х\х2,т)с1т, (а\х\х2, 0) = 0); (13)

о

г

а\к(x1,x2,t) = J а]к(х1 ,х2,т)(1т, (а*к(х1,х2, 0) = 0). (14)

о

Формулы (12)-(14) устанавливают связь между функциями с, аг и с, аг соответственно. Это означает, что если функции с, аг найдены, то найдены и функции с, аг.

Продифференцировав уравнения системы (9) по перейдем к следующей системе уравнений для функции с:

с, г = -Уа\ г = 1, 2, (15)

где мы будем рассматривать функции с, аг, с^, а^л.

Преобразуем (15) в интегральное уравнение относительно функции с. Пусть I* — произвольная допустимая кривая в И с началом в точке (х^, х^). Зададим I* уравнениями: х1 = х1(з),х2 = х2(в). Мы приходим к следующему уравнению.

(^2) / ч / ч

с(х1,х2, г)= ! (-V а Ч ¿х1 + 1-Уа 2Ых2. (16)

(ж(0)'ж20))

Уравнение (16) вдоль I* принимает вид:

(^-Vä1(sг)х1'(si) - Vä2(sг)х2'(s

с(х1,х2, г) = ! ( -VII\81)х1 (в 1) - Vа2(з 1)х2 (з 1) ) ¿81. (17)

Уравнение (17) имеет единственное решение в классе непрерывных функций для любых непрерывных функций аг и драг.

Следовательно, каждой паре функций аг € Ст-2'и, г = 1, 2, соответствует единственная функция с € Ст-2'и и, значит, единственная функция с € Ст-2'и, определяемая из (12).

Лемма 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) 3Ьо > 0 такое, что ак(1),дгак(1),ак(1), дгак(Ь) — непрерывны по Ь, V € [0, ак (0) = 0)д1ак (0) = 0.

2) 3г0 > 0 такое, что а*(г) € Ст-2'и, дка1(г) € Ст-3>", V € [0, г0].

Тогда 3¿* > 0 такое, что уравнение (16) V € [0, ¿*] имеет единственное решение класса Ст-2'и, непрерывное по Ь.

Доказательство следует из того, что кривая I* — произвольная допустимая в И, поэтому система уравнений (15) имеет единственное решение для любых непрерывных функций аг и драг.

§ 5. Вывод уравнений МС -деформаций поверхностей в евклидовом пространстве

Обозначим через и соответственно, определители матриц первой и второй фундаментальных форм поверхности Ft. Тогда условие сохранения произведения главных кривизн при деформации {Ft} поверхности F принимает следующий вид:

ды = I т,

где

Д(д) = дг - д, Д(Ь) = Ь - Ь,

Вычислим Д(gij). Мы имеем:

Д(9г, ) = saß(уа, г + za, i)(yР, 3 + zP,,) - 5aßya, lVß, , =

= 6aßya, tzß, j + 5aßyß, jZa,, + Saßza, iZß, i. (18)

Тогда, используя (18), находим:

дгз Д( дц) = 2д l4aßya, iZß,, + baßg13 za, iZß, j. (19)

s

Обозначим:

= 8ардг]Л ^,,. (20)

В силу свойств определителя д = дцд22 — д22 мы имеем:

Д(д) = ддг> Д(дг,) + (21)

где

= Д(011)Д(^22) — (Д(^ 2))2. (22)

Учитывая равенство (19) и обозначение (20), запишем соотношение (21) в следующем виде:

Д(д) = 2ддгз5а13уа, ^,, + д\¥, + W^1.

Отсюда,

Д|)= — ^ + * + £ (23)

Используя формулу 5г(1п /д) = Г^-, где Г^. — символы Кристоффеля для поверхности ^ в метрике д^, формулу для средней кривизны 2Н = дгтЬгт, запишем уравнение (23) в виде:

Д/Г ) - 2»/ + ^ + & (24)

Из уравнения (24) находим:

Д(д)

^а1 + д2а2 + а1дг(1n V^) + а2д2(Ы^) - , W W2

2g

где

Ф2 = 2 Не - ^.

2 2д

Таким образом, получим следующую формулу:

А(^) = 2g(d1a1 + d2a2 + qkak — Ф2), (25)

где

= д\(1n /£), 92 = $2(1п у/9).

Заметим, что qk не зависят от t.

Соотношение (25) определяет А(д) при деформации {Ft} поверхности F в Е3. Выведем формулу для вычисления А(6). Мы имеем:

А(&) = & bii А( b ij ) + w(b), (26)

где

W(b) = А(bЦ)А(&22) - (А(b 12))2.

