CC BY
35
Раздел I. Алгебра, геометрия и математический анализ
Е.С. Арапина-Арапова О ГОМОМОРФИЗМАХ ЧАСТИЧНЫХ ПОЛУРЕШЕТОК
Частичным действием [1] на множестве называется тернарное отношение 9 на удовлетворяющее условию:
(Уа, Ъ, с, с' е 5) [{а, Ъ, с), (а, Ъ, с') е 6] ч>с=с'.
Вместо (а,Ь,с')е9 обычно пишут а° Ь с (9). Если ясно о каком частичном действии идет речь, то 9 писать не будем. Если для элементов а,Ье8 ни при каких ле\ не имеет места (д,/>,л)еО, то будем писать а ° Ь 0 (конечно же, считая, что этот символ 0 не является элементом множества 5). Частичное действие (°) на множестве называется полным, если для любых а,ЬеЛ' имеем а о Ьф0. Частичный группоид ($',•) называется идемпотентнъш (коммутативным, слабо ассоциативным, ассоциативным, катенарньш), если а2=а (аЬ=Ьа; из того, что (|аЬ)с Ф0Ф а{Ъс) следует (аЬ)с=а(Ьс); (аЬ)с=а(Ьс); из того, что ОЪФ0Ф Ьа следует
(аЬ)с Ф 0 Ф а(Ьс )) для любых а,Ь,С Е 5*. Группоид называется слабо идемпотентнъш,
если (ГФ0 всегда влечет а2=а для любого а е Л'. Группоид называется связным, если для любых а,Ье8 существует такой элемент хе\. что ахФ0, хЬф0. Подгруппоид В группоида (А;-) называется замкнутым [1], если для любых Ьх,Ь2&В таких, что Ь1-Ь2ф0, следует ЬуЬ2&В.
Частичной полурешеткой назван [4] идемпотентный коммутативный слабо ассоциативный частичный группоид. Всякая полурешетка является частичной полурешеткой, но не наоборот. Поскольку идемпотентный ассоциативный полный группоид называется связкой, то идемпотентный слабо ассоциативный группоид естественно назвать частичной связкой. Очевидно, коммутативная частичная связка является частичной полурешеткой.
Группоид - {0} называется нулевым расширением группоида Л' . Нетрудно заметить, что группоид ассоциативен тогда и только тогда, когда его нулевое расширение есть полугруппа. Следовательно, изучение ассоциативных группоидов равносильно изучению полугрупп с нулем.
Пусть 5", Б'- произвольные группоиды. Отображение (р '.
называется [1] гомоморфизмом, если а,ЬЕ:8)(аЬФ0)—>(а(руф(р)=(аЬ)(р.
Гомоморфизм ^называется силънъш, если из (а(р)-ф(р)Ф0 следует аЬФ0 для любых
а,Ь&8. В.Т. Кулик [2] отметил, что изучение сильных гомоморфизмов группоидов равносильно изучению тех гомоморфизмов нулевых расширений этих группоидов, при которых в нуль отображается только нуль.
Эквивалентность Г на группоиде (.V: •) называется конгруэнцией, если для любых а, Ь £= Л' существует такое с Е что
ТаТЪ<^Тс.
Конгруэнция X называется сильной, если для любых х,х 'у,у 'е^" таких, что хтх'. у ту', хуФ0
всегда х'уФ0. На группоиде каждая конгруэнция является сильной тогда и только тогда, когда либо - полный группоид, либо - группоид с пустым умножением.
С/
Пусть Т- конгруэнция на группоиде (S;-). Фактормножество относительно частичного
действия
тс, если0*га -ть сгс;
Т а ° ТЬ
10, если Ta-Tb=(Z>
назьшается фашпоргруппоидом группоида Б по конгруэнции Т.
Из этих определений непосредственно вытекают следующие свойства произвольной конгруэнции т группоида 5".
о /
1 . Факторгруппоид идемпотентен тогда и только тогда, когда каждый Т-класс
есть замкнутый подгруппоид в S.
С /
2°. Факторгруппоид / коммутативен тогда и только тогда, когда условие 0 • Тьа
Т
Тс влечет ?±ТЪ-ТаСГГс.
