Строение подмногообразий с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Бодренко И.И., 2011

УДК 514.75 ББК 22.151

СТРОЕНИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЙ С ЦИКЛИЧЕСКИ РЕКУРРЕНТНОЙ ВТОРОЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ФОРМОЙ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

И.И. Бодренко

В работе изучается строение ?г-мерных подмногообразий с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в (?г+р)-мерном евклидовом пространстве.

Ключевые слова: вторая фундаментальная форма, связность Ван дер Вардена — Бортолотти, подмногообразие, риманово многоообразие, нормальная связность.

Введение

Пусть Еп — /г-мерное (п > 2) гладкое подмногообразие в (п + р)-мерном (р > 2) евклидовом пространстве Еп+Р. Обозначим через Ъ вторую фундаментальную форму Еп, через V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Определение 1. Вторая фундаментальная форма Ъ ф 0 называется параллельной (в связности V), если \7Ь = 0.

Подмногообразия с \7Ь = 0 называются параллельными (см. [7-10]). Условие \7Ь = 0 является аналитическим признаком локально симметрических подмногообразий ([4-6]). Общая задача классификации подмногообразий с \7Ь = 0 в евклидовых пространствах решена в [5]. Классификация подмногообразий с \7Ь = 0 в пространствах постоянной кривизны завершена в [4].

Определение 2. Вторая фундаментальная форма Ъ ф 0 называется рекуррентной, если на Еп существует 1-форма р такая, что \7Ь = р О Ь.

Полная локальная классификация и геометрическое описание подмногообразий с не параллельной рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной кривизны получены в [2]. Свойства кэлеровых подмногообразий с рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной голоморфной секционной кривизны изучались в работе [1].

Определение 3. Вторая фундаментальная форма Ъ ф 0 называется циклически рекуррентной, если на Еп существует 1-форма р, такая, что

V:ХЬ(У, г) = Р(Х)Ъ(У, г) + р(¥)Ь(г, х) + р(г)Ъ(х, г) (1)

для любых векторных полей X, У, Е, касательных к Еп.

В настоящей работе доказываются следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть связное подмногообразие Fn в евклидовом пространстве Еп+Р имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму Ъ. Если Fn не лежит локально ни в одном Еп+1 с Еп+Р и имеет плоскую нормальную связность, то Fn является:

1) открытой частью риманова произведения Smi х ... х Smr С Еп+Г С Еп+Р мерных сфер Smt С Emt+1, t = 1,r, mi + .. .mr = п, 2 < г < min{??.,p}, или

2) открытой частью риманова произведения Ет х Smi х... х Smr С Еп+Г С

т-мерной плоскости Ет и т,t-мерных сфер Smt С Emt+1, t = 1, г, -m-i +... ?r?T = п — т., 2 < г <

Теорема 2. Пусть связное подмногообразие Fn в евклидовом пространстве Еп+2 иже-ет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму Ъ. Если Fn является изотропным подмногообразием, то Fn является:

1) открытой частью п-мерной плоскости Еп с Еп+2, или

2) открытой частью п-мерной сферы Sn С Еп+1 с Еп+2.

1. Основные леммы

Пусть Еп+Р — евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами (гг1, х2,..., ггга+р), <,> — скалярное произведение в Еп+Р. Пусть Fn — гладкое подмногообразие в Еп+Р. В окрестности каждой точки х G Fn подмногообразие Fn можно задать уравнениями

ха = /“(и1,..., ип), (и1,..., ип) G I). а = 1,п + р,

где D — некоторая область параметрического пространства (и1,..., ип), /“(и1,..., ип) G G C°°{D). Пусть

г(и\ ..., ип) = {f\u\ ..., un)J2(u\ ..., ип), fn+p(u\ и”)} -

векторное параметрическое уравнение подмногообразия Fn в окрестности точки

х G Fn.