Найдем А(bij) = bij(t) — bij(0). Пусть вектор П(t) получен в результате параллельного переноса единичного вектора нормали П(0) в точку (уа + za) вдоль траектории перемещения при деформации поверхности F. Для всех t имеем:

nfi (t) = nfi (0).

Пусть п3(1;) — единичный вектор нормали в точке (у* + г*). Тогда:

п13 (г) = п13 (г).

Имеют место следующие формулы:

Ьц (0) = -6*3у*г п'3 (0),, Ьгз (1) = -6а' (У* + )П3 (1),г. (27)

Запишем (27) в виде:

Ьц(I) = -6арг*п3(I), - 6*3у*п3(I),.

Из (7) мы имеем:

^, г(1) = а3, гУа, 3 + С, гПа + а'у* г + сп% (28)

> 3

а?, г = дг(а3 ) + Т3ргар. (29)

Используя формулы (28) и (29), находим:

-5арг*п3(1),3 = —5а/здг(ак)уа, кп3(1),3 + М1, (30)

где

М1 = -6*33(Ткргару*, к + с, гПа + аку%г + сп*)п3(г),. Запишем (30) в следующем виде:

-5*3г*п3(1),3 = -5*3дг(ак)уа, кп3(0),3-

-5*3дг(ак)уа, кп3(1),3 + 5*3дг(ак)уа, кп3(0),3 + М1. (31)

Из (31) имеем:

-5*3г*п3(1),3 = -5*3дг(ак)уа, кп3(0), + М2 , (32)

где

М?3 = -5*3дг(ак)у*, кп3(г),3 + 5*3дг(ак)у*, кп3(0),3 + М1. Справедливо следующее уравнение:

п3 (0),3 = -Ъзкдк1у3. (33)

Учитывая (33), из (32) находим:

-8*3 г* п3 (1),3 = дг(ак )Ъзк + М2. (34)

Введем на Р сопряженно изотермическую систему координат (х1,х2). Положим:

Ьгг = V, Ьгг = у, г =1, 2, &12 = &21 = 0, Ь12 = Ь21 = 0. (35)

В этой системе координат из (34) получим следующие уравнения:

-6*3 г^п3 (г)А = Уд1(а1) + М21Ъ

- 6а13га2п? (г) 2 = Уд2(а 2) + М222. По определению п3(1) имеем:

п (г),3 = п (г),. (36)

Учитывая (36), получим уравнение:

- 5а13уаП (^ = - (1),3 = Ьц. (37)

Таким образом, (27), в силу (34) и (37), принимает вид:

ьгз(г) = -(г),3 - б^п!3(г),3 = дг(ак)Ьзк + М2 + Ъгз. (38)

Следовательно,

А(Ъг3 ) = дг(ак) Ъ3к + м23. (39)

Учитывая соотношения (35), из (39) имеем:

А( Ьц) = V д1(а1) + М1^1, (40)

А( Ъ22) = V д2(а2) + М22. (41)

Из (26), учитывая (35), находим:

А(Ь) = V (А( Ьп) + А(Ь22)) + -К??. (42)

Справедливо соотношение:

А(К) = щ (А(д) - А(Ъ)) , Ъ(1) = Ь + А(Ъ). (43)

В силу соотношений (42) и (43) имеем:

А(д) = V (А(Ьи) + А(Ь22)) + (44)

В силу соотношений (40) и (41) уравнение (44) приводится к виду:

А(д) = д(д1(а') + д2(а2)) + V (М2п + М2^) + . (45)

Используя формулу (25) в уравнении (45), найдем условие сохранения произведения главных кривизн при деформации поверхности Р в виде:

11

Отсюда,

д1а1 + д2а2 + 2qkak - 2Ъ2 = ^(М2п + М222) + .

д1а1 + д2а2 + 2qkak = 2^ + у(М2и + М222) + —W(b). (46)

Продифференцируем уравнение (46) по t. Тогда мы имеем:

di а1 + д2а2 + 2qkak = 2i> 2 + 1(М2и + М222) +

ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2013. № 1 (18) 13

Уравнение принимает следующий вид:

дга1 + д2а2 + д(к] ак = Ф ^, (47)

где

Ф 2Ь) = Оо] с -Ро(а1, а 2,дга3).

Р0 имеет явный вид. Заметим, что д^ € Ст-3'и, д^ € Ст-3'и и не зависят от ¿.

