CC BY
43
МАТЕМАТИКА
УДК 514
О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ВНЕШНЕ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
И. И. Бодренко
В статье изучаются внутреннегеометрические свойства внешне рекуррентных римановых подмногообразий Рп в пространствах постоянной кривизны Мп+Р(с).
Введение
Пусть Мп^р — (п + р)-мерное гладкое риманово многообразие, д — риманова метрика на Мп+Р, V — ковариантное дифференцирование в Мп+Р, F" — п-мерное гладкое подмногообразие в Мп+Р, д — индуцированная риманова метрика на Рп, ТРп и Т^Рп — касательное и нормальное расслоения на Рп соответственно, V — риманова связность на Fn, определенная д, Л и Й1 - тензоры кривизны Римана и Риччи связности V соответственно, Ь — вторая фундаментальная форма Рп, О — нормальная связность, Я1- — тензор нормальной кривизны, V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.
Определение 1. Подмногообразие Рп в Мп+Р называется внешне рекуррентным, если для некоторой I-формы р, на Рп выполняется условие
(у*&)(у, г) = 1Л{Х)Ь(¥, г) чх, у, г е тр\ (1.1)
Определение 2. Подмногообразие Рп в Мп+Р называется внутренне рекуррентным, если для некоторой 1-формы и на Fn выполняется условие
Уп Е(х, у, г, V) = и(\У)Я{х, у, V') ух, у, г, у, и/ е тр,г. (1.2)
Пусть Еп+Р — (п + р)-мерное евклидово пространство.
Теорема 1. Пусть Рп — внешне рекуррентное подмногообразие в Еп+Р. Тогда F^г является внутренне рекуррентным.
Определение 3. Подмногообразие Fn в Мп+Р называется внутренне обобщенно рекуррентным, если для некоторых 1-форм U), Q на F” выполняется условие
VWR{X, Y, Z, V) = u{W)R{X, Y, Z, V) +
+ e(WMX,V)g(Y,Z)-g(X,Z)g(Y,V)) VX,Y,Z,V,W €TF". (1.3)
Пусть Mn+P(c) — риманово пространство постоянной кривизны с.
Теорема 2. Пусть Fn — внешне рекуррентное подмногообразие в Мп+Р(с). Тогда Fn является внутренне обобщенно рекуррентным.
Определение 4. Подмногообразие Fn в Мп+Р называется локально симметрическим, если V# = 0 на Fn.
Определение 5. Точка х € Fn называется аксиальной, если все нормальные составляющие векторных полей VxY для любых X,Y ETFn коллинеарны в х, но не все равны нулю.
Теорема 3. Пусть Fn — внешне рекуррентное подмногообразие в Мп+Р{с). Тогда, если Fn не содержит аксиальных точек, то Fn является локально симметрическим.
Теорема 4. Пусть F2 — внешне рекуррентное подмногообразие в М2+Р(с). Тогда, если F2 не содержит аксиальных точек, то F2 имеет постоянную гауссову кривизну К = const.
Теорема 5. Пусть F3 — внешне рекуррентное подмногообразие в М3+Р(с). Тогда, если F3 не содержит аксиальных точек, то F3 имеет постоянную скалярную кривизну s — const.
Теорема 6. Пусть F2 — внешне рекуррентное подмногообразие постоянной гауссовой кривизны К = const в М2+Р(с). Тогда, если V6 ф 0, то К = с.
Теорема 7. Пусть F3 — внешне рекуррентное подмногообразие постоянной скалярной кривизны s — const в М3+Р(с). Тогда, если Vb ф 0, то s = 6с.
1. Свойства тензора кривизны Римана
Формулы Гаусса и Вейнгартена, соответственно, имеют вид [1]:
VxY = VxY + b(X,Y), VxZ=-AsX + DxS, \/X,Y е TFn, € T1Fn. Оператор Вейнгартена A%, соответствующий £, удовлетворяет соотношению
g{b{X,Y),i) = д(А^Х,¥)-
Ковариантная производная V6 определяется равенством [2]
(Vxb)(Y, Z) = Dx(b(Y, Z)) - b(VxY, Z) - b(Y, VXZ).
Уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи в случае, когда F" является подмногообразием в Мп+Р(с), имеют, соответственно, следующий вид [2]:
д{Я(Х1 У)г, \¥) = с(д(Х, Иг)д(У, Z) - д(Х, г)д(У, 1У))+
+д{Ь{Х,Ю,Ь(У,г))-д{Ъ(Х,г),Ь(У,Ш)), (2.1)
(чхь)(у,г) = (ЪуЪ)(х,г), (2.2)
д(&{Х,У)£л) =0([^,А,]Х,У) (2.3)
для любых X, У, 2?, И7 6 Г.Рг и £, г/ е Т±Рп.
