CC BY
27
© Бодренко И.И., 2014
МАТЕМАТИКА
УДК 514.75 ББК 22.151
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ НА ЦИКЛИЧЕСКИ РЕКУРРЕНТНЫХ
ПОДМНОГООБРАЗИЯХ
Бодренко Ирина Ивановна
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры фундаментальной информатики и оптимального управления Волгоградского государственного университета bodrenko@mail.ru, fiou@volsu.ru
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. В работе исследуются свойства нормальных сечений и геодезических на п-мерных циклически рекуррентных подмногообразиях Рп в (п + р)-мерных евклидовых пространствах Еп+Р. Устанавливаются условия, при которых циклически рекуррентные подмногообразия Рп С Еп+Р имеют нулевое геодезическое кручение в каждой точке по любому направлению.
Ключевые слова: вторая фундаментальная форма, циклически рекуррентное подмногообразие, геодезическое кручение, нормальное сечение, нормальная кривизна, нормальное кручение, связность Ван дер Вардена — Бор-толотти.
Введение
Пусть Рп — и-мерное (п > 2) гладкое подмногообразие в (п + р)-мерном (р > 1) пространстве постоянной кривизны Мп+Р(с). В геометрии погруженных многообразий важное место занимают исследования, касающиеся подмногообразий Рп С Мп+Р(с) со специальными свойствами второй фундаментальной формы.
Обозначим через Ь вторую фундаментальную форму Рп, через V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.
Вторая фундаментальная форма Ь = 0 называется параллельной (в связности V), если Vb = 0. Подмногообразия с Vb = 0 называются параллельными. Параллельные подмногообразия Рп в пространствах постоянной кривизны Мп+Р(с) являются внешнегеометрическими аналогами локально симметрических пространств, то есть римановых
пространств с ковариантно постоянным тензором кривизны К. Критерий параллельности второй фундаментальной формы Ь установлен в [2].
Вторая фундаментальная форма Ь = 0 называется рекуррентной, если на Рп существует 1-форма ^ такая, что Vb = ^ ® Ь. Внутренняя геометрия подмногообразий с рекуррентной второй фундаментальной формой исследована в [1]. Полная локальная классификация и геометрическое описание подмногообразий c не параллельной рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной кривизны получены в [12]. Cвойства кэлеровых подмногообразий с рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной голоморфной секционной кривизны установлены в [5]. Некоторые свойства вещественных римановых симметрических пространств с комплексной структурой, то есть эрмитовых симметрических пространств, изучены в [22].
Вторая фундаментальная форма Ь = 0 называется циклически рекуррентной [4], если на Рп существует 1-форма ^ такая, что
Ух Ь(У, г) = р(х )Ь(¥, г) + ^(г )Ъ(г, х) + ^(г )Ъ(х, г) (1)
для любых векторных полей Х,У^, касательных к Рп.
Определение 1. Подмногообразие Рп С Мп+Р(с) с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой Ь = 0 будем называть циклически рекуррентным подмногообразием [10].
Класс циклически рекуррентных подмногообразий содержит подклассы параллельных подмногообразий и не параллельных рекуррентных подмногообразий, но не исчерпывается ими. Некоторые свойства гиперповерхностей Рп с циклически рекуррентной не параллельной второй фундаментальной формой в евклидовых пространствах Еп+1 установлены в [4; 8; 19]. Циклически рекуррентные подмногообразия Рп с плоской нормальной связностью в евклидовых пространствах Еп+Р классифицированы в [3; 7; 13].
В терминах второй фундаментальной формы Ь подмногообразия Рп С Мп+Р(с) определяются специальные классы нормальных векторных полей. В [17] введено понятие рекуррентного вектора нормальной кривизны и изучены свойства Рп С Еп+Р с параллельным нормальным векторным полем специального вида. В [15] получена классификация двумерных поверхностей Р2 с плоской нормальной связностью в пространствах постоянной кривизны, на которых каждая геодезическая имеет постоянную кривизну. В [11] описаны параллельные нормальные поля вдоль геодезических на циклически рекуррентных подмногообразиях Рп в пространствах постоянной кривизны Мп+Р(с).
