Характеристический признак поверхностей с постоянным гауссовым кручением в е 4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Бодренко И.И., 2013

УДК 514.75 ББК 22.151

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОСТОЯННЫМ ГАУССОВЫМ КРУЧЕНИЕМ В Е4

Бодренко Ирина Ивановна

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры фундаментальной информатики и оптимального управления

Волгоградского государственного университета

[email protected]

Проспект Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. В работе установлен характеристический признак 2-мерных поверхностей F2 с постоянным гауссовым кручением к = const = 0 в 4мерном евклидовом пространстве Е4. Доказано, что поверхность F2 С Е4 имеет постоянное гауссово кручение к = const = 0 тогда и только тогда, когда тензор нормальной кривизны R± = 0 параллелен в связности Ван дер Вардена — Бортолотти.

Ключевые слова: гауссово кручение, эллипс нормальной кривизны, тензор нормальной кривизны, нормальная связность, связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Введение

Известно, что всякое двумерное риманово многообразие М2 со знакопостоянной гауссовой кривизной К имеет рекуррентный тензор кривизны Римана R. Имеет место равенство [2]: VR = d ln IK| ® R, где g — риманова метрика M2, V — риманова связность, согласованная с д. Основным инвариантом нормальной связности D двумерной поверхности F2 в евклидовом пространстве Е4 является гауссово кручение к. В каждой точке х £ F2 \к\ = 2аЬ, где а, b — полуоси эллипса нормальной кривизны в х.

Обозначим через D и R± соответственно нормальную связность и тензор нормальной кривизны F2 С Е4. Пусть V = V® D — связность Ван дер Вардена — Бортолотти. Определение 1. Тензор нормальной кривизны R± = 0 называется параллельным, если VR± = 0.

Определение 2. Тензор нормальной кривизны R± = 0 называется рекуррентным (в связности V), если существует 1-форма v на F2 такая, что VR± = v ® R± [3].

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Поверхность F2 с ненулевым гауссовым кручением к = 0 в Е4 имеет рекуррентный тензор нормальной кривизны R±:

VR± = dln \к\ ® R±. (1)

Из теоремы 1 мы получаем следующий характеристический признак двумерных поверхностей с постоянным гауссовым кручением к = const = 0 в Е4.

Теорема 2. Поверхность F2 С Е4 имеет постоянное гауссово кручение к = const = О тогда и только тогда, когда тензор нормальной кривизны R± = О параллелен.

Замечание. Поверхности F2 с постоянным гауссовым кручением к = const = О в Е4 существуют [1].

1. Рекуррентность тензора нормальной кривизны двумерной поверхности в Е4

Пусть Е4 — 4-мерное евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами ( — скалярное произведение в Е4. Пусть F2 — двумерная

поверхность в Е4, заданная в окрестности каждой своей точки векторным уравнением

г(и1,и2) = {х1 (и1, и2), х2(и1, и2), х3(и1,и2),х4(и1, и2)}, (и1, и2) Є U,

где U — некоторая область параметрической плоскости (и1,и2), ха(и1 ,и2) Є C^(U), а = l,..., 4.

Рассмотрим на поверхности F2 в окрестности каждой точки регулярное оснащение {п<*\}2а=1, < па\,щ\ >= 8ар, где 8ар — символ Кронекера, a,fi = l, 2. Пусть

дг(и1,и2) д2г(и1,и2) дпа\ (и1, и2)

г і = ---------, Гц = г-ттт—:—, паи = -----------------, 1,1 = l, 2, а = l, 2.

диг дигди3 диг

Векторы {гі(х)}22=1 и {па\(х)}2(Х=1 соответственно образуют базисы касательной плоскости TXF2 и нормальной плоскости T^F2 поверхности F2 в точке х.

Метрическая форма поверхности F2 имеет вид:

ds2 = gij dulduj,

где gij =< fi, fj >, i,j = l, 2.

Обозначим через

II (na\) = ba\ij duldu3

вторую квадратичную форму поверхности F2 относительно нормали па\, где коэффициенты ba\ij = < па\,fij >, i,j = l, 2, а = l, 2.