Пусть индексы в статье принимают следующие значения: 1^,к,1,тп = 1,..., п, а,(3,7 = 1,... ,р, и действует правило суммирования Эйнштейна.
Пусть х — произвольная точка Рп, ТхРп и ТхРп — касательное и нормальное пространства Рп в точке х соответственно, II(х) — некоторая окрестность точки х, (ь},...,ип) — локальные координаты на Рп в II (х), {д/ди1} — локальный базис в ТРп, {па|} — поле базисов нормальных векторов в Т^Рп в и(х). Базис {па|} всегда можно выбрать ортонормированным и считать, что д(па|, пр\) = <5а/з, где — символ Кронекера. Введем следующие обозначения:
( д д \ ( д д \ . а „ /_ <9 <9 \
^ = % = Чл?-^= ч"“1, Г«'‘ = ЧЧ&Ы'дф)'
с)Ь‘^ / ~ \
Г‘ = 9*”ТЧ,,„, -Г"6”,-Г56“т,
^1? = ^,,, ^ + г,!,”(£).
где ||#Лт|| и ||(5а/3|| — матрицы, обратные к \\дьт\\ и Н^а/зЦ соответственно.
Лемма 1. На Рп в Мп+Р(с) имеет место формула
Уи/Я(х, У, ^ У) = И(^)(*, У), Ъ(У, г)) + д(Ь(Х, У): (УмЬ){У, г)) -
- д((ЧшЬ)(Х, г),Ъ(У, У)) - д(Ь(Х, 2), (VЖ6)(У, ]/)) УХ, У, 2, У, 1У е ТТп. (2.4) Доказательство. Уравнение Гаусса (2.1) в локальных координатах имеет вид:
р
= с(дг1д^ - д:кдм) + ^(Щк ~ ЬЩ)-
а~ 1
Отсюда получим:
V
Vmд^^.w = + Ь^‘Ь% - - Ь^тЩ,)- (2.5)
а—1
Используя равенство = — Г^, находим:
V V р
\ ' о 181.Г* \ л р-ЬЗ ]Рка \ ' -р±а 1.а1.0
2_^ 1 р\т°й°3к / ; 1 а\тп И 1 к ~~ У , 1 0\гпиИи]к'
а=1 (3=1 а=1
Отсюда,
£ т^Хщк+Е = о.
а=1 а=1
Следовательно,
£(ь“1уть2+ьзутб^) = E<^'7".^>3+^ЗVmь“()+Eг^m6^+Eг^"636«t =
а=1 а= 1 а=1 а=1
= Е +г^,^)+Е ьз(утб“к+г^«^) = е +Е %*■»%■
а=1 а=1 а=1 а=1
Таким образом, верно равенство
Х>3.у-6* + = Е(%^„65 + №,!£). (2.6)
а=1 а=1
Учитывая (2.6), преобразуем (2.5) к виду:
vmдi,,ы = Е^^З + - б^у„ба - щутб51).
а=1
Отсюда следует формула (2.4).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Всякое двумерное подмногообразие F2 С М2+р с ненулевой гауссовой кривизной К ф О является внутренне рекуррентным.
Доказательство. Пусть х — произвольная точка ^2, (и1, и2) — локальные координаты на F2 в некоторой окрестности 1Т(х). Тензор кривизны Я в двумерном случае определяется одной существенной компонентой, например, Яп,21- Гауссова кривизна
А' -= Я\2.-2\/С, где С = дид-22 - <?12- Для Я\2.2\ находим:
г> ____ дЯ\2;2\ рД; гу -р/с гу р/с р тл/г г> ___
V т-К\2рЛ — “ ---1 т1Пк2.2\ — 1 т2Л1к,21 ~ I т2П12М ~ 1 т1Л12,2к ~
##12,21 0/р1 р2 чп _ ^12,21 <91пС
( ^1+ т2/ 12,21 ^
12,21 -
Отсюда,
(2-7>
Так как каждая ненулевая компонента Ф 0 равна или Яхг.гъ или —^12,21, то из (2.7), используя свойства операции ковариантного дифференцирования V, получим:
V В ,2 81
V тПЦМ — о —ЩоМ-
04"'
Для нулевых компонент тензора Я уравнение (2.8) выполняется тождественно. Рассмотрим на F2 1-форму
и = сИп \К\ (2.9)
В II (х) и> имеет следующие локальные компоненты:
/ д \ _ д\п\К\
Шт ~ Ш ) ~ дит
Следовательно, (2.8) можно записать в виде
^mRijlkl ~ ^т^г],к1'
Отсюда следует, что на F2 выполняется условие (1.2) для 1-формы и, заданной равенством (2.9).
