Об одной операции на классах полугруппоидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Хотя формат статьи не позволяет более широко раскрыть многие преимущества функциональных и исследовательских возможностей DG при решении стереометрических задач некоторых определённых видов, отметим, что убедительное подтверждение этому было получено в ходе эксперимента, проведённого на базе ряда школ Запорожской области и Бердянского государственного университета. Основные выводы, сделанные по результатам проведённой научно-экспериментальной работы, такие:

- параллельное применение различных компьютерных программ при обучении школьников решению задач на построение сечений многогранников (и конструктивных стереометрических задач в целом) позволяет добиться значительного улучшения в усвоении программного материала и развитии пространственного воображения учащихся;

- для обеспечения более полной и системной работы по формированию у школьников устойчивых навыков и умений решать планиметрические и стереометрические задачи на построение целесообразно предложить включение в список дисциплин вариативной части учебных планов специальный курс «Конструктивные геометрические задачи в компьютерных средах».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бевз Г.П. Геометрiя 10-11. Шдручник для 10-11 клаав загальноосвггшх навчальних закладш. К.: Вежа, 2001. 222 с.

2. Вщкриття геометри через комп'ютерш експерименти в пакета БО / Раков С.А., Горох В.П., Осен-ков К.О. та ш.: за ред. С.А. Ракова, В.Ю. Бикова. Х.: Вид-во ХДПУ, 2002. 134 с.

3. Жалдак М.1., Горошко Ю.В., Вшниченко £.Ф. Математика з комп'ютером. К.: РННЦ "Дшгт",

2004. 168 с.

4. Зображення багатогранникш [ побудова 1хшх плоских перер1з1в / Слепкань З.1. Методика навчання математики: тдручник. К.: Вища школа, 2006. С. 463-468.

5. Програма для загальноосвггтх навчальних закладш. Математика 5-12 класи. К.: Перун, 2007. 64 с.

6. Програми для загальноосвпшх навчальних заклад1в. Математика. 5-11 класи. К.: Шкшьний свп;

2005. 62 с.

О.Б. Кожевников ОБ ОДНОЙ ОПЕРАЦИИ НА КЛАССАХ ПОЛУГРУППОИДОВ

Частичный группоид 8, удовлетворяющий условию

(ху}7=х(у7)

1)

для любых х, у, /е 8 таких, что определено хотя бы одно из произведений (ху) /. х (у/), называется полугруппоидом. Иначе, полугруппоид - это нулевое ограничение (нулевое сужение [5]) полугруппы. Понятие полугруппоида введено и исследовалось [1] В.В. Вагнером. Все неопределяемые термины взяты из монографий [3], [4], [5].

Полугруппы - это в точности те полугруппоиды, операция в которых всюду определена, т.е. полные полугруппоиды. Поэтому любое утверждение о полугруппоидах влечет очевидное следствие для полугрупп.

На полугруппоиды естественным образом переносятся многие полугруппповые понятия. Например, 8 - инверсный (коммутативный, примитивный) полугруппоид, если его нулевое

расширение 8°=8и{0} - инверсная (коммутативная, примитивная) полугруппа; I - идеальная эквивалентность Грина на полугруппоиде, если Ю{0,0} - соответствующая эквивалентность Грина на полугруппе 8° и т.д. Элементы полугруппоида I - эквивалентны, если они порождают

один и тот же главный двусторонний идеал в полугруппе 8°, а значит, порождают один и тот же идеал в полугруппоиде 8.

Если произведение х-у в полугруппоиде (Б;-) не определено, то пишем х-у=0 или ху=0, что равносильно равенству ху=0 в нулевом расширении полугруппоида Б. Если Б - полугруппоид,

х,у,геБ, то запись (\у)/^0 предполагает ху^0 и в этом случае скобки опускаем.