Гауссово кручение поверхности F2 С Е4 вычисляется по формуле

gkm {Ь1\к1 Ь2\т2 — b1\k2b2\m1) к = --------------р-------------. (2)

Линейные формы

Г(xf3\i', &, l, 2

называются линейными формами кручения поверхности F2 С Е4, где коэффициенты Гщі =< ™а\,пр\г > называются компонентами нормальной связности D поверхности

F2 С Е4. Имеет место равенство Г^і + Г/За|г = °.

Ковариантная производная вектора па\ в нормальной связности D вычисляется по формуле

Dina\ = Г^где = 5^^ і = ^ 2, a,fi,a = 1, 2,

матрица Ц6а11| = Ц6а$|| 1.

Компоненты тензора нормальной кривизны К1 вычисляются по формуле

^ р±а

тэ^а 1\^ 1\І і рі^г 1а т^ат^а /о\

П& \ ІЗ = $иі £)иі +г& \ і г а \ 3 \зг а \ і ' (3)

Обозначим

^1 \ІЗ ^1 \ІЗ ^а\.

В окрестности точки х Є Р2 ковариантная производная тензора нормальной кривизны К1 в связности Ван дер Вардена — Бортолотти V вычисляется по формуле

VкК&}\^ = Ок (к1 ^^ гпі — г™.В^1 іт — ^В^1 ^, (4)

где гт — символы Кристоффеля, вычисленные относительно метрического тензора ^.

Доказательство теоремы 1. В окрестности точки х Є Р2 в локальных координатах (и1, и2) из формулы (3) имеем:

(еП агц \ = / аг11 вг12 \

\Ж^ — ~м) "Ч' Н1п =^ — ~м) П1 '

Н112 = ^ ^ — -^ )Я2Ь ^

Обратимся к уравнению Риччи:

К^з = 9кт {ЬцікЬППз — ЬцкПщ) ' і'І'к'Ш =1' 2' = 1 2' (5)

где Ьа = 5а1Ьі\^. Из (5) находим

Кца12 = 9кт (Ь1\1кЬП2 — Ьі\2кЬПі) ' ДЦ = дкт {Ь^А — ■ (6)

Из (6) в силу (2) имеем:

^1\12 = -^1\12'^а\ = В1\12П2 \ = К/~9 п2 \' В2\12 = ^2|12И«| = ^1\12П1 \ = — К/~9п1 \■ (7)

По формуле (4) находим

VкН1п = Ок (я^) — гтП1т,'2 — 1т — гЦя! 12. а'в = 1.2. (8)

Мы имеем:

Як^1^ = вк(ку/дп2\) = ку/дг1^П1 \ + 9^К'к) П2\' (9)

Ек(^112) = Ок(—К /дщ\) = —К /д П2\------^ \ ‘ (10)

Учитывая (9), (10), из (8) соответственно получим

VкК^\12 = К / г1к ™1 \ + (^^к^) ™2\ — (г11 + гк2) ^1|12 — г12к ^2112'

Vк^12 = —К/д г12к ™2\-----------(^^к^) ™1 \ — (гкк1 + г/с2) Н-112 — г1к ^'Ц12-

ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2013. № 2 (19) 15

Отсюда, применяя соотношения (7), находим

^ о1 г- т^11- , 9(к /) ^ д(1п /9) ^ т.12 і а

Vк Л1|12 = К у/д ^ щ \ + ^к и2\-^^2\ — ^к (—к^/дП1 \) =

(д(к /9) 01п /£ г- ^ дх ^ 51п |к| 51п |к| 1

= I“&?----------к^) П2\ = к^ = ~а^~ ^

^ 01 _ ^ т^1^ 5к 51п /9 ( ^ _

Vк ІЇ1\12 = — к Л/9 г1| к ^2 \-^ик П1 \--^к ( —к у/дП1 \) — г2\1^Кл/дП2 \ =

_( 9(к/д) , ^(1п /д) ^ ^ _ дк _ д 1п |к| _д 1п |к| 1

= 1 а^- + —д^г-к/) »1 \ = — ^^\ = —-^г-К/Щ\ --^т ^■

Следовательно,

я 1п|к|

VкВ&}\12 = ^к ^^1\12' к = 1' 2' ^ = 1' 2. (11)

Так как Щ\п = К1\22 = 0, Щ\12 = —^1\21, из (11) находим

__ я 1п |к|

VкRl\гJ = ~^Т“ Я1^.' 1'3'к =1' 2' ^ =1' 2. (12)

Из (12) получаем, что на поверхности Р2 с ненулевым гауссовым кручением к= 0 в Е4 выполнено уравнение V Я1 = и ® Д1' где 1-форма //= d 1п |к|.