Лемма 2 доказана.
Теорема 8. Если Рп — внешне рекуррентное подмногообразие в Мп+Р(с), то для некоторой 1-формы /л на Fn выполняется условие
\7wRiX, У, г, V) = 2ц(\¥)Я(Х, У, V) -
- 2ср(Ш)(д(Х, У)д(¥, г) - д(Х, г)д(¥, V)) УХ, У, ТРп. (2.10)
Доказательство. Из (2.4) в силу (1.1) получим, что для некоторой 1-формы р на Я71 имеет место равенство:
У, г, V) = 2р(]У)(д(Ь(Х, П Ъ(¥, 2)) - д(Ь(Х, г), Ь(У, У)))
для любых X, У, V, IV € ТРп. Отсюда, используя (2.1), получим (2.10).
Теорема 8 доказана.
Лемма 3. Пусть F3 — внешне рекуррентное подмногообразие в М3+Р(с). Тогда для некоторой 1-формы р на F3 выполняется условие
(м(И0(6с - а) + (д{Х, 109(У, 2) - д(Х, 2)д(У, V)) = 0
VХ,У,г,У,\У еТГ3, (2.11)
где 5 — скалярная кривизна F3.
Доказательство. Из теоремы 8 следует, что для некоторой 1-формы р на Fn выполняется условие (2.10), которое в локальных координатах имеет следующий вид:
У'mRij,kl ‘2‘PlmRij,kl 2с//т((7^<^д. 9гкд]1)- ^ 2.12)
Отсюда,
= — 2 cpm(Sigj|^: — gikSj).
Произведем свертку в последней формуле. Мы имеем:
= ~~ 2с(п — 1 )pmgjk■
Так как тензор Риччи имеет компоненты = Яг^к, то из последнего равенства при п = 3 получим:
У тЯзк З^тЯзк 4с/-£т^£. (2.13)
С другой стороны, в трехмерном случае компоненты тензора Римана Я выражаются
через компоненты тензора Риччи Яг по формуле
£
Яц,к1 Я0к9и "Ь Яцд^к Rik9jl ЯзШ “Ь ^ [д1к9ц gil9jk) ■
Отсюда, учитывая (2.13), находим:
^тЯг},к1 9И^Ц'тЯ]к ^СР"т9]к) ^ 9]к {'^ЦтЯ-и 4с/1т(у^)
1 (9в
9jl^‘^-^"rnRik 4с^тп9гк) 9гк{‘^рт^1 4с//т^() + — ^ т {.9гк9]1 9il9jk) =
2Рт{Я]к9И Ягт Ягк9у1 Яц9гк) “Ь 1 дв
~\- 0С1л,т{д1к9^ 9и9зк) "Ь 2с)цт 9гl9jk)
= 2Цт {^^ij,kl ~~ 9гк9]1 — 9и9]к~Ь ^8с/Лт + — ^ {Эгк9з1 ~~ 9и9]кУ) =
2РтИц,к1 “Ь ^8СЦт 3/1т ~\г 2 (^цтп ^ (9гк9]1 9il9jk)■
Таким образом,
/ 1 дв \
УmRij,kl ~ ^РтЩ,к1 (8Срт ) \9il9jk 9гк9]1}-
Вычитая из (2.12) последнее равенство, приходим к утверждению леммы.
2. Достаточные условия параллельности второй фундаментальной формы
Определение 6. Вторая фундаментальная форма Ь называется параллельной, если
(VХЬ)(У, 2) = О УХ, У, £ е ТР1. (3.1)
Теорема 9. Пусть Fгг — внешне рекуррентное подмногообразие в Мп+Р{с). Тогда, если Fn не содержит аксиальных точек, то Fn имеет параллельную вторую фундаментальную форму.
Доказательство. Пусть р, — 1-форма на Fr\ для которой выполняется условие (1.1). Покажем, что тогда р = 0. Предположим противное. Пусть в некоторой точке х е Fn для некоторого вектора Ь Е ТхРп имеем /л(£) ф 0. По условию теоремы найдутся векторы е ТхРп такие, что векторы Ъ(1Х, £2), &(^з, £4) € T1afFn
неколлинеарны, В силу уравнения Петерсона — Кодацци (2.2) на Fn справедливы равенства:
(У,&)(ГьЫ = (%М^) = (УьМ^Л (Ъ№г,и) = (У4зЬ)(*,*4) = (^46)(43, /;)
Отсюда, используя условие (1.1), приходим к следующей системе уравнений: ц(Ф(Ь,Ь) = ^(^ЖМг) = р^2)Ь(Ь,г), м(^)Ь(^3, ^4) = /^3)Ь(М4) = Ц^Ж^Л).
