MRG-преобразования поверхности положительной кривизны с заданным отклонением касательной плоскости вдоль края Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел I. Геометрия

А. В. Забеглов

MRG-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ С ЗАДАННЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ВДОЛЬ КРАЯ

Пусть дан односвязный кусок поверхности S класса (' ], положительной гауссовой кривизны К > кq > 0 с краем cS е (, 0 < а < 1, который при помощи изотермически сопряженной

параметризации гомеоморфно отображен на односвязную область I) с краем SD параметрической плоскости. Будем рассматривать преобразования поверхности с сохранением поточечно ее сфери-

2

ческого образа или коротко G - преобразования класса Са, при которых поверхность S переходит в поверхность S , с радиус- вектором

*

/' =г+Р, (1)

_ — 2 где Г - радиус вектор поверхности S, Р е Са - векторное поле смещения точек поверхности S, которое удовлетворяет условиям

p — ar + ßr .

I г г 1 y ■>

y (2) p = ßr + 5r .

y I* y

Дополнительно будем считать, что элемент площади der при G-преобразовании поверхности подчинен следующему рекуррентному соотношению

der* = 1ч-ЛЛ der Л3)

ос ß

Где Ä, - некоторый заданный числовой параметр, А =

ß S

определитель, со-

ставленный из коэффициентов системы (2).

При А. =0 элемент площади остается постоянным, а преобразование называется АС - преобразованием.

Известно [1], что в-преобразование (1) поверхности описывается системой

(ху-рх = {5- ос) г;2 + р<г\х - г\2) Ру + аг)Г?2 + /?(Г* -Г222)

а соотношение (3) приводится к виду

3 + се + (1 Л}Л = О. (5)

Перейдем в (4) к новым искомым функциям, полагая,

6 — ос = 2г/, V = /?, 5 + а = 2П

(4)

Для новых искомых функций система примет вид

- V, + 2Г \2и + v(Гf1 - Г22) = -пх,

(6)

2Г \2и + г(Г11 - Г^) - П,, (1 - Я)П2 + 2П - (1 - Я)(м2 + V2) = О

Вводя в рассмотрение комплексную функцию = //(-) _+_ / , ^ €= назы-

ваемую комплексной функцией преобразования, систему (6) можно записать в виде:

Г + А(г)м> + В(г)м> = —дгП, ^ (7) \(1 - Д)ГГ2 + 2ТТ - (1 - А)ипТ' = О.

Преобразования, описываемые системой (7), называют МЯв-преобразованиями. Последнее уравнение системы (7) представимо в виде двух уравнений

—1__

1-Я V (1 — ^

ГТ(=---_ -— -+- "", Я 1

- " — А)

Как показано в работе [2], в системе (7) можно ограничится выбором функции

1 , I г

1 — я + "V (1 — '

= - --- -+- 4

т.е. рассматривать МЯв-преобразования, описываемые системой

-+- Л^г^лг -+- /¿( г) \л> = —с) II.

1 \ г

I I ( И ') =---1- -— -+- И " И " , л 1

- - 4; - - л.)

т.к. решение системы

1 — л у] (1 — у

I I ( и;) — — -----Л /—-— -+- лл'лл', Я -у- 1

" " — Я)

0" —** „ определяет поверхность Л радиус-вектором г которой представим в виде

(8)

11' -+- Л ( - ) У V ч- В( - ) 11' — —О II, (9)

г = — - \г — р -+- с

_ 11 -л)

где р - поле смещения МЯв-преобразований поверхности Л, порожденное системой (8). Таким образом, поверхность Л получается из поверхности Л путем гомотетии с коэффициетом 1 ч- Я и параллельного переноса.

1-Я

В данной работе решается вопрос о существовании МЯв-преобразований поверхности, при которых отклонение поверхности от касательной плоскости в заданном направлении Я, не содер-

жащим особых точек, вдоль края есть некоторая заданная функция. Аналитически этот вопрос сводится к решению краевой задачи А.

