Бесконечно малые MG-деформации овалоида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 2, С. 36-45

УДК 514.75/.77

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ MG-ДЕФОРМАЦИИ ОВАЛОИДА

Д. А. Жуков

Рассмотрены бесконечно малые деформации замкнутой поверхности положительной гауссовой кривизны, при которых сохраняется поточечно грассманов образ поверхности, а вариация гауссовой кривизны задается как функция на поверхности.

Ключевые слова: овалоид, грассманов образ, гауссова кривизна, бесконечно малые деформации, жесткость.

Введение

В этой работе изучается поведение овалоида положительной гауссовой кривизны относительно бесконечно малых деформаций, при которых сохраняется поточечно грассманов образ поверхности, а вариация гауссовой кривизны задается как функция а на поверхности. Сохранение грассманова образа — известное условие G-деформаций [1]. Задание вариации гауссовой кривизны как известной функции на поверхности напоминает нам о проблеме Минковского [2]. Поэтому такие деформации будем называть бесконечно малыми MG-деформациями.

Будем считать, что овалоид и векторное поле MG-деформации у принадлежат классу D3,p, p > 2.1

Если векторное поле MG-деформации имеет только вид у = const, то будем говорить, что овалоид является жестким относительно бесконечно малых MG-деформаций.

В § 1 выводится уравнение бесконечно малой MG-деформации для поверхностей гауссовой кривизны K ^ ко > 0, ko = const, в трехмерном евклидовом пространстве. В §2 проводится исследование решений уравнения бесконечно малых MG-деформаций для овалоида. Основной результат работы сформулирован в виде теоремы, которая доказывается в § 3.

Теорема. Для каждой функции а существует единственная бесконечно малая MG-деформация овалоида положительной гауссовой кривизны, векторное поле деформаций которой определяется с точностью до постоянного вектора. Овалоид является жестким относительно бесконечно малых MG-деформаций тогда и только тогда, когда вариация гауссовой кривизны тождественно равна нулю (а = 0).

© 2013 Жуков Д. А.

1 Используются обозначения книги [3].

§ 1. Бесконечно малые МС-деформации

Рассмотрим поверхность Б : г = ^(п1, п2), (и1, и2) Є і, і — область.

Определение 1. Непрерывной по параметру £ деформацией Б і поверхности Б называется непрерывное отображение любого промежутка, содержащего нуль, например [0,1], в банахово пространство С”(Б) вектор-функций такое, что Б0 = Б, а Б1 для любого £ из рассматриваемого промежутка есть регулярная поверхность класса С”(Б).

Определение 2. Если вектор-функция гі(и1 ,и2), задающая поверхность Б1, обладает частными производными порядка к:

д Ігі

ж- 1 = 1-2--к-

каждая из которых есть непрерывное отображение рассматриваемого числового промежутка в С”(і)), то непрерывная деформация Бі называется деформацией класса Ск по параметру.

Определение 3. Функция

х1->( 1 2 \ 1

о1 г (и1, п2) =

2l! dtl

, l = 1,2,..., k,

t=0

называется l-й вариацией (по Рембсу) радиус-вектора r = r^u1, u2) поверхности S при деформации St.

Определение 4. Пусть St — деформация поверхности S класса Ck по параметру, k = 1, 2,..., то. St называется бесконечно малой MG-деформацией поверхности S, если

£K = a, £n = 0, (1)

где а — заданная функция на поверхности S, a £ D1p, p > 2.

Разложим радиус-вектор поверхности S* по степеням t: rt = r + 2(t£r +t2$2r + ...), t £ [0,1], где r = r^u1 ,u2) — радиус-вектор исходной поверхности. Обозначим = y — векторное поле деформации.

Наша задача: найти векторное поле y = ^(u1 ,u2). Для этого нам понадобится преобразовать условия (1), таким образом, мы получим уравнение бесконечно малых MG-деформаций.

Будем рассматривать односвязные поверхности гауссовой кривизны K ^ kо > 0, k0 = const.