Уравнение (47) определяет деформации { Р^ поверхности Р, сохраняющие произведения главных кривизн, с условием С-деформации.

Таким образом, весь класс МС-деформаций поверхности Р в евклидовом пространстве Е3 описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

д2а1 — д1 а2 + ркак = 0, д1а1 + д2а2 + д^ак = Ф ^. (48)

§ 6. Вывод формул для вычисления А(К), \¥2

Учитывая равенства (25), (40)-(42), запишем соотношение (43) в виде:

мк ) = 4<А(.) — 'I д(ад =

д1 1

= 3 I Я .„1 I , „к 10лЪ , Чл Л2 , АЛ2\ , 1 I

где

+ д2а2 + 2дкак — 2Ф2 + -(М^ + М22) + 77*^2 , (49)

Ъ(г) = Ъ + А(Ъ), к (Ь) = К + А(к).

Следовательно,

Ь(ь) = А(Ь), к(г) = А(к). (50)

Из (49), учитывая (50), получим:

А(к ) =

щ)2 (д1а1 + д2а2 + 2дкак — (2Ф2 + ±(М2п + М^) +

+ ± 1 + д2а2 + 2дкак — ^2Ф2 + ^(М?1 + М*) + Отсюда, учитывая (47), находим:

А(к ) =

= — + д2а2 + 2^ак — (2Ф2 + ^(М* + М|2) + ^Щ^)) +

+ Щ ^1 + д2а2 + ^ак — Ф2Ь)).

Найдем Щ. Функция Щ определена формулой (20). Дифференцируя Щ по ¿, имеем:

Щ = /,, + 8а13дгзга,г ,3.

Найдем W2. Функция W2 введена по формуле (22). Дифференцируя W2 по t, имеем: ^2 = А(2И)А(Ы + )А(Ы - 2Д(012)А(012). (51)

Для A(gij) имеет место соотношение (18). Из (18) находим:

А(0ч) = ЪеУа, ^, i + У", i¿а, i + Л iZe, i + , iZfi, j. (52)

Подставив (52) в (51), находим выражение для W2.

§ 7. Вспомогательные оценки норм функций, описывающих MG-деформации

Лемма 2. Пусть выполняются следующие условия:

1) 3t0 > 0 такое, что ak(t),diak(t),aк(t),diak(t) — непрерывны по t,Vt G [0,t0], ak (0) = 0,diCik (0) = 0.

2) 3to > 0 такое, что ai(t) G Cm-2'v,dkai(t) G Cm-3v, Vt G [0,io].

Тогда 3t* > 0 такое, что для всех t G [0,t*) P0 G Cm-3,u и выполняется следующее неравенство:

| | Po(a (11), 21)) - (®J (2), & 22)) 11 m-2,v < < M1(t)( 11 a 11) - a 12) 11 m-1,, + | | ¿(1) - a ^ 11 m-1,, ),

где для любого e > 0 существует t0 > 0 такое, что для всех t G [0,i0) выполняется неравенство: M1(t) < е.

Доказательство леммы 2 следует из построения функции Р0 и леммы 1.

Пусть целое число га1 удовлетворяет неравенству 0 < га1 < т - 2. Обозначим: | | dz11 ££, = max«,i 11 z*11 ££, = max*,i maxre[0;t] | | z*(r) 11 mltu. Лемма 3. Выполняются следующие оценки:

1) | | | | m\, < М2(( 11 z11 mm),,)2+11* 11m,11^ 11 m,v+( 11 <9z 11 m,v)2),

2) | | Д(дц) | | m ,v < мэ( 11 z | i m,,+11 ^ 11 m,,+( 11 * | | m, )2+11 * 11 m\ , 11 ^ 11 m\ ,+( 11 11 m\ , )2),

3) 11W2 | | mm),, < M4(max,, 11 A(gij) 11 m,v)2,

где постоянные М2,Мг, M4 определяются поверхностью F и не зависят от t.

Доказательство леммы 3 следует из свойств норм в пространстве Cmi,v. Лемма 4. Выполняются следующие оценки:

1) | | *11 m),, < м5(11ацmm),,+|14m),),

2) | | m),, < м611 z 11 m>,,,

3) 114 m,, < м7 11 z 11 m),,,

4) | | oz 11 m,, < м8 11 z 11 mii+l,v,

где постоянные М5, М6, М7, М8 определяются поверхностью F и не зависят от t.

