Об аналоге поверхностей Дарбу в многомерных евклидовых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Бодренко И.И., 2013

УДК 514.75 ББК 22.151

ОБ АНАЛОГЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДАРБУ В МНОГОМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Бодренко Ирина Ивановна

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры фундаментальной информатики и оптимального управления

Волгоградского государственного университета

[email protected]

Проспект Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. На гиперповерхностях Рп (п > 2) с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в евклидовом пространстве Еп+1 вводится симметрический ковариантный тензор третьей валентности 0(п). В случае п =2 тензор 0(п) совпадает с тензором Дарбу 0, определенным на двумерных поверхностях Р2 с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в Е3: 0(2) = 0. В работе изучаются свойства гиперповерхностей Рп с ненулевой гауссовой кривизной К =0 в евклидовом пространстве Еп+1, на которых выполняется условие 0(п) = 0, при произвольном п.

Ключевые слова: тензор Дарбу, поверхность Дарбу, гауссова кривизна, вторая фундаментальная форма, гиперповерхность, многомерное евклидово пространство.

Введение

Пусть Еп+1 — (п + 1)-мерное (п > 2) евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами (х1 ,х2,... ,хп+1), <,> — скалярное произведение в Еп+1.

Пусть Рп — п-мерная связная поверхность в Еп+1, заданная в окрестности каждой своей точки х Є Еп уравнениями

ж" = ф(а)(и1,...,ип), (и1,...,ип) Є и, а = 1,п + 1,

где и — некоторая область параметрического пространства (и1,...,ип), ф(а) Є С3(и). Векторное параметрическое уравнение Рп С Еп+1 имеет вид

г = г(и1,. ..,ип) = [ф(1) (и1,.. .,ип),..., ф(п)(и1,.. .,ип),ф(п+1)(и1,.. .,ип)}.

Обозначим

^ дг(и1,... ,ип) _ д 2г(и1,...,ип)

г диг , дигдиі

Пусть п = п(и\ ... ,ип) — единичный вектор нормали к Рп в окрестности точки X,

9іі =< Гі, г3 >, Ьіу =< Гіу ,п > —

коэффициенты первой и второй квадратичных форм гиперповерхности Рп С Еп+1 соответственно. Обозначим через Г™ и У соответственно символы Кристоффеля и операцию ковариантного дифференцирования, вычисленные относительно тензора .

Пусть к1(х), ..., кп(х) — главные кривизны Рп в точке х Є Рп. Обозначим через К гауссову кривизну гиперповерхности Рп С Еп+1, тогда К(х) = к1(х)к2(х)...кп(х) Ух Є Рп.

Пусть на Рп выполняется условие: К(х) = 0 Ух Є Ра. Определим на Рп С Еп+1

симметрический ковариантный тензор третьей валентности 0(п) формулой:

0цт уу і ЬцУтЕ- + Ъ]тугК + Ьтгу3К . . _ . .

/ \ = ~7уГт? , г,3,т = 1,П. (1)

(п) (п + 2)К

Замечание. В работе [3] на п-мерных поверхностях Рп (п > 2) в евклидовом пространстве Еп+Р (р > 1) введен другой аналог тензора Дарбу. Обобщенный тензор Дарбу (см.: [3, с. 108, (3)]) — это ковариантный тензор шестой валентности 0^к,іті, симметричный по группам индексов (і^,к) и (1,т,ї), тождественное обращение в ноль которого характеризует обобщенные поверхности Дарбу. В [3] дается классификация двумерных обобщенных поверхностей Дарбу Р2 в евклидовом пространстве Е2+р при произвольном р.

Обозначим через ^(п) множество гиперповерхностей Рп (п > 2) с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в евклидовом пространстве Еп+1, на которых выполняется тождество

0цт = о, і,1,т =1,п, (,

(п) (2)

Замечание. На двумерных поверхностях Р2 с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в евклидовом пространстве Е3 тензор Дарбу 0 — симметрический ковариантный тензор третьей валентности, определяется формулой

0 = У7 и ^+ ЬзтугК + ЬтіузК А А ю = 1 2

0ijш Ут, Ь, 1, 2'

4К

Условие 0 = 0 является характеристическим признаком поверхностей Дарбу в Е3 — двумерных поверхностей второго порядка, не развертывающихся на плоскость.