Краевая задача А состоит в отыскании в односвязной области I) класса С^, 0 < а < 1, непрерывно продолжаемого на контур 8D решения w(z)=u(z)+iv(z) уравнения

8-w + A(z)w + B(z)w = F(w; z) , удовлетворяющего на краю условию

Re ф)w(t) J Ф(w, t) = y(t); t e dD; |^(t) = 1.

Функция F(w,z) , как функция от w, содержит производную 8~w и нелинейно зависит от w. Кроме того функции /<( и>; и ф( w; / ) удовлетворяют условиям:

1. Ф(0;/) = О

2. С* (Ф(w2; 0 - ; /)) < ц(р)С' (w2 - w,) при с[ (w.) < р, / = 1,2, р > 0;

где ц(р) - известная функция, обладающая свойством lim u(p) = 0 .

р—»0

3. F(0; z) = 0;

4. Са (F(w2 ; z) - F(wx; z);D) < Ц(р)С^ (w2 -w^D), при c'a (w.) < p , / = 1,2,p > 0;

где Щр) - известная функция, обладающая свойством lim jlip) - 0.

p—Ю

При изучении задачи А важную роль играет понятие индекса задачи, который определен как

п = —— A.az3 arg Я(/ ) '

2 TT

где A9Z3 arg Л(/) ~ приращение аргумента функции Д (/) из краевого условия задачи, при

прохождении точкой t границы ol.) , оставляющем область D слева. Критериями разрешимости задачи А служат следующие теоремы:

Теорема А. Если индекс п > 0, то существует такое число б > 0, что при С' (у, 3D) < s

а

задача А в классе С^ (D) разрешима при любом выборе функции у (t) е С^ (3D) . Решение непрерывно зависит от (2n+1) произвольных постоянных.

Теорема В. Если индекс п<0, то существует такое число е > 0, что при С^ (у) < е, задача А имеет в шаре радиуса г > 0 не более одного решения. При у = 0 в шаре С^ (w) < е задача не имеет других решений кроме нулевого.

Сформулированное выше краевое условие аналитически можно выразить формулой

где /Т - вторая квадратичная форма поверхности Л, // * - вторая квадратичная форма

Л Л

поверхности Л , в заданном направлении Я. Справедлива следующая

Теорема 1.МЯО-преобразование поверхности, подчиненное условию (10), при Я < 1 сводятся к краевой задаче А с индексом п (Х ) ■

Доказательство: Обозначим через (р -угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох до Я в параметрической плоскости против часовой стрелки. Тогда условие (10) примет вид

в котором

Яе ^ (/) ^ —Ь сое 2ф, 1т ^ ) ^ ь бш 2ф , Ф = ш(м>).

Покажем, что при указанном значении Л <\ коэффициента рекуррентности выполняются условия 1)-4). Действительно, при Д < 1

!) Фл (О) = ЬГТ(О) = О, 3) ^(О) = — ЭгТ1 О = О •

Проверим выполнение условия 2). Для этого достаточно показать, что

С>,.)<А*=1Д Р>0;

Действительно,

м>гм>г —

1-Я

2 2 2

1

С ''

1-Я Л

2 1 'У1 'У1

\ 1-л

у/ 1-л

с1

4— ~

С™2 — )

V 1-;

Ч-тф^ ( — \4>1 )

I 1 I

- я

Условие 4) также выполнимо

2 2 2

1-Я

<2рС\ м>2 - и',

//

— \\\ \\\ -+- — \\\ мл.

са F ~F = ca f3 n ~dzTI W2 =

Ca д z (Г1 Wj — ГТ w2 П ил2 П

- 2 pCYa - Wj

Подсчитаем индекс задачи

Il\-IIR=C7(t).