Пусть индексы i, j,k,l принимают значения от 1 до п, индексы а,/3,а — от 1 до р. Рассмотрим нормальное оснащение подмногообразия Fn, заданное полем орто-нормированных реперов {йа} в нормальном расслоении T±Fn подмногообразия Fn,

< па,п/з >= 8а1з — символ Кронекера, матрица ||^"/3|| = ||^о/з||-1- Обозначим

дг{и1,..., и11) _ d2f(yiil,..., и11) _ дпа{и1,..., и11) дui ’r%j du'dui ’ /?“'г ди1

Векторы (;г)} образуют базис касательного пространства TxFn подмногообразия Fn в точке х. Метрическая форма подмногообразия Fn имеет вид: ds2 = gijduldu>, где Qij =< fi,fj >. Обозначим через II(na) = Ьа^с1игс1иР вторую квадратичную форму подмногообразия Fn относительно нормали па, где baij = < na,fij >. В каждой точке х G Fn оператор Вейнгартена Аа : TxFn —> TxFn относительно нормали па(х) определяется ПО формуле < Aafi(x),fj(x) > = < na(x),fij(x) >. Коэффициенты Г«/з|г =< п.саПрц > называются компонентами нормальной связности D подмногообразия

Fn. Ковариантная производная вектора па в нормальной связности D вычисляется по формуле Di'na = Г^'%, где = Sl3aTjali. Линейные формы ша1з = Г^|^иг называются линейными формами кручения подмногообразия Fn. Компоненты тензора нормальной кривизны R1- вычисляются по формуле

d-Lck _ _ fi\j i -p_L<T-p_La _ -p_L<7-p_La

~ Quj ~ Qyi ^ P\i v\i ~ p\j <*\i •

Ковариантная производная второй фундаментальной формы Ъ в связности Ван дер Вардена — Бортолотти V вычисляется по формуле

8ha

V7 .№ — 2hi _ pi № _ pi H* I р-*-«/73

ifc Qui ij Ik 1 ik jl ' 1 /31г °jki

где Y\j — СИМВОЛЫ Кристоффеля, вычисленные относительно метрического тензора Qij, ha• — Saah ■ ■

игз и Ucnj .

Уравнения Петерсона — Кодацци и Риччи, соответственно, имеют вид:

(2)

Rm = 9Ы (1>мЩ - ь№1%) • (з)

Определение 4. Первым нормальным пространством Ni(x) подмногообразия Fn в точке х называется ортогональное дополнение подпространства {£(#) G T^Fn\A^x) = 0} в TxFn.

Определение 5. Размерность подпространства Ni(x) С T^Fn называется точечной коразмерностью подмногообразия Fn в точке х.

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть подмногообразие Fn в евклидовом пространстве Еп+Р имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму Ъ. Если в каждой точке х G Fn dimiV^^) > I, и Fn имеет п главных направлений, то Fn является объединением замыканий своих областей, в каждой из которых

1) Fn несет ортогональную сопряженную систему {Lmi,... ,Lmr}, чщ + • • • + + тг = п, 2 < г <

2) Fn является римановым произведением Fmi х ... х Fmr максимальных интегральных подмногообразий Fmt распределений Lmt, t= 1, г;

3) при mt = 1 подмногообразия Fmi являются линиями кривизны, при mt > 1 — поверхностями кривизны подмногообразия Fn, t = 1, г.

Доказательство. Представим подмногообразие Fn в виде объединения замыканий своих областей VT, в каждой из которых Fn имеет постоянную точечную коразмерность qT и лежит в некотором (/?, + дт)-мерном подпространстве Еп+Ят С Еп+Р. Рассмотрим область V С Fn такую, что dim iVi (#) = q в каждой точке х G V. Подпространство N\(x) С TxFn является линейной оболочкой векторов {Ь^па(х)}. Не ограничивая общности, будем считать, что нормальные векторы ..., nq(x) образуют базис Ni(x).

