Об MRG-преобразованиях склеенных поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

- В cos if/ (t) с о + с з = 0 .

Умножим уравнение (10) на ( - А ) , уравнение (11) - на В и сложим:

A cos q> (t) с о + с i = 0.

Из последних двух уравнений получим

с, с cos ц/ ( t )=__ , cos q> ( t ) = -__ , с о Ф 0 .

Вс0 Ас0 Но cos (р (0й cos if/ (I) являются функциями параметра t. t Е [t г, t2], а отношения_

Ас о

и с 3 есть постоянные величины. Следовательно, наше предположение неверно, и система

Вс 0

уравнений (9) имеет только нулевое решение. Таким образом, нами доказана.

Теорема 2. Если кусок тора Клиффорда T L2 в Е4 закрепить вдоль кривой ( l ) длины положительной линейной меры, то рассматриваемая поверхность является жесткой относительно бесконечно малых AG - деформаций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фоменко В.Т. Бесконечно малые ARG - деформации тора Клиффорда в Е 4 // Вестник ТГПИ. Естественные науки. № 1. 2007. С. 21-33.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1959.

А. В. Забеглов

ОБ МЯС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ СКЛЕЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Пусть Г2 замкнутая, поверхность положительной полной кривизны, которая в окрестности некоторой точки задается уравнением

7 = 7(и,у), и,у

Рассмотрим преобразование поверхности Г2, в Г 2 заданное уравнением

Г*(и,у) - Г (и,у) +Р(и,у), (1)

где Г -радиус вектор поверхности Г 2; Р(и, V) - векторное поле смещений точек поверхности,

которое сохраняет направление единичного вектора нормали п в каждой точке поверхности. Такие преобразования сохраняют сферический образ поверхности и называются гауссовыми или коротко в-преобразованиями. Известно, что векторное поле Р(и, V), удовлетворяет следующим условиям:

[ P^ = arx+ßry, [ Ру=угх+8гу.

X —X ■ Г- у1 (2)

а, ¡5, у, 5 - некоторые функции, выраженные через производные Г первого и второго порядков.

Рассмотрим в-преобразования поверхности, подчинив элемент площади с/ст следующему рекуррентному соотношению:

1

йо* = (1 + А-А)с1<т, (3)

где с!а - элемент площади поверхности /<"2. Д = аб - [1у - определитель, составленный из коэффициентов (2), Я - некоторый числовой множитель, называемый коэффициентом рекуррентности.

Впервые такие преобразования рассмотрены в работе [1], и названы МЯв-преобразованиями. В этой же работе доказано, что два овалоида, полученный один из другого МКС-преобразованием, с коэффициентом рекуррентности Я е [—1,1) могут быть совмещены в пространстве либо путем параллельного переноса, либо путем преобразования гомотетии с коэффициентом ^ + 1 < д и последующим параллельным переносом. В настоящей работе аналогич-Л-1

ный результат доказывается для скленных поверхностей. Имеет место

Теорема. Пусть $2 и - замкнутые поверхности, склеенные соответственно из кусков и /'( 2. / = 1,II положительной кривизны, ограниченных кривыми^ и , ] = \п. Пусть

далее поверхности £2 и Л' 2 звездны относительно начала координат. Тогда при Я е [—1,1)

МЯв-преобразование поверхности $2 в $ 2 не отличаются от параллельного переноса и (или) преобразования гомотетии с коэффициентом (Л + \)(Л -1)-1.

Доказательство: проводится при помощи интегральной формулы, полученной в [1].

п.1. Вывод уравнения МЯС-преобразования.

_ _*

Получим систему, описывающую МЯв-преобразования поверхности. Пусть П и П -единичные векторы нормалей поверхностей Р2 и Р 2 в соответствующих точках. Так, как

П= [ги,г ] , = [ги', Г]

1гиМ |к>Л|

и элементы площади с1сг = \[7и,^]\с1ис1у, с!а = |[Т",г]|<;/»<;Л; связаны по условию соотношением йо* - с!а = Л ■ А ■ с!а, то получим

(1 + 1-Л)[ги,г] = [г\г*]

или

откуда следует

(1 + А-А)[ги,гу] = [ги+Ри,гу+Ру], (4)

\Ри=аги+ргу,

Действительно, если А' = [/'„,/',,]• то 7/ Л'. 7 А. N • Тогда ги + Ри А. И, гг + Рг А. N.

Так как Ти, Г - линейно независимы, то

г» +1\ =<*{«+1К

Или

Ри = («1 - Щ + ргч = аги+ ргу (5)

К = УК + (Д -1)7 = уги + 8гу, т.е. подставляя (5) в (4) получим

(1 + Я ■ А)[ги,гу] = ((1 + а)( 1 + 8) - РгШл]

Таким образом, функции а, /?, у, 8 связаны соотношением

а + 8 = (Я-\)-А (6)

Так как поверхности Г2, Г2 * есть поверхности класса С2, то Р также принадлежит этому классу и поэтому Р =Р ■ Это условие дает

«Л + а(Г\2гя + Г'л +Мп) + + /3(Т\2ги + Т222гу + Ш) = (?) = УЛ + у(гп ги + Кг, + щ + дигу + д(Т\2ги + Г 212г„ +Мп)

где Г* - символы Кристоффеля поверхности /<'2,

Ь,М,N - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности Г2.

