Об одном классе инверстных полугрупп с нулем Текст научной статьи по специальности «Математика»

(/4\{0л})Х(5\{0в})^{0}, где вместе с бинарной операцией

\{аха2,Ь1Ь2), если ага2Ф0А,Ьф2Ф 0в,

(аи Ьl)•(a2, Ь2)=, Л Л ,, Л

0, а а 0 или Ь Ь 0 ,

является полным группоидом и называется [3] прямым произведением группоидов А, В с объединенным нулем.

Заметим, что прямое произведение группоидов А, В - это в точности нулевое ограничение прямого произведения с объединенным нулем их нулевых расширений. Легко доказывается следующее

Предложение 2. Прямое произведение двух идемпотентных (коммутативных, ассоциативных, слабо ассоциативных, связных, катенарных) группоидов есть идемпотентный (коммутативный, ассоциативный, слабо ассоциативный, связный, катенарный) группоид.

Не составляет никакого труда ввести понятие прямого произведения любого множества группоидов и доказать предложение 2 и для этого общего случая.

Согласно предложению 2, прямое произведение частичных полурешеток есть частичная полурешетка, то есть класс частичных полурешеток мультипликативно замкнут. Этот класс является наследственным в том смысле, что всякий подгруппоид частичной полурешетки вновь является частичной полурешеткой. Однако, как мы видели выше, он не является гомоморфно замкнутым.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.

2. Кулик В.Т. Простые 1-полугруппоиды // Исследования по алгебре. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та. С. 23-31.

3. Кожевников О.Б. Категорийные полугруппы: Дисс. на соиск. учен. степени канд. физ.-мат. наук. Таганрог, 1975.

4. Арапина-Арапова Е.С. О частичных полурешетках инверсных полугрупп // Сб. науч. тр. преподавателей и аспирантов ТГПИ. Таганрог, 2000. С. 216-222.

О.Б. Кожевников ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНВЕРСТНЫХ ПОЛУГРУПП С НУЛЕМ

В работе [1] А.М.Мальцев ввел понятие умножения классов алгебраических систем. В частности, можно говорить о мальцевском умножении классов группоидов: произведением классов Г группоидов называется класс £*Г всех группоидов 8, на которых существует конгруенция т, удовлетворяющая условиям

1*. Каждый замкнутый т - класс принадлежит

2\ в/т е Г.

С другой стороны, часто возникают такие разложения, компоненты которых имеют общий элемент, чаще всего ноль группоида. Бинарные отношения, отвечающие таким разложениям, не только не являются конгруенциями, но и эквивалентностями. В этих случаях говорить об умножении группоидов в указанном выше смысле не приходится. Но если удалить из группоида этот общий для всех компонент элемент, то в образовавшемся частичном группоиде получаем обычное разбиение. Слоями разбиения являются группоиды уже не полные, а частичные. Отвечающая такому разбиению эквивалентность на частичном группоиде нередко оказывается конгруенцией, не являющейся, вообще говоря, сильной.

Подобные разложения встречаются, например, при рассмотрении линейных алгебр, градуированных тем или другим способом, при рассмотрении 0-связок ( в частности, 0-прямых объединений) полугрупп и многих других случаях.

Отмеченные обстоятельства подводят к следующему определению. Для произвольных абстрактных классов Е, Г частичных группоидов обозначим через Е°Г класс всех тех частичных группоидов 8, на которых существует конгруенция т, удовлетворяющая условиям

1°. Каждый т-класс, рассматриваемый как частичный группоид в 8, принадлежит Е.

2° в/т е Е.

Частичный группоид 8 класса Е°Г называем Г-группоидом Е-группоидов, более точно -группоидом Б/т группоидов {та | тае Б/т}.

Если 8 - полный (т.е. обычный) группоид, то условие 1° влечет условие 1 . Поэтому ограничение операции (◦) на классах полных группоидов содержится в операции (*). Это включение строгое, т.к. не каждый класс конгруенции обязан быть замкнутым.

Например, если Е - класс единичных групп, Г - класс полугрупп, содержащих хотя бы один неидемпотентный элемент, 8еГ, то 8еЕ*Г, т.к. требуемая конгруенция на 8 - отношение равенства. Однако, 8ёЕ°Г, т.к. элемент, не являющийся идемпотентом, группы не составляет.