С помощью второй фундаментальной формы Ь и связности V получены формулы для вычисления нормальной кривизны км(х,Ь) и нормального кручения (х,Ь) подмногообразия Рп С Еп+Р в точке х по направлению £, установлены необходимые и достаточные условия принадлежности Рп некоторым (п + 1)-мерным плоскостям Еп+1 С Еп+Р [18; 20; 21]. В работе [16] изучены свойства двумерных поверхностей с нулевым нормальным кручением в Е4. Эти исследования для Рп С Еп+Р были продолжены в [6; 9] для произвольных п и р. Некоторые свойства нормальных сечений циклически рекуррентных подмногообразий Рп С Еп+Р установлены в [10]. Свойства геодезических и нормальных сечений на вещественных флаговых многообразиях исследовались в [23].
В настоящей работе изучаются свойства нормальных сечений и геодезических на циклически рекуррентных подмногообразиях Рп С Еп+Р при произвольных п и р.
Пусть х — произвольная точка Рп, ТхРп — касательное пространство к Рп в точке х. Пусть 'Уд(х,Ь) — геодезическая на Рп, проходящая через точку х € Рп в направлении Ь € ТхРп. Обозначим через кд(х,Ь) и кд(х,Ь) кривизну и кручение геодезической 'Уд(х,Ь) С Еп+Р, соответственно, вычисленные в точке X.
Определение 2. Кручение кд(х,£) геодезической 'уд(х,Ь) называется геодезическим кручением подмногообразия Рп С Еп+Р в точке х по направлению Ь.
Обозначим через ^.0 (см.: [14]) множество подмногообразий Рп С Еп+Р, на которых
кд(х,1) = 0, кд(х,{) = 0, Ух € Рп, У € ТХРП. (2)
Пусть ТХРП — нормальное пространство к Рп в точке х. Рассмотрим в точке х € Рп для любого ненулевого вектора Ь € ТХРП (р + 1)-мерную плоскость
Ер+1(х,г,Т^Рп) С Еп+Р.
Плоскость Ер+1(х,1,ТхРп) пересекает Рп в окрестности точки х по некоторой кривой (х,ь).
Определение 3. Кривая 'ум(х,Ь), ее кривизна км(х,Ь) и кручение км(х,£) в Еп+Р, вычисленные в точке х, называются, соответственно, нормальным cечением, нормальной кривизной и нормальным кручением подмногообразия Рп С Еп+Р в точке х по направлению Ь.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть Рп есть циклически рекуррентное подмногообразие в Еп+Р без асимптотических направлений. Рп принадлежит множеству 'Я0 тогда и только тогда, когда выполняется условие:
км(х,Ь) = к(х), Ух € Рп, У € ТхРа. (3)
Теорема 2. Пусть Рп есть циклически рекуррентное подмногообразие в Еп+2 без асимптотических направлений. Если Рп удовлетворяет условию (3), то Рп имеет плоскую нормальную связность К± = 0.
Замечание. Поверхность Р2 С Е4, у которой индикатриса нормальной кривизны в каждой точке х является окружностью с центром в х, удовлетворяет условию (3) и при этом не принадлежит множеству ^0, и К± = 0.
Теорема 3. Пусть Рп есть связное циклически рекуррентное подмногообразие
в Еп+2 без асимптотических направлений. Если Рп удовлетворяет условию (3), то Рп является открытой частью гиперсферы Зп в некоторой гиперплоскости Еп+1 С Еп+2.
Теорема 4. Пусть Рп есть связное циклически рекуррентное подмногообразие в Еп+р (р > з) без асимптотических направлений. Если Рп удовлетворяет условию (3) и имеет п линейно независимых сопряженных направлений в каждой точке х € € Рп, то Рп является открытой частью гиперсферы Зп в некотором (п +1)-мерном подпространстве Еп+1 С Еп+Р.
1. Уравнения циклически рекуррентных подмногообразий в евклидовом пространстве
Пусть Еп+Р — (п + р)-мерное евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами (х1 ,х2,... ,хп+р), <,> — скалярное произведение в Еп+Р. Пусть Рп — гладкое подмногообразие в Еп+Р. В окрестности каждой точки х € Рп подмногообразие Рп можно задать уравнениями
ха = ^а(и1 ,...,ип), (и1,...,ип) € И, а =1,п + р,
где И — некоторая область параметрического пространства (и1,... ,ип),
/а(и1,...,ип) € С™(Б).