Тензор 0(п), определенный в случае п = 2 формулой (1) на двумерных поверхностях Р2 ненулевой гауссовой кривизны К = 0 в Е3, совпадает с тензором Дарбу: 0(2) = 0. Таким образом, множество 'Л{2) исчерпывается поверхностями Дарбу в Е3.

Определение 1. Вторая квадратичная форма Ь гиперповерхности Рп в евклидовом пространстве Еп+1 называется циклически рекуррентной, если на Рп существует 1-форма ^ такая, что выполняются соотношения:

''т,Ьц — bmi, {,3)

где — ^г(и1, . . . , ип) — коэффициенты 1-формы ^ — ^Н=\ в окрестности точки X.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если гиперповерхность Рп с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в евклидовом пространстве Еп+1 имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму, то Рп принадлежит множеству 'Р(п).

Замечание. В работе [2] доказано, что всякая невырожденная п-мерная (п > 2) гиперповерхность второго порядка в (п + 1)-мерном евклидовом пространстве Еп+1 имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму.

Если гиперповерхность Рп С Еп+1 принадлежит множеству ^(п), то Рп имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму. При этом существуют гиперповерхности Рп нулевой гауссовой кривизны К = 0 в евклидовом пространстве Еп+1 c циклически рекуррентной второй фундаментальной формой. Примером является и-мерная цилиндрическая гиперповерхность в Еп+1 c одномерной базой Р1 ненулевой кривизны в Е2.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Гиперповерхность Рп с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 в евклидовом пространстве Еп+1 принадлежит множеству 'Р(<п) тогда и только тогда, когда на Рп в окрестности каждой точки х е Рп существуют координаты кривизны (и1,... ,ип) такие, что выполняются соотношения

ип+2

____________________^______________________ I = 1 п (4)

ф(1)(и1).. .ф(г-1)(и1-1 )г^(1+1)(и1+1).. .ф(п')(ип)7

где ф(г) (иг) = 0, г = 1,п, — некоторые функции.

1. Гиперповерхности с циклически рекуррентной второй фундаментальной

формой в евклидовом пространстве

Лемма 1. Если гиперповерхность Рп С Еп+1 с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму, то 1-форма ц является точной дифференциальной формой: ц = й/, где функция / определена равенством

/ =^^1п 1К |. (5)

* п+2 11 1;

Доказательство. Гиперповерхность Рп в евклидовом пространстве Еп+1 имеет п главных направлений |1*}™=1 в каждой точке. Из условия (3) для главных направлений {}= имеем

Ъ(Уг, У,) = /л(Гт)Ъ(Гг, Г,) + ^(Уг)Ъ(У] ,Ут) + № )Ъ(Ут, Ъ), г, з, т = Т^. (6)

Учитывая, что главные направления {Уь}1^=1 попарно ортогональны и сопряжены, из (6) находим

Ъ(Уг,¥] ) = 0, г = з = т = г. (7)

К = ф{г)(иг)к™+2, К3

В работе [1] установлены условия голономности главных направлений п-мерных подмногообразий Рп в евклидовом пространстве Еп+Р. Согласно признаку голономности главных направлений подмногообразия (см.: [1, ^ 544, (1)]), из уравнений (7) следует, что в окрестности точки х € Рп можно ввести локальные координаты (и1,... ,ип) такие, что

А — у А — у

ди1 1 ..., дип п.

Условие (3) равносильно следующей системе уравнений:

У г^гг 3^ibii, VjЬц Ьц + , % — 3,

^ mb^j — Ьц + ^iЬjm + Ьm^, % — 3 — ^ — %,

где в силу уравнений Петерсона — Кодацци выполнены равенства:

(8)

VjЬц — V%Ьг^, У mbгj — VгЬjm — У3Ьmi, '^,],г^ — 1,И.