Используемая полугрупповая терминология взята из [3] и [4], а термины и символика теории частичных группоидов - из [2]. Ради краткости, частичный группоид называем группоидом, а частичный подгруппоид - подгруппоидом. Такая вольность иногда допускается. Например, группоид Брандта в [3] трактуется как группоид частичный. Во избежание путаницы, группоид, операция в котором всюду определена, назовем полным группоидом. Идеал группоида понимается как двусторонний идеал.

Полный группоид 8°=8и{0}, где Ой8, называют нулевым расширением_группоида 8, если ху=О (хд'е8) тогда и только тогда, когда ху=0 (т.е. произведение ху не определено в 8) их-0=0-0=0=0-х для любого хе8. Группоид 8 называется нулевым ограничением полного группоида 8о.

Группоид 8 называется ассоциативным (коммутативным; идемпотентным; катенар-ным), если (ху)х=х(у2)) (соответственно ху=ух; х2=х; условие хуФ&Ф- уг влечет (ху)гф&ф'х(у2)) для любых х,у,геБ. Символ (=) означает предикат равенства на множестве 8и{ 0}. Здесь, конечно же, 0ё 8.

Группоид 8 ассоциативен тогда и только тогда, когда его нулевое расширение 8о - полугруппа. Все термины и обозначения теории полугрупп [3], [4] сохраняем для произвольного ассоциативного группоида 8. К примеру, элемент х из 8 групповой (иначе вполне регулярный), если х принадлежит некоторой подгруппе в 8; идемпотент е - примитивный идемпотент, если для любого идемпотента/ев из равенств е[ / [е следует е /: 8 - примитивный группоид, если каждый идемпотент в 8 примитивен; 8 - инверсный группоид (простой группоид), если 8о -инверсная полугруппа (0-простая полугруппа). Естественным образом на ассоциативном группоиде определяются идеальные эквивалентности Грина Н, ^, £, Ю, & Группоидом Брандта называют ассоциативный инверсный простой примитивный группоид. Полные группоиды Брандта - это группы. Группоид, являющийся объединением замкнутых подгруппоидов Брандта, назовем клиффордо-вым группоидом. Клиффордовы полугруппы - это полные ассоциативные клиффордовы группоиды. Ассоциативный инверсный группоид 8 тогда и только тогда клифордов, когда в 8 является групповым любой элемент х такой, что х:ф 0.

В настоящей работе описывается класс М ассоциативных инверсных клиффордовых группоидов, на которых отношение Грина & является конгруенцией. Описание проводится в терминах рассмотренной выше операции (◦) на классах группоидов. Класс М содержит класс инверсных клиффордовых полугрупп, а также классы, рассмотренные в более ранних работах автора.

Если то как показывает следующий пример, в отличие от полных группоидов, фактор группоид 8/ & может оказаться не ассоциативным.

Действительно, пусть 8 - нулевое ограничение инверсной подполугруппы 8о симметрической инверсной полугруппы преобразований множества {1,2,3,4}, порожденной преобразованиями

a =

- f "'S

1 , b = 2 , e = 1 2 , f = 2 3 , g = 3 4

3 4 1 2 2 3 3 4

v J ^ J v J

Легко видеть, что Se Ж Однако, факторгруппоид (S/e£;°) не является ассоциативным, так как S/e£ = { a, b, с, е, / g }, е ° (/ ° g) = a* b= = (e°f)°g.

Более того, группоид S/& не является даже слабо ассоциативным.

Лемма 1. Ассоциативный группоид, являющийся идемпотентным коммутативным группоидом инверсных группоидов, инверсен.

Доказательство. В группоиде S, удовлетворяющем условию леммы 1, найдётся, по определению, такая конгруэнция т, что каждый т - класс та (aeS) является инверсным группоидом. Тогда в та существует элемент а1, инверсный к а. Если для некоторого элемента beS справедливы равенства a = aba, b = bab, то в силу идемпотентности и коммутативности факторгруппоида (S/& ;

имеем а = aba = abb'1 ba е таЬ°тЬа = таЬ ° (тг,°та) = таЬ ° (та°тг,) = таЬ°таЬ = таЬ, т.е. аетаЬ. Из соображений симметрии Ьетьа = таъ, откуда следует та = хаъ = ть- .Поэтому b - инверсный элемент к а инверсного группоида xa, значит b = a-1. Итак, S - инверсный группоид и лемма доказана.