Пусть
г(и\...,ип) = {/ 1(и1,...,ип),/ 2(и1,...,ип),...,Р+р(и1,...,ип)} —
векторное параметрическое уравнение подмногообразия Рп в окрестности точки х € Рп.
Условимся, что здесь и далее индексы будут принимать следующие значения: г, j, к, I, т, . . . = 1,... ,п, а, /3, а, . . . = 1,... ,р, и всюду действует правило суммирования Эйнштейна.
Рассмотрим нормальное оснащение подмногообразия Рп, заданное полем ортонор-мированных реперов {па\} в нормальном расслоении Т±Рп подмногообразия Рп С
С еп+р, < па\,п^\ >= 8ар, где 8ар — символ Кронекера.
Обозначим
^ дг(и1,... ,ип) _ д 2г(и1,... ,ип) _ дпа(и1 ,...,ип)
г диг , дигдиз , а1г диг
Векторы {гг(х)} образуют базис касательного пространства ТхРп подмногообразия Рп в точке х.
Метрическая форма подмногообразия Рп имеет вид:
ds2 = с1игс1и:’,
где дгу =< Г.\, Гу >.
Обозначим через
II (па\) = Ьа\ц ЖхЧи3
вторую квадратичную форму подмногообразия Рп С Еп+Р относительно нормали па\, где Ьа\ц < ^a\, >.
В каждой точке х € Ра оператор Вейнгартена Аа : ТхРа —> ТхРа относительно нормали па\(х) определяется по формуле
< Аап(х),Гэ(х) >=< па\(х),Гц(х) > .
Коэффициенты =< па\,п^\г > называются компонентами нормальной связности И подмногообразия Ра С Еп+Р.
Ковариантная производная вектора па\ в нормальной связности И вычисляется по формуле
ад«\ = Г^ где г^ матрица ^11 = ^11-1.
Линейные формы
называются линейными формами кручения подмногообразия Рп С Еп+Р.
Компоненты тензора нормальной кривизны Ка вычисляются по формуле
^Га« ^ га«
раа Р\з | -паатл аа -паатл аа (л \
= ~дъ? ЪъТ + Г ^1<тЬ - Г ^Г . (4)
Ковариантная производная второй фундаментальной формы Ь в связности Ван дер Вардена — Бортолотти V вычисляется по формуле
^ = -д§ - Г,щ - г*ь% + Г%ь%, (5)
где Г1- — символы Кристоффеля, вычисленные относительно метрического тензора д^,
Ъ% = Ьаа Ъа\гз.
Уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи, соответственно, имеют вид:
А (дГ^ д ГР \
Е ь%К, - ЩкЩ, = дт,.( ^ + Г,ГЕ - ^Г™ , (6)
гг—1 ' '
V^щk = V) Щ,, (7)
Яай = яа (ЬтЩ - Ъ„кЬа . (8)
Условие (1) имеет вид
№^ujk + иЫ + И1 к иЦ^
Viьajk = ^Щк + V] ьаы + Vк Щк, (9)
где ^ = ^г(и1, . . . ,иП) — компоненты 1-формы ^ = ^йиг.
Система уравнений (6)-(9) определяет циклически рекуррентные подмногообразия рп рп+р и только их.
2. Основные леммы
Лемма 1. Кривизна кд(х,Ь) и кручение кд(х,Ь) геодезической %(х,Ь) вычисляются по формулам:
кд (х,г) = \Ь(т,т )|, (10)
( Л (![г Л АЬ(т,т)Т]|2 + 1[Ь(т,т) Л (утЪ)(т,т^у/2 (11)
к“{ХЛ)= Мт.т)? +-- ■ (11)
где т = Ь/Щ, Щ = /< Ь, Ь >, Л — внешнее произведение в Еп+Р. Формула (11) имеет смысл, когда Ь — неасимптотическое направление.
Доказательство. Формулы (10), (11) следуют из определения кд(х,Ь), пя(х,Ь). Доказательство (10), (11) содержится в [10] (см.: [10, гл. 8, лемма 8.1]).
Лемма 2. Пусть Рп есть циклически рекуррентное подмногообразие в Еп+Р без асимптотических направлений. Тогда геодезическое кручение Рп в точке х по направлению Ь вычисляется по формуле:
| [т Л АЬ(Т}Т) т] | |b(т, т^
к,(х,1)= 11 ^ Ь{т[т> Л , (12)
где т = Ь/Щ, Щ = /< Ь, Ь >, Л — внешнее произведение в Еп+Р.
