Бесконечно малые деформации тора Клиффорда в Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, имеем н = 0.

Указанное свойство минимальной поверхности может быть перенесено на случай про-

странства

Е4.

Так, известно, что К -поверхности Р в Е4 , заданные уравнением:

Р: г = г (¡, V 3= V, (р С, V 3// (/,

,V

где ^, V ^ р),' (р + i у/ - аналитическая функция комплексного переменного Z — ы + /V.

является минимальной поверхностью, то есть для нее вектор средней кривизны Н тождественно равен нулю.

*

Назовем К -поверхность р в Е , заданную уравнением:

Р: г = г \> 3= у> '/7 ^ -у С.V

где V ^ I) , присоединенной к /' .

*

Теорема. к -поверхность Р допускает непрерывное изгибание в поверхность Р по формуле:

Р( : ЩМ,С081(р + sinty/ ,со$1ц/ - sint(p

где / - параметр, /

ОД

2

; Р0 = Р, Р^ Р.

Доказательство вытекает из формулы:

йя] = ^оя2 ? + 5-ш2 ?+ <Р1 1 + ^у2 ^ ? €

оЛ

2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК 1. Норден А.П. Теория поверхностей. М: Изд-во ГИТТЛ, 1956. 260 с.

В.Т. Фоменко

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ако -ДЕФОРМАЦИИ ТОРА КЛИФФОРДА В р*

Работа посвящена одному из важных разделов дифференциальной геометрии - деформациям поверхностей в евклидовых пространствах.

Деформацией поверхности Р называют семейство ^ поверхностей /'(. непрерывно зависящее от параметра / , ? €Е ^ /п ,/п _. /п > 0. и содержащее исходную поверхность I' при некотором значении последнего, например, при ? = 0 имеем = Р.

Если поверхность задана уравнением Г, Р 4 ,Ы2 , 4',II2 ^ I), то аналитически деформация записывается в виде:

Р / Г

где ,11,0 = У'4\ II2 . Будем предполагать, что функция допускает разложение

по параметру / в окрестности точки / = 0 и представима в виде

к4\и2,{уг4\и2У&4\и2Уо4

л*

где О ^ означают члены более высокого порядка малости относительно / при X —>■ 0.

Допустим, что поверхность допускает две различные деформации, определяемые одним параметром Ь по формулам

Ft: Й4\и2^Уг4\и2 УtzXl ,и2У ох С

К: к4\и21=г4\и23-114\и2\оА

4

Будем говорить, что деформации ^

4

эквивалентны, если

'1 2 { ,и

£ 2

41 2 ^

% , и 1). Такая эквивалентность является отношением эквива-

лентности и делит все деформации поверхности на классы. Каждый класс эквивалентных деформаций называют бесконечно малой деформацией поверхности . Фактически, при исследовании бесконечно малых деформаций поверхности Р изучается поведение геометрических величин в начальный момент времени деформации по параметру 1 при I —0. Так, если на поверхности

Р

задана некоторая величина а, то при деформации поверхности Р она перейдет в величину А( на поверхности р. Будем считать, что величина А( разложима по параметру I при / —>■ 0 по формуле

Д =А + ? -8А + о 41

Величину

ЗА

называют вариацией величины а при бесконечно малой деформации поверхности Р . Основной целью теории бесконечно малых деформаций поверхности является вычисление вариаций различных геометрических величин. Эти вариации будут известны, если деформацию поверхности Р задать формулой

Й4\и2^=г4\и2У^4\и22 4\и2ув.

и

Векторное поле Z = Z Q ,U2 в этом случае называют полем деформации поверхности F . Знание поля z гарантирует знание (то есть возможность вычисления) вариаций всех геометрических величин поверхности F.

Поскольку векторных полей деформаций существует бесчисленное множество (так, любая

вектор-функция Z ^1, U2 порождает некоторую бесконечно малую деформацию поверхности

F по формуле ^ ), то изучают бесконечно малые деформации, обладающие наперед заданными свойствами [1],[2],[3].

Целью настоящей работы является обобщение бесконечно малых ARG — деформаций поверхностей в E на бесконечно малые ARG деформации поверхностей F 2 в четырехмерном евклидовом пространстве E , и изучение ARG — деформаций двумерного тора Клиффорда

T2=S1xS\E4.

Будем рассматривать поверхность F 2 в E 4, заданную уравнением

г = r 4il ,U2~2, il\u2~ßD, ?GE4.