Рассмотрим условие = 0:

= 5( [^d2r] \ = £[d1r,d2r] ■ \[d1r,d2-r]\ - [д^дгг] ■ £(\[d1-r, d2-r]|) = 0 П V \[d1^d2r ]\) |[д1Г,д2Г ]|2 ,

где cjr = dj. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда числитель равен

нулю

К тому же

б[dif,d2f] ■ |[dif,d2f]| - [dir,d2r] ■ б(|[dif,d2r ]|) = О. (2)

б(|[dif,d2r]|) = б\/[dir,d2r]2 = 2([dir,d2r]2) 2 ■ б([dir,d2r]2) ■ 2[dir, d2r ] ■ ([6(dir), d2r ] + [dif, 6(d2r )])

2\/[dif, d2r ]2 = |[dlf;d2f ]| ■ ^ d2r ], [d1 У d2f ] + [д1f, d2f ]),

и уравнение (2) принимает вид ([01 У, д2Г ] + [01-г, 02у ]) ■ |[дцг, 02-г ]|2 - [01 г, 02г ] ■ ([01 г, 02-г ], [01 у, 02г ] + [01 г, 02у ]) _ 0

|[01Г,02Г ]| ■

Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда

([01 у, 02Г] + [01 Г, 02У]) ■ Р1 - [01 г, 02У] ■ Р2 _ 0, (3)

где Р1 _ | [01 Г, 02Г ]|2 и Р2 _ ([01 г, 02Г ], [01 У, 02Г] + [01 г, 02у ]) скалярные величины. Умножая равенство (3) скалярно на 01 г, а затем на 02г, находим (01у, д2г, 01Г^ _ 0 и

(01 г, 02у, 02г) _ 0. Это означает, что векторы д1г, 02г, 01у, 02у компланарны.

Следовательно, 01у, 02у можно разложить по векторам д1г, 02г :

0]у _ ак0*т, ] _ 1, 2, (4)

где ак — некоторые скалярные функции от (и1, и2).

Продифференцируем первое равенство системы (4) по и2, а второе по и1

1012у _ 02а101 г + а1012г + 02а202г + а2022г,

[д21у _ 01а1,01г + а1011г + 01а202г + а2021г.

Используем деривационные формулы Гаусса 0]кг _ Г]к0;г + Ь^п, ^, к _ 1, 2,

Г012у _ 02а101 г + а1(Г1201 г + Г1202г + 612Й) + 02а202г + а^Г^01 г + Г2202г + 622Й),

021 у _ 01а201г + а2(Г1101 г + Г^^г + 6ип) + 01 а2 02г + а^Г^01 г + Г2102г + 621Й),

где bjk, j, k = 1, 2, — коэффициенты второй квадратичной формы исходной поверхности.

Так как ді2У = дгіу, то, приравняв коэффициенты при dir, 02 f и n, получим систему

d2 al + a1rl2 + afr22 = di a2 + a2r1i + a2r2i,

d2 al + a1r22 + air22 = d1a2 + a2r21 + a2Г2l, (б)

al bi2 + a2b22 = a2 bii + a2b2i.

Так как гауссова кривизна исходной поверхности S : K ^ k0 > О, k0 = const, то, вводя на S сопряженно изометрическую систему координат, в которой bii = b22 = О, bi2 = О, получим a2 = a2. Система (б) преобразуется в систему

( d2a1 — d1a2 = (a2 — a1 )Г2і + a2 (Г11 — Г22),

21 + а1 (Г 11 Г 22Ь (6)

\02а2 — 01а2 _ (а2 — а1 )Г12 + а2(ГП — Г22).

Теперь, следуя В. Т. Фоменко [2, с. 87], введем обозначения: и _ 1 (а2 — а1), V _ а2, П _ 2 (а2 + а1). Тогда а1 _ П — и, а2 _ П + и. Уравнения (6) принимают вид

Г 01 и — 02V + 2Г22 и + (Г?! — Г22^ _ —01П, [02и + 01V + 2Г21 и + (Г11 — Г12^ _ 02П.

Таким образом, условие _ 0 привело нас к системе (7).