Полугруппоид Б называется связным, если для любых а, Ь е Б существует элемент х е Б такой, что ахЬ^0. Инверсный связный примитивный полугрупппоид называют группоидом (точнее - частичным группоидом) Брандта. Группа - это полный группоид Брандта. Полугруппоид Б, являющихся объединением замкнутых в Б группоидов Брандта, называем клиффордовым пол-группоидом. Полный клиффордов полугруппоид суть клиффордова полугруппа.

Аналоги некоторых полугрупповых свойств в классе полугруппоидов не имеют места. К примеру, в инверсной клиффордовой полугруппе эквивалентность I всегда является конгруенцией. Но это не так для инверсных клиффордовых по-лугруппоидов.

Пример 1. Инверсный подполугруппоид Б симметрической инверсной полугруппы преоб-

М) > 3

разований на множестве {1,2,3,4,5,6,7}, порожденный преобразованиями а= 3 4 , Ь= - ^ " , является клиффордовым. Однако, I не является конгруенцией на Б, поскольку а I а-1, Ь I Ъ-1, но пре-

п 2\ т

образования аЬ= ' ^ ' ' и а1 Ъ1 ='" порождают различные главные идеалы в Б, а потому не являются ^эквивалентными.

Факторгруппоид полугруппы всегда полугруппа. Но частичный фактор-группоид полугруппоида не всегда полугруппоид.

Пример 2. В инверсном подполугруппоиде Б симметрической инверсной полугруппы преС I) й (I I)

образований на множестве {1,2,3,4}, порожденном преобразованиями е= 1 - , а= 1= л 4 , отношение I является конгруенцией, а частичный факторгруппоид ( ° ) полугруппоидом не яв-

е ( ё (

ляется, поскольку для 1-классов ={е}, = [ П произведение ° не определено, а потому не оп-

а ,ё /, „ ,а ёч / а / а

ределено и произведение ° ( ° ). Но ( ° ) ° = ° =

Заметим, что в симметрической инверсной полугруппе инверсный подполугруппоид, порожденный преобразованием х, тогда и только тогда является замкнутым группоидом Брандта, когда первая и вторая проекции преобразования х либо совпадают, либо не пересекаются. Поэтому полугруппоид в примере 2 является клиффордовым. Обозначения:

(<) - символ естественного порядка на инверсном полугруппоиде; Е8 - множество идемпотентов полугруппоида Б; А - класс идемпотентных коммутативных частичных группоидов; У - класс идемпотентных коммутативных полугруппоидов; В - класс группоидов Брандта;

М - класс инверсных клиффордовых полугруппоидов, в которых эквивалентность Грина I является конгруенцией;

БХ - класс полных полугруппоидов класса полугруппоидов X. Тогда БУ - класс полурешеток, БВ - класс групп;

БМ - класс инверсных клиффордовых полугрупп.

В [6]-[8] рассматривается следующая операция на классах полугруппоидов: если Е, Г - произвольные классы полугруппоидов, то Е*Г - класс всех тех полугруппоидов Б, на которых существует конгруенция т такая, что каждый т-класс (как частичный - подгруппоид в Б) принадлежит

5к

Е, а еГ. Так как, вообще говоря, не каждый т-класс замкнут в Б, то имеем строгое включение:

Е*ГСЕ°Г.

В [2] показано, что операция (°) не ассоциативна. Вопрос об ассоциативности операции (*), поставленный Б.И. Плоткиным, остается открытым.

В настоящей работе приводится абстрактная характеристика класса В* У. Отметим вначале, что включение

УСА

является строгим: не всякий идемпотентный коммутативный частичный группоид является полугруппоидом.

Теорема 1. Идемпотентный коммутативный частичный группоид (Б;-) является полугруппоидом тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: 1°. (х-у=х & у-г=у) ^ (х-7=х); 2°. (х-2=г=у-7) ^ (х-у^0 & (х-у)-7=7); 3°. (х-у^0) ^ (х-у)-х=х-у для любых х,у,г е Б.

