О категории полугрупп и категории полугруппоидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вагнер В.В. Диаграммируемые полугруппоиды и обобщенные группоиды // Изв. вузов. 1967. Мат. № 10 (65).

2. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972.

4. Кожевников О.Б. Об одном классе инверсных полугрупп с нулем // Вестник ТГПИ. 2007. Естественные науки.

О.Б. Кожевников

О КАТЕГОРИИ ПОЛУГРУПП И КАТЕГОРИИ ПОЛУГРУППОИДОВ

Доказано, что категория [1] полугрупп есть собственная подкатегория категории полугруппоидов, а категория полугрупп Брандта [2] - собственная подкатегория категории группоидов Брандта. Это означает, что теорию полугруппоидов нельзя свести к теории полугрупп, а теорию группоидов Брандта - к теории полугрупп Брандта.

Частичный группоид ( 8 ; •) называется полугруппоидом, если для любых \.у./ £ 8

(х-у) -г = х- (у-т),

где (=) означает предикат равенства на множестве 8 ^ {о} (о^8) а равенство ил = о означает, что произведение ил в 8 не определено и (ил)л\ = \у- (ил ) = о для любого \у £ 8. Скажем,что 8 -полный частичный группоид, если операция (•) всюду определена.

Между понятиями полугруппы и полугруппоида существует тесная связь. Полугруппы - это в точности те полугруппоиды, операция в которых всюду определена. С другой стороны, если 8 -частичный группоид (здесь и далее заданный в мультипликативной терминологии), и 0 ^ 8, то, доопределяя на множестве 8 ^ {0} частичную операцию (•), полагая ху = 0 тогда и только тогда, когда x•y = 0 в S и считая 0 нулем этого группоида, получаем группоид, обозначаемый в дальнейшем S° и называемый нулевым расширением частичного группоида S. Обратно, если S-группоид с нулем, то частичный группоид, нулевым расширением которого является S, обозначается S* и называется нулевым ограничением группоида S. Таким образом, = S для любой полугруппы с нулем S и = S для любого частичного группоида S. Очевидно, частичный группоид S является полугруппоидом тогда и только тогда, когда 8° - полугруппа. Если т - бинарное отношение на полугруппе 8 с нулем 0 и (0,0) Е т, то бинарное отношение

т* = т \ {(0,0)}

на полугруппоиде S* назовем нулевым ограничением бинарного отношения т. Если т - эквивалентность на S и {0} есть т - класс, то т* - эквивалентность на S*. В частности, если т - одна из идеальных эквивалентностей Грина на полугруппе S с нулем 0, то т* называется соответствующей эквивалентностью Грина на полугруппоиде 8*.

Отображение (р частичного группоида в частичный группоид называется [3] гомоморфизмом, если (ху Ф о —> (р (х) (р (у) Ф о) & ((р (ху) = (р (х) (р (у)) для любых х,у £ 8. Если при этом выполняется и обратная импликация, то (р называют сильным гомоморфизмом.

Пусть 8,Т - полугруппы с нулем 0. а (р - такой гомоморфизм из 8 в Т, что (р (х)=0<->х=0 для любого х £ 8. Как показал В.Т. Кулик, отображение

(р*= (р \ {(0,0)}

полугруппоида 8* в полугруппоид Т* является сильным гомоморфизмом, называемым нулевым ограничением гомоморфизма (р и, наоборот, если (р - сильный гомоморфизм полугруппоида 8 в полугруппоид Т, то отображение

(7) ф° = (р и {(0,0)} является гомоморфизмом полугруппы S° в полугруппу Т°.

Раздел I

Алгебра и геометрия

Следующий пример показывает, что гомоморфный образ полугруппоида не обязательно является полугруппоидом. Пусть B={e,a,b,f} - полугруппоид Брандта, в котором е-е = е, f-f = f, еа =а =af, fb = b =be, ab = e, ba = f, а все остальные произведения не определены. На множестве S = В LJ {g, h}, где g, h ^ В, доопределим частичное умножение, полагая g-g=g. h-h=h, ge=e=eg, hf=f=fh, ga=a, bg=b, ah=a, hb=b, ag=gb=ha=bg=gh=hg= 0. Частичный группоид S удовлетворяет условию (1), а потому является полугруппоидом. На построенном полугруппоиде S идеальная эквивалентность Грина / является конгруенцией, т. к.

S / 7={{g},B,{h}}, {g}B=B{g}={g} С В, {h}B=B{h}={h} С В. Естественное отображение из S на S / J является эпиморфизмом. Однако частичный факторгруп-поид S / J полугруппоидом не является, поскольку^} о {h}) о B = 0 ^{g} о ({h} о B).

Теорема1 . Сильный гомоморфный образ полугруппоида является полугруппоидом.

Доказательство. Если (р - сильный гомоморфизм полугруппоида S, то для любых (р (х), (р (у), (р(z) £ (р (S) таких, что | (р (х) (р (у)] (р (z) Ф о, имеем (xy)z Ф о , поскольку гомоморфизм (р сильный. Но S удовлетворяет условию (1), а потому о * (xy)z = x(yz), следовательно (р (Х)[ (р (у) (р (z)]= (р (X) (р (yz)= (р [x(yz)]= (р [(xy)z]=[ (р (X) ер (у)] (р (Z), т.е.