Рассмотрим условие 6К = а.

Пусть д = дцд22 — $12, 6 = 611622 — &12 — дискриминанты первой и второй квадратичных форм исходной поверхности соответственно. Тогда К = | и

_ / 6 \ 66 ■ д — 6 ■ 6д

6 - = а, -------—2----- = а,

\д/ д2

отсюда следует равенство

66 — К ■ 6д = да. (8)

Проварьируем д и 6:

6д = 6ди ■ ди + дп ■ 6д22 — 2ди ■ 6ди, (9)

66 = 6611 ■ 622 + 611 ■ 6622 — 2612 ■ 6612.

Вычислим вариации 6gjk и 66jk, ^, к = 1, 2, выражая их через а1, а2, а2, учитывая, что 6У = у, 6п = 0, имеем

6д11 = 6(д1г, д1г) = (6(д1г ),д1г) + (д1г, 6(д1г)) = 2(д1у, д1г)

= 2( а^У + а1 д2Г, 01 г) = 2а1 дп + 2а1 дц,

6д12 = 6(01 Г, 02Г ) = (6(01Г ),02У ) + (01Г, 6(02Г )) = (01 у, 02Г ) + (02У, 01У )

= (а101 г + а2 02Г, 02Г) + (а! 01 г + а^У, 01 г) = а^ц + а2д22 + а1 дп + а2дц,

6д22 = 6(02Г, 02Г ) = (6(02Г ),02У ( + (02Г, 6(02Г )) = 2(02У, 02У )

= 2( а2 01 г + а2 02Г, 02г) = 2а2 дц + 2а2 дц.

Продифференцируем первое из уравнений (4) по и1, а второе — по и2:

0иУ = 0^01^ + а^цУ + 01а2 02У + а2 0ц г,

022 У = 02 а101 г + а^цУ + 02а2 02У + а2 0ц г.

Используя эти равенства, а также формулу 012у = 0^д1г + а1012У + 02а1 02У + а1022г, находим

66ц = (6(0ц У ),п) + (0цУ, 6п) = (0ц у, п) = а1(0цг,п) + а2 (0ц г, п) = а16ц + а1612,

6622 = (6(022 У ),п) + (022У,6п) = (022У,п) = а^дц^п) + а2 (022У,п) = а^ц + а2 622,

6612 = (6(0цУ ),п) + (012У, 6п) = (012У,п) = а1(012г,п) + а2 (022У,п) = а16ц + а1622.

Учитывая, что 611 = 622 = 0, 612 = 0, получаем 6611 = а1611, 6622 = а2611, 6612 = а26п. Подставляя найденные вариации в (9), получаем

6д = 2дц (а1ди + а1 дц) + 2дп (а2 дц + а2д22) — 2дц ( а1дц + а1 дц + а^дц + а2 дц),

66 = а16ц ■ 622 + 6ц ■ а26ц — 2612 ■ а16ц = 611611 (а1 + а2).

Подставляя эти выражения в (8), находим

611611 (а1 + а2) — 2Кдц (а^ц + а2 дц) — 2Кдп (а2 дц + а2д22)

+ 2Кдц (а1дц + а2д22 + а1 дп + а^ц) = да.

Перегруппировав это выражение, приводим его к виду

(а1 + а2) (611611 — 2Кд) = да,

отсюда имеем

(а1 + а2) = ——. (10)

Сделаем замену П = 1 (а2 + а1). Тогда уравнение (10) принимает вид

П = — 5К- (11)

Таким образом, система (1) привела нас к системе

'01 и — 02 V + 2Г12и + (Г11 — Г22 )У = —01П,

02 и + 01V + 2Г11и + (Г11 — Г22 )У = 02 П, (12)

П =____£-

^ = 2К .

Благодаря третьему уравнению системы (12) функция П у нас фактически известна, так как К и а известные и заранее заданные функции, поэтому вместо функции П мы

подставим в первые два уравнения системы (12) ее значение — 2К. Получается система

двух уравнений с двумя неизвестными и и V

Г 01 и — 02 V + 2Г22 и + (Г2х — = 01 (2К (,

[02 и + 01V + 2Г11 и + (Г11 — = —02 (2К (.