Доказательство. 1. Если Б - идемпотентный коммутативный полугруппоид, то его нулевое расширение Б° является полурешеткой. Тогда условие 1° следует из транзитивности отношения (<)

в Ба 3° - из того очевидного факта, что в Б° всегда х у<х. Если \. у. / е Б и х■ /=/=у■ /. то

(х -у)-7= =(х - у) - (7 - 7)=(х - 7) - (у - 7)=72=7, т.к. Б - идемпотентный коммутативный полугруппоид, значит, выполняется и 2°.

2. Показать обратное - значит доказать равенство (1) для любых элементов идемпотентного коммутативного частичного группоида, удовлетворяющего условиям 1°-3°. Пусть, для определенности, (х-у)-2^0, т.е.

(х-у)-7=1,

2)

где 1еБ.

Коммутативность и условие 3° влекут равенства

1-(х-у)=1, (х-у)-у=х-у,

откуда, в силу 1°,

1-у=1.

3)

Аналогично

1-х=1,

4)

1-7=1.

Благодаря условию 2° из (3), (5) получаем

(у 7) 1=1,

6)

а из (4), (6) следует х ■ (у ■ 0 и (х ■ (у ■ 7)) ■ 1=1. Из последнего равенства, согласно (2), заключаем

(Х'(у2))-((х-у)-7)=(х-у)-7.

7)

Меняя местами элементы х, 7, из соображений симметрии имеем

(г^(у-х))-((г-у)-х)=(7-у)-х,

откуда, в виду коммутативности,

(х-(у-7))-((х'у)-2)=х'(у-2).

8)

Из (7), (8) вытекает равенство (1) и теорема доказана.

Условие 2 не зависит от условий 1, 3: идемпотентный коммутативный частичный группоид, определяемый таблицей Кэли

удовлетворяет 1°, 3°, но не удовлетворяет 2°, т.к. ас=с=Ьс, но аЬ=0.

Лемма. Если БеМ, то бинарное отношение

5/ 5 /

«) = {(а-р)е "х " | (3=а}

На частичном факторгруииоиде ( ^: °) является отношением нестрогого частичного порядка. При этом, если ')."|1 определено в ' ^. то ')."|1 </..

Доказательство. Как показано в [7], ' ^ - идемпотентный коммутативный частичный группоид, а каждый I - класс является замкнутым в Б группоидом Брандта. Т.к. в инверсном полугруппоиде элементы х, х-1, хх-1, х-1х принадлежит одному 1-классу, то отношение (<) рефлексивно и антисимметрично.

Легко видеть, что а<(3 тогда и только тогда, когда е</ для некоторых идемпотентов ее а /е(3. Поэтому, если а<(3, (3<у, то для некоторых ееЕа, /ь/2£Ер, Е., имеем

- 3' 9)

Т.к. (3 - группоид Брандта, то существует такой хе(3, что /1 =хх"\ х_1х=/2 . Тогда для идем-ем 1

7,

потента Ь=х" ех еа имеем Ь </2 , откуда, в силу (9), Поэтому а<у и, значит, (<) - нестрогий частичный порядок на

Если, наконец, 0. то \ -.¡^0 для некоторых идемпотентов \е/.. ] е |1. А т.к. Б - инверсный

полугруппоид, то значит (Х°ц)°Х= =Х°ц, а потому Аналогично

Лемма доказана.

Обозначим через К класс всех полугруппоидов класса М, удовлетворяющих условию

(у<а & у<Р) ^ (^<а°Р),

10)

где (<) - отношение в формулировке леммы. Сразу отметим, что включение

KCM

является строгим, т.к. полугруппоид в примере 2 принадлежит М\К. Теорема 2. К=В*У.

Доказательство. Если Бе В*У. то по определению (*) найдется конгруенция т на Б такая,

что каждый т-класс есть группоид Брандта и ' г еУ. Т.к. каждый элемент из У идемпотентен, то каждый т-класс замкнут в Б. Поскольку каждый т-класс инверсен, то, согласно (7), Б - инверсный полугруппоид. По доказанному Б - объединение замкнутых группоидов Брандта, т.е. Б - клиффордов полугруппоид.