Не ограничивая общности, введем в окрестности 0(х) точки х € Рп координаты кривизны (и1,... ,ип). В координатах (и1,... ,ип) основные квадратичные формы гиперповерхности Рп записываются так:

^ ^ Ягг^и1)2, II — ^ Ьгг^иг)2.

г=1

Тогда в 0(х) система (8) приводится к виду

г=1

9Ьц Ьц ддъ

ди1 дц ди1

3^гЬц,

^Ьц дд_

33

ди1 д^^ ди1

В 0(х) для главных кривизн кт имеем:

Ь

кт —--------— 0, т — 1,п.

9п

Учитывая (10), из (9) получим

д 1п \кг |

ди*

д1п \к, \

дч^

Следовательно,

Е

3 = 1

д1п % \

диг

— (п + 2)^г, г — 1,п.

Отсюда, учитывая, что гауссова кривизна К — к1... кп — 0, имеем

д 1п\К \

диг

(п + 2)^г, г — 1,п.

(9)

(10)

Таким образом, в окрестности 0(х) произвольной точки х € Рп 1-форма ^ записывается

в виде

" г І " дln\КІ г І ..

и = у uidu =------- > ———du =------------d ln \K\,

И п + 2^ диг п + 2 \ \’

г=1 г=1

и мы приходим к равенству (б). Лемма 1 доказана.

2. Доказательства теорем

Доказательство теоремы 1. Не ограничивая общности, введем в окрестности О(х) произвольной точки х € Рп координатную сеть линий кривизны (и1,... ,ип).

В силу леммы 1 в 0(х) имеем

V\nbij — ^т^ц + ^ibjm + Ьmi, Ъ,],1Ш — 1,'П', (11)

где 1-форма ^ — с$, функция / определена равенством (5).

Учитывая (5), запишем уравнения (11) в следующем виде:

V7 I. V т,К + bjmViK + bmiV j К , , --- ,10>

Vmbt] = —----------(n + 2)K---------- , г,3,т =І,П. (І2)

Из (12) следует, что на Fn выполняется тождество (2). Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 получим следующие утверждения.

Следствие 1. Поверхность F2 с Е3 с ненулевой гауссовой кривизной К = 0 имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму тогда и только тогда, когда F2 есть поверхность Дарбу в Е3 или ее часть.

Следствие 2. Гиперповерхность Fn с Еп+1 c циклически рекуррентной второй фундаментальной формой имеет постоянную положительную гауссову кривизну К = = const > 0 тогда и только тогда, когда Fn есть гиперсфера Sn с En+l или ее часть.

Следствие 3. Пусть гиперповерхность Fn с Еп+1 постоянной положительной гауссовой кривизны К = const > 0 принадлежит множеству V(n). Если Fn полна как риманово многообразие, тогда Fn есть гиперсфера Sn с En+l.

Доказательство теоремы 2. Пусть Рп принадлежит множеству £>(п). Тогда на Рп выполняются уравнения (3), где 1-форма ^ — df, функция f определена равенством (5). Не ограничивая общности, введем в окрестности 0(х) произвольной точки х € Рп координатную сеть линий кривизны (и1,... ,ип). Тогда в 0(х) из уравнений (3) придем к системе уравнений (9). Из (9) находим

д ln(\X\/\кг\п+2) диі

д ln(\X\3/\кг\п+2) диг

О,

І, п.

(ІЗ)

Следовательно, на Fn выполняются соотношения (4).

Докажем обратное утверждение. Пусть (и1,...,ип) — координаты кривизны в 0(х). Из уравнений (4) получим систему уравнений (13). Запишем (13) в следующем виде:

1 д Ы(\К |) д 1п(|^|) . 1 д Ы(\К |) 1 д 1п(|А^|)

п + 2 диі диі п + 2 диг 3 ди

Рассмотрим на Рп 1-форму ^. Пусть в 0(х) ^ ^Г=1 ^^и%, где компоненты ^ =

= ^г(и1,... ,ип) в окрестности 0(х) определены по формулам

№(«\...,«”) = 8 У|}, " = ТЯ (15)

п + 2 диг

Тогда из (14), используя (15), получим

д 1п(Щ) . д 1п(|^|)

о, ^ * = 3, —гг-— = 3^ і =1,п.