Теперь, следуя И. Н. Векуа [3, с. 111], вводим в рассмотрение функцию ш(г) = и+«V, где г = и1 + «и2, (и1, и2) € ^, и записываем полученную систему в виде одного уравнения:

0^ ш + А ш + В ш =2 0*( К ^, (13)

где

А1 =4 (ГП — Г22 + 2г22( — 4 (Г11 — г22 — 2Г21 (,

В = 4 (г22 — г11 + 2Г22( + 4 (г21 — г22 + 2г12(,

0г Ш = 2 (01Ш + Ш), 0* (—) = 2 (01 ( —) — »2 ( —)).

Преобразуем уравнение (13).

Согласно [3, с. 100] коэффициент А1 может быть представлен в виде А1 =

Л 1п у^/К. Введем в рассмотрение функцию Ш = ш^д^ГК. Тогда ш = ^—^к. Под-

ставляем ш в (13) и, учитывая, что А1 = д= 1п д^К, приводим уравнение (13) к виду

— \/д\/К / — \

0^ г? + В г? = ^^- 0*( ^. (14)

Решив уравнение (14), мы найдем функцию Ш = ш^/д^К, отсюда вычислим ш,

а значит, найдем и = И,е{ш(г)}, V = 1т{ш(г)}.

Зная и и V, с помощью формул а1 = П — и, а2 = П + и, а2 = V и (11) получим а1, а2, а2.

Система (4) является пфаффовой системой, причем условие интегрируемости пфаффовой системы выполняется тождественно, поэтому соотношение = 01У^и1 + 02уЙи2,

является полным дифференциалом. Интегрируя его, находим вектор смещения МС-деформации у с точностью до постоянного вектора в силу односвязности поверхности.

Таким образом, задача нахождения вектора смещений бесконечно малых МС-де-формаций эквивалентна решению уравнения (14), поэтому уравнение (14) будем называть комплексным уравнением бесконечно малых МС-деформаций поверхностей положительной гауссовой кривизны.

§ 2. Исследование решений уравнения бесконечно малых МС-деформаций овалоида

Общее решение неоднородного уравнения вида (14), следуя И. Н. Векуа [3, с. 130], будем искать в виде

и = гйо + и*, (15)

т. е. общее решение неоднородного уравнения вида (14) равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Для того чтобы отыскать общее решение однородного уравнения

+ Віг?о = 0, (16)

исследуем поведение функции гйо на бесконечности.

Пусть Б — овалоид положительной гауссовой кривизны. Выберем на овалоиде две диаметрально противоположные точки Рі, Р2, которые будем называть полюсами. С помощью стереографической проекции из полюса Рі взаимно однозначно отобразим овалоид на плоскость (и1, и2), при этом полюс Р2 отобразится в точку г = и1 + іи2 = 0, а полюс Р1 в точку г = и1 + іи2 = то.

Теперь с помощью стереографической проекции из полюса Р2 взаимно однозначно

отобразим овалоид на плоскость (£,п), при этом полюс Р1 отобразится в точку £ =

£ + іп = 0, а полюс Р2 в точку £ = £ + іп = то.

Таким образом, мы получили две карты (и1, и2) и (£,п). Переход от одной карты на другую происходит при помощи конформного преобразования вида £ = 1.

Исследуем поведение решения однородного уравнения в окрестности точки г = то. Для любого скалярного или векторного инварианта на овалоиде (обозначим его через в) справедливо следующее соотношение:

дв д£ дв д£ д£ дг + д£ дг'

Так как £ = 1, £ = 1, то £г = |г = -гТ, дг = 0, ||| ограничено, так как при |г| ^ то,

дв Ж

К| ^ 0, вг = ■ ( - гт) = О(|г| 2) при |г| ^ то.

дв д£ дв д£

8х д£ дг + д£ дг"

^ =0 £ = ^ =

Так как £ = -1, £ = С, то ^ =0, £г = = —р-. Следовательно (учитывая, что

дв ОС

ограничено), вс = |с ■ ( — |2) = 0(|г| 2) при |г| ^ то.