Будем считать, что бесконечно малая деформация поверхности F определяется уравнением

rt=Rif ,u2 ,u2~\tz4il ,u2^, С

где ^1, U2 j^. D, Z ^1, W2 E4, t — малый числовой параметр. Введем

Определение. Будем говорить, что бесконечно малая деформация ^ является ARG — деформацией поверхности F в Е , если выполняются условия:

1) вариация S ^С элемента площади dСГ при деформации ^ подчиняется условию

где H вектор средней кривизны поверхности — заданное число, называемое коэффици-

ентом рекуррентности деформации;

2) нормальные плоскости поверхности

F 2 в каждой точке поверхности при деформации

^ смещаются в Е4 параллельно себе.

Деформации ^ с условиями 1), 2) более подробно называют ареально рекуррентными бесконечно малыми деформациями с сохранением грассманова образа поверхности

F 2 в E 4.

В работе показано, что уравнения ARG деформаций поверхности F2 в E относи-

-Ж 1 2 "

тельно искомого векторного поля Z Щ ,11 представляют систему линеиных однородных уравнений вида:

€3Д>0; С Д> 0;

>

dz -4 -

где Z. —-; щ,П4 уортонормированный репер в нормальной плоскости поверхности;

диг

Н — вектор средней кривизны поверхности.

Указанная система уравнений ^ является однородной, поэтому корректно говорить о линейно независимых решениях системы ^ , и, следовательно, можно говорить о линейно независимых бесконечно малых ARG -деформациях поверхности F вЕ .

Наиболее изученной ARG — деформацией поверхности F2 в e является ее бесконечно малая нормальная деформация [4]. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Бесконечно малая нормальная деформация поверхности F2 в e является ее ARG — деформацией, если нормальная связность поверхности является плоской, а нормированное поле деформации параллельно вдоль F в нормальной связности; при этом коэффициент рекуррентности ARG -деформации равен .

На вопрос может ли поверхность с плоской нормальной связностью допускать отличные от нормальных другие ARG — деформации с заданным коэффициентом рекуррентности Л, вообще говоря, отличным от 4 1 > ответ дается следующими теоремами на примере тора Клиффорда

T2=S1xS\E4.

Теорема 2. Пусть коэффициент рекуррентности Л удовлетворяет условию: Л*Лк, Лк=к2-\, к = 1,2,3,... . Тогда тор Клиффорда T в e допускает только одну линейно независимую ARG — деформацию, причем эта деформация является нормальной бесконечно малой деформацией тора Т2, сохраняющей элемент площади тора Т2 для любого значения Л.

Теорема 3. Пусть коэффициент рекуррентности Л удовлетворяет условию: Л = -1 . Тогда тор Клиффорда T 2 допускает точно две линейно независимых ARG деформаций, причем эти деформации являются нормальными бесконечно малыми деформациями тора Т2 .

Теорема 4. Пусть коэффициент рекуррентности Л удовлетворяет условию: Л = Лк, Лк = к,2 — 1, к = 1,2,3,.... Тогда тор Клиффорда допускает точно пять линейно независимых ARG деформаций, одна из которых является нормальной бесконечно малой деформацией тора Т2, сохраняющей элемент площади тора любого значения

Л = Лк, к = 1,2,3,....

Замечание. Если нормальную деформацию тора Т2, указанную в теоремах 2, 4, считать тривиальной, то тор Клиффорда является жестким в отношении ARG деформаций с коэффициентом рекуррентности Л, Л ^ Лк, Лк = к2 — 1, к = 1,2,3,..., Л ^ — 1; и нежестким при Л = Лк и Л — —1.

— — £ 1 2

п. 1. Доказательство теоремы 1. Пусть П = ПЩ ,U ^-некоторое регулярное поле единичных нормальных к F2 векторов, которое параллельно вдоль I1 в нормальном расслоении. Если j- ортонормированный репер в нормальной плоскости к I' 2. то считаем, что

П = V H-. + V/4/74 = УаПа ■ Бесконечно малая деформация поверхности F определяется

формулой:

Ft: ft=fiil ,u2~j-t -h-n, t e | t0,t0 ]] t0 > 0, h = const. ^

Покажем, что эта деформация является ARG — деформацией. С этой целью убедимся, что

касательные плоскости поверхности F по деформации смещаются параллельно себе, то есть, что

drt dft дг СГ

векторы--, -— разложимы по векторам Г, = ——7, /", = ———. Имеем

9м1 ' du2 r г 1 9м1' 2 ди2

z. = h-n = h€an ^=h-van + hva\btgklr,+ TT n ==

г ^ ^ г ^ и ^ ,г er Ш enk о l iu r _

hiT +vaTT и -h v°b .kgklrr

10 \>т am о /

Условие параллельности векторного поля П в нормальном расслоении означает, что = 0 , где V1 —символ ко вариантной производной в нормальной связности. В координатной форме этот факт записывается в виде

=0

г

или в развернутом виде

дус

du1

■ + т?У =0.