Если в формулировке леммы 1 предположить, что операция в группоиде всюду определена, то получаем известное утверждение о том, что полугруппа, являющаяся полурешёткой инверсных полугрупп, инверсна.

В [5] доказано, что каждый & - класс ассоциативного инверсного клиффордова катенарного группоида является замкнутым подгруппоидом Брандта. Следующая лемма показывает, что требование катенарности можно опустить.

Лемма 2. В ассоциативном инверсном клиффордовом группоиде каждый & - класс является замкнутым подгруппоидом Брандта.

Доказательство. Если S - группоид, указанный в формулировке леммы 2, и a,b е S, аеЗЬ, ab Ф 0, то для элементов е = сГ1 a. bb~l =/имеем

ef* 0 (1)

и ee¿f. Тогда для некоторых х, у, и, veS

e f=

= xfy

uev

Обозначая c = exue, evye = d, получаем

ec = c = ce ed = d = de cd = e

Поэтому d = c~l. Согласно (3), dc2d = dee = dc = c~lc Ф 0, значит с1 Ф 0. В силу клиффордо-вости группоида S, отсюда вытекает, что c - групповой элемент:

ccn = e = c_1c. (4)

Из соображений симметрии, для элемента p = fuxf имеем

PP~l =f=P~1P■ (5)

Из (1), (4), (5) следует ср Ф 0, откуда, по определению элементов с, р, получаем u2u~l = fu = uu~l-efu = uefuu~l-u = uefu ф 0. Значит, и2 # 0 и потому и - групповой элемент. Стало быть, элемент u коммутирует с любым идемпотентом: ef = euev = ue2v = uev = f. Аналогично fe = e. Таким образом

e = f. (6)

Благодаря равенству (6), a = ae = af =abb~l, поэтому a R (ab), где R- идеальная эквивалентность Грина. Поскольку i^ceZi, то ae£(ab). Этим доказана замкнутость класса J а в группоиде S.

Из доказанного следует, что в полугруппе S° = S и{0} подмножество

J а и{0} является главным фактором, а потому J а - простой группоид. Как только что было доказано, в этом группоиде произведение различных идемпотентов не определено, т.е. Ja - примитивный группоид. Сказанное означает, что J a - группоид Брандта и лемма 2 доказана.

Как показывает пример бициклической полугруппы, требование клиффордовости в формулировке леммы 2 существенно.

Если в формулировке леммы 2 предположить группоид полным, то каждый & - класс становится группой, и мы приходим к известному свойству инверсных клиффордовых полугрупп.

Эквивалентность & на инверсной клиффордовой полугруппе является конгруэнцией. Но это не так для произвольного инверсного клиффордова ассоциативного группоида.

Покажем это. Пусть группоид 8 является нулевым ограничением инверсной подполугруппы 8° симметрической инверсной полугруппы преобразований множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}, порождённый пре-

г Л С

1 2 1 4

3 6 5 6

V ^ V. у

образования а= , Ь = . Фактормножество 8/е£ состоит из четырех классов,

каждый из которых - группоид Брандта. Два из них - четырёхэлементные группоиды Брандта, порождённые каждым из элементов а, Ь. Два других состоят из преобразований ранга 1, обе проекции которых имеют одинаковую чётность. Здесь имеем а & а_1, Ь & Ь~1, но элементы

аЬ~1 =

а1Ь =

не являются & - эквивалентными. Следовательно, & не является конгруэнцией на инверсном клиффордовом ассоциативном группоиде 8.

В [6] найдено строение катенарных группоидов класса Ж Следующая теорема проясняет строение произвольного группоида из М.

Теорема. Же®0 Г , где ® - класс группоидов Брандта, Г - класс идемпотентных коммутативных группоидов. Всякий ассоциативный группоид класса В ◦ Г принадлежит М.

Доказательство. Согласно лемме 2, каяедый е£ - класс группоида 8еМ замкнут, т.е. -идемпотентный группоид. Для любых элементов а , Ье 8/е£ таких, что аЬ ф 0, имеем а°Ъ = а Ъ = (аЪ)~х = /Г'еГ1 = /Г1 о я-1 = Ъ 0 а. Значит, группоид 8/е£ коммутативен и потому Ъ/е£е Г. В силу леммы 2 каждый класс принадлежит ®. Следовательно, 94. а В ° Г.