Изучим поведение 0jг, ] = 1, 2,

0^У = 1 (01у + г02У), 0^г = -1 (01г — г02г ).

Складывая эти два равенства, находим 01г = 0^У + 0^г. Отсюда следует, что 01г = О(|г|—2) при |г| ^ то. Вычитая из первого равенства второе получим г02г = 0^У — 0гУ. Отсюда следует, что 02г = О(|г|-2) при |г| ^ то.

Аналогично доказывается, что 0jп = О(|г|-2), 0jy = О(|г|-2), ] = 1,2.

Итак, частные производные радиус-вектора овалоида ведут себя как О(|г|-2), поэтому коэффициенты первой квадратичной формы овалоида ведут себя как О(|г|-4):

д^ = (0*У,0,-У) = О(|г|-2)О(|г|-2) = О(|г|-4), г,^ = 1,2, |г| ^ то.

Тоже справедливо и для коэффициентов второй квадратичной формы овалоида:

6^ = — (0*г,0^-п) = О(|г|-2)О(|г|-2)= О(|г|-4), г,^ = 1,2, |г| ^ то.

Следовательно,

д = дид22 — д22 = О(|г|-4 )О(|г|-4) — (О(|г|-4 ))2 = О(|г|-8),

6 = 611622 — 622 = О(|г|-4)О(|г|-4) — (О(|г|-4))2 = О(|г|-8), |г| ^ то,

К =д = = О(1), 1г|-то-

Исследуем поведение на бесконечности функций а1, а2, а2. Воспользуемся соотношениями 6611 = а1611 + а2612, 6612 = а1612 + а2622. Так как

6611 = —(01У,01Й) = О(|г|-2 )О(|г|-2) = О(|г|-4),

6612 = —(01У,02п) = О(|г|-2 )О(|г|-2) = О(|г|-4),

611 = 622 = 0, 612 = 0,

то по правилу Крамера получаем

6611 612

1 6612 622 6226611 О(|г|-4)О(|г|-4)

а = —6— = ~1Г = —ос1г[-8)— = О(1)

611 6611

2_ 612 6612 _ 611661^ О(|г|-4)О(|г|-4) _

а1 = 6 =_Г~ = ОДЙЧ =О(1).

Аналогично из соотношений 6622 = а2612 + а2622, 6621 = а2621 + а2621 получаем, что

а22 = О(1). 1 2 1 2

Из этого следует, что и = 1 (а2 — а1) = О(1), V = а2 = О(1), следовательно, ш =

и + «V = О(1). Тогда ш = ш^ = О(1)О(|г|-4)О(1) = О(|г|-4), |г| ^ то.

Исследуем ш* на бесконечности. Частное решение неоднородного уравнения вычисляется по формуле [3, с. 154]

ш* = — 1|У^1(г,С,^)Р (() — 1УУ«2(г,С,^)Р (С) ^п,

Б Б

где Пі(*,С) = , ^,С) =

1 /

= - 2П

Б

еш1 + еш2 р^1 _ р^2

2(с _ г) (} + і Іт{Р}) + 2(с _ ^ (ЯвІР} - і Іт{Р})

1 ГГ еШ1 И,е{Р} + іеШ2 Іт{Р}

пЛ С _ г

Б

^п-

Обозначив /(() = еШ1 И,е{Р} + геШ21т{Р}, получаем го* = — 1 //д = Тд/. До-

кажем, что / £ £Р)2, р > 2. Из [3, с. 139] известно, что |^-1 ^ Мр, следовательно, |е^з | ^ емр, ^ = 1,2. Отсюда следует еш' = 0(1).

*■ = д, ( ^ • ** •к Г •*к = 0(|*! - )0(И-2) = 0(И-6).

2 ^ КУ 2 К2

Следовательно, / (С) £ Рр 6, р > 2, поэтому можем считать, что / £ Рр 2, р > 2.