В каждой точке х G Fn в оснащении Родрига {'/г«(;г)} для главных направлений {1^} в силу (1) имеем:

У..///;, = 0, г / J / /.' / г. (4)

Обозначим через

а_Ь°(Г„У,)

‘ я(У„ у,)

кривизну Еп относительно нормали па(х) в главном направлении у. Для главных направлений {У} справедливы уравнения:

/^ЛУу /ГИГ., ))) = /Л/4 < У, V, - V, >, /Л = < - а", г / .у / /.• / г.

Отсюда, учитывая (4), находим, что в области V

ь, - Уу V'/ >= 0, г / .у / к / г. (5)

Обозначим через с.а(х) число различных собственных значений оператора Вейнгартена

Аа в точке х относительно нормали па(х). Так как по условию леммы д > 1, то в

каждой точке х € Еп в любом базисе {/?«(;?)} нормального пространства ТфЕп найдется нормаль Пи(х), относительно которой оператор Вейнгартена Д, имеет по крайней мере два различных собственных значения. Пусть у — произвольная точка области У.

Случай 1. Существует нормаль пи(х), относительно которой оператор Вейнгартена А„ имеет простой спектр. Тогда в некоторой области У(у) С V имеем cu(z) = п Wz Е У(у). Следовательно, в У (у)

Ф 0, г / .у / к / г. (6)

Тогда из (5), учитывая (6), находим, что в области V{у) выполняются равенства

< У, VV Н - Vг. V/ >=0, / / .у / к / /.

Значит, главные направления {У} голономны в У (у). Следовательно, векторные поля {У-!,..., Уг} образуют в У(у) С V ортогональную сопряженную систему, все распределения и14 одномерны и порождены У.

Случай 2. Для каждой нормали па(х) выполнено неравенство са(х) < п. Строим распределения Ьт* следующим образом. Будем считать, что векторное поле У образует одномерное распределение Ьть, если для каждого главного направления У, отличного от У, в точке у найдется нормаль пи{у), и = относительно которой ф а”.

Тогда Ьтг = У голономно в некоторой области У (у) С У. Векторные поля У?, У-

будут принадлежать некоторому распределению £тг размерности больше 1, если главные кривизны в точке у в направлениях У,-, у. относительно любой нормали па{у) совпадают, то есть в у выполняются равенства а" = а%. Следовательно, У ф Ьть, если найдется хотя бы одна нормаль пи{у), и = //(£, в), для которой в точке у выполняются неравенства: аи3 ф а1', аУ3 ф аик. Отсюда, в силу (5), в некоторой области У(у) С V будем иметь:

< У.Уу V, - упу, >= о, уу„у е 1т\ уу £ ьт\

Отсюда, учитывая, что главные направления попарно ортогональны, получим инволю-тивность Ьт* в У (у).

Рассмотрим построенные распределения Ьть, I = 1, г, в области

Г

П?) С П \ш *=1

Не ограничивая общности, можем считать, что распределения Lmt порождаются векторными полями

Ypt-i+i, • • •, YPt, Ро = 0, рг = п, t = l,r.

Распределения Lmt попарно ортогональны и сопряжены, то есть

Ь(Х, Y) = 0, д(Х, Y) = О, УХ G Lmt, УУ G Lm‘, t ф s, s, t = T~r. (7)

Таким образом, распределения Lmt, t = 1, г, образуют ортогональную сопряженную систему в области V(y). Следовательно, в V(y) можно ввести координаты (и1,..., и”) такие, что векторные поля

д д dvpt-i+i ’ " ‘ ’ дьР*

порождают распределения Lmt, t= 1, г. Отсюда, учитывая (7), в V(y) получим:

«Ш- = °> = *< = *■ <8)

Кроме того, для любых Yj G Lms и Y*. G Lmt, s Ф t, s,t = 1, г, найдется нормаль nv, v = u(J, к), такая, что ф а% в V(y). Так как для любых векторных полей Yi,Yj G Lmt главные кривизны относительно всех нормалей па(у) совпадают, то

д д д д д д

Ь°(—V—, V— еЬт\ (9)

диг ди3 диг ди3 диг ди3

где ___ __

at = аi 1 Vl'i G Lmt, a = l,p, t = 1, r.