Доказательство леммы 4 следует из свойств норм в пространстве Cmi,v. Лемма 5. Пусть выполняются следующие условия:

1) 3t0 > 0 такое, что c(t), cti(t), ak(t),diak(t) — непрерывны по t, Vt G [0,i0], c(0) = 0, c,i(0) = 0, ak(0) = 0, diak(0) = 0,

2) 3t0 > 0 такое, что za(t) G Cm-2'v.z*(t) G Cm-3v, Vt G [0,i0]. Тогда Ve > 0 3i0 > 0 такое, что

1) | | | | «Иг,,, < e, Vt G [0,i0],

| | I I 2_3„ < £, Vt G [0, to], 3) | | Ф2 I | 2Ц, < e, Vt g [0, to].

Доказательство леммы 5 следует из вида функций W1, W2, Ф2, свойств пространства Cm'v и лемм 1-4.

Лемма 6. Выполняются следующие оценки:

1) | | т| | £>,„ < м901 i 11 £>,„11 г 11 «,, + | | i 11 11 <9z 11 + 11 *11 ®uv11 ы11 £>,„ + + || i 11 ( 11 dz | 1 W,„)2 + || I I 11 a* | | ) ,

2) | | ) 11 <£,„ < Mio 0111 <£,„ + 11 i 11 11 г 11 VtV + 11 ¿1 11 <9z 11 + + 11 * 11 11 11 <£,„ + 11 i 11 <£,„( 11 <9z 11 )2 + | | dz I I 11 dz 11 ) ,

3) | | W2 | | < Mil (max,,, 11 ) 11 «,,) (max,,, 11 ) 11 №,„),

где постоянные М9, М10, М11 определяются поверхностью F и не зависят от t.

Доказательство леммы 6 следует из построения функций W1, W2, W1t W2, свойств пространства Cmi,v и лемм 1-5.

Лемма 7. В условиях леммы 5 имеет место следующее утверждение. Для любого е > 0 существует t0 > 0 такое, что

1) | | Wi | | (-з,, < е,У G [0,to],

2) | | Щ | | < е, V G [0,to],

3) | | Ф2 | | (Ц, < е,Vt G [0, to].

Доказательство леммы 7 следует из вида функций W1t W2, W1t W2, свойств пространства Cmi,v и лемм 1-6.

§ 8. Разрешимость краевой задачи А

Весь класс MG-деформаций описывается системой дифференциальных уравнений эллиптического типа (48). Обозначив переменную х1 как х2, переменную х2 — как х1, не ограничивая общности, можем привести (48) к следующему виду:

д1а1 - д2а2 + pkак = 0,

д2а1 + дга2 + $ ак = Ф2&). Введем обозначения: w = а1 + ia2, z = х1 + гх2.

Таким образом, мы получаем следующую краевую задачу для обобщенных аналитических функций:

дцй) + Aw + Bih = Ф o, Re{Jw} = ф на dD, (53)

где

д^ъи = ^(гих + шу),А = 4 {рх + $ + - гр^ ,

В = 4 (рх - + + Ц , Фо = 1 (¿Ф2&)) .

Заметим, что в силу леммы 1 функция с однозначно определяется некоторым оператором Т0 в области В.

с = Тп(ги, г).

Изменим форму записи полученной краевой задачи (53). Для этого рассмотрим следующие соотношения:

фЮ = -Ро = Я0Ь)То -Р0, (54)

Фэ = - Ро, (55)

Ф = ^ Фэ). (56)

С учетом соотношений (54)-(56), краевая задача (53) принимает следующий вид:

(ь)

дцт + Аш + В?Ъ + % = Ф,

Не (Лш) = ф на дБ. (57)

Положим

(Ь)

Е (ш) = г . (58)

Учитывая обозначение (58), запишем краевую задачу (57) в следующем виде:

д^Ш + + ВгЪ + Е (ш) = Ф, Не (Лш) = ф на дБ.

Рассмотрим вдоль дИ векторное поле (уа), касательное к И, определенное формулой (1), и рассмотрим краевое условие (2). В обозначениях (3)-(5) краевое условие

принимает вид:

где

He{Aw} = ф на dD Не {(а1 + rn'2)(Ai - ¿A2)} = А на dF,

• А ф = —-~—.

ф (А1)2 + (А2)2 Учитывая (4), запишем искомое краевое условие в виде:

Не {Aw} = ф на dF, где |A| = 1.

