Лапласово рекуррентность минимальных поверхностей в e3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.И. Бодренко, 2004

УДК 514

ЛАПЛАСОВО РЕКУРРЕНТНОСТЬ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В Е3

А.И. Бодренко

В статье выводятся уравнения лапласово 1-рекуррентных и гармонических поверхностей в Е3. Доказано, что всякая минимальная поверхность является лапласово 1-рекуррентной с собственным значением ц> = 2К, где К — гауссова кривизна поверхности. Установлено, что всякая гармоническая минимальная поверхность есть плоскость Е2 С Е3 или ее часть.

Введение

Пусть Е2 — гладкая двумерная поверхность в трехмерном евклидовом пространстве Е3, д — индуцированная риманова метрика на Е2, V — риманова связность на F2, определенная д, Ь — вторая фундаментальная форма, V — ковариантная производная Ван дер Вардена — Бортолотти, Д — оператор Лапласа.

Определение 1. Вторая фундаментальная форма Ь называется гармонической, если АЬ = 0 на Е2.

Теорема 1. Если минимальная поверхность Е2 в Е3 имеет гармоническую вторую фундаментальную форму, то 1?2 есть плоскость Е2 С Е3 или ее часть.

Пример 1. Прямой круговой цилиндр Е2 является гармонической поверхностью в Е3 (см. [1]), т. е. А6 = 0 на Р2.

Определение 2. Поверхность Е2 в Е3 называется лапласово 1-рекуррентной с собственным значением если для некоторой функции (р на F2 выполняется условие

АЬ = (рЬ.

Теорема 2. Всякая минимальная поверхность Е2 в Е3 является лапласово 1-рекуррентной с собственным значением <р = 2К, где К — гауссова кривизна поверхности.

1. Уравнения лапласово 1-рекуррентных и гармонических поверхностей в Е3

(и1, и2)

1Р2

Если х — произвольная точка Е2, (х1,х2,х3) — декартовы координаты в Е3, локальные координаты на Е2 в некоторой окрестности ЪТ(х) точки х, то

Е локально задается векторным уравнением

где

г = г {и1, и2) — {ж1 (гг.1, гг2), х2(у}, и2), х3(у}, и2)}, дха

ди*

2 Уу е и(х).

Фиксируем точку х 6 .Р2 и введем в некоторой окрестности 17(х) на изотермические координаты (и1,и2). Тогда индуцированная метрика имеет следующий вид: д = А{и1, и2)({(1и1)2 + (о?м2)2). Тогда

г1,=/2 = ^ 912 = о.

Найдем символы Кристоффеля:

г!, = г?2 = -II = г;2 = г|2 = -г;, = ^а2л.

Положим В = (1пА)/2, тогда получим:

= Г22 = -Г^2 = дгВ, Г}2 = Г22 = -Г2, = д2В.

Обозначим через {п} поле единичных нормальных векторов в нормальном расслоении Т^Е2 в 11(х): п = п(и\и2), < п,п >= 1, < •, ■ > — скалярное произведение в Е3. Пусть = < дцГ,п > — коэффициенты второй квадратичной формы Ь = < й2г,п >= ЬцсЬ^сЬиЗ. Ковариантные производные вычисляются по фор-

муле

угь]к - дгь]к - т™ьтк - г?къ]т.

Компоненты оператора Лапласа АЬ в II(х) имеют вид [2]:

к1\

(ДЬ)* = 0ыУ*Уг^.

Так как нормальная связность F2 в Е3 плоская, то в координатах (и1, и2) получим:

А(АЬ)^ = V\Vibij +

Находим V,V

=дгЬп -2ЬпдхВ+ 2Ъ12д2В,

Vф}2 = - 2})12д1 В +■ Ъ22д2В - Ьпд2В,

VI622 = д\Ъ22 — 2Ь\2д2В — 2Ь22д\В,

V2bn = д2Ьп - 2Ьпд2В - 2ЬидгВ,

V 2^12 = ^2^12 — 2Ъ\2д2В — Ь22д\В + Ь\\д\В,

V 2^22 = д2Ь22 + 2612^1 В — 2Ь22д2В.

Уравнение Гаусса имеет вид:

^11^22 ^12 ~ ~А\пА. (1)

Уравнения Петерсона — Кодацци, записанные в координатах (и1, и2), имеют следующий вид:

д2Ьц — дфю = (6ц + Ь22)д2В. (2)

д\Ъ22 — д2Ь\2 — (Ь\] + Ь22)д1 В. 13)

Обозначим АеЬи = д'иЬп + д22Ьц, АВ = д^В + д12В. Используя уравнения (2), (3)-, находим:

Л(ДЬ)ц = АеЬц — 2 ЬцАВ — + д\Ь22)д\В + 2 (6ц + Ь22)(3(д1В)2 — (д2В)2),

А(АЬ) 12 — АеЬп — 2ЬиАВ — 2 (^1^11 + дхЬ22)д2В — 2(<92 Ьц + 82^2)81 В +

+ 8(6п + Ь22)д\Вд2В,

А(Д6)22 — АеЬ22 ~ 2Ъ22АВ — 4((?2^11 + + 2(6ц + Ь22)(3(525)" — (с^-В)2).