Тогда из (2), учитывая (8) и (9), находим, что в V(y) главные кривизны af = const. Значит, в области

V = U

yev

af = const, і = 1, /г, а = 1,р; построенные нами распределения Lmt, t = 1, г, образуют в v ортогональную сопряженную систему; их максимальные интегральные подмногообразия Fmt при чщ > 1 являются поверхностями кривизны, а при чщ = 1 — линиями кривизны подмногообразия Fn.

Основные квадратичные формы Fn в области V имеют вид:

Г pt г pt

ds2 = Y^ 9jkduJduk, II(na) = ^2dpt_ i+1 gjkdu3duk,

t= 1 j,k=pt-l + l t= 1 j,k=pt-l+l

где po = 0, pr = n, a° = a%, j, к = pt_i + l,pt, t = 1, r, a = I,p.

Линейные формы кручения подмногообразия Fn в V тождественно нулевые:

CJa/3 = 0, Q',/3 = 1,р.

Проведем ортогональное преобразование оснащения {йа}: /г* = с^па с постоянными коэффициентами с" = const такое, что

pt

H(nt) = a*v gjkdujduk, a*v = const, и = 1 , r, //(??,*) = 0, p = r + l,p,

j,k=pt-1+1

при ЭТОМ UJ*aj3 = 0, Q',/3 = 1 ,р.

Следовательно, Fn распадается в У на риманово произведение Fmi х ... х Fmr максимальных интегральных подмногообразий Fmt. Каждое Fmt является гиперповерхностью в Emt+l, t = 1,г, 2 < г < Лемма доказана.

Определение 6. Подмногообразие Fn называется изотропным, если на Fn существует функция А такая, что

\b(t,t)\ = \(x)\t\2, VxeFn, \/t G TxFn.

Лемма 2. Пусть подмногообразие Fn в евклидовом пространстве Еп+2 имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму Ъ. Если Fn является изотропным подмногообразием, то Fn имеет плоскую нормальную связность.

Доказательство. В некоторой окрестности 0(х) С Fn произвольной точки х G Fn

введем геодезические нормальные координаты (и1,..., и”) (см.: [3]) такие, что

_ Г !, т= 1, , .

^1т_\0, т = 2, п. (10)

Рассмотрим в 0(х) векторное поле = Ь^па. Если в точке х вектор 6ц = 0, то из уравнений (3) получим, что R± = 0 в х. Пусть теперь 6ц ф 0 в точке х, тогда в некоторой окрестности U(x) С 0(х) векторное поле 6ц ф 0. Построим в U(x) оснащение щ, щ, положив

- _ 6ц

1 А(м1,..., ип)

Учитывая (10), находим, что в U(x)

<Ьц,п2>=0, i = l,n.

Отсюда, используя (1), находим:

< (Vi6")'/la, п2 >= 0, г = 1 , п.

Следовательно, Г^^и1,... ,ип) = 0, г = 1, Значит, R1- = 0 в U(x). Лемма доказана.

2. Доказательства теорем

Доказательство теоремы 1. Пусть в области V С Fn точечная коразмерность q = const > 1. Согласно лемме 1, в области V подмногообразие Fn является римановым произведением Fmi х ... х Fmr гиперповерхностей Fmt С Emt+1, t = 1, г, при этом в V можно ввести координаты (и1,..., и”) такие, что основные квадратичные формы гиперповерхности Fmt С Emt+l имеют вид:

1Н

els2 = ^ gjk(uPt~1+1,..., ut)dujduk,

j,k=pt-l + l

pt

11 (fit) = o* ^ 9jk(uPt~1+1) • • •) uIt)duj duk, a* = const.

j,k=pt-1+1

Введем в Ет1+1 декартовы прямоугольные координаты (у1,..., ут*+1) и зададим Fmt в области V уравнениями

у* = у\и1Н-1+\ ..., г/,?), I = 1,т* + 1.