Таким образом, мы приходим к следующей краевой задаче (А):

dzW + Aw + BW + Е (w) = Ф, Не {Aw} = ф на dD, (59)

где A = Ai + 1A2, |A| = 1, А,ф е Cm-2'v(dD). Будем учитывать следующее:

Ф = Ф(ъи, z, t), E(w) = Е(w, z, t), w = w(t),

фф = s, t), sedD, A = A(s), sedD.

Заметим, что индекс N краевой задачи (59) определен равенством (6).

Исследуем разрешимость краевой задачи ( А). Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть t — фиксированное число. Пусть функции A(z), В(z), Ф(г) е Cm-3'v(D), функции A(s), ф е Cm~2'v(dD) и имеют место следующие соотношения: |A(s)| = 1, Ф(0,г) = 0, \\Ф(к)ьг) - 4>(w2, z)\\m_2,v < p(p)\\wi - W2\\m_i,v. Пусть p(p) = 0 для \\wi\\m_2,^ < p, \\w2\\m-2,v < p.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если N > 0, то существуют р и е(р) > 0 такие, что для \\ф\\m_2,^ < £ краевая задача (А) имеет решение класса Ст-2'и(D) для любой допустимой ф, непрерывно зависящее от (2N + 1) произвольных действительных параметров.

2. Если N < 0, то существуют р > 0 и е(р) > 0 такие, что для \\ф\\т-2;^ < £(р) краевая задача (А) имеет не более одного решения класса Ст-2'и (D) для любой допустимой ф. При этом для ф = 0 краевая задача (А) с условием \\w\\m_2,^ < р имеет только нулевое решение.

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу (А0):

д-ги + Aw + Bw = Ф, Re{Aw} = ф на dD,

где |А| = 1, ф е Ст-2'и(dD), Ф е Ст-3'и(D). Рассмотрим оператор:

I(Ф, z) = -1 JJ(üi(z, С)Ф(<) + Ü2(z, с)W))dídV} С = £ + iV,

D

где П1, П2 — главные ядра уравнения d-ih + A(z)w + B(z)w = 0. Известно [9], что оператор I(Ф,z) имеет вид:

I(Ф, z) = Т(Ф) - 1Ц(Ki(z, с)Ф(<) + Ü2(z, с)W))dídV} С = £ + Щ

D

где

г <ф> = - ; // ^

D

Оператор Т(Ф) — вполне непрерывен [9]. Рассмотрим оператор

Л(Ф, z) = I(Ф, z) + J Re{Ms)I(Ф, s)}Mo(z, s)ds,

dD

где M0(z,s) — ядро следующей краевой задачи (и не зависит от ф):

d-w + A(z)w + В(z)гЪ = 0, Re{X(s)w(s)} = ф, s е dD. Рассмотрим оператор

A2(w) = Ai(w) = А(Ф(ги ,z)).

В соответствии с результатами, полученными в [10], теорема 2 справедлива для задачи (А0).

А именно для случая N > 0 задача (Ао) решается так:

, 2М+1

IV = А2(^Ь)+ ф(s)Mо(z,s)ds

дБ 1=1

где 1Ьг (г = 1,..., (2М + 1)) — линейно независимая система функций, являющихся решением однородной задачи, соответствующей задаче (А0), Сг(1) (г = 1,..., (2И+1)) — произвольные вещественные постоянные, соответствующие значению параметра ¿. И, значит, для случая N > 0 задача (А) имеет следующее решение:

, 2М+1

ги = А2(ги) + ф(в)Мо(г, з)ё.з + ^ + А2(Е(ги)). (60)

дБ ^=1

Используя теорию Фредгольма для операторов и теорию операторных уравнений Воль-терра, мы можем решить уравнение (60) методом последовательных приближений. При этом решение непрерывно зависит от (2М +1) произвольных вещественных постоянных с() (г =1,..., (2И +1)).

Для случая N < 0 мы решим задачу (А0) как систему уравнений, состоящую из (-2М) уравнений:

ги = А2(гЬ) + J ф(з)М0(г, з)д>з,

дБ

! (ф(з) + Яе{А(з)1 (Ф, з)})ги'(аЩв^ = 0, ] =1, (-2Ы - 1),

дБ

где ги' — полная система решений следующей задачи:

д-хги' - А(г)гЬ' - В(гЯ)' = 0, Пе[\(г)^^ги'Ш = 0 на дБ.

аз

Таким образом, для случая N < 0 мы решим задачу (А) как следующую систему, состоящую из (-2М) уравнений:

ги = А2(гЪ)^ ф(з)Мо(г, з)ё.з + А2(Е(гЬ)),

дБ

](ф(з) + Ке[Х(з)1 (^,з)})гЬ'(з)\(з)с1з = 0, ] = 1, (-2Ы - 1), (61)

дБ

где ги' — полная система решений задачи:

д.гЪ' - А(г)гЬ' - В(г)ь1 = 0, ПеШг)га'Ш = 0 на дБ.