Таким образом, бесконечно малая нормальная деформация вида ^ сохраняет грассманов

образ поверхности Р2 в е4, если векторное поле П является параллельным вдоль Р2 в нормальной связности поверхности. Последнее возможно, если нормальная связность поверхности является плоской, то есть если гауссово кручение поверхности тождественно равно нулю.

Подсчитаем вариацию 8 {¡сг элемента площади (1(7 поверхности Р2 в е при деформации ^ . Имеем

gllSg22 + g22дgll - 2gl2Sgl2 = .

Вычислим вариации коэффициентов g . Находим

^, Z . + С , Z . Не нарушая

* J —J ' —•

в общности, будем считать, что У1 — И,. Тогда имеем Z — Н • У13 и потому

z. = hn,. = hC F,gklf, + Г4пл .

г 3 z ^ 3ik<-> I z 3 4 .

Отсюда находим

= Я" ( 2b3ikgklglj = 2g* ( hb3ikSk = 2g'J ( hb3ij = -AhH3 = -4 f Й

где Z = hn3 и 2H = g'Jb3ijn3 = 2H3n3.

Так как g'J= 2/1 • 2Н с , то имеем Л = -1 . Таким образом, если векторное поле П параллельно в нормальной связности поверхности, то бесконечно малая деформация вида ^

у

является ARG деформацией поверхности F с коэффициентом рекуррентности Л = -1 . Теорема 1 доказана.

п.2. Выведем систему уравнений, описывающую бесконечно малую ARG деформацию поверхности F2 в E4, заданную уравнением

— 41 2 41 2

г = г\ ,и ^ щ ,и

Так как вариация 8 4&0 элемента площади с!(У поверхности задается рекуррентной

формулой , то, полагая г = а г + с п , отсюда находим первое

уравнение искомой системы. Имеем

ÖÜCJ

t llfe + &22<%П - 2&12^12 hu'dU2

2V gll g 22 g

^ €11 * g^H + g22 * gfe + gU • g^!2 + gM • g^21 ^du'du'

где g = gug 22 - g12 • Далее находим

<0'

где

Я = ЯСТЯ , 2=g1Jb'T.

а' о г/

Введем в уравнение компоненты 6/ , Са поля деформации Z = Ü Г + CaFl

С этой целью подсчитаем OS . Имеем

+

= #V ak-r + akW.r+W can +caW n \

ij j к j к ja j а

<V ak-r + akV.r+V саП +c"V.n

~i.i к г к г а г а V

= V ak-gk +акЪ\-4 ,r • <;,Л ~+catr.n -b kgklr +

1 о ik ik * i / л " <j л, ¡er т ajkcy l >

+ V^ • gjk + akbl П.rJj- c° $ - b^'r, + Г.

= v/4 +6'Ч ь,gklgli > v,*, +сЧ

n =

icr r _>

= V а + V.¿г. -b ,Skca = У a + V a -2b ..ca.

J ' ' J <yk г j г г j atj

Тогда находим

V л> _ gv v a + gvV a _ 2g«b ,.са = V а1 + V ä - AH ca = 2$ a' - 2H c°

о J I О I J О cnj J I <y ^Z <y

г ]

mj

i

Это означает, что искомые функции О , С удовлетворяют уравнению

Ул' =2i+Äy<Tc\

<1

Так как V(6/' = О/ü' + Г}кйк и Y'ki = Зк In*J~g . то уравнение принимает

вид

да' + К + + =2<+ЛЪ С

ди1 дм2 9м1

ди'

Это означает, что уравнение ^ 1 представимо в виде

д(ГЫ Л d-^-2i+ Я^ + Н4с4 Jg = О,

ди1

аи

12

где //3 — Н3, Н4 — Н4. Это и есть искомое уравнение, описывающее ареально рекуррентные бесконечно малые деформации поверхности Р2 в e4.

Дадим аналитическую запись сохранения грассманова образа поверхности при ее бесконечно малой деформации. Если при бесконечно малой деформации поверхности Р2 в е нормальные плоскости в каждо й ее точке смещаются параллельно, то касательные плоскости также смещаются параллельно. Это означает, что в разложении векторов по базису /7^ будут отсутствовать компоненты с векторами П3 и П4 . Имеем

z.= V.akrk+ akV.rk+ V.c'n + cCTV n

г г к г к га го

= V akrk+akb°n +V.can +c^rn -b ,glkft =

г к гк ст г er ~гсг т oil<-> к

= $гак - bmlglk l + itbi + + ry

Отсюда следует, что искомые уравнения, описывающие условия сохранения грассманова образа поверхности Р2 в е 4 при ее бесконечно малой деформации, имеет вид

V + akba. + ГасГ =О, i = 1,2/ СГ = 3,4.

г гк гт ' ' у '

О

Для поверхностей F2 в E4 эта система представляет собой систему 4 уравнений с 4 неизвестными a , a , С , С . Таким образом, система уравнений, описывающая ARG —деформации поверхности F2 в Е4 есть объединение 5 уравнений ^2 и ^3 с 4 неизвестными

a1, a2, С3, С 4.

п.З. ARG — деформации тора Клиффорда Т2 в Е*. Доказательство теорем 2, 3, 4.

Тором Клиффорда Т2 в Е* называют прямое произведение двух окружностей S1 X S1. Тор Клиффорда можно задать уравнением

г (¿,vj= ?J cos и, A sin и, В cos v,Bsinv ^}0<и< 2ж, 0<v<2 ж, А> О, В> 0; A- const, В = const.

Легко подсчитать, что касательные векторы Г и Г задаются координатами:

г = -{Asinu,Acosu, 0 , 0 ; f - ~{ 0 , 0 ,-Вsinv,Bcosv .

Репер ^

^ в нормальной плоскости имеет вид

Я3 = т}cosu,Asinu,Bcosv,Bsinv ^

^ 1 .

Ил2+ в2'

пл = А В cos и,-В sinu,Acosv,Asinv ^ =.

<!а2+в2

Основные формы тора Клиффорда имеют вид:

ds2 = А2 du2 + В2 dv2-

А2 du2 + B2dv2

ii с, =-

//О

у] А2 + В2 ABdu2 - ABdv2

2 , d 2

л/л2 + в

1 Я2 - А2

Ют, = 0, Г,3. = Г3 =0, Я3 = —р===, я4 = л л

л!А2 +В2 ' 2АВл1А2 + В2'

Выпишем для тора Т2 систему уравнений ^2 , , используя приведенные выше числения основных форм тора Т2. Имеем

1) а + а -2(+Л г---0;

" v " 2VZTВ^-АВ

2) дс + ab = 0;

3) дуС + а Ь22 = О/

4) дис4 +а1Ьлп = 0;

5)д с4+а2Ь422 = 0.

> V 22

Подставляя сюда значения , находим

1) д с3 +

' V

2) дс3 +

' А2 Л

Л1А2 + В

в

VА2 + В2

а1 = 0;

/

2 Л

а2 = 0;

у

_ 4 АВ , з)д с + , а = 0;

4) дс4 -

4 А2 + В2 АВ

л/А2+В2

а2 =0;

5) диа1 + дуа2 + . < + 4АВс3 + ^2 - В2 "с4 0.

л1А2+В2 -АВ

Отсюда находим, умножая на в, 14, на А и складывая

и ~ >

умножая на , на 5 и складывая, получим

а ^с3 - вс4 о.

V ^ >

Из системы , 1б находим

Ас3 -Вс4 =(р<^ Вс3 + Ас4 = у/

где (р 1 и некоторые функции своих аргументов. Отсюда следует

з А(р<1УВу/4Г^

А2+В2 ' В(р4УАу/4

2 , п2

<4

15

16

17

4

С

Из системы С4 следует

, Т¥ Аср[42 <р'Л

а =

о2 =

А2 А2+В2 А^А2+В2'

л1А2+в2 В¥:4Г

в2 А2 + В2 Вл1 А2 + В2

18

Подставляя значение О1 из формул в уравнение - , получаем

<Р'<

+

+ ■

А^А2+В2 Вл1А2+В2 АВ^А2 + В

' Ау + Вц, ^-В2^В(р + А¥ А2 + В2 А2 + В2

Отсюда находим:

А АВ

2АВ-А 4 А2В>В3

А2 + В2

А2 + В2

В

АВ

2АВ2 А2 + В:

А3-АВ2 А2 + В2

0.

Приводя подобные, отсюда получаем

Я «"О < + Я>О=0-

Уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

У О <+яЗ>Ос<Л'

19

-0.

где £'п — произвольная постоянная. Рассмотрим три случая.

1) Пусть 1 + Л = /Л2 > 0 . Тогда общее решение уравнений дается формулой

Сх С08 фи С2 ЯШ 4ци

ц/4г= с3 с4

сА V2

с^В 2 '

м

С1

где СХ,С2,СЪ,С^ — произвольные постоянные.