Если а* = 0 в У, то координаты любой точки у € Рть удовлетворяют уравнению некоторой гиперплоскости £,т* С Еть+1. Если а* 7^ 0, то все точки поверхности Fmt лежат на некоторой гиперсфере 5т‘ С Еть+1. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Представим подмногообразие F'г в виде объединения замыканий своих областей УТ, в каждой из которых Еп имеет постоянную точечную коразмерность дт и лежит в некотором (/?, + дг)-мерном подпространстве Еп+(1т С Еп+Р. Из леммы 2 следует, что Еп имеет п главных направлений в каждой точке х. Тогда сЦтЛ^(;г) < 1, Ух € Рассмотрим область V С -Рг такую, что с1нп (#) = д в каждой точке х € V.

Случай 1. д = 0. Тогда = 0 в V. Следовательно, V является частью некоторой /?.-мерной плоскости Еп С Еп+1 С Еп+'2.

Случай 2. д = 1. Введем в некоторой окрестности II(х) С V локальные координаты (и1,..., ип) и рассмотрим векторное поле

Тогда, в силу (1), имеем

bij = Л (и1, . . . , И") Qij f.

Из уравнений (4) находим, что Л = const в U(x). Следовательно, область V лежит на некоторой /?,-мерной сфере Sn С Еп+1 с Еп+2 радиуса 1/Л. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бодренко, И. И. Некоторые свойства кэлеровых подмногообразий с рекуррентными тензорными полями / И. И. Бодренко // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 2006. - Вып. 10. - С. 11-21.

2. Бодренко, И. И. Подмногообразия с рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной кривизны / И. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики — 2007. — Т. 14, № 4. — С. 679-682.

3. Эйзенхарт, JI. П. Риманова геометрия / JI. П. Эйзенхарт. — М. : Изд-во иностр. лит., 1948. - 316 с.

4. Backes, Е. On symmetric submanifolds of spaces of constant curvature / E. Backes, H. D. Reckziegel // Math. Ann. - 1983. - V. 263, № 4. - P. 419-433.

5. Ferus, D. Symmetric submanifolds of Riemannian manifolds / D. Ferus // Math. Ann. — 1980. - V. 247, № 1. - P. 81-93.

6. Striibing, W. Symmetric submanifolds of Riemannian manifolds / W. Strubing // Math. Ann. - 1979. - V. 245, № 1. - P. 37-44.

7. Takeuchi, M. Parallel submanifolds of space forms / M. Takeuchi // Manifolds and Lie groups. Papers in honour of Y. Matsushima. Basel. — 1981. — P. 429-447.

8. Tsukada, K. Parallel Kaehler submanifolds of Hermitian symmetric spaces / K. Tsukada // Math. Z. - 1985. - V. 190, № 1. - P. 129-150.

9. Tsukada, K. Parallel submanifolds in a quaternion projective space / K. Tsukada // Osaka J. Math. - 1985. - V. 190, № 1. - P. 129-150.

10. Tsukada, K. Parallel submanifolds of Cayley plane / K. Tsukada // Sci. Repts. Niigata Univ. - 1985. - V. A, № 21. - P. 19-32.

STRUCTURE OF SUBMANIFOULDS WITH CYCLIC RECURRENT SECOND FUNDAMENTAL FORM IN EUCLIDEAN SPACE

1.1. Bodrenko

The structure of ??,-dimensional submanifoulds with cyclic recurrent second fundamental form in (n + p)-dimensional Euclidean space is studied in this article.

Key words: second fundamental form, connection of van der Waerden — Bortolotti, submanifold, Riemannian manifold, normal connection.