Имеем:

def

n = /«¿/(/Lj (/)) = /«¿/(/>(— cos 2<т> + / sin 2<t>)) =

= /ий?(ехр(-2г^)) = —i— ASZ3 (-2^) = —— Aaz3^ = -y^C^),

Z.7T 7Г

что и доказывает теорему. Тривиальными будем называть такие MRG-преобразования поверхности, описываемые системой (8), для которых комплексная функция преобразования = О

Полученный результат дает возможность говорить о существовании нетривиальных MRG -преобразований поверхности, подчиненных условию (10), а именно имеет место

Теорема 2. Пусть jR(S) < 0 и С^(ст(/)) < s, 0 < а < 1, где е - некоторое число, зависящее от поверхности. Тогда односвязная поверхность S положительной гауссовой кривизны допускает нетривиальные MRG-преобразования, с коэффициентом рекуррентности А < 1, подчиненные краевому условию (10). Полученные при MRG - преобразовании поверхности составляют (-2 j ($) +1) - параметрическое семейство, непрерывно зависящее от параметров.

Доказательство: При сг(/) е (JdlT), О < ск < \ - в силу теоремы 1 краевая задача (10) для комплексной функции преобразования является краевой задачей А. В силу теоремы А, при С^ (g(i )) < е, где s - достаточно малое число, зависящее от поверхности, задача А допускает (-2 j (S) +1) параметрическое семейство комплексных функций преобразования, которые в свою очередь порождают, семейство поверхностей < у » . полученных при MRG-преобразовании.

Теорема 3. Пусть j (S) < 0. Тогда поверхность S положительной гауссовой кривизны с

гладким краем не допускает нетривиальных MRG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Л < \ при условии сохранения второй квадратичной формы по направлению R вдоль края.

Доказательство: Условие сохранения второй квадратичной формы по направлению R означает, что в условии (10) сг(^) = О- Согласно теореме В при отрицательном индексе и

cr(J) = О в шаре ( ( W) < р задача А не имеет других решений кроме нулевого, что означает отсутствие MRG-деформаций поверхности S при условии II — IIR ■

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Забеглов А.В. О существовании AG - преобразований односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны с граничными условиями / Сб. науч. тр. «Отображения поверхностей римано-

вых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности». Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1999. Ч. 2. С. 15-43.

2. Фоменко В.Т. О решении обобщенной проблемы Минковского для поверхности с краем // Отображения поверхностей римановых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности: Сб. науч. тр. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1998. Ч. 1. С. 56-65.

Н.С. Казарян

О ЖЕСТКОСТИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В КЛАССЕ СИЯС - БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ЗАДАННОМ КРАЕВОМ УСЛОВИИ

1. Постановка задачи

Пусть односвязная поверхность Е с краем сЕ £ ('' " класса С2а с гауссовой кривизной К>к0>0, k0=соnst, преобразована в трехмерном евклидовом пространстве Е3 в поверхность Е* класса таким образом, что в соответствующих точках М и М* образы этих точек на сферическом изображении совпадают для любых точек поверхности Е. Такие преобразования называют О -преобразованиями или гауссовыми преобразованиями. При О - преобразовании поверхности Е касательная плоскость ТМЕ поверхности Е в точке М преобразуется в параллельную ей касательную плоскость поверхности Е* в точке М*, при этом указанное преобразование ТМЕ^ТМ*Е* является аффинным.

Известно [2], что для поверхности Е с положительной гауссовой кривизной К > к0> О, О - преобразование имеет в каждой точке М. .\/Е /'. \1 € с!' , по крайней мере два направления, сохраняющихся в Е3 при О - преобразовании поверхности Е в поверхность Е*. Такие направления на поверхности Е назовем устойчивыми относительно О - преобразования.

Пусть устойчивые направления в каждой точке поверхности Е задаются единичными векторами , • Пусть Р1 , Р2 — радиусы кривизны поверхности Е по устойчивым направлениям.

Обозначим через А1 сумму относительных вариаций радиусов р1 , р2 при бесконечно малых О -деформациях поверхности Е, то есть положим

д 5Р1 | 5Рг

Pi Р2

Можно изучать G - бесконечно малые деформации поверхности F с краем dF, удовлетворяющие следующему рекуррентному соотношению:

6(R, +R2) = XAl(Rl +R2), (i)

где R - главные радиусы кривизны поверхности F; к - заданное вещественное число называемое коэффициентом рекуррентности. Кроме того, при этом будем предполагать, что вариация длины дуги края dF равна нулю:

b{ds2 ) = 0 на dF. (2)