Доказательство. В силу (9) имеем
^^(1,1) = з^(г)Ь(г,г), Ух € Рп, Уг € тхрп.
Отсюда находим
[Ъ(г,г) л ^ьь)(1)1)] = [Ъ(1)1) л з^(г)Ь(г,г)] = 0, Ух € Рп, Уг € тхрп. (13)
Тогда из (11), учитывая (13), приходим к (12).
Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть Рп есть циклически рекуррентное подмногообразие в Еп+Р без асимптотических направлений. Рп принадлежит множеству 'Я0 тогда и только тогда, когда в каждой точке х € Рп для всех взаимно ортогональных векторов Х,У € ТхРп выполнено уравнение:
<Ь(Х,Х),Ь(Х,У) >=0. (14)
Доказательство. В силу (12) Рп принадлежит множеству 'Я,0 тогда и только тогда,
когда выполнено уравнение
^ Л Ат)1] = 0, Ух € Рп, Уг € ТхРп. (15)
Так как равенство \Ъ Л Аъ^,^} = 0 означает, что векторы Ь и Аъ^Ъ коллинеарны, то (15)
равносильно условию (14).
Лемма доказана.
3. Доказательства теорем
Доказательство теоремы 1. В силу леммы 1 условие (2) эквивалентно следующим соотношениям:
Ъ(г,г) = 0, [г л Аь^] = 0, [Ъ(г,г) л ^^(1,1)] = 0, Ух € Рп, Уг € тхрп. (16)
Нормальная кривизна (х,Ь) подмногообразия Рп С Еп+Р в точке х по направлению Ь вычисляется по формуле
км (х,£) = \Ь(т,т )|,
где т = г/Щ, Щ = у/< г,г >.
Следовательно, условие (3) равносильно соотношению
\ъ(г,г)\ = к(х)Щ2, Ух е рп, уг е тхкп. (17)
Замечая, что (17) эквивалентно условию (14), учитывая (16) и применяя леммы 2,
3, приходим к утверждению теоремы.
Доказательство теоремы 2. Пусть х е Рп — произвольная точка. Введем в некоторой окрестности 0(х) геодезические нормальные координаты (и1,...,ип) такие, что
_ Г 1, Ш = 1,
91т = \ 0, т = 2,п. (18)
Пусть п1\, п2\ — оснащение в нормальном расслоении Т2Рп подмногообразия Рп С С Еп+2. Рассмотрим в 0(х) векторные поля
ЬИ = Щ Па\, Ъ,3 = 1,п.
Так как Рп не имеет асимптотических направлений, то Ь11 = 0 в точке х. Тогда в некоторой окрестности и(х) С 0(х) векторное поле Ь11 = 0.
Используя равенство (17), построим в и(х) оснащение п*\, п2*, положив
—* н<
пЛ
Ьц
11 к(и1 ,...,ип)
Положим
'Ы = иЦ иа\
Учитывая (18), находим, что в и(х)
ЬИ = Ь^Тп*,, г,з = 1,п.
< Ьц,п2*1 >= 0, г = 1,п.
Отсюда, в силу (9), имеем
< (^гЬ*^х)п*1 ,п* >=0, г = 1, п. (19)
Обозначим
Ггк I - ~* Н< ~* Н< ' 1
121г =<П1\,П^[г >, г =1,П.
Используя (5), из (19) находим:
1|
Г1122(и1,... ,ип) = 0, г = 1,п.
Значит, в силу формулы (4) имеем: Я2 = 0 в и(х). Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Из теоремы 1 следует, что Рп принадлежит множеству П0. Тогда Рп является открытой частью гиперсферы Бп в некоторой гиперплоскости Еп+1 С Еп+2 (см.: [14, § 5, теорема 9]).
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 4. В силу теоремы 1 подмногообразие Рп принадлежит множеству П0. Тогда Еп является открытой частью гиперсферы Бп в некотором (п +1)-мерном подпространстве Еп+1 С Еп+Р (см.: [14, § 5, теорема 11]).
Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бодренко, И. И. Внутренняя геометрия внешне рекуррентных подмногообразий / И. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т. 11, № 2. — C. 301.
2. Бодренко, И. И. Критерий параллельности второй фундаментальной формы / И. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 1999. — Т. 6, № 1. — C. 124-125.