аз

Для системы уравнений (61) мы будем использовать теорию Фредгольма для вполне непрерывных операторов и теорию операторных уравнений Вольтерра. Изменяя стандартный метод из [10], используя метод последовательных приближений и принцип сжимающих отображений, получим доказательство теоремы 2 для краевой задачи (А).

Теорема 3. Пусть ^ е Ст'и, и е (0; 1),т > 4, дР е Ст+1'и.

Тогда имеют место следующие утверждения:

1. Если N > 0, то существуют ¿0 > 0 и е(£о) > 0 такие, что для \\ф\\т-2,и < £ краевая задача (А) для всех £ е [0, ¿0) имеет решение класса Ст-2'и (В), непрерывное по Ь е [0,£о) для любой допустимой ф, непрерывно зависящее от (2Ж + 1) произвольных действительных непрерывных функций сД£), г = 1, (2И + 1), удовлетворяющих условиям: с,(0) = 0, г =1, (2И +1).

2. Если N < 0, то существуют ¿о > 0 и е(£о) > 0 такие, что для \\ф\\т-2,и < < е(Ьо) краевая задача (А) для всех Ь е [0,£о) имеет не более одного решения класса Ст'и(В), которое непрерывно по Ь е [0,£о) для любой допустимой ф. При этом для ф = 0 краевая задача (А) имеет только нулевое решение.

Доказательство. Выберем систему действительных функций Сг(Ь) (г = 1,..., (2Ж +1)) так, чтобы все они были непрерывны по £ и удовлетворяли условиям: сД0) = 0, г = = 1,..., (2М + 1). Тогда доказательство теоремы 3 следует из теоремы 2, вида функции Ф и того факта, что для всех достаточно малых £ выполняются условия теоремы 2. Непрерывность решения краевой задачи (А) следует из непрерывности функций сД£), г = 1, (2Ж + 1).

§ 9. Доказательство теоремы 1

1) Пусть N > 0. Тогда в силу теоремы 3 существуют ¿о > 0 и £^0) > 0 такие, что для \\ф\\т-2,и < £ краевая задача (А) для всех Ь е [0,£о) имеет решение класса Ст-2'и(В), непрерывное по £ е [0,£о) для любой допустимой ф, непрерывно зависящее от (2М + 1) произвольных действительных непрерывных функций сД£), г = 1, (2М + 1); Сг(0) = 0, г =1, (2Ж + 1). При этом решение задачи (А) находится из уравнения (61). По условию теоремы 1 в точке (^(0),^2о)) области В выполняется следующее тождество: га(¿) = 0У£, о =1, 2, 3. Из этого тождества мы получим два дополнительных уравнения для действительных функций сД£), г =1,..., 2М + 1:

гЬ(х1о),х2о)) = А2(го(х1о),х2о))) + J ф(8)Мо(го,8)<18 +

дО

2М +1

+ Ф^г^о)^2^ + (й)^о), Х^)^ ,

г=1

где ^ = ^1о) + гх2{0).

Таким образом, количество независимых функций уменьшается на 2. Так как получаем 2 дополнительных уравнения относительно действительных функций (г = 1,..., (2М + 1)) при том условии, что г^ (г = 1,..., (2М + 1)) — линейно независимая система функций.

2) При N = 0 имеется только один действительный параметр с1. Обратимся к условию теоремы 1: в точке (^о),^)) области В имеет место следующее тождество: га(¿) = 0 У£, о = 1, 2, 3. Это условие приводит к двум дополнительным уравнениям для действительного параметра с1. Значит, существуют ¿о > 0 и е(Ьо) > 0 такие, что для любой допустимой функции 7, удовлетворяющей условию \\7\\т-2,и < £^о), для всех

Ь е [0,¿о) существует не более одной МС-деформации класса Ст-2'и(И), непрерывной по

Если N < 0, то существуют ¿0 > 0 и е(£0) > 0 такие, что для \\ф\\т-2>^ < £(^0) краевая задача (А) для всех Ь е [0,£0) имеет не более одного решения класса Ст'и(И), которое непрерывно по £ е [0,£0) для любой допустимой ф. При этом для ф = 0 краевая задача (А) имеет только нулевое решение. Отсюда, аналогично случаю N = 0, получим утверждение теоремы для N < 0.

Теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бодренко, А. И. Аналитические почти AEG-деформации поверхностей в евклидовых пространствах / А. И. Бодренко // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 2012. — № 16. — C. 5-11.

2. Бодренко, А. И. Аналог неравенства Шаудера для замкнутых поверхностей в евклидовых пространствах / А. И. Бодренко // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 2008. — № 11. — C. 6-12.

3. Бодренко, А. И. Некоторые свойства операторов эллиптического типа / А. И. Бодренко // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 2010. — № 13. — C. 15-22.

4. Бодренко, А. И. Некоторые свойства АЕ-деформаций / А. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 1999. — Т. 6, № 1. — C. 124.

5. Бодренко, А. И. Непрерывные почти AEG-деформации гиперповерхностей в евклидовом пространстве / А. И. Бодренко // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1996. — № 2. — C. 13-16.

6. Бодренко, А. И. Почти АЕ-деформации поверхностей с условием обобщенного скольжения / А. И. Бодренко // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 2011. — № 14. — C. 5-9.

7. Бодренко, А. И. Почти AEG-деформации второго порядка поверхностей в ри-мановом пространстве / А. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 1998. — Т. 5, № 2. — C. 202.

8. Бодренко, А. И. Свойства обобщенных G-деформаций с условием ареальности нормального типа в римановом пространстве / А. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2000. — Т. 7, № 2. — C. 478.

9. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. — М. : Наука, 1988. — 512 с.

10. Забеглов, А. В. О разрешимости одной нелинейной краевой задачи, возникающей при AG-преобразованиях поверхностей с краем / А. В. Забеглов // Отображение поверхностей римановых пространств, описываемых рекуррентными соотношениями заданного вида. Теоремы существования и единственности : сборник. — Таганрог : Изд-во ТГПИ, 1998. — Т. 1. — C. 27-37.

11. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1973. — 576 с.

12. Фоменко, В. Т. О решении обобщенной проблемы Минковского для поверхности с краем / В. Т. Фоменко // Отображение поверхностей римановых пространств, описываемых рекуррентными соотношениями заданного вида. Теоремы существования и единственности : сборник. — Таганрог : Изд-во ТГПИ, 1998. — Т. 1. — C. 56-65.

13. Эйзенхарт, Л. П. Риманова геометрия / Л. П. Эйзенхарт. — М. : Изд. ин. лит., 1948. — 316 с.

14. Bodrenko, A. I. Some properties of continuous almost AEG-deformations / A. I. Bodrenko // Russian Mathematics. — 1996. — V. 40, № 2. — P. 11-14.

REFERENCES

1. Bodrenko A.I. Analiticheskie pochti AEG-deformatsii poverkhnostey v evklidovykh prostranstvakh [Analytic almost AEG-deformations of surfaces in Euclidean spaces]. Vestnik VolGU. Ser. 1, Matematika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2012, no. 16, pp. 5-11.

2. Bodrenko A.I. Analog neravenstva Shaudera dlya zamknutykh poverkhnostey v evklidovykh prostranstvakh [The analog of Schauder inequality for closed surfaces in Euclidean spaces]. Vestnik VolGU. Ser. 1, Matematika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2008, no. 11, pp. 6-12.

3. Bodrenko A.I. Nekotorye svoystva operatorov ellipticheskogo tipa [Some properties of elliptic operators]. Vestnik VolGU. Ser. 1, Matematika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2010, no. 13, pp. 15-22.

4. Bodrenko A.I. Nekotorye svoystva AE-deformatsiy [Some properties of AR-deformations]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [Review of Applied and Industrial Mathematics], 1999, vol. 6, no. 1, pp. 124.

5. Bodrenko A.I. Nepreryvnye pochti AEG-deformatsii giperpoverkhnostey v evklidovom prostranstve [Continuous almost ARG-deformations of hypersurfaces in Euclidean space]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika [Russian Mathematics], 1996, no. 2, pp. 13-16.

6. Bodrenko A.I. Pochti AE-deformatsii poverkhnostey s usloviem obobschennogo skol'zheniya [Almost AE-deformations of surfaces with condition of generalized sliding]. Vestnik VolGU. Ser. 1, Matematika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2011, no. 14, pp. 5-9.

7. Bodrenko A.I. Pochti AEG-deformatsii vtorogo poryadka poverkhnostey v rimanovom prostranstve [Almost AEG-deformations of the second order in Riemannian space]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [Review of Applied and Industrial Mathematics], 1998, vol. 5, no. 2, pp. 202.