о /
3 . Если группоид S ассоциативен, то группоид слабо ассоциативен, а каждый Т-
класс есть ассоциативный подгруппоид в Б.
о /
4 . Если факторгруппоид слабо ассоциативен и каждый Т-класс есть слабо ассоциативный подгруппоид, то слабо ассоциативен и группоид Б.
5°. Если Б — ассоциативный группоид, а Т- сильная конгруэнция на 5", то факторгруппоид
ассоциативен.
Свойство 5°не имеет места для произвольной конгруэнции Т. Например, пусть группоид определяется таблицей:
Применяя, например, тест ассоциативности по Лайту, заключаем, что S°- полугруппа. Следовательно, S - ассоциативный группоид. Пусть т - эквивалентность на S, отвечающая разбиению СХ={а}, /3={в}, У={с, d, e. f\. Легко видеть, что т- конгруэнция. Эта конгруэнция не является
С/
сильной, ибо е re. с т[. есф05. но е/=0. Факторгруппоид имеет таблицу
Факторгруппоид не ассоциативен, поскольку (^о ОС) о Р=У° , но у° (ОС
о Р) =0, так как ОС о у6=0. Хотя, как видно из таблицы, - идемпотентный коммутативный
слабо ассоциативный катенарный связный группоид, то есть является катенарной связной частичной полурешеткой.
Фактор^поид V к_о руппоида „н. си аждый Гк„сс есть
слабо ассоциативный связный замкнутый подгруппоид группоида S.
Я/
Заметим, что из катенарности группоида и факторгруппоида ^ еп1е не следует связность ^класса. Например, пусть задан группоид
а г - эквивалентность на 5", отвечающая разбиению ОС={а}, Р={с}, У={Ь, с!}. Ясно, ЧТО Т-
5/
конгруэнция на 5". Факторгруппоид задается таблицей:
зен.
<7/
Из этих таблиц видно, что (.V:-). > ° ) ~~ катенарные группоиды, но группоид Ту не свя-
7° 8/ ассоциативного группоида явятся частичной связкой тогда и
только тогда, когда каждый Т-класс является замкнутым подгруппоидом Б.
8°. Если в ассоциативном группоиде Б каждый Т-класс является замкнутым подгруппоидом и условие 0?^Та'Тъ^Тс всегда влечет 0^Тъ'Та^Тс, то - частичная полурешетка.
Если при этом группоид Б катенарен, а каждый Т-класс есть связный подгруппоид в Б, то час-
5/
тичная полурешетка
катенарна.
Предложение 1. Сильный гомоморфный образ частичной полурешетки (катенарного группоида) так же является частичной полурешеткой (катенарным группоидом).
Таким образом, класс частичных полурешеток замкнут относительно сильных гомоморфизмов. Однако, класс частичных полурешеток не является гомоморфно замкнутым. Например, тождественное преобразование на базисном множестве антицепи У={а,Ъ} (антицепь - частично упо-
рядоченное множество, в котором любые различные элементы несравнимы) является эпиморфизмом этой антицепи на группоид (У; о), где (о) определяется таблицей
Но группоид (У; о), будучи некоммутативным, частичной полурешеткой не является. Отметим, что произвольный гомоморфный образ катенарного группоида не обязательно ка-тенарен. В самом деле, тождественное преобразование множества 5={в,/^} является эпиморфизмом антицепи (Л':-), на некатенарный группоид (5"; ° ), определяемый таблицей
Лемма. Гомоморфный образ связного группоида (ассоциативного коммутативного связного катенарного группоида) связен (катенарен).
Доказательство. Пусть - связный группоид, (Р'Е—У Г - эпиморфизм, /].ьЕ7:. тогда найдутся такие \|.\2ЕЛ'. что Л] (р=1\. я2(р=1г- Поскольку группоид связен, то существует л ЕЛ', что
0, АЧ'2Ф0, откуда (з^)^ (вх(р)($(р)=(х(Ф®, (ж2) (р=($ (р)($2(р)= ((2Ф0, Где (=Ь'(р.
