Вполне простые полугруппоиды Текст научной статьи по специальности «Математика»

х У Г~ ? ?

COS V = , , Sin V = —г , м — 1 + -у 1 — X — у

у1х2+у2 sjx2 + у2

и, таким образом, устранить особенность параметризации, то найденные выше векторные

2

функции Z и Z будут аналитичны по X и у в окрестности полюса U — 2 .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Liebmann H. Bedingte Flächenverbiegungen, insbesondere Gleitverbiegungen // Münchener Berichte. 1920. S. 21-48.

2. Rembs E. Über Gleitverbiegungen // Math. Ann. 1935. Bd. 111, № 4. S. 587-595.

3. Марков П.Е. Бесконечно малые изгибания высших порядков многомерных поверхностей в пространствах постоянной кривизны // Мат. сборник. 1987. Т. 133. № 1. С. 64-85.

4. Климентов С.Б. О продолжении бесконечно малых изгибаний высших порядков односвязной поверхности положительной кривизны // Мат. заметки. 1984. Т. 36. в. 3. С. 393-403.

5. Климентов С.Б. Варьированное уравнение Бианки-Дарбу // Настоящий сборник. С. 41-44.

6. Моденов П.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.: Учпедгиз, 1949. С. 230.

О.Б. Кожевников

ВПОЛНЕ ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППОИДЫ

В.В. Вагнер для геометрических целей ввел и подробно исследовал понятие полугруппоида, как нулевого ограничения [1] произвольной полугруппы с нулем. Иными словами, полугруппоид -это частичный группоид S, (заданный в мультипликативной терминологии), удовлетворяющий следующему условию сильной ассоциативности

(\/х, у, г е £) (ху)г 0 V х(уг) ^ 0 —> (ху)г = х(уг)

Для любой полугруппы S обозначим

, \8\{0},если 8 содержит ноль, не являющийся внешним,

если 8 содержит внешний ноль, либо нуля не содержит.

гч*

Тогда о - полугруппоид.

Для любого полугруппоида S обозначим

8 и ¡0), пулевое расширение 8, если операция в 8 не всюду определена, .V, в противном случае. Тогда ^0 - полугруппа.

Операторы (*), о взаимно обратны в следующем смысле: 5"* ° = 5" для любой полугруппы

*

8 и = Б для любого полугруппоида 8.

Полугруппы - это в точности те полугруппоиды, операция в которых всюду определена. При изучении полугруппы 8 при помощи соответствующего полугруппоида Л'" часто возникающий вопрос: содержит S нуль или нет, становится не существенным. Рассматривая, например, так называемые вполне простые полугруппоиды, мы одновременно рассматриваем вполне простые полугруппы с нулем и вполне простые полугруппы без нуля.

Иногда предпочтительнее изучать полугруппоид Л". а не полугруппу 8, т.к. в Л", как частичном группоиде, как правило, значительно больше конгруенций, чем в полугруппе S: далеко не каждая конгруенция полугруппоида сводится к полу групповой.

Полугруппоид 8 называется вполне простым полугруппоидом, если $0 - вполне простая или вполне 0-простая полугруппа.

В настоящей заметке изучаются разложения вполне простых полугруппоидов в объединение попарно не пересекающихся группоидов Брандта [2], что приводит в частном случае к известным разложениям вполне простых полугрупп в объединение групп.

Для краткости будем говорить «группоид» вместо «частичный группоид», а группоид в принятом понимании этого слова (когда операция всюду определена) - полным группоидом.

Если р = - произвольная ЛхГ - матрица над группой о" с внешним нулем, то, заменяя нули в Р пустыми символами, получаем частичное отображение из Л х У в С , которое обозначим через Р*и назовем частичной ЛхГ - матрицей над группой G. Если М = М (7°; У, Л; Р - матричная полугруппа над о0, то частичный группоид М* (см. обозначение выше) назовем матричным группоидом над О и обозначим М* = М О' У, Л; Р* . Имеем М* =М^Р* =Р.