Таким образом, / удовлетворяет условию теоремы 1.24 из [3, с. 44], из которой

2— Р __

следует, что вблизи бесконечности Тд/ убывает как |г| р , р > 2, т. е. г* = Тд/ = 0 (|г| Р ), р > 2, |г| ^ то. Наконец, из формулы (15) следует, что

го0 = го* — го = 0^|г|— 0(|г|-4) = 0^|г|, р> 2, |г| ^ то.

Из [3] известно, что В1 £ Рр,2(О), р > 2, О — вся комплексная плоскость, но в явном виде это утверждение в [3] не доказывается, поэтому сформулируем его в виде леммы и приведем подробное доказательство.

Лемма. Коэффициент В1 £ Рр,2(О), р > 2, О — вся комплексная плоскость.

< Коэффициент В1 = —В [3, с. 323]. Из [3, с. 99] известно, что

1 ( да+ + да- да"

В = -— 2а-—- - а+—- - а-

8а V дг дг дг

где а+ = 4(гГ,Гг), а- = 4(Гг,Гг), а = 4(а+2 _ |а-|2),

да+ да- ^ да- ^

-г— = 4(Ггг,Гг) +4(Гг ,Ггг), -7— = 8(гг, Ггг), = 8(гг,Гг.г )-

дг дг дг

Так как ^ — вся комплексная плоскость, то ее конформные преобразования исчерпываются формулой ( = , причем _ фА = 0. Положим є = 0, А = 1, ф = 1, ^ = 0.

При конформном преобразовании С = 1:

Гг = ГС ■ Сг, Гг = Гг ■ Сг, Ггг = ^ ' = Г"сС ' С2 + ГС ' ^г-

Аналогично Г^ = Г^ ■ Сг ■ Сг,

а+ = 4(Гг ,Гг) = 4(ГС Сг ^Сг ) = 4(гС ,Гг)Сг С = а+Сг Сг,

а" = ^Гг^ = ^С^гКг) = 4(ГС,ГС)С2 = а-<3,

а = 1 (а+2 _ |а-|2) = 1 (а+2Сг2С2 _ |а-С2|2) = 4 (а+2 _ |а-|^|Сг|4 = а*|Сг|4-

дг

да + _ _ _ _

— = 4(гсс, Гс) + 4(Гс, гсс) = 4(гСССсСс, гСС*) + 4(ГССс, % ' С2 + гС ' ^)

— — — да+ — —

4(ГСС, ГС К*С + 4(ГС, ГССКгСІ + 4(ГС, гСК*Ссс = “^Г Сс(! + а+СсСсс,

да _ _ _ _ _ _

— = 8(гг, Гсс) = 8(гСС, Гсс ' С + гС ' ) = 8(Гс, ^СС)С + 8(гС, гС) ' ССг

дг

да-С3 + 2а“ ■ СсСс

д(

,гс с- ■ Сс Сс ) = 8(гс ,гс с) ■ ЗСс = да- ■ СІС* -

Тогда

в = —- (2а-^0+ _ а+^0--------------------а-^1 =------^-4-(2а-(2 (^(2 + а+С*(сс!

8а V дС дС дг / 8а*|&|4 \ * Ьс \ д( с * )

_ а+СсС (да- С3 + 2а-Сс& 1 _ а-(I% • 3Сс 1 = В С4С"

* ^ д^ ^ ^ ^ , у * д( / _ |С |4 ’

о 1 /о — да+ да— ^_да— \

где В* = — да; (2а* д^ — а* дс — а* дс ).

Так как при |г| ^ то имеем ( ^ 0, то В* = 0(1), = °(|,|—8) = 0(1), (, = — ,2 =

0(|г|-2), это означает, что В = 0(|г|-2) при |г| ^ то, следовательно, В1 = 0(|г|-2) при |г| ^ то, и В1 £ Рр,2(О), р > 2. >

Итак, функция гоо ограничена и является решением однородного уравнения (16), где

/ 2—Р \ _

В1 £ Рр,2(О), р > 2 (в силу леммы). Так как г0 = 0( |г| Р 1, р > 2 при |г| ^ то, то го0 обращается в нуль в точке г = то.