Пусть - коммутативный ассоциативный связный катенарный группоид, <Р'Е—У1 - эпиморфизм, (,(2Ф0, (2(3Ф0 ((1,(2,(3 Е Т). Существуют .V1.V2.V3 Е такие, что *,(р=1, (/' Е {1,2,3 }). Так как
г и „
- связный группоид, то найдутся 5 ,5 Ел, что
гомоморфизм, ТО (I] 12)13Ф0. 1\(1213)Ф0.
Определение. Пусть. А, В - группоиды. Группоид, базисным множеством которого является декартово произведение АХВ, а действие определяется правилом:
Ф0, 8 82Ф0 И S2S
а, ввиду катенарности группоида S,
(sls')s2^0, s^s'sj Ф0 и (s2s")s3*0, s2(s"s3)*0
откуда получаем ((.s^.s' ).s2)(.s" х3)Ф0. Благодаря ассоциативности и коммутативности группоида S имеем:
((si/)s2)(s"s3)=((s'si)s2)(s3s")=s'sis2s3s"Ф0, то есть (sis2)sy£0, si(s2s3)^0, а так как (р~
(а, b) • (с, d)
в противном случае,
если асФ&Ф bd,
называется прямым произведением группоидов А и В.
Пусть А и В - группоиды с нулями 0А,, 0В. Множество
(/4\{0л})Х(5\{0в})^{0}, где вместе с бинарной операцией
\{аха2,Ь1Ь2), если ага2Ф0А,Ьф2Ф 0в,
(аи Ьl)•(a2, Ь2)=, Л Л ,, Л
0, а а 0 или Ь Ь 0 ,
является полным группоидом и называется [3] прямым произведением группоидов А, В с объединенным нулем.
Заметим, что прямое произведение группоидов А, В - это в точности нулевое ограничение прямого произведения с объединенным нулем их нулевых расширений. Легко доказывается следующее
Предложение 2. Прямое произведение двух идемпотентных (коммутативных, ассоциативных, слабо ассоциативных, связных, катенарных) группоидов есть идемпотентный (коммутативный, ассоциативный, слабо ассоциативный, связный, катенарный) группоид.
Не составляет никакого труда ввести понятие прямого произведения любого множества группоидов и доказать предложение 2 и для этого общего случая.
Согласно предложению 2, прямое произведение частичных полурешеток есть частичная полурешетка, то есть класс частичных полурешеток мультипликативно замкнут. Этот класс является наследственным в том смысле, что всякий подгруппоид частичной полурешетки вновь является частичной полурешеткой. Однако, как мы видели выше, он не является гомоморфно замкнутым.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.
2. Кулик В.Т. Простые 1-полугруппоиды // Исследования по алгебре. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та. С. 23-31.
3. Кожевников О.Б. Категорийные полугруппы: Дисс. на соиск. учен. степени канд. физ.-мат. наук. Таганрог, 1975.
4. Арапина-Арапова Е.С. О частичных полурешетках инверсных полугрупп // Сб. науч. тр. преподавателей и аспирантов ТГПИ. Таганрог, 2000. С. 216-222.
О.Б. Кожевников ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНВЕРСТНЫХ ПОЛУГРУПП С НУЛЕМ
В работе [1] А.М.Мальцев ввел понятие умножения классов алгебраических систем. В частности, можно говорить о мальцевском умножении классов группоидов: произведением классов Г группоидов называется класс £*Г всех группоидов 8, на которых существует конгруенция т, удовлетворяющая условиям
1*. Каждый замкнутый т - класс принадлежит £.
2\ в/т е Г.
С другой стороны, часто возникают такие разложения, компоненты которых имеют общий элемент, чаще всего ноль группоида. Бинарные отношения, отвечающие таким разложениям, не только не являются конгруенциями, но и эквивалентностями. В этих случаях говорить об умножении группоидов в указанном выше смысле не приходится. Но если удалить из группоида этот общий для всех компонент элемент, то в образовавшемся частичном группоиде получаем обычное разбиение. Слоями разбиения являются группоиды уже не полные, а частичные. Отвечающая такому разбиению эквивалентность на частичном группоиде нередко оказывается конгруенцией, не являющейся, вообще говоря, сильной.
Подобные разложения встречаются, например, при рассмотрении линейных алгебр, градуированных тем или другим способом, при рассмотрении 0-связок ( в частности, 0-прямых объединений) полугрупп и многих других случаях.