Следовательно,
М(^х) ^ 0, /1^2) Ф 0, /х(£3) ^ 0, /Д£4) ф и. (3.2)
Используя (3.2), составим следующую нетривиальную линейную комбинацию векторов 6(£ь£г) и К^,и)-
р(и )р{Ь)Ь{Ь, t4) - р{Ь)р(и)Ь{гг, *2).
Учитывая (1.1) и (2.2), имеем:
^(ti)id{t2)b(t3,U) - ix{h)ii(U)b{ti,t2) - v(ti)n(h)b(t2,h) - n(t3)ii(t4)b(ti,t2) =
= fJL(U)tl(t3)b(t2, ti) - {l(t3)fJL(U)b(ti,t2) = 0.
Полученное равенство приводит к противоречию с линейной независимостью векторов bitx.t?) и b(t3,t4).
Таким образом, условие (1.1) выполняется для 1-формы ц = 0, и тогда на Fn выполняется условие (3.1).
Теорема 9 доказана.
3. Доказательства теорем 1-7
Доказательство теоремы 1. Формула (2.10) при с = 0 принимает следующий вид
VWR{X, У, Z, V) = 2ii(W)R{X, У, Z, V) VX, Y, Z, V, W e TFn.
Отсюда заключаем, что условие (1.2) выполняется для 1-формы и> = 2/i.
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. В силу (2.10) условие (1.3) выполняется для 1-форм и = 2/х, д = —2сц.
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Из теоремы 9 следует, что на Fn выполняется условие (3.1). Следовательно, условие (2.10) выполняется для 1-формы ц = 0, и поэтому Vi? = 0 на Fn.
Теорема 3 доказана.
Доказательство теоремы 4. Пусть U — открытое подмножество F2, на котором К ф 0. Тогда из леммы 2 следует, что в U имеет место равенство
VWR(X, У, Z, V) = u)(W)R(X, У, Z, V) VXXZtV.W eTFl,
где и = rfln |ATf. Так как в силу теоремы 3 на F2 имеет место равенство VR = 0, то из (4.1) получим, что и = 0 в U и, следовательно, К = const.
Теорема 4 доказана.
Доказательство теоремы 5. Из теоремы 9 следует, что на F3 выполняется условие (3.1). Тогда условие (2.11) выполняется для 1-формы /л = 0, и из леммы 3 находим:
W(s)(g(X, V)g(Y, Z) - д(Х, Z)g(Y, V)i = 0 VX, У, г, V, W e TF\ Запишем последнее равенство в локальных координатах:
~ 9u9jk)) = 0,
и положим в нем г = к — 1, j = I — 2. Мы имеем:
д s
0^{ди922 - д\2) = °- .
Так как метрический тензор д положительно определен, то отсюда получим:
£- = о.
дит
Значит, s = const.
Теорема 5 доказана.
Доказательство теоремы 6. Из условия К = const, в силу леммы 2, получим, что X7R = 0. Так как V6 Ф 0 на F2, то условие (2.10) выполняется для некоторой 1-формы /i ф 0 и принимает следующий вид
2p(W)(R(X, Y, Z, V)-c(g(X, V)g(Y, Z)-g(X, Z)g(Y, V))) — 0 VX, F, Z, V, W € TF2 Отсюда получим:
R(X, Y, Z, V) - c(g(X, V)g{Y, Z) - g(X, Z)g(Y, V)) = 0 VX, Y,Z,Ve TF2.
Следовательно, К = с.
Теорема 6 доказана.
Доказательство теоремы 7. Из леммы 3, учитывая, что ц Ф 0, имеем:
(6с - s)(g(X, V)g(Y, Z) - g(X. Z)g(Y, V)) = 0 IX, Y. Z, V 6 TF3.
Отсюда получим соотношение 6c — .9 = 0.
Теорема 7 доказана.
Summary
ON INTERNAL GEOMETRY OF EXTERNALLY RECURRENT SUBMANIFOLDS IN SPACES OF CONSTANT CURVATURE
1.1. Bodrenko
In the article, studies internally geometric properties of externally recurrent Rie-mannian submanifolds Fn in spaces of constant curvature Mn+P(c).
Литература
1. Кобаяси ILL, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. В 2 т. Т. 2. М.: Наука, 1981.
2. Chen B.-Y. Geometry of submanifolds. N.-Y.: M. Dekker, 1973.