8. Bodrenko A.I. Svoystva obobschennykh G-deformatsiy s usloviem areal'nosti normal'nogo tipa v rimanovom prostranstve [The properties of generalized G-deformations with condition of areal of normal type in Riemannian space]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [Review of Applied and Industrial Mathematics], 2000, vol. 7, no. 2, pp. 478.

9. Vekua I.N. Obobschennye analiticheskie funktsii [Generalized analytic functions]. Moscow, Nauka Publ., 1988. 512 p.

10. Zabeglov A.V. O razreshimosti odnoy nelineynoy kraevoy zadachi, voznikayuschey pri AG-preobrazovaniyakh poverkhnostey s kraem [On decidability of one nonlinear boundary-value problem for AG-deformations of surfaces with boundary]. Otobrazhenie poverkhnostey rimanovykh prostranstv, opisyvaemykh rekurrentnymi sootnosheniyami zadannogo vida. Teoremy suschestvovaniya i edinstvennosti : sbornik [Transformations of surfaces of Riemannian spaces determined by given recurrent relations. Theorems of unique existence: collection of science works]. Taganrog, TGPI Publ., 1998, vol. 1, pp. 27-37.

11. Ladyzhenskaya O.A., Ural'tseva N.N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya ellipticheskogo tipa [Linear and Quasilinear Elliptic Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1973. 576 p.

12. Fomenko V.T. O reshenii obobschennoy problemy Minkovskogo dlya poverkhnosti s kraem [On solution of the generalized Minkowski problem for surface with boundary]. Otobrazhenie poverkhnostey rimanovykh prostranstv, opisyvaemykh rekurrentnymi sootnosheniyami zadannogo vida. Teoremy suschestvovaniya i edinstvennosti : sbornik [Transformations of surfaces of Riemannian spaces determined by given recurrent relations. Theorems of unique existence: collection of science works]. Taganrog, TGPI Publ., 1998, vol. 1, pp. 56-65.

13. Eisenhart L.P. Rimanova geometriya [Riemannian geometry]. Moscow, Izd. in. lit. Publ., 1948. 316 p.

14. Bodrenko A.I. Some properties of continuous almost AEG-deformations. Russian Mathematics, 1996, vol. 40, no. 2, pp. 11-14.

CONTINUOUS MG-DEFORMATIONS OF SURFACES WITH BOUNDARY

IN EUCLIDEAN SPACE

Bod^nko And^y Ivanovich

Candidate of Physical and Mathematical Sciences,

Associate Professor, Department of Fundamental Informatics and Optimal Control

Volgograd State University

[email protected]

Prospekt Universitetskij, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. The properties of continuous deformations of surfaces with boundary in Euclidean 3-space preserving its Grassmannian image and product of the principal curvatures are studied in this article.

We determine the continuous MG-deformation for simply connected oriented surface F with boundary OF in Euclidean 3-space. We derive the differential equations of G-deformations of surface F. We prove the set of lemmas where we derive auxiliary estimations on norms of functions characterizing MG-deforma-tions of surface F.

Then on the surface F we introduce conjugate isothermal coordinate system which simplifies the form of equations of G-deformations.

From the system of differential equations characterizing G-deformations of surface F in conjugate isothermal coordinate system we go to the nonlinear integral equation and resolve it by the method of successive approximations.

We derive the equations of MG-deformations of surface F. We get the formulas of change A(g) and A(b) of determinants g and b of matrixes of the first and the second fundamental forms of surface F, respectively, for deformation {Ft}. Then, using formulas of A(g) and A(b), we find the conditions characterizing MG-deformations of two-dimensional surface F in Euclidean space E3.

We show that finding of MG-deformations of surface F brings to the following boundary-value problem (A):

d-zw + Aw + ВгЪ + E (w) = Ф, Re{\w} = ф on dF,

where А, В, Л, Ф, ф are given functions of complex variable, w is unknown function of complex variable, operator E(w) has implicit form.

Prior to resolving boundary-value problem (A) we find the solution of the following boundary-value problem for generalized analytic functions:

д-ги + Aw + Bw = Ф, Re{\w} = ф on dF.

Then we use the theory of Fredholm operator of index zero and the theory of Volterra operator equation. Using the method of successive approximations and the principle of contractive mapping, we obtain solution of boundary-value problem (A) and the proof of theorem 1, the main result of this article.

Key words: deformation of surface, mean curvature, Gaussian curvature, G-deformation, continuous deformation.