Таким образом, гоо является обобщенной аналитической функцией, удовлетворяющей условию обобщенной теоремы Лиувилля [3, с. 128].

Из этой теоремы следует, что гоо(г) = 0 всюду на плоскости О.

§ 3. Доказательство теоремы

Итак, мы показали, что г?о(г) = 0 всюду на плоскости ^. Тогда соотношение (15) имеет вид и = и*. Получается, что каждому а соответствует единственное решение го. Функция и = , и = И,е{ад}, V = Іт{г}, следовательно, а2 = Іт{г},

а1 =П _ и = _2_ _ И,е{ад}, а2 =П + и = _2_ + Ке{ад}. Уравнения (4) принимают вид:

Гдіу = ( _ 2_ _ И,е{г«})діг + Іт{ад}д2Г, (17)

\д2у = Іт{и}діГ + ( _ 2_ + Ке{ад}}д2Г.

Так как рассматриваемая поверхность односвязна, то с помощью уравнений (17) можно найти поле смещений бесконечно малой МС-деформации, соответствующей конкретному а, с точностью до постоянного вектора, интегрируя выражение гіу = діу гіп1 + д2У гіп2.

Таким образом, для каждого а существует единственное поле бесконечно малой МС-деформации с точностью до постоянного вектора.

Докажем теперь, что овалоид является жестким относительно бесконечно малых МС-деформаций тогда и только тогда, когда а = 0.

Пусть а = 0. Тогда F = дz (ка) = о. Следовательно,

w* — —

fil(z, C, D)F(C) d£ dn — - ^2(z, C, D)F(C) d£ dn = 0.

п

D

D

Тогда w =

VsVK

= 0, и соотношения (1T) принимают вид:

|д1У = 0,

1 д2у = 0.

(18)

Отсюда следует жесткость овалоида.

Пусть овалоид является жестким относительно бесконечно малых MG-деформаций, т. е. y = C = const. Тогда dy = c^ydu1 + d2ydu2 = 0. Следовательно, справедливы равенства (18). Тогда в силу соотношений (17) имеем

(19)

( ( _ 2_ _ И.е{ад})діГ + Іт{ад}д2г = 0,

[Іт{ад}діг + ( _ 2_ + Ке{ад}}д2г = 0.

Умножая скалярно первое из этих равенств на _діп, а второе — на _д2П, учитывая, что Ьп = Ь22 = 0, 6і2 = 0, получаем

— — Re{w} = 0,

а

2K

— 2K + Re{w} = 0.

Отсюда следует, что а = 0.

Литература

1. Фоменко В. Т., Бикчантаев И. А. Применение обобщенных аналитических функций на римановых поверхностях к исследованию О-деформаций двумерных поверхностей в Е4 // Мат. сб.—1988.— Т. 136(178), №4(8).—С. 561-573.

2. Фоменко В. Т. О единственности решений проблем Кристоффеля и Минковского для овалои-дов // Сб. науч. тр. по межвуз. программе «Университеты России — фундаментальные иссле-дования».—Таганрог: Изд-во ТГПИ, 1998.—С. 73-95.

3. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.—М.: Наука, 1988.—512 с.

4. Климентов С. Б. О продолжении бесконечно малых изгибаний высших порядков односвязной поверхности положительной кривизны // Мат. заметки.—1984.—Т. 36, вып. 3.—С. 393-403.

Статья поступила 5 мая 2011 г.

Жуков Дмитрий Александрович

Таганрогский государственный педагогический институт, аспирант кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 347936, Таганрог, ул. Инициативная, 48 E-mail: [email protected]

INFINITESIMAL MG-DEFORMATIONS OF OVALOID Zhukov D. A.

We consider infinitesimal deformations of a closed surface with positive Gaussian curvature, under which the variation of Gaussian curvature is given as a function on a surface and the Grassman image is kept invariant.

Key words: ovaloid, Grassman image, Gaussian curvature, infinitesimal deformations, rigidity.