Эти равенства равносильны отсутствию нулей в матрице Р. Итак, матричный группоид М* с частичной Л х 7 - матрицей Р (содержащей хотя бы одну пустую клетку) над О - это множество О х У х Л с частичной операцией

ар1}Ь\1,1л при Р/) Ф 0 0 при р/] = 0

К матричным группоидам возможен и другой подход - на языке частичных матриц Риса. Если обычная матричная полугруппа М = М (Т\ У. Л: Р - это полный группоид всех Л х V -

матриц Риса [2] А, В, С,... с умножением А°В — АРВ, то матричный группоид М = М С, У, Л; Р - это частичный группоид всех частичных Л х У - матриц Риса А , В ,

С,... с частичным умножением А* ° В* = А*~Р* В*, что равносильно равенству А* о В* =(АоВ)\

Из ассоциативности умножения в М вытекает сильная ассоциативность группоида М*. Таким образом, любой матричный группоид над группой является полугруппоидом.

В терминах матричных группоидов легко определить и группоид Брандта как группоид, изоморфный матричному группоиду с единичной частичной матрицей над группой. Под единичной частичной матрицей понимаем А , где А - единичная матрица.

Важным частным случаем полугруппоидов являются матричные группоиды М е ;Г,Л;Р над единичной группой, где Р - произвольная частичная Л х У - матрица над

{е}. Если Р - обычная матрица, не содержащая пустых клеток, то получаем прямоугольную Л х V - связку (возможно с внешним нулем), умножение в которой определяется известным тождеством

■ = /, // .

Если Р - «пустая» Л х К - матрица, то имеем полугруппоид М с пустым умножением, т.е. М° - полугруппа с нулевым умножением. Если же } х Л и не пусты лишь все диагональные

клетки, то получается, декартов полугруппоид, операция в котором определяется правилом

г,Я ■ ¿^¡л = ■

/, ¡л при X - 7, 0 при Я Ф /

Для произвольной частичной Л х У - матрицы Р = над {е} обозначим через

Е Р группоид с базисным множеством 7хЛ и частичной операцией

ил ■ ЬИ-

при рЛ Ф0,

(1)

Э, если рл . = 0.

Тогда очевидно

Е Р =М е ;7,Л;Р . (2)

ЕР- сильно идемпотентный группоид в том смысле, что каждый его элемент, квадрат которого определен, является идемпотентом.

Используя терминологию из [3], группоид 8 назовем Г - связкой группоидов 8а \а е V ,

если существует конгруенция Т на 8 такая, что факторгруппоид является связкой, изоморфной У, а каждый Т - класс, как частичный подгруппоид в 8, изоморфен некоторому Б , ОС е У. Полугруппоид S называется связным полугруппоидом, если

(Ух.^еЯ) х8уФ0.

Теорема. Если матричный группоид Л' = М е ; У, Л; Р является У - связкой группоидов, каждый из которых связен, то связка Y антикоммутативна.

Доказательство. Согласно (2), можно считать Л' = Л Р . т.е. элементами 8 являются все

пары ¡.а ,/ е7,ЯеЛ, а умножаются они по правилу (1). Надо доказать, что равенство а° Р = Р°а вУ всегда влечет а = /3.

Итак, пусть а о Р = /3 о а (3)

Т.к. умножение о в У всюду определено, то каяедое из произведений ОС • Р, Р • ОС как подмножеств сс, Р множества 8 , не пусто. Значит, найдутся ах,а2 ^ ОС, , /?2 е такие, что ах • Ъ1 е ос о Ь2 • а2 е Р ° ос. Из (3) следует, что Ь2-а2 - элементы группоида

ОС о Р е У, который по условию является связным группоидом. Поэтому для некоторого элемента с е а о р имеем

ах ■ Ъх е а ° Р, Ь2-а2<Е р°ос.

Т.к. Y - связка, то, в силу равенства (3),

а}Ь}сЬ2а2 е а ° (3 (4)

Обозначая ах = /,л ,а2 = /,¡л ,где /, / е У, /,//еЛ.всилу (4), получаем

/',// ей о/? (5)

С другой стороны, связен и группоид от. Следовательно, существует с/ е ¿х такое, что ахс1а2 <е от, откуда, согласно (1),

Т.к., по условию, группоиды из Y попарно не пересекаются, то из (5), (6) следует

а = а° Р (7)

Равенство

/? = /?°а (8)

следует из соображений симметрии. Из (3), (7), (8) получаем а = (3 и теорема доказана.