Теорема доказана.

Теорема 2 непосредственно следует из теоремы 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аминов, Ю. А. О поверхностях в Е4 со знакопостоянным гауссовым кручением / Ю. А. Аминов // Укр. геометр. сб. — 1988. — Т. 31. — C. 3-14.

2. Бодренко, И. И. О внутренней геометрии внешне рекуррентных подмногообразий в пространствах постоянной кривизны / И. И. Бодренко // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Мат. Физ. — 2003-2004. — Вып. 8. — C. 6-13.

3. Бодренко, И. И. Обобщенные поверхности Дарбу в пространствах постоянной кривизны / И. И. Бодренко. — Saarbrucken, Germany : LAP LAMBERT Асабешю Publishing, 2013. — 200 c.

REFERENCES

1. Aminov Yu.A. O poverkhnostyakh v E4 so znakopostoyannym gaussovym krucheniem [Surfaces in E4 with a Gaussian torsion of constant sign]. Ukr. gеomеtr. sb. [Ukranian Geometric Collection], 1988, vol. 31, pp. 3-14.

2. Bodrenko I.I. O vnutrenney geometrii vneshne rekurrentnykh podmnogoobraziy v prostranstvakh postoyannoy krivizny [On internal geometry of externally recurrent submanifolds in spaces of constant curvature]. Vеstnik Volgogradskogo gosudars^nnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Mat. Fiz. [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2003-2004, issue 8, pp. 6-13.

3. Bodrenko I.I. Obobschеnnyе povеrkhnosti Darbu v prostranstvakh postoyannoy krivizny [Generalized Darboux surfaces in spaces of constant curvature]. Saarbrucken, Germany, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. 200 p.

A CHARACTERISTIC FEATURE OF THE SURFACES WITH CONSTANT GAUSSIAN TORSION IN E4

Bod^nko Irina Ivanovna

Candidate of Physical and Mathematical Sciences,

Associate Professor, Department of Fundamental Informatics and Optimal Control

Volgograd State University

[email protected]

Prospect Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. It is known that every two-dimensional Riemannian manifold M2 with Gaussian curvature K of constant signs has recurrent Riemannian — Chrictoffel curvature tensor R. The following equality holds: VR = d ln |K| ® ® R, where g is Riemannian metric M2, V is Riemannian connection.

Let E4 be 4-dimensional Euclidean space with Cartesian coordinates (x1, x2, x3, x4), F2 is two-dimensional surface in E4 given by vector equation

r(u1,u2) = {x1 (u1, u2), x2(u1, u2), x3(u1,u2),x4(u1,u2)}, (u1,u2) G U,

xa(u1 ,u2) G C™ (U), a = 1,..., 4.

The properties of surfaces F2 with nonzero Gaussian torsion k = 0 in Euclidean space E4 are studied in this article.

Let R± be normal curvature tensor of F2 c E4, D is normal connection,

V = V © D is connection of van der Waerden — Bortolotti.

Normal curvature tensor R± = 0 is called parallel if VR± = 0. Normal curvature tensor R± = 0 is called recurrent (in connection V) if there exists 1-form v on F2 such that VR± = v ® R±.

The following statement is proved in this article. A surface F2 with nonzero Gaussian torsion k = 0 in E4 has recurrent normal curvature tensor R±:

V R± = d ln |k| ® R±.

The characteristic feature of 2-dimensional surfaces F2 with constant Gaussian torsion k = const = 0 in 4-dimensional Euclidean space E4 was obtained in this article.

It was proved that surface F2 c E4 has constant Gaussian torsion k =

= const = 0 if and only if normal curvature tensor R± = 0 is parallel in

connection of van der Waerden — Bortolotti.

Key words: Gaussian torsion, ellipse of normal curvature, normal curvature tensor, normal connection, connection of van der Waerden — Bortolotti.