ди3 диг

Отсюда приходим к (9). Следовательно, на Рп выполняются уравнения (3), где ^ вычисляются по формулам (15).

Применение теоремы 1 завершает доказательство.

Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аминов, Ю. А. Условие голономности главных направлений подмногообразия / Ю. А. Аминов // Математические заметки. — 1987. — Т. 41, № 4. — С. 543-548.

2. Бодренко, И. И. О гиперповерхностях с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в евклидовом пространстве / И. И. Бодренко // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 2010. — № 13. — С. 23-35.

3. Фоменко, В. Т. Об одном обобщении поверхностей Дарбу / В. Т. Фоменко // Математические заметки. — 1990. — Т. 48, № 2. — С. 107-113.

REFERENCES

1. Aminov Yu.A. Uslovie golonomnosti glavnykh napravleniy podmnogoobraziya [Condition of holonomicity of characteristic directions of a submanifold]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes], 1987, vol. 41, no. 4, pp. 543-548.

2. Bodrenko I.I. O giperpoverkhnostyakh s tsiklicheski rekurrentnoy vtoroy fundamental’noy formoy v evklidovom prostranstve [On hypersurfaces with cyclic recurrent the second fundamental form in Euclidean space]. Vestnik VolGU. Ser. 1, Matematika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2010, no. 13, pp. 23-35.

3. Fomenko V.T. Ob odnom obobschenii poverkhnostey Darbu [A generalization of the Darboux surfaces]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes], 1990, vol. 48, no. 2, pp. 107-113.

ON ANALOG OF DARBOUX SURFACES IN MANY-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACES

Bod^nko Irina Ivanovna

Candidate of Physical and Mathematical Sciences,

Associate Professor, Department of Fundamental Informatics and Optimal Control

Volgograd State University

[email protected]

Prospekt Universitetskij, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. The Darboux tensor, symmetric covariant three-valent tensor 0, was determined on two-dimensional surfaces with nonzero Gaussian curvature K = 0 in Euclidean space E3. The term 0 = 0 is the characteristic condition of Daroux surfaces in E3.

The symmetric covariant three-valent tensor 0(n) is determined on hypersurfaces Fn (n > 2) with nonzero Gaussian curvature K = 0 in Euclidean space En+1. If n = 2 then tensor 0(ra) is coincided with the Darboux tensor 0: 0(2) = 0.

Let V(n) be a set of hypersurfaces Fn (n > 2) with nonzero Gaussian curvature K = 0 in Euclidean spaces En+1, on which the following condition holds 0(n) = 0. The set V(2) becomes exhausted by Daroux surfaces in E3. The properties of hypersurfaces Fn c En+1 from the set V(n) for n > 2 are studied in this article.

The necessary and sufficient conditions, for which hypersurface Fn with nonzero Gaussian curvature K = 0 in Euclidean space En+1 belongs to the set 'D(n) (n > 2), are derived. It was proved that hypersurface Fn c En+1 with nonzero Gaussian curvature K = 0 belongs to the set V(n) (n > 2) if and only if there exist coordinates of curvature (u1,... ,un), in neighborhood 0(x) c Fn of

every point x G Fn, such that the following conditions hold:

k = i’uWkr2, kn+2

K3 =------------------------- ------------------------ i = 1 n

^(1)(u1) . . .^(i-i)(ui-1)^(i+i) (ui+1) ...-$(n)(un), , ’

where k]_, ..., kn are the principal curvatures Fn, K = k1 k2.. .kn is Gaussian curvature of Fn, ^^(u1) = 0, i = l,n, are certain functions.

It was proved that every cyclic recurrent hypersurface Fn c En+1 with nonzero Gaussian curvature K = 0 belongs to the set V(n) (n > 2).

The characteristic property of hypersphere Sn c En+1 was derived. It was

proved that connected complete hypersurface Fn of constant positive Gaussian curvature K = const > 0 in Euclidean space En+1, belonging to the set V(n) (n > 2), is sphere Sn c En+1.

Key words: Darboux tensor, Darboux surface, Gaussian curvature, second fundamental form, hypersurface, many-dimensional Euclidean space.