Отсюда, вводя обозначение и = Ьп + 622, получим:

Л(Д6)ц = Де6п - 26ПДБ - 4с?!Вд\и + 2и(3(д1В)2 - (д2В)2),

Л(ДЬ)12 = ДеЬ12 — 2 Ь^АВ — 2д1Вд2и — 2д2Вд1и + 8идхВд2В,

Л(Д6)22 = ДеЬ22 - 2622ДВ - 4д2В<92и + 2«(3(д2Б)2 - (с^)2). (4)

Поверхность .Р2 в £?3 является, по определению, лапласово 1-рекуррентной с собственным значением (р, если для некоторой функции (р выполняется условие

(Д6)^ = 1,2,

которое эквивалентно следующей системе уравнений:

АеЪп - 26п АВ - 4^1 + 2и(3(81В)2 - (д2В)2) = А<рЬи,

Д еЪ\2 — 2Ь12АВ — 2д\ Вд2и — 282В8\и + 8 ид\Вд2В = А(рЬ12,

А%2 - 2Ь22АВ - 4д2Вд2и + 2и(3(д2В)2 - (ЭгВ)2) = Афп. (5)

Система уравнений (1)-(3), (5) определяет лапласово 1-рекуррентные поверхности Р2 в Е3.

Тождество АЬ ^ 0 на Я в £3 эквивалентно следующей системе уравнений:

1) АеЬц - 2ЬпАВ - 4дгВдщ + 2и(3(д1В)2 - (82В)2) = О,

2) АеЬ12 - 2Ь12АВ - 2д1Вд2и - 282Вдхи + 8идгВд^В = О,

3) Де622 - 2Ь22АВ - 4д2Вд2и + 2и(3(д2В)2 - (^Б)2) = 0. (6)

Система уравнений (1)-(3), (6) определяет гармонические поверхности F2 в Е3.

2. Гармонические минимальные поверхности

Докажем теорему 1. Из условия на среднюю кривизну Я = 0 получим, что и = Ьц + Ъ22 = 0. Тогда система уравнений (2), (3) будет иметь вид:

д\Ъ12 — д2Ьи, д2Ъ\2 — дхЬ22.

Отсюда,

822Ьц = ^11^22, ^11^12 + д12Ь\2 = д%гЬи 4- д22Ь22- (7)

Используя (7), находим:

АеЬц — д^Ьц + д\ 2&п = д1гЬц + д{гЬ22 = = 0,

Де^12 — ^11^12 + ^22^12 = ^21^11 + ^12^22 = 822й ~ 0;

АеЬ22 = 9^622 + ^22^22 = 5|26ц + (^22^22 = ^22и = 0- (^)

Учитывая (8), приведем систему уравнений (6) к виду:

ЬпАВ = 0, Ъ12АВ = 0, Ь22ДВ = 0.

Отсюда,

16

А.И. Бодренко. Лапласово-рекуррентность минимальных поверхностей

(ЬпЬ22-Ь212)(АВ)2 = 0. (9)

Применяя уравнение (1), из уравнения (9) находим

(-|д1 па) (ДВ)2 = 0.

Отсюда, (АВ)3 = 0. Следовательно, АВ = 0 в U(x) и, значит,

1 д и

Л(1п.4)—=0.

Таким образом, в i/(x) на F2 имеют место равенства:

к = 0, Я = 0.

Следовательно, i/(a:) является открытой частью плоскости J52 С J513.

Теорема 1 доказана.

3. Лапласово 1-рекуррентность второй фундаментальной формы

минимальных поверхностей

Докажем теорему 2. Из условия и = Ьи + Ь22 = 0 следует, что в U{x) справедлива система уравнений (8). Используя (8), из (4) находим:

А(АЪ) и = -2 ЪиАВ, А(АЬ)и = -2 Ь12АВ, А(АЬ)22 = -2 Ь22АВ.

Отсюда, учитывая, что —АВ — АК, получим:

{АЬ)и=2КЪп, (АЬ)12 = 2КЬп, (АЬ)22 = 2КЬ22.

Положим р = 2К.

Таким образом, в U(x) С F2 выполняется соотношение АЪ = <pb, где ip = 2К. Теорема 2 доказана.

Summary

LAPLAS RECURRENCE OF MINIMAL SURFACES IN E3

A.I. Bodrenko

In the article, derived equations of laplas 1-recurrent and harmonic surfaces in E3. Proved‘that each minimal surface is lapias 1-recurrent one with eigenvalue p = 2K, where K — is Gaussian curvature of surface. Obtained that each harmonic minimal surface is a plane E2 C E3 or its part.

Литература

1. Бодренко А.И. Развертывающиеся лапласово рекуррентные поверхности в евклидовом пространстве Е3 // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2001. Т. 8. Вып. 2. С. 540.

2. Бодренко А.И. Лапласово рекуррентные кривые в евклидовых пространствах

// Вестник ВолГУ. Сер. 9. Вып. 1. 2001. Ч. 2. С. 6-8.