3. Бодренко, И. И. Нормально плоские псевдорекуррентные подмногообразия в евклидовых пространствах / И. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 20О1. — Т. 8, № 2. — C. 540-541.
4. Бодренко, И. И. О гиперповерхностях с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в евклидовом пространстве / И. И. Бодренко // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2010. — Вып. 13. — C. 23-35.
5. Бодренко, И. И. О кэлеровых подмногообразиях с рекуррентной второй фундаментальной формой / И. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. — Т. 13, № 4. — C. 617-618.
6. Бодренко, И. И. О подмногообразиях с нулевым нормальным кручением в евклидовом пространстве / И. И. Бодренко // Сибирский математический журнал. — 1994. — Т. 35, № 3. — C. 527-536.
7. Бодренко, И. И. О подмногообразиях с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в евклидовых пространствах / И. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2011. — Т. 18, № 5. — C. 746.
8. Бодренко, И. И. Об одном классе псевдорекуррентных подмногообразий / И. И. Бод-ренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001. — Т. 8, № 1. — C. 109.
9. Бодренко, И. И. Об n-мерных поверхностях в евклидовом пространстве Еп+Р, принадлежащих некоторой (п + 1)-мерной плоскости / И. И. Бодренко // Математические заметки. — 1993. — Т. 54, № 4. — C. 19-23.
10. Бодренко, И. И. Обобщенные поверхности Дарбу в пространствах постоянной
кривизны / И. И. Бодренко. — Saarbrucken, Germany : LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co, 2013. — 200 c.
11. Бодренко, И. И. Параллельные поля нормальных ^-направлений на псевдорекур-рентных подмногообразиях / И. И. Бодренко // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2002. — Вып. 7. — C. 5-11.
12. Бодренко, И. И. Подмногообразия с рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной кривизны / И. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. — Т. 14, № 4. — C. 679-682.
13. Бодренко, И. И. Строение псевдорекуррентных подмногообразий в евклидовых
пространствах / И. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2000. — Т. 7, № 2. — C. 318-319.
14. Бодренко, И. И. Характеристический признак n-мерной сферы в евклидовом
пространстве Еп+Р / И. И. Бодренко // Математический сборник. — 1994. — Т. 185,
№ 11. — C. 23-30.
15. Фоменко, В. Т. Двумерные поверхности с плоской нормальной связностью
в пространстве постоянной кривизны, несущие геодезические постоянной кривизны
/ В. Т. Фоменко // Математические заметки. — 2000. — Т. 64, № 4. — C. 579-586.
16. Фоменко, В. Т. Некоторые свойства двумерных поверхностей с нулевым нормальным кручением в Е4 / В. Т. Фоменко // Математический сборник. — 1978. — Т. 106 (148), № 4 (8). — C. 589-603.
17. Фоменко, В. Т. Об одном обобщении поверхностей Дарбу / В. Т. Фоменко // Математические заметки. — 1990. — Т. 48, № 2. — C. 107-113.
18. Bodrenko, I. I. A characteristic feature of the n-dimensional sphere in the Euclidean space En+P / I. I. Bodrenko // Sbornik Mathematics. — 1995. — Vol. 83, № 2. — P. 315-320.
19. Bodrenko, I. I. On generalized Darboux surfaces in Euclidean spaces / I. I. Bodrenko // Действия торов: топология, геометрия, теория чисел. — Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2013. — C. 14-15.
20. Bodrenko, I. I. On n-dimensional surfaces in Euclidean space En+P that belong to (n + 1)-dimensional plane / I. I. Bodrenko // Mathematical Notes. — 1994. — Vol. 54, № 4. — P. 992-994.
21. Bodrenko, I. I. On submanifolds with zero normal torsion in Euclidean space
/ I. I. Bodrenko // Siberian Mathematical Journal. — 1994. — Vol. 35, № 3. — P. 470-478.
22. Sanchez, C. U. The holomorphic 2-number of a Hermitian symmetric space
/ C. U. Sanchez // Geometriae Dedicata. — 1998. — Issue 1. — Vol. 72. — P. 69-81.
23. Sanchez, C. U. Geodesics and normal sections on real flag manifolds / C. U. Sanchez, A. M. Giunta, J. E. Tala // Revista de la Union Mathematica Argentina. — 2007. — Vol. 48, № 1. — P. 17-25.