Каждый т-класс есть группоид Брандта, поэтому любые элементы а, Ь этого класса делят друг друга внутренним образом, а потому а I Ь. Значит,

те I.

11)

Если alb, то, по определению I, существуют такие x,y,u,v е S, что

b — uavi

12)

ТТ /т 17 / /Т\° Т-> /1-14 о,.Ъ Ъ,а

По условию еУ, т.е. ( ) - полурешетка. В этой полурешетке, в виду (12): < , < ,

а Ь „ а Ь , тл

где , - соответствующие т-классы. Следовательно, = и потому а т Ь. Итак

Из (11), (13) следует

1ет.

1=т,

13)

14)

значит I - конгруенция. Из сказанного вытекает, что

SEM.

15)

%

В силу (14), ( ' ') - полурешетка. Если в этой полурешетке у<а у<р, у^О, то а°р=ш1{а,р} >

у>0, т.е. у<а°(3 в нулевом ограничении ' ^ полурешетки ( ' ^) . Значит, Б удовлетворяет (10). В виду (15), отсюда получаем

SeK

Этим доказано

В*УсК

Если теперь 8 е К, то 8 - инверсный клиффордов полугруппоид, в котором I - конгруенция.

Следовательно, ' ' - идемпотентный коммутативный частичный группоид, а каждый 1-класс есть

группоид Брандта. Остается доказать, что ' ^ - полугруппоид. Согласно теореме 1, достаточно доказать 1°-3°. Условия 1°, 3° выполнены в силу леммы, а условие 2° вытекает из условия (10) в определении класса К. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вагнер В.В. Диаграммируемые полугруппоиды и обобщенные группоиды // Изв. ВУЗов, мат. 1967. № 10 (65). С. 11-23.

2. Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. мат. ж., 8. 1967. № 2. С. 346-365.

3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972.

4. Ляпин Е.С. Полугруппы. Физматгиз. 1960.

5. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.

6. Кожевников О.Б. Категорийные частично упорядоченные множества частичных группоидов. ДЕП. 2005.

7. Кожевников О.Б. Об одном классе инверсных полугрупп с нулем // Вестник ТГПИ № 1. Естественные науки. 2007.

8. Кожевников О.Б. Вполне простые полугруппоиды // Вестник ТГПИ № 1. Естественные науки. 2008.

В.М. Кривенко

АЛГОРИТМ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОДКОЛЬЦА СТРОГО ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛЯ

10. Вопросы существования и отыскания неотрицательных и положительных решений однородной системы линейных уравнений с коэффициентами из некоторого упорядоченного поля в полном объёме изложены в монографии С.Н. Черникова [4].

При выяснении вопроса о том, какие конечные совокупности соотношений предшествования определяют строгие линейные порядки на полугруппах [2,3], автором настоящей статьи был указан алгоритм, позволяющий установить, имеет ли нетривиальные неотрицательные целочисленные решения однородная система линейных уравнений с целыми коэффициентами.

В настоящей работе этот результат обобщается на случай, когда коэффициентами при неизвестных однородной системы линейных уравнений являются элементы произвольного подкольца строго линейно упорядоченного поля, и выясняется вопрос о нетривиальной разрешимости системы относительно положительной части указанного подкольца.

2". Пусть +, - произвольное строго линейно упорядоченное поле и (М\ +, • ) -произвольное подкольцо поля ^Р', +, •, ^, тогда (М', +, > ) также является строго линейно упорядоченным кольцом. Обозначим через М+ положительную часть этого кольца [3]. Тогда 0 , операции сложения и умножения замкнуты на М+. М+ 0 = М и

М+п (-АГ) = 0 .

Заметим также, что если М 1 и и > в . то а — в> 0, а это означает, что

а-веМ+.