Следствие 1. Если вполне простой полугруппоид над единичной группой является У - связкой группоидов Брандта, то связка У является прямоугольной.

Доказательство. Всякий группоид Брандта является связным группоидом, а антикоммутативная связка изоморфна прямоугольной связке.

Пусть У х А - произвольные непустые множества; 1,г - такие эквивалентности соответственно на множествах У х Л . что все I - классы и Г - классы имеют одну и ту же фиксированную мощность ^; А = , В = А/ .

Для любых а <Е А, Р (Е В (как подмножеств соответственно в 7хЛ) обозначим М ар = М е ; а, /?; Рг//У , где Рг//, - частичная [Зха- матрица над {е}, содержащая в каждой строке и каждом столбце ровно один непустой элемент (равный е). Тогда - изоморфные

между собой группоиды Брандта (с единичной структурной группой). Пусть Р £ - такая А х V - матрица над {е}, ограничение которой на каждом множестве [') х ОС равно Р.//;. Получаем полугруппоид М е ; У, Л; Р ^ над единичной группой. Из следствия 1 легко получаем

Следствие 2. Построенный полугруппоид М е ; К, Л; Р д является прямоугольной Ах В - связкой группоидов Брандта | а,Р е Ах В и любой полугруппоид над единичной

группой, являющийся связкой группоидов Брандта, устроен подобным образом.

В частном случае, при £ = 1 имеем известное утверждение о том, что вполне простые идемпотентные полугруппы - это в точности прямоугольные связки.

Замечание. Если множества 7хЛ - конечны, что равносильно конечности полугруппоида М е ;7,Л;Р Е, , то ^ - общий делитель чисел |г|,|Л|.

Из этого замечания и следствия 2 получаем

Следствие 3. Если в конечном полугруппоиде М е ,У, Л;Р % матрица Р £ содержит хотя бы одну пустую клетку, а числа , |Л| взаимно просты, то данный полугруппоид нельзя разложить в связку группоидов Брандта.

В заключение заметим, что при помощи введенного оператора о рассмотренные свойства полугруппоидов легко переводятся на полугрупповой язык.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.

2. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. Т. 1.

3. Кожевников О.Б. Об одном классе инверсных полугрупп с нулем // Вестник ТГПИ. Естественные науки. 2007. № 1.

В.М. Кривенко О РАЗДУВАНИЯХ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУГРУПП

1 °. Пусть {Л'^ - произвольная полугруппа. Тогда определяя для каждого (а е А) множество м а, содержащее а , так, что

МаглА= <4 и Ма глМь = 0, если афЬ

и определяя на множестве \А = а операцию ° так, что

</х еМа У/у =

получим полугруппу, которая называется [1] раздуванием (инфляцией) полугруппы с по-

мощью множеств Ма (а е А) и обозначается

Понятие раздувания полугруппы нередко используется для описания строения различных полугрупп [2] и [3]. В [3] установлено, что если W является произвольным многообразием га-мильтоновых полугрупп, то класс Г^ состоящий из всевозможных раздуваний полугрупп класса W также является многообразием. В настоящей работе этот результат обобщается на случай произвольного многообразия полугрупп W. Указывается также критерий замкнутости многообразия полугрупп W относительно раздуваний.

2 °. Обозначим через Е ) многообразие всех полугрупп, удовлетворяющих всем тождествам совокупности тождеств Е . Отметим, что если Е содержит тождество х = х, то исключая его из совокупности Е получим новую совокупность Е' такую, что Е) = Е'). В силу сказанного, будем полагать в дальнейшем, что Е не содержит тождество X = X. Если Е = о, то будем считать, что Е ) совпадает с многообразием всех полугрупп | [. Отметим также, что если Е содержит тождество X = у , (где переменные X и у различны), то Е) состоит из одной единичной полугруппы Е= ( и обозначается е.

Из определения раздувания следует, что

1е=0 и 1П=П,

где О - многообразие всех полугрупп, удовлетворяющих тождеству ху — 21 и состоящему из

всех полугрупп с нулевым умножением. Отсюда следует, что раздувания многообразий е и П также являются многообразиями.