[$?(х)^>(у)] (р (т)=(р (•>£)[ (р (у) (p(z)]. Аналогично, это равенство следует из предположения (р (х)[ (р (у) (р (z)] Ф о. Значит (р (S) - полугруппоид и теорема доказана.

Далее естественным образом вводятся понятия наследственного,мультипликативно и гомоморфно ( сильно гомоморфно ) замкнутого класса полугруппоидов. Непустое подмножество М частичного группоида S является частичным группоидом относительно ограничения на М частичной операции, заданной в S. Называется частичный группоид М частичным подгруппоидом частичного группоида S. Класс полугруппоидов является наследственным, т.е. каждый частичный подгруппоид полугруппоида является полугруппоидом.

Пусть Si (i£ I) - семейство частичных группоидов; IIS (i G I) - множество отображений f из I в U Si (i £ I) таких, что f(i) £ S для любого i £ I. Если f,g £ IIS и для любого i £ I всегда f(i)g(i) Ф o,to обозначим через Г° g такое отображение из I в U S,. что

(fog)(i) = f(i)g(i)

для любого i £ I. Если же f(i)g(i) = о хотя бы для одного i £ I, то полагаем f ° g = о, т.е. произведение f ° g не определено. Полученный частичный группоид I1S называется декартовым произведением частичных полугруппоидов St (i £ I). Если каждый частичный группоид S является полугруппоидом, то и nSi - полугруппоид, т.е. класс полугруппоидов мультипликативно замкнут.

Теорема 1 показывает, что класс полугруппоидов сильно гомоморфно замкнут. Эти свойства класса полугруппоидов можно получить и как непосредственные следствия теоремы Биркгофа для многообразия полугрупп с фиксированным нулем.

Полугруппоид S называется инверсным (вполне простым), если инверсна (вполне 0 - проста) полугруппа S°. Инверсный вполне простой полугруппоид называется полугруппоидом Брандта (в литературе его чаще называют группоидом Брандта). Полугруппа Брандта - это нулевое расширение полугруппоида Брандта. Группы - суть полугруппоиды Брандта, операция в которых всюду определена.

Как известно, любой гомоморфизм (р полугруппы Брандта либо разделяет ее идемпотенты, либо нулевой,т.е. | (р (В) | = 1.

Примем следующие обозначения: B - категория [1] полугруппоидов, морфизмы которой - гомоморфизмы полугруппоидов, как частичных группоидов; C - категория полугрупп, морфизмы которой - гомоморфизмы полугрупп; B - категория полугрупп Брандта, морфизмы которой - ненулевые гомоморфизмы; B* - категория полугруппоидов Брандта, морфизмы которой - сильные гомоморфизмы; K - категория полугруппоидов Брандта, морфизмы которой произвольные гомоморфизмы.

Т е о р е м а 2. Категории B и B* изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (2), (3) следует, что каждый полугруппоид Брандта как объект категории В*, является нулевым ограничением единственного (с точностью до обозначения нуля) объекта категории В. Если (р * - сильный гомоморфизм полугруппоида Брандта 8* в полугруппоид Брандта Т*, т.е. (р * - произвольный морфизм категории В*, то (р * является нулевым ограничением единственного ненулевого гомоморфизма (р из полугруппы Брандта 8 в полугруппу Брандта Т (как морфизма категории В). Таким образом, имеем биективный ковариантный функтор, т.е. изоморфизм, из категории В на категорию В* и теорема доказана.

С л е д с т в и е 1. Категория В полугрупп Брандта изоморфна собственной подкатегории В* категории К.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В* есть собственная подкатегория в К ,так как не любой морфизм категории К является сильным гомоморфизмом.

С л е д с т в и е 2. Категория групп есть собственная подкатегория категории К. Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждая группа, будучи полным группоидом Брандта, является объектом категории К,а всякий гомоморфизм из группы в группу есть морфизм этой категории К.

Следствие 1 показывает, что не всякое утверждение о полугруппоидах Брандта можно доказать в теории полугрупп Брандта, как, например, высказывание отображение (р: В —> {е} является гомоморфизмом (см. пример выше). Значит, полугруппоиды вообще и полугруппоиды Брандта в частности заслуживают внимания и изучения

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972.

2. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. Т. 1.

3. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

Е.А. Коломыцева

НЕПРЕРЫВНЫЕ ARG-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ ОБОБЩЕННЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЯХ

§1. Предварительные сведения

Рассмотрим в евклидовом пространстве E поверхность F 2 , заданную уравнением —* —* 2 2

Г = г(U,V), (II,V ) G I) . и деформацию Ft поверхности F , порождаемую параметром t, tG(—tQ,to), tQ>0, и заданную уравнением ft(u,V) = f(u,V) + Zf(u,V),

Zf(u,vJ - векторное поле смещения точек поверхности F при её деформации, (U, V) Е D,

2

D - ограниченная область евклидовой плоскости E . Будем говорить, что поверхность

F допускает непрерывную деформацию класса С ' , 0 < V < 1, порождаемую параметром t, если: 1) существует семейство полей смещений {Zt}, t Е (~t() ,t()) ■ /() > 0 , непрерывно зависящих от параметра /: 2) Zq = 0; 3) для всех значений параметра t из промежутка (—ig,/()). tq > 0 , векторные поля Zt принадлежат классу

С1'у, 0<V<1.

2 2 Деформацию Ft поверхности

F 2 называют ареально-рекуррентной G -деформацией (коротко ARG -деформацией) [1], если выполняются условия: 1) приращение A(d<j) элемен-