REFERENCES
1. Bodrenko I.I. Vnutrennyaya gеomеtriya vnеshnе rekurrentnykh podmnogoobraziy
[Internal geometry of externally recurrent submanifolds]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2004, vol. 11, no. 2, pp. 301.
2. Bodrenko I.I. Kr^ny para^^os^ vtoroy fundamеntalnoy formy [The criterion of parallism of the second fundamental form]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 1999, vol. 6, no. 1, pp. 124-125.
3. Bodrenko I.I. Normalno plos^ psеvdorеkurrеntnyе podmnogoobraziya v еvklidovykh prostranstvakh [Normally flat pseudo-recurrent submatifolds in Euclidean spaces]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2001, vol. 8, no. 2, pp. 540-541.
4. Bodrenko I.I. O gipеrpovеrkhnostyakh s tsiklichеski rekurrentnoy vtoroy
fundamеntalnoy formoy v еvklidovom prostrans^ [On hypersurfaces with cyclic recurrent
second fundamental form in Euclidean space]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo
universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2010, issue 13, pp. 23-35.
5. Bodrenko I.I. O keterovykh podmnogoobraziyakh s rekurrentnoy vtoroy fundamеntalnoy formoy [On Kaehler submanifolds with recurrent the second fundamental form]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2006, vol. 13, no. 4, pp. 617-618.
6. Bodrenko I.I. O podmnogoobraziyakh s nukvym normalnym kruchеniеm v еvklidovom pros^ans^ [On submanifolds with zero normal torsion in Euclidean space]. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal [Siberian Mathematical Journal], 1994, vol. 35, no. 3, pp. 527-536.
7. Bodrenko I.I. O podmnogoobraziyakh s tsiklichеski rekurrentnoy vtoroy fundamеn-talnoy formoy v еvklidovykh prostranstvakh [On submanifolds with cyclic recurrent the second fundamental form in Euclidean spaces]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2011, vol. 18, no. 5, pp. 746.
8. Bodrenko I.I. Ob odnom klassе psеvdorеkurrеntnykh podmnogoobraziy [On pseudorecurrent submatifolds]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2001, vol. 8, no. 1, pp. 109.
9. Bodrenko I.I. Ob n-mernykh poverkhnostyakh v evklidovom prostranstve En+P, pri-nadlezhaschikh nekotoroy (n + 1)-mernoy ploskosti [On n-dimensional surfaces in Euclidean space En+P that belong to (n + 1)-dimensional plane]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes], 1993, vol. 54, no. 4, pp. 19-23.
10. Bodrenko I.I. Obobschennye poverkhnosti Darbu v prostranstvakh postoyannoy krivizny [Generalized Darboux surfaces in spaces of constant curvature]. Saarbrucken, Germany, LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co Publ., 2013. 200 p.
11. Bodrenko I.I. Parallelnye polya normalnykh g-napravleniy na psevdorekurrentnykh podmnogoobraziyakh [Parallel fields of normal ^-directions on pseudo-recurrent submatifolds]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2002, issue 7, pp. 5-11.
12. Bodrenko I.I. Podmnogoobraziya s rekurrentnoy vtoroy fundamentalnoy formoy v prostranstvakh postoyannoy krivizny [Submanifolds with recurrent the second fundamental form in spaces of constant curvature]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2007, vol. 14, no. 4, pp. 679-682.
13. Bodrenko I.I. Stroenie psevdorekurrentnykh podmnogoobraziy v evklidovykh prostranstvakh [Structure of pseudo-recurrent submatifolds in Euclidean spaces]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2000, vol. 7, no. 2, pp. 318-319.
14. Bodrenko I.I. Kharakteristicheskiy priznak n-mernoy sfery v evklidovom prostranstve En+P [A characteristic feature of the n-dimensional sphere in the Euclidean space En+P]. Matematicheskiy sbornik [Sbornik Mathematics], 1994, vol. 185, no. 11, pp. 23-30.
15. Fomenko V.T. Dvumernye poverkhnosti s ploskoy normalnoy svyaznostyu v prostranstve postoyannoy krivizny, nesuschie geodezicheskie postoyannoy krivizny [Twodimensional surfaces with flat normal connections in spaces of constant curvature carrying geodesics of constant curvature]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes], 2000, vol. 64, no. 4, pp. 579-586.