В виду леммы 1, каждый ассоциативный группоид 8 класса В ◦ Г инверсен. По определению класса В ◦ Г на 8 существует конгруэнция т, классы которой - группоиды Брандта, а потому 8 -клиффордов группоид. Для завершения доказательства достаточно доказать равенство

т=«г!.(7)

Поскольку та е ®, то, по определению <8, класс эквивалентности та является простым группоидом. Поэтому условие атЪ всегда влечёт а <£Ь. Значит тей Пусть а ¡¿¿Ь. По условию тя, ть -замкнутые инверсные подгруппоиды инверсного группоида, поэтому сГ'дет„. Л/Г1 ет6. Согласно лемме 2, ей - классы а, Ъ принадлежат ®. Поэтому для некоторого хе а получим а~1а = хх~\ х-1х = Ь/Г1. Отсюда, учитывая, что а - группоид Брандта, имеем т„ = та-<а = тл;ч-. = тх = тХ1Х =Тыг = ть, т.е. атЬ. Доказано включение е^с т, а потому и равенство (7). Теорема доказана.

Пусть ассоциативный группоид 8 является группоидом У замкнутых подгруппоидов {8а | аеУ}. Скажем тогда, что полугруппа 8° является группоидом 7 полугрупп { 8°а | ае У} с тем же нулём.

Иными словами, полугруппа (8; ■) с нулём есть группоид (У;°) полугрупп {8а | ае У}. если

1. Все 8а - подполугруппы 8 с общим нулём.

2. Б = ^ 8а

аеУ а

3. 8а п 8р = {0} при а ф |3.

4. 8« ■ 8Р <= 8а°р при а°р * 0.

5. 8а ■ 8р = {0} при а°Р = 0.

Обозначим через <М ° класс нулевых расширений группоидов класса 9Л. т.е. М ° - класс тех инверсных полугрупп 8, являющихся 0 - объединением полугрупп Брандта, для которых ограничение эквивалентности е£ на множестве 8\{0} является конгруэнцией.

Следствие. Полугруппа 8 принадлежит М ° тогда и только тогда, когда 8 - идемпотентный коммутативный группоид полугрупп Брандта.

В заключении отметим, что идея исследования полугруппы с нулём при помощи нулевых ограничений была впервые высказана В.Т. Куликом на коллоквиуме по теории полугрупп в г. Кишинёве, 1971 г.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мальцев А. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. мат. ж. 1967. 8. № 2. С. 346-365.

2. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.

3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Изд-во «Мир», 1972.

4. Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: Физматтиз. 1960.

5. Арапина-Арапова Е.С., Кожевников О.Б. О разложении инверсных категорийных в нуле полугрупп.

Современная алгебра: Межвузов. сб. науч. тр. 4 (24), Ростов-н/Д., 1999. С. 3-5.

6. Кожевников О.Б. Категорийные частично упорядоченные множества частичных группоидов. ДЕП.

№ 334. 2005. С. 13.

Е.А. Кульчинская

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕКОРРЕКТНЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЕЙ ДЛЯ ОРИСФЕРИЧЕСКОГО КРУГА В КОНФОРМНО ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА Ь

Рассмотрим трехмерное конформно евклидово риманово пространство с внутренними координатами (Х,Г,г) и метрикой сЬ2 = Е(1)(ёХ2 + ёУ2 + ё!2), Е(г)> 0,

з 1

К числу таких пространств относится пространство Лобачевского Ь , для которого Е(7.) — .

Эти пространства будем называть пространствами типа L. Координатные поверхности Z = const имеют плоскую метрику и являются ортогональными траекториями геодезических линий X — const, } = const, поэтому Z = const будем называть орисферическими поверхностями в пространствах типа L .

Назовем кусок орисферической поверхности

F : X = х, Y = у, Z - Z0, Z0 = const, е D + qD = у) : + у2 < 1} (1)

орисферическим кругом. Пусть орисферический круг F подвергнут бесконечно малому изгибанию с изгибающим полем /7, С\. Уравнения бесконечно малых изгибаний произвольной поверхности в конформно евклидовом пространстве типа L в дифференциалах имеют вид: