CC BY
23
Раздел I. Геометрия
А. В. Забеглов
MRG-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ С ЗАДАННЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ВДОЛЬ КРАЯ
Пусть дан односвязный кусок поверхности S класса (' ], положительной гауссовой кривизны К > кq > 0 с краем cS е (, 0 < а < 1, который при помощи изотермически сопряженной
параметризации гомеоморфно отображен на односвязную область I) с краем SD параметрической плоскости. Будем рассматривать преобразования поверхности с сохранением поточечно ее сфери-
2
ческого образа или коротко G - преобразования класса Са, при которых поверхность S переходит в поверхность S , с радиус- вектором
*
/' =г+Р, (1)
_ — 2 где Г - радиус вектор поверхности S, Р е Са - векторное поле смещения точек поверхности S, которое удовлетворяет условиям
p — ar + ßr .
I г г 1 y ■>
y (2) p = ßr + 5r .
y I* y
Дополнительно будем считать, что элемент площади der при G-преобразовании поверхности подчинен следующему рекуррентному соотношению
der* = 1ч-ЛЛ der Л3)
ос ß
Где Ä, - некоторый заданный числовой параметр, А =
ß S
определитель, со-
ставленный из коэффициентов системы (2).
При А. =0 элемент площади остается постоянным, а преобразование называется АС - преобразованием.
Известно [1], что в-преобразование (1) поверхности описывается системой
(ху-рх = {5- ос) г;2 + р<г\х - г\2) Ру + аг)Г?2 + /?(Г* -Г222)
а соотношение (3) приводится к виду
3 + се + (1 Л}Л = О. (5)
Перейдем в (4) к новым искомым функциям, полагая,
6 — ос = 2г/, V = /?, 5 + а = 2П
(4)
Для новых искомых функций система примет вид
- V, + 2Г \2и + v(Гf1 - Г22) = -пх,
(6)
2Г \2и + г(Г11 - Г^) - П,, (1 - Я)П2 + 2П - (1 - Я)(м2 + V2) = О
Вводя в рассмотрение комплексную функцию = //(-) _+_ / , ^ €= назы-
ваемую комплексной функцией преобразования, систему (6) можно записать в виде:
Г + А(г)м> + В(г)м> = —дгП, ^ (7) \(1 - Д)ГГ2 + 2ТТ - (1 - А)ипТ' = О.
Преобразования, описываемые системой (7), называют МЯв-преобразованиями. Последнее уравнение системы (7) представимо в виде двух уравнений
—1__
1-Я V (1 — ^
ГТ(=---_ -— -+- "", Я 1
- " — А)
Как показано в работе [2], в системе (7) можно ограничится выбором функции
1 , I г
1 — я + "V (1 — '
= - --- -+- 4
т.е. рассматривать МЯв-преобразования, описываемые системой
-+- Л^г^лг -+- /¿( г) \л> = —с) II.
1 \ г
I I ( И ') =---1- -— -+- И " И " , л 1
- - 4; - - л.)
т.к. решение системы
1 — л у] (1 — у
I I ( и;) — — -----Л /—-— -+- лл'лл', Я -у- 1
" " — Я)
0" —** „ определяет поверхность Л радиус-вектором г которой представим в виде
(8)
11' -+- Л ( - ) У V ч- В( - ) 11' — —О II, (9)
г = — - \г — р -+- с
_ 11 -л)
где р - поле смещения МЯв-преобразований поверхности Л, порожденное системой (8). Таким образом, поверхность Л получается из поверхности Л путем гомотетии с коэффициетом 1 ч- Я и параллельного переноса.
1-Я
В данной работе решается вопрос о существовании МЯв-преобразований поверхности, при которых отклонение поверхности от касательной плоскости в заданном направлении Я, не содер-
жащим особых точек, вдоль края есть некоторая заданная функция. Аналитически этот вопрос сводится к решению краевой задачи А.
