О катенарных инверсных полугруппоидах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел I. Алгебра и геометрия

Е.С. Арапина-Арапова

О КАТЕНАРНЫХ ИНВЕРСНЫХ ПОЛУГРУППОИДАХ

Понятие катенарного полугруппоида ввел в геометрических целях В.В. Вагнер [2]. Полугруппоидом называется сильно ассоциативный частичный группоид, т.е. частичный группоид

(5*/) является полугруппоидом тогда и только тогда, когда из того, что определено в 8 одно из произведений (Л' • у) • 2 , X • (у • 2) следует, что определено и другое, и выполняется равенство

(х-у)-г = х-(у-г). (1)

Если произведение Ы • V не определено в 5*, то пишем Ы • V = 0.

Очевидно, частичный группоид (5*/) есть полугруппоид тогда и только тогда, когда его

нулевое расширение [3] 5 =5 ^ {0} является полугруппой. Поэтому всякое свойство полугруппоидов влечет очевидное следствие для полугрупп (с нулем).

Идемпотентный коммутативный полугруппоид называем частичной полурешеткой. Идемпотентный частичный группоид называется антицепью, если условие Ху Ф 0 всегда влечет X = у.

Частичный группоид (£'/) называют катенарным, если условие X • у Ф 0 Ф у • 2

всегда влечет (х • у) ■ г Ф 0 Ф X ■ (у • г) .

Условие катенарности частичного группоида группоида 5 равносильно условию катего-

рийности в нуле его нулевого расширения 5 0.

Принятая полугрупповая терминология сохраняется нами и для произвольных полугруппоидов. Понятны, например, термины регулярный, инверсный, простой, вполне простой полугруппоиды и т.д. Вполне простой инверсный полугруппоид называют группоидом Брандта.

Для произвольных классов 2-, 1 полугруппоидов через обозначен класс всех полу-

5, на которых существует такая конгруэнция Т, что 5/ €Е Г .

группоидов о , на которых существует такая конгруэнция с , что ь I , а каждый замкнутый в

.V т -класс принадлежит X . Всякий полугруппоид класса X *Г называем 1 -полугруппоидом

X - полугруппоидов. В работе рассматривается строение катенарных полугруппоидов, являющихся идемпотентными коммутативными полугруппоидами группоидов Брандта. Частным случаем полученного в работе результата является одна из основных теорем в [1].

Обозначения: а - класс антицепей; в - класс группоидов Брандта; i - класс полурешеток;

q - класс катенарных частичных полурешеток

м - класс инверсных клиффордовых полугруппоидов, в которых идеальная эквивалентность Грина О является конгруэнциеи;

К - класс тех полугруппоидов 5* ЕМ, для которых бинарное отношение

<= {(а,0)е %ха°Р = а]

Вестник ТГПИ

Естественные науки

удовлетворяет условию

(у < а & у < ß) —>• (у < а о ß) (2)

Теорема 1. Q=I* А

Доказательство. Если S El* А. т.е. S - прямое объединение полурешеток, то идемпотентность и коммутативность полугруппоида S очевидны. Пусть X, у, Г G S, Ху Ф 0 Ф yz . Тогда,

по определению (* ) и класса А, элементы X, У, Z принадлежат некоторой подполурешетке Sa полугруппоида S, а поэтому (xy)z (= x(yz)) принадлежит Sa , т.е. (xy)z Ф 0 Ф x(yz). Значит S - катенарный идемпотентный коммутативный полугруппоид, т.е. S - катенарная частичная полурешетка, следовательно, S Е О. Итак, /* А d Q.

Докажем обратное включение. Если S E.Q, то отношение 0 = {(х, у) G S X Ф 0}

является эквивалентностью. В самом деле, рефлексивность и симметричность 0 следуют соответственно из идемпотентности и коммутативности умножения в S. Если, наконец хву, yOz, т.е

Ху Ф 0 Ф yz , то, в силу катенарности, (xy)z Ф 0 . Но S - полугруппоид, поэтому

(xz)y = (zx)y = z(xy) Ф 0 . Отсюда следует X0Z . Значит, в - эквивалентность на S . По

определению в, если хву, то Ху Ф 0 , т.е. Ху G S. Но X • (ху) = X у = Ху Ф 0, поэтому хв( ху ). Таким образом, каждый в - класс есть обычный (т.е. полный) группоид, а поэтому является обьиной полурешеткой. Из сказанного следует S £/* А Этим доказано включение QC1 /*/4, а вместе с ним и требуемое равенство.

В [4] доказано, что полугруппоиды класса К и только они являются катенарными частичными полурешетками группоидов Брандта, т.е. К=В* Q, откуда, по теореме 1, К=В* (/* А). Естественно, возникает вопрос о строении катенарных полугруппоидов класса к. Решение этого вопроса и является целью настоящей работы.

Теорема 2. Полугруппоид S класса к катенарен тогда и только тогда, когда для любых

о /

ОС, ß G , таких, что ß <1 ОС и любого идемпотента 6 El ОС найдется единственный идем-

потент f G ß такой, что f ^ в.

Доказательство. Пусть S катенарный полугруппоид из К. В этом случае, как показано в [4] обозначенное в формулировке условие выполнено. Покажем обратное. Пусть

Sek

и указанное в формулировке условие выполнено. Берем произвольные идемпотенты / , g Е S такие,

что ßf Ф 0 Ф fg и покажем, что

(3)

Т.к.

Sek,

то S является частичной полурешеткой Y группоидов Брандта {ОНСС Е Y J. Следовательно найдутся такие ОС, у Е Y , что в Е ОС , f Е ß. g Е У. Поскольку cf Ф 0 Ф fg

то, по определению частичного факторгруппоида = У , имеем ОС °

Т.к.

частичная полурешетка Y катенарна, то отсюда следует ОС ° ß ° у Ф0. Очевидно

а о ß о у < ß. (4)

Т.к. ßf Е ОС о ß. то по условию, найдется идемпотент /?| Е ОС ° ß ° у такой, что

кх<е/</. (5)

Аналогично, существует идемпотент €= ОС ° Р ° У такой, что

(6)

Но ао^о /ед т.е а о Р о у - группоид Брандта и /?,, /?2 <Е « ° /? ° /. значит либо /?1 И2 = 0, либо /?| = /?2. Если /?| ^ /?2 • то в группоиде СС ° Р ° у нашлись различные идемпотенты ^, ^, удовлетворяющие (5), (6) и выполняется неравенство (4), что противоречит требованию «единственности» в формулировке теоремы. Значит И^ = И^. откуда получаем

0 ^ /?| = /?| = /?| /?2 = /?| (е/ ) • ( /£")/?2 = /?| (е/^)И2, поскольку полугруппоид. Отсюда следует С^ ^ 0. Таким образом, в инверсной полугруппе = ^ {0} полурешетка

идемпотентов категорийна в нуле, а потому категорийна в нуле и полугруппа 5 , т.е. полугруппоид 5 катенарен.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Арапина-Арапова Е.С. Разложение полугрупп в объединение декартовых полугрупп // 11-я Международная конференция «Полугруппы: теория и приложения» в честь профессора Е.С. Ляпина. СПб, 1999. С. 66-67.

2. Вагнер В.В. Диаграммируемые полугруппоиды и обобщенные группоиды. Известия вузов, Математика, 1967. № 10. С. 11-23.

3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп // Мир, М., 1972. Т. 1,2.

4. Кожевников О.Б. Об одной операции на классах полугруппоидов. Вестник ТГПИ, Естест. науки, 2009.

Д.А. Жуков

О ЖЕСТКОСТИ ПОВЕРХНОСТИ, СКЛЕЕННОЙ ИЗ КУСКОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ, ОТНОСИТЕЛЬНО БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ Ав-ДЕФОРМАЦИЙ

1. Формулировка результата.

Предметом исследования данной работы являются замкнутые поверхности, звездные относительно некоторой точки, лежащей внутри поверхности, склеенные из гладких кусков поверхностей неотрицательной гауссовой кривизны (каждый кусок класса С™2), причем гауссова

кривизна может быть равна нулю только в конечном числе изолированных точек и вдоль некоторых кривых.

Исследование ведется в трехмерном евклидовом пространстве.

Ставится задача: изучить поведение такой поверхности относительно бесконечно малых Ав-деформаций, считая, что поле деформации непрерывно на всей поверхности, а на гладких кусках поле деформации принадлежит классу С™, Ш > 2.

Рассмотрим поверхность Б: 7 = 7{и,У) еС",/И>2, (м^)еО.

Определение 1. Бесконечно малыми Ав-деформациями поверхности называют такие бесконечно малые деформации, которые сохраняют поточечно сферический образ поверхности