Не нарушая общности, будем считать, что на поверхности Г2 введена изотермически сопряженная параметризация, т.е. ¡3 = у в этом случае равенство (7), дает систему

\ау-Ри=(3-а)Т\2 + Р(Т1и-Т\2) [Я-би=(3 + а)Т2и + /3(Г2п-Г222)

а соотношение (3) переходит, как показано в

а + 8-(\-Я)-А = 0

Переходя в (8) к новым искомым функциям, полагая,

8-а-211, у = р, 8 + а = 2П

получим

ии-К + 2Т2ии + у(Г2п +Г222) = -Пн, С/у-Гн+2Г;2М + у(Г;1+Г122) = Пу, (1 - Л)П2 + 2П - (1 - 1)(С/2 - Г2) = О

(8)

(9)

вводя в рассмотрение комплексную функцию м?(г) = и(г) + 1¥(г), называемой комплексной функцией преобразования, систему (9) можно записать в виде.

{(1 - Л)П2 + 2П - (1 - Х)^ = 0.'

последнее уравнение этой системы представимо в виде двух уравнений 28

ПО) = ■ ПО) = ■

1

1-Я 1

Гя

1-Я

1-Я

■ м>м>,Я Ф 1

как показано в работе [1], в системе (10) можно ограничиться выбором функции

П(и>) =--— +

1 _, т.е. рассматривать МКС-преобразования, описываемые системой

1-Я ^ 1-Я

д-М! + А(1)м> + В(1)м> = -5гП 1 '

по) = ■

1

1-я V 1-я

+ м>м>, Я^1

(11)

т.к. решение системы

д^м/ + А(г)\V + В(г)\с = -<ЗгП. 1 '

ПО) = -

1

1-я V 1-я

+ УГМ, Яф\

_"""

определяет поверхность Р радиус-вектор Г которой представим в виде

г - _ | 1+ ^ V _ _р + ¿т, где Р - поле смещения МЯв-преобразований поверхности 1<1, поро-

„1-Я

жденное системой (11). Таким образом, поверхность Р получается из поверхности Р путем

гомотетии с коэффициентом _

1 + Я 1-Я

и параллельного переноса.

Отметим, что при данном выборе функции ПО) > и коэффициента реккурентности

Я е [—1 1), получим А < 0. Действительно, при указанных значениях X, функция р[ _ а + & > о, ' 2 " а в силу равенства а. + 8 — А (Л — 1), следует, что А < 0.

п.2. Вывод интегральной формулы.

Рассмотрим в области выражение:

5

ду

(Г> ри>р) = (г, Рт,Р) + (г, Ри,Ру) + (7,Ри,Р)

— (7,Р,Р) = (7,Р ,Р) + (7,Р,Р) + (7,Р,Р).

Л \ ? V ? ' V ? УМ ? ' V ' V' И V и ' V' /

ди

Применим формулу Грина к выражению:

ди су

имеем

[¡(г,Ру,Р)^ + (г,Ря,Р)е/и = Л 2<?,Ри,Ру) + Ъ,Ри,Р)-Ъ,Р.,Р

2

2

2

2

2

Т.к. = [ги, Гу], а А = а8 - ¡Зу получим

Таким образом

-\§(г,ОР,Р) = Л 2(г,й)~(а + 8){п,Р)4Ё йийу,

ао о

т.е. ¡§(7,с1Р,Р) = Л (сс + 8)(п,Р)-2(7,п)А йо

ев р

Из (6) следует, что а + 5 = А (Л — 1) . Подставляя в данное интегральное выражение, получим: [$(7,с/Р,Р) = Л А{Л-\){п,г -г*)-2{г,п)А с1ст>

\\(7,с1Р,Р) = и А(Л - \)(п,7*) + Д(1 - Л)(п,7) - 2(7,И) А ёст =

сО В

= Л А (Л -1 )(п,7*) - А(1 + Л)(п,7) А ёст =

в

=" Я" ++

в

Окончательно получили

(7,с1Р,Р) = Л Д(1 -Л)(п,7*) + Д(1 + Л)(п,7)А йа

Применим полученную интегральную формулу к поверхностям р2. В силу звездности поверхностей 7,п >0, 7*,п > О, и т.к. Ле |-1.1). то подынтегральное вьфажение

(1 + Л)(7,п) + (1 — Л)(7*,п) >0. Применяя формулу (12) к склеенной поверхности Л'2 получим

_ п »» п п

(\ + Л)(7,п) + (\-Л)(7 ,п) Мсг=^ Я (1 + Я)(г,й) + (1-Л)(г\й) Ас/ст ££ | 7 ,<№ ,Р

Учитывая непрерывность векторного поля Р и то, что контуры по которым происходит склеивание обходятся в противоположном направлении получим

Л 4+ лу,п~у i-лу*,п= о

учитывая, что Д < 0получим Д = 0, что и означает, что функции а,/3,у,5 на S2 тождественно равны нулю. Это в свою очередь означает, что Р — const. Следовательно, MRG-

преобразование поверхности S2 в S 2 не отличаются от параллельного переноса и (или) преобразования гомотетии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Фоменко В.Т. Об MRG-преобразованиях овалоидов // Отображения поверхностей, римановых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида: Сб. науч. работ. Таганрог, 1999. Ч. 2. С. 64-76.

S

S