Краевая задача А состоит в отыскании в односвязной области I) класса С^, 0 < а < 1, непрерывно продолжаемого на контур 8D решения w(z)=u(z)+iv(z) уравнения
8-w + A(z)w + B(z)w = F(w; z) , удовлетворяющего на краю условию
Re ф)w(t) J Ф(w, t) = y(t); t e dD; |^(t) = 1.
Функция F(w,z) , как функция от w, содержит производную 8~w и нелинейно зависит от w. Кроме того функции /<( и>; и ф( w; / ) удовлетворяют условиям:
1. Ф(0;/) = О
2. С* (Ф(w2; 0 - ; /)) < ц(р)С' (w2 - w,) при с[ (w.) < р, / = 1,2, р > 0;
где ц(р) - известная функция, обладающая свойством lim u(p) = 0 .
р—»0
3. F(0; z) = 0;
4. Са (F(w2 ; z) - F(wx; z);D) < Ц(р)С^ (w2 -w^D), при c'a (w.) < p , / = 1,2,p > 0;
где Щр) - известная функция, обладающая свойством lim jlip) - 0.
p—Ю
При изучении задачи А важную роль играет понятие индекса задачи, который определен как
п = —— A.az3 arg Я(/ ) '
2 TT
где A9Z3 arg Л(/) ~ приращение аргумента функции Д (/) из краевого условия задачи, при
прохождении точкой t границы ol.) , оставляющем область D слева. Критериями разрешимости задачи А служат следующие теоремы:
Теорема А. Если индекс п > 0, то существует такое число б > 0, что при С' (у, 3D) < s
а
задача А в классе С^ (D) разрешима при любом выборе функции у (t) е С^ (3D) . Решение непрерывно зависит от (2n+1) произвольных постоянных.
Теорема В. Если индекс п<0, то существует такое число е > 0, что при С^ (у) < е, задача А имеет в шаре радиуса г > 0 не более одного решения. При у = 0 в шаре С^ (w) < е задача не имеет других решений кроме нулевого.
Сформулированное выше краевое условие аналитически можно выразить формулой
где /Т - вторая квадратичная форма поверхности Л, // * - вторая квадратичная форма
Л Л
поверхности Л , в заданном направлении Я. Справедлива следующая
Теорема 1.МЯО-преобразование поверхности, подчиненное условию (10), при Я < 1 сводятся к краевой задаче А с индексом п (Х ) ■
Доказательство: Обозначим через (р -угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох до Я в параметрической плоскости против часовой стрелки. Тогда условие (10) примет вид
в котором
Яе ^ (/) ^ —Ь сое 2ф, 1т ^ ) ^ ь бш 2ф , Ф = ш(м>).
Покажем, что при указанном значении Л <\ коэффициента рекуррентности выполняются условия 1)-4). Действительно, при Д < 1
!) Фл (О) = ЬГТ(О) = О, 3) ^(О) = — ЭгТ1 О = О •
Проверим выполнение условия 2). Для этого достаточно показать, что
С>,.)<А*=1Д Р>0;
Действительно,
м>гм>г —
1-Я
2 2 2
1
С ''
1-Я Л
2 1 'У1 'У1
\ 1-л
у/ 1-л
с1
4— ~
С™2 — )
V 1-;
Ч-тф^ ( — \4>1 )
I 1 I
- я
Условие 4) также выполнимо
2 2 2
1-Я
<2рС\ м>2 - и',
//
— \\\ \\\ -+- — \\\ мл.
са F ~F = ca f3 n ~dzTI W2 =
Ca д z (Г1 Wj — ГТ w2 П ил2 П
- 2 pCYa - Wj
Подсчитаем индекс задачи
Il\-IIR=C7(t).
Имеем:
def
n = /«¿/(/Lj (/)) = /«¿/(/>(— cos 2<т> + / sin 2<t>)) =
= /ий?(ехр(-2г^)) = —i— ASZ3 (-2^) = —— Aaz3^ = -y^C^),
Z.7T 7Г
что и доказывает теорему. Тривиальными будем называть такие MRG-преобразования поверхности, описываемые системой (8), для которых комплексная функция преобразования = О
Полученный результат дает возможность говорить о существовании нетривиальных MRG -преобразований поверхности, подчиненных условию (10), а именно имеет место
Теорема 2. Пусть jR(S) < 0 и С^(ст(/)) < s, 0 < а < 1, где е - некоторое число, зависящее от поверхности. Тогда односвязная поверхность S положительной гауссовой кривизны допускает нетривиальные MRG-преобразования, с коэффициентом рекуррентности А < 1, подчиненные краевому условию (10). Полученные при MRG - преобразовании поверхности составляют (-2 j ($) +1) - параметрическое семейство, непрерывно зависящее от параметров.
Доказательство: При сг(/) е (JdlT), О < ск < \ - в силу теоремы 1 краевая задача (10) для комплексной функции преобразования является краевой задачей А. В силу теоремы А, при С^ (g(i )) < е, где s - достаточно малое число, зависящее от поверхности, задача А допускает (-2 j (S) +1) параметрическое семейство комплексных функций преобразования, которые в свою очередь порождают, семейство поверхностей < у » . полученных при MRG-преобразовании.
Теорема 3. Пусть j (S) < 0. Тогда поверхность S положительной гауссовой кривизны с
гладким краем не допускает нетривиальных MRG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Л < \ при условии сохранения второй квадратичной формы по направлению R вдоль края.
Доказательство: Условие сохранения второй квадратичной формы по направлению R означает, что в условии (10) сг(^) = О- Согласно теореме В при отрицательном индексе и
cr(J) = О в шаре ( ( W) < р задача А не имеет других решений кроме нулевого, что означает отсутствие MRG-деформаций поверхности S при условии II — IIR ■
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Забеглов А.В. О существовании AG - преобразований односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны с граничными условиями / Сб. науч. тр. «Отображения поверхностей римано-
вых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности». Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1999. Ч. 2. С. 15-43.
2. Фоменко В.Т. О решении обобщенной проблемы Минковского для поверхности с краем // Отображения поверхностей римановых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности: Сб. науч. тр. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1998. Ч. 1. С. 56-65.
Н.С. Казарян
О ЖЕСТКОСТИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В КЛАССЕ СИЯС - БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ЗАДАННОМ КРАЕВОМ УСЛОВИИ
1. Постановка задачи
Пусть односвязная поверхность Е с краем сЕ £ ('' " класса С2а с гауссовой кривизной К>к0>0, k0=соnst, преобразована в трехмерном евклидовом пространстве Е3 в поверхность Е* класса таким образом, что в соответствующих точках М и М* образы этих точек на сферическом изображении совпадают для любых точек поверхности Е. Такие преобразования называют О -преобразованиями или гауссовыми преобразованиями. При О - преобразовании поверхности Е касательная плоскость ТМЕ поверхности Е в точке М преобразуется в параллельную ей касательную плоскость поверхности Е* в точке М*, при этом указанное преобразование ТМЕ^ТМ*Е* является аффинным.
Известно [2], что для поверхности Е с положительной гауссовой кривизной К > к0> О, О - преобразование имеет в каждой точке М. .\/Е /'. \1 € с!' , по крайней мере два направления, сохраняющихся в Е3 при О - преобразовании поверхности Е в поверхность Е*. Такие направления на поверхности Е назовем устойчивыми относительно О - преобразования.
Пусть устойчивые направления в каждой точке поверхности Е задаются единичными векторами , • Пусть Р1 , Р2 — радиусы кривизны поверхности Е по устойчивым направлениям.
Обозначим через А1 сумму относительных вариаций радиусов р1 , р2 при бесконечно малых О -деформациях поверхности Е, то есть положим
д 5Р1 | 5Рг
Pi Р2
Можно изучать G - бесконечно малые деформации поверхности F с краем dF, удовлетворяющие следующему рекуррентному соотношению:
6(R, +R2) = XAl(Rl +R2), (i)
где R - главные радиусы кривизны поверхности F; к - заданное вещественное число называемое коэффициентом рекуррентности. Кроме того, при этом будем предполагать, что вариация длины дуги края dF равна нулю:
b{ds2 ) = 0 на dF. (2)