16. Fomenko V.T. Nekotorye svoystva dvumernykh poverkhnostey s nulevym normalnym krucheniem v E4 [Some properties of two-dimensional surfaces with zero normal torsion in E4]. Matematicheskiy sbornik [Sbornik Mathematics], 1978, vol. 106 (148), no. 4 (8), pp. 589-603.
17. Fomenko V.T. Ob odnom obobschenii poverkhnostey Darbu [A generalization of the Darboux surfaces]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes], 1990, vol. 48, no. 2, pp. 107-113.
18. Bodrenko I.I. A characteristic feature of the n-dimensional sphere in the Euclidean space En+P. Sbornik Mathematics, 1995, vol. 83, no. 2, pp. 315-320.
19. Bodrenko I.I. On generalized Darboux surfaces in Euclidean spaces. Deystviya torov: topologiya, geometriya, teoriya chisel [Torus Actions: Topology, Geometry and Number Theory]. Khabarovsk, Pacific National University Publ., 2013, pp. 14-15.
20. Bodrenko I.I. On n-dimensional surfaces in Euclidean space En+P that belong to (n + + 1)-dimensional plane. Mathematical Notes, 1994, vol. 54, no. 4, pp. 992-994.
21. Bodrenko I.I. On submanifolds with zero normal torsion in Euclidean space. Siberian Mathematical Journal, 1994, vol. 35, no. 3, pp. 470-478.
22. Sanchez C.U. The holomorphic 2-number of a Hermitian symmetric space. Geometriae Dedicata, 1998, issue 1, vol. 72, pp. 69-81.
23. Sanchez C.U., Giunta A.M., Tala J.E. Geodesics and normal sections on real flag manifolds. Revista de la Union Mathematica Argentina, 2007, vol. 48, no. 1, pp. 17-25.
SOME PROPERTIES OF NORMAL SECTIONS AND GEODESICS ON CYCLIC RECURRENT SUBMANIFOLDS
Bodrenko Irina Ivanovna
Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor, Department of Fundamental Informatics and Optimal Control Volgograd State University bodrenko@mail.ru, fiou@volsu.ru
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. Let Fn be n-dimensional (n > 2) submanifold in (n + p)-dimensional Euclidean space En+P (p > 1). Let x be arbitrary point Fn, TxFn be tangent space to Fn at the point x. Let 7a(x,t) be a geodesic on Fn passing through the point x E Fn in the direction t E TxFn. Denote by kg(x,t) and Kg(x,t) curvature and torsion of geodesic 7g(x,t) C En+P, respectively, calculated for point x.
Torsion Kg(x,t) of geodesic %(x,t) is called geodesic torsion of submanifold Fn C En+P at the point x in the direction t.
Let 'Jn (x,t) be a normal section of submanifold Fn C En+P at the point x E Fn in the direction t E TxFn. Denote by kN(x,t) and kn(x,t) curvature and torsion of normal section ■jn(x,t) C En+P, respectively, calculated for point x.
Denote by b the second fundamental form of Fn, by V the connection of van der Waerden — Bortolotti.
The fundamental form b = 0 is called cyclic recurrent if on Fn there exists 1-form ^ such that
Vxb(Y, Z) = p(X)b(Y, Z) + v(Y)b(Z, X) + p(Z)b(X, Y)
for all vector fields X,Y,Z tangent to Fn.
Submanifold Fn c En+P with cyclic recurrent the second fundamental form b = 0 is called cyclic recurrent submanifold.
The properties of normal sections ■jn(x,t) and geodesics %(x,t)
on cyclic recurrent submanifolds Fn c En+P are studied in this article. The conditions for which cyclic recurrent submanifolds Fn c En+P have zero geodesic torsion Kg(x,t) = 0 at every point x E Fn in every direction t E TxFn are derived in this article.
Denote by a set of submanifolds Fn c En+P, on which
kg(x,t) = 0, Kg(x,t) = 0, ^x E Fn, yt E TxFn.
The following theorem is proved in this article.
Let Fn be a cyclic recurrent submanifold in En+P with no asymptotic directions. Then Fn belongs to the set if and only if the following condition holds:
kN(x,t) = k(x), yx E Fn, yt E TxFn.
Key words: the second fundamental form, cyclic recurrent submanifold, geodesic torsion, normal section, normal curvature, normal torsion, connection of van der Waerden — Bortolotti.