2) Пусть 1 + Л = —/И2 < 0 . Тогда имеем общее решение уравнений

^ Г А

JU

с В

у/4У с3е^ + с4е~^ + 0

И

<2

3) Пусть 1 + Я = 0. Тогда

имеем из

<р4У -^Ас0и2 + схи + с2;

+ с3У + С4.

Рассмотрим более подробно общий вид решений системы . В случае 1 + А = /Ц1 >0

имеем

1

а =

a

c 3 =

А^А2+В2 1

b-Ja2 + в2

jjcx sin фи У jjc2 COS фи У -{juc3 sin фи j- juc4 COS фу ;

2ä.]—ilM2 cos фи У C2JU2 sin фи У c0AУ ¡л ^ +B

С 4 =

+ Вф/Л2 COS ф\>^У C4jU2 sin фру C0By

2 ä ]-вф/л2 cosфиУ~ c2fi2 sin фиУс0АУ

/л ^ +В

+ Аф[л2 cosфvУ с4//2 sin фуУ с0В~2_

Функции Ü , С будут периодическими функциями с периодом 2 71, если

/Л = к, к = 1,2,3, — ,' т0 есть, если А = Ак, Лк = к2 — 1, к = 1,2,3,....

Таким образом, если коэффициент рекуррентности Л определен формулой Л = Лк, Лк = к2 — 1, к = 1,2,3,..., то тор Клиффорда / 2 допускает точно пять линейно независимых ARG — деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности А., при этом поля деформаций даются формулами при Л = к2 — 1:

2АВп4 к * 0, к е N;

zU.v о -

z u.v

-

к sin фи ^

a4a2 + в

к cos фи

A cos ф.\. В cos фи

-Г. + -;---;-ffi4;

r +

А2 + B2 3 A sin ф,1

А2 + В

„ В sin фи „

- Я--=72 '

А4А2+В2 и А2+в2 3

z U.v

с: -

-—r. + —;-^ + —;-^fi4;

вл1а2 + в2 v а2 + в

2 3

А2 + В

kcosty^ - Bsin^v^, Asin4v~~\

z Щ, V =-, Г Л—--+ —--~^пл.

^ В^1А2+В2 v А2+В2 3 ,42+ß2 4

этому

Отметим, что поле деформации z V является нормальным к поверхности Т2, и по-

<С

соответствующая arg — деформация является нормальной деформацией тора т2 . Кро-

ме того, в каждой точке поверхности Т2 вектор Z ортогонален вектору средней кривизны

<0

н = -

:П3 +

в2-а2

Л1а2 + в2 3 2 авл/а2 +в:

n„

и потому ^ // ^ О на / 2. Это означает, что для любого значения x arg — деформация, порожденная векторным полем z является ag деформацией, то есть для этой деформации

<с

дЦстУЪ . Этим доказана теорема 4.

Если хфхк , то тор Клиффорда допускает одну линейно независимую arg деформацию с заданным коэффициентом рекуррентности ; причем эта деформация является нормальной с полем деформации

~~ 4i ^ i ^cosu Asinu -Bcosv -Bsinv

'V^~XUA2+B2 'JA2+B2 'л/А2+В2 'Л1А2+В2 Г

Пусть fl < 0. Тогда функции (р Ki и Ц/ 4 будут периодическими функциями тогда и только тогда, когда сх = с2 = с3 = с4 = 0. Это означает, что для заданного значения X = — /Л2 — 1 < — 1 тор Клиффорда допускает одну линейно независимую arg — деформацию с полем деформации z = z v , причем эта деформация, как отмечалось выше, является

<0

нормальной.

Пусть ju = (J, то есть Л = -1. Тогда тор T допускает две линейно независимых

arg деформаций с коэффициентом рекуррентности л = -1. Эти деформации являются нормальными и задаются векторными полями:

2

1

ч А _ В _

zl, ,=-и,--п.:

А2+В2 3 А2 + В2

В _ А

-п, +—--пл

А2+В2 3 А2 + В2 4'

Отсюда вытекает справедливость теоремы 3.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (тем. план ФА МОиН РФ № 1.1.05).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1959.

2. Fomenko V.T. ARG - deformations of a hyper-surface with a boundary in a Riemannian space. Tensor, N.S., Vol. 54 (1993); Japan.

3. Фоменко В.Т. Распределение нежестких внешних связей обобщенного скольжения: Труды геометрического семинара: В 24 т. Казань: Изд-во КГУ, 2003. С. 169-178.

4. Chen B.Y., Yano K. On the theory of normal variations/ J/ Differential Geometry. 03. Vol. 13 NO